江苏省盐城市2012-2013年下学期高二数学调研试卷 数学试题

江苏省盐城市 2012-2013 年下学期高二数学调研试卷

数学试题(文科)

2013.6

注意事项: 1.本试卷考试时间为 120 分钟,试卷满分 160 分,考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置,否则不给分. 3.答题前,务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答 题卡上. 4.第 19、20 题,请四星高中学生选做(A),三星高中与普通高中学生选做(B) ,否则 不给分.

参考公式: 样本数据 x1 , x2 , ? , xn 的方差 s 2 ? 本平均数) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置 上. 1. ?x ? R , sin x ? 1 的否定是 ▲ .

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x 2 ? x) 2 ? ? ? ( x n ? x) 2 ] ( x 为样 n

2.已知复数 z 满足 z ? i(2 ? i) (其中 i 为虚数单位) ,则 z = ▲ . 3.某校对全校 1000 名男女学生进行课外阅读情况调查,采用分层抽样法抽取一个容量为 200 的样本,已知女生抽了 80 人,则该校的男生数为 ▲ . 4.集合 A ? 3, log 2 a? , B ? a, b? ,若 A ? B ? 1? ,则 A ? B =

?

?

?



. ▲ 第4年 10.1 10.3 .

5.有 4 件产品,其中有 2 件次品,从中任选 2 件,恰有 1 件次品的概率为 6.甲、乙两种水稻试验品种连续 4 年的单位面积平均产量如下: 品种 甲 乙 第1年 9.8 9.7 ▲ 第2年 9.9 10 . 第3年 10.2 10

其中产量比较稳定的水稻品种是
2 2

7. 若双曲线

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点到一条渐近线的距离等于 2 a b
▲ .

a ,则该双曲线的离心率为 ▲ . 8.执行右边的程序框图,若 p ? 15 ,则输出的 n ?
9.观察下列不等式:

1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 ? ,1 ? ? ? 1,1 ? ? ? ? ? ? ,1 ? ? ? ? ? ? 2 , 2 2 3 2 3 7 2 2 3 15 1 1 1 5 1 ? ? ? ? ? ? ,? , 由此猜想第 n 个不等式为 ▲ . 2 3 31 2 10 . 若 关 于 x 的 方 程 x 2 ? 4 ? ax 有 正 实 根 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是
▲ .

1

11. 在锐角 △ ABC 中, A B,C 所对的边分别为 a,b,c , 角 , 已知 sin A ?

2 2 ,a ? 2 , 3

S△ ABC ? 2 ,则 b 的值为



. ▲ .

12.若函数 f ? x ? ? ln ae x ? x ? 3 的定义域为 R ,则实数 a 的取值范围是

?

?

13.已知 Rt ?ABC 的三个顶点都在抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上,且斜边 AB ∥ y 轴,则斜边 上的高等于 ▲ . 14.已知曲线 C : f ( x) ? x +

a (a ? 0) ,直线: y ? x ,在曲线 C 上有一个动点 P ,过点 P x 分别作直线和 y 轴的垂线, 垂足分别为 A, B .再过点 P 作曲线 C 的切线, 分别与直线和 y 轴相交于点 M , N , O 是坐标原点.则 △OMN 与 △ ABP 的面积之比为 ▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 记关于 x 的不等式 ( x ? a )( x ? 1) ? 0 的解集为 P ,不等式 | x ? 1|? 1 的解集为 Q. (1)若 a ? 3 ,求集合P; (2)若 Q ? P ,求正数 a 的取值范围.

16. (本小题满分 14 分)

已知函数 f ? x ? ? cos x ? sin x ? 2 3 sin x cos x .
2 2

(1)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (2)若 f ?? ? ?

10 ?? ? ? ,且 ? ? ? , ? ,求 sin 2? 的值. 13 ?4 2?

17. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? lg(

2a . ? 1) (其中 a ? 0 ) 1? x

求证: (1)用反证法证明函数 f ( x) 不能为偶函数; (2)函数 f ( x) 为奇函数的充要条件是 a ? 1 .

