【状元360】高考数学一轮复习 6.6 不等式的综合应用课件 理_图文

1.不等式始终贯穿在整个中学教学之中,诸如集合问题, 方程(组)的解的讨论,函数单调性的研究,函数的定义域、值域 的确定,三角、数列、立体几何、解析几何中的最大值、最小值 问题,无一不与不等式有着密切关系. 2.能够运用不等式的性质、定理和方法分析解决有关函数 的性质、方程实根的分布,解决涉及不等式的应用问题和转化为 不等式的其他数学问题. 具体题型如下: (1)利用基本不等式求最值、确定范围; (2)运用不等式知识研究函数问题,研究方程解的问题; (3)利用不等式解决一类实际应用问题; (4)探索最值问题,设计可行方案. 考点一 抽象不等关系形成不等式 示范1 甲、 乙两人沿着同一条路同时从 A 地出发走向 B 地, 甲用速度 v1 与 v2(v1≠v2)各走全程的一半, 乙用速度 v1 与 v2 各走 全程所需时间的一半,试判断甲、乙两人谁先到达 B 地,并证 明你的结论. 分析 利用路程速度与时间关系,写出要比较的目标:两 个人所用时间. 解析 乙先到达 B 地.设路程长为 2,乙所用时间是 2t. 1 1 依题意甲用时间:v +v .由乙的要求:v1t+v2t=2, 1 2 2 4 1 1 4 t= , ∴2t= ,比较v +v 与 , v1+v2 v1+v2 v + v 1 2 1 2 ∵v1≠v2,v1>0,v2>0, v1+v2 v1+v2 v2 v 1 ∴ v + v =2+v +v >2+2 1 2 1 2 1 1 4 ∴v +v > , v1+v2 1 2 ∴甲用时间较长,乙先到达 B 地. v2 v1 v1· v2=4, 【点评】要把具体问题抽象成数学问题,恰当设置辅助量 是解题的关键. 展示1 用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板,随着铁钉的深 入,铁钉所受的阻力会越来越大,使得每次钉入木板的钉子长 1 度后一次为前一次的k ,已知一个铁钉,要求在受击 3 次后才全 部进入木板且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的 4 7.若 k=3,能否满足要求? ?4 4 ?7+7k<1, 【解析】依题意,得? ?4+ 4 + 4 2≥1. ?7 7k 7k 4 解得3<k≤2.∴k=3时,不满足要求. 方法点拨:对不等关系的量,选择恰当的量设元,转化成 不等式问题.注意隐含的条件. 考点二 综合利用不等式求最值,确定范围 示范2 已知函数 f(x)的图象关于点(a, b)对称, 则有 f(x)+f(2a -x)=2b 对任意定义域内的 x 均成立. x2+mx+m (1)若函数 f(x)= 的图象关于点(0,1)对称,求实数 x m 的值; (2)已知函数 g(x)=-x2+nx+1(x<0),在(1)的条件下,若对 实数 x<0 及 t>0,恒有不等式 g(x)<f(t)成立,求实数 n 的取值范 围. 解析 (1)由 f(x)+f(-x)=2 得 m=1. 2 t +t+1 1 2 (2)由条件有-x +nx+1< =t+ t +1. t 1 ∵t>0,∴t+ t +1≥3(仅当 t=1 时取“=”), 2 x +2 2 2 2 ∴-x +nx+1<3,(x<0),∴nx<x +2,∴n> x =x+x. 2 2 ∵x<0,∴-x>0,∴-x+ ≥2 2,∴x+x≤-2 2, -x ∴n>-2 2为所求. 【点评】本题中涉及参数 t 和参数 n,由于 t 有范围,故采 用分离参数法,先化掉 t 使得问题变成只有一个参数,成为常规 的恒成立问题,求参数取值范围问题,由于 x<0,又可以分离参 数,再次分离参数将 x 和 n 分离到不等式的左右两边,从而运 用基本不等式得到问题的解决. 1 3 展示2 (2010 北京)设函数 f(x)= ax +bx2+cx+d(a>0)且方 3 程 f′(x)-9x=0 的两根分别为 1 和 4, (1)当 a=3 且曲线 y=f(x)过原点时,求函数 f(x)的解析式; (2)若函数 f(x)在区间(-∞,+∞)上无极值点,求实数 a 的 取值范围. 【解析】 (1)f′(x)=ax2+2bx+c, f′(x)-9x=ax2+(2b-9)x +c,由条件,得 ?a+2b+c-9=0,① ? ?16a+8b+c-36=0,② ?a=3, ? ?a=3, ? 即?b=-3, ?c=12. ? 又 f(0)=0,则 d=0.∴f(x)=x3-3x2+12x. (2)由于 a>0,故原命题等价于关于 x 的不等式 f′(x)≥0 在 区间(-∞,+∞)上恒成立. ∴Δ=4b2-4ac≤0.由①②,得 2b=9-5a,c=4a. ? ?a>0, ∴? 解得 1≤a≤9. ? Δ = 9 ? a - 1 ?? a - 9 ? ≤ 0. ? ∴实数 a 的取值范围是[1,9]. 方法点拨:由于函数 f′?x?是一个二次函数,联想二次函数 的图象,由于条件有 a>0,故其图象是一开口向上的抛物线,问 题即时可转化为抛物线与 x 轴没有交点?或恰有一个交点?,问题 马上得到解决.) 考点三 问题 运用不等式知识研究函数问题,方程解的 1 示范3 已知函数 f(x)=2x- x2, 函数 h(x) 2 g(x)=logax(a>0 且 a≠1), =f(x)-g(x)在其定义域上为减函数且其导函数 h′(x)存在零点, (1)求实数 a 的值; (2)若函数 p(x)与 g(x)图象关于直线 y=x 对称且 p′(x)为函数 p(x) 的导函数, A(x1, y1), B(x2, y2)(x1<x2)是函数 p(x)的图象上的两点, p′(x0) y1-y2 = ,试判断 x0,x1,x2 间的大小关系,证明你的结论. x1-x2 分析 由函数 h(x)为减函数, 可得关于 x 的不等式 h′(x)≤0 恒成立,又由函数 h′(x)存在零点,可得方程 h′(x)=0 有解, 即得另一个不等式,采用

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