2

18. (本小题满分 16 分) 为改善行人过马路难的问题, 市政府决定在如图所示的矩形区域 ABCD( AB ? 60 米,

AD ? 104 米 ) 内 修 建 一 座 过 街 天 桥 , 天 桥 的 高 GM 与 HN 均 为 4 3 米 ,
?GEM ? ?HFN ?

?
6

, AE , EG, HF , FC 的造价均为每米 1 万元, GH 的造价为每

米 2 万 元 , 设 MN 与 AB 所 成 的 角 为 ? ? ? ? ? 0,

? ?

? ? ?? ? ,天桥的总造价(由 ? 4 ?? ?

AE , EG, GH , HF , FC 五段构成, GM 与 HN 忽略不计)为 W 万元.
(1)试用 ? 表示 GH 的长; (2)求 W 关于 ? 的函数关系式; (3)求 W 的最小值及相应的角 ? .
H B G A E M P
? ?

N

F

C

第 18 题图

D

19. (本小题满分 16 分) (A) (四星高中学生做)

x2 y 2 已知椭圆 E: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上任意一点到两焦点距离之和为 2 3 ,离心率为 a b
3 , 右焦点分别为 F1 , F2 , P 是右准线上任意一点, F2 作直线 PF2 的垂线 F2Q 左、 点 过 y 3
交椭圆于 Q 点. (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)证明:直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值; (3)点 P 的纵坐标为 3 ,过 P 作动直线与椭圆交于两个 不同点 M、N,在线段 MN 上取点 H ,满足 试证明点 H 恒在一定直线上.
3

· F1

O

· F2

x

MP MH , ? PN HN

第 19 题图

(B) (三星高中及普通高中学生做) 已知椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上任意一点到两焦点距离之和为 2 3 ,离心率为 a 2 b2

3 , 右焦点分别为 F1 , F2 , P 是右准线上任意一点, F2 作直线 PF2 的垂线 F2Q 左、 点 过 3
交椭圆于 Q 点. (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)证明:直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值; (3)证明:直线 PQ 与椭圆 E 只有一个公共点. 20. (本小题满分 16 分) (A) (四星高中学生做) 设函数 f ? x ? ? a ln x , g ? x ? ?

1 2 x . 2

(1)记 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ,若 a ? 4 ,求 h? x ? 的单调递增区间; (2)记 g ? ? x ? 为 g ? x ? 的导函数, 若不等式 f ? x ? ? 2 g ? ? x ? ? ? a ? 3? x ? g ? x ? 在 x ? ?1, e? 上 有解,求实数 a 的取值范围; (3)若在 ?1, e ? 上存在一点 x0 , 使得 范围.

f ( x0 ) ? f ? ? x0 ? ? g ? ? x0 ? ?

1 g ? ? x0 ? 成立,求 a 的取值

(B) (三星高中及普通高中学生做) 设函数 f ? x ? ? a ln x , g ? x ? ?

1 2 x . 2

(1)记 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ,若 a ? 4 ,求 h? x ? 的单调递增区间; (2)记 g ? ? x ? 为 g ? x ? 的导函数, 若不等式 f ? x ? ? 2 g ? ? x ? ? ? a ? 3? x ? g ? x ? 在 x ? ?1, e? 上 有解,求实数 a 的取值范围; (3)若 a ? 1 ,对任意的 x1 ? x2 ? 0 ,不等式 m ? g ? x1 ? ? g ? x2 ? ? ? x1 f ? x1 ? ? x2 f ? x2 ? 恒 ? ? 成立.求 m?m ? Z , m ? 1? 的值.

4

2012-2013 学年度高二调研测试 数学试题(文)答案
一、填空题:每小题 5 分,共计 70 分. 1. ?x ? R,sin x ? 1 7. 2 8. 5 2. 5 9. ? 1 3.600 4. 1, 2,3?

?

5.

2 3

6.甲 12. e 2 , ??

1 1 1 n ? ?? ? n ? 2 3 2 ?1 2

10. ? 4 a

11. 3

?

?

13. 2 p 14.8 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分. 分

15.解: (1)当 a ? 3 时, ( x ? 3)( x ? 1) ? 0 ,则解集 P 为 x ?1 ? x ? 3? .……………… 7 (2)由题意,解集为 Q= x 0 ? x ? 2? ,所以 a ? 2 .……………………………………… 14 分 16 . 解 : ( 1 )

?

?

?? ? f ? x ? ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 3 sin x cos x ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 2sin ? 2 x ? ? . 6? ? 2? 所以函数 f ? x ? 的最小正周期 T ? ? ? .…………………………………………………… 2
6分 ( 2 ) 由 题 2 sin ? 2? ?

2? ? 7? , ? 2? ? ? 3 6 6 ?? 12 ? 则 cos ? 2? ? ? ? ? ,………………………………………………………………………… 6? 13 ?
9分 所以

? ?

??

? ? 5 ?? 5 ? , 得 sin ? 2? ? ? ? ,因为 ,则 ?? ? ?? 4 2 6 ? 13 6 ? 13 ?

? ?? ?? ? ? ? ? 5 3 ? 12 ? ? ? . …14 sin 2? ? sin ? 2? ? ? ? ? sin ? 2? ? ? cos ? cos ? 2? ? ? sin ? 6 6? 6? 6 6? 6 26 ? ? ?
分 17 解: (1)假设函数 f ( x) 为偶函数,则 f (? x) = f ( x) ,

2a 2a 2a 2a 4ax ? lg( ? 1) = lg( ? 1) ,即 ?1= ? 1 ,化简得: ? 0, 1? x 1? x 1? x 1? x 1 ? x2
? a ? 0 ,与条件 a ? 0 矛盾.? 函数 f ( x) 不能为偶函数.………………………………
7分 (2)充分性:由 a ? 1 ,函数 f ( x) ? lg( 又 f ( x) ? f (? x) = lg 10 分
5

2 1? x 1? x ,? ? 0,? ?1 ? x ? 1 , ? 1) = lg 1? x 1? x 1? x

1? x 1? x + lg = lg1 ? 0 , 当 a ? 1 时, 函数 f ( x) 为奇函数. …… ? 1? x 1? x

必要性:由函数 f ( x) 为奇函数,即 f ( x) ? f (? x) =0,

2a 2a 2a ? 1 ? x 2a ? 1 ? x ? lg( ? 1) + lg( ? 1) = lg( ) + lg( ) =0,化简得 (2a ? 1) 2 ? 1 , 1? x 1? x 1? x 1? x ? a ? 0 ,? a ? 1 ,? 当函数 f ( x) 为奇函数时, a ? 1 .……………………………………
14 分 (注:必要性的证明也可由定义域的对称性得到 a ? 1 ) 18.解: (1)由题意可知 ?MNP ? ? ,故有 MP ? 60 tan ? ,所以在 Rt ?NMT 中

GH ? MN ?
……6 分

60 ……………………………………………………………………………… cos ?
60 sin ? 1 ? 2 ? 80 ? 16 3 ? 60 ? 120 cos ? cos ? cos ?

(2) W ? (80 ? 16 3 ? 60 tan ? ) ?1 ?

sin ? ? 2 .………………………………………………………… 11 分 cos ? sin ? ? 2 π (3)设 f (? ) ? (其中 0 ≤? ≤ ) , cos ? 4 cos ? cos ? ? (? sin ? )(sin ? ? 2) 1 ? 2sin ? 则 f ?(? ) ? . ? cos 2 ? cos 2 ? 1 ? 令 f ?(? ) ? 0 得 1 ? 2sin ? ? 0 ,即 sin ? ? ,得 ? ? . 2 6 ? 80 ? 16 3 ? 60
列表

?
f ?(? ) f (? )
所以当 ? ?

(0, ) 6
+ 单调递增

?

?
6
0 极大值

( , ) 6 4
单调递减

? ?

?
6

时有 f (? ) max ? ? 3 ,此时有 Wmin ? 80 ? 16 3 ? 60 3 ? 80 ? 76 3 .

答: 排管的最小费用为 80 ? 76 3 万元, 相应的角 ? ? 分 (A) (四星高中学生做) 19.解: (1)由题, a ? 3 ,又因为 所
2 2

?
6

. …………………………… 16

c 3 ? , 从而得 c ? 1 , b ? 2 a 3
圆 E :





x y ? ? 1 ……………………………………………………………………… 4 分 3 2
(2)设 P ? 3, y0 ? , Q ? x1 , y1 ? , 因为 PF2 ? F2Q ,所以 kQF2 k PF2 ? 所以 ? y1 y0 ? 2( x1 ? 1)

y0 y1 y0 y1 ? ? ? ?1 , 2 x1 ? 1 2( x1 ? 1)

6

又 因 为 k PQ ? kOQ

y y ? y0 y12 ? y1 y0 ? 1? 1 ? 2 x1 x1 ? 3 x1 ? 3x1

x12 且 y ? 2(1 ? ) 代 入 化 简 得 3
2 1

2 k PQ ? kOQ ? ? ……10 分 3 (3)设过 P 的直线 l 与椭圆交于两个不同点 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,点 H ( x, y ) ,
2 2 则 2 x12 ? 3 y12 ? 6 , 2 x2 ? 3 y2 ? 6 .

???? ???? ???? ? ???? ? MP MH MP MH ,∴设 ? ? ? ? ,则 MP ? ?? PN , MH ? ? NH , PN HN PN HN ∴ (3 ? x1 ,3 ? y1 ) ? ?? ( x2 ? 3, y2 ? 3) , ( x ? x1 , y ? y1 ) ? ? ( x2 ? x, y2 ? y ) x ? ? x2 x ? ? x2 y ? ? y2 y ? ? y2 整理得 3 ? 1 ,3 ? 1 , ,x ? 1 ,y? 1 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? 2 2 x 2 ? ? 2 x2 y 2 ? ? 2 y2 ∴从而 3 x ? 1 , ,3 y ? 1 1? ?2 1? ?2 2 2 2 2 2 x 2 ? 2? 2 x2 ? 3 y12 ? 3? 2 y2 2 x12 ? 3 y12 ? ? 2 (2 x2 ? 3 y2 ) ∴ 6x ? 9 y ? 1 ? ? 6, 1? ?2 1? ?2 所以点 H 恒在直线 2 x ? 3 y ? 2 ? 0 上.………………………………………………… 16
∵ 分 (B) (三星高中及普通高中学生做) 解: (2)同(A) (1) (3)由(2)知,直线 PQ 的方程为 y ? y1 ? ?

2 x1 2x 2 ? x ? x1 ? ,即 y ? ? 1 x ? , 3 y1 3 y1 y1

? x2 y 2 ? ?1 ? ? 3 2 由? 得 (3 y12 ? 2 x12 ) x 2 ? 12 x1 x ? 18 ? 9 y12 ? 0 ,化简得: x 2 ? 2 x1 x ? x12 ? 0 , ? y ? ? 2 x1 x ? 2 ? 3 y1 y1 ? 解得 x ? x0 ,所以直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点.……………………………………… 16 分 (A) (四星高中学生做)
20.解: (1)当 a ? 4 时, f ? x ? ? 4 ln x ,此时 h ? x ? ? 4 ln x ? 由 h' ? x ? ?

1 2 x , 2

4 ? x ? 0 得 ?2 ? x ? 2 , x 又 x ? 0 ,则 0 ? x ? 2 .所以 h? x ? 的单调递增区间为 ? 0, 2 ? .…………………… 4
分 (2)不等式 f ? x ? ? 2 g ? x ? ? ?a ? 3?x ? g ? x ? 即为 a ln x ? 2 x ? ?a ? 3?x ?
'

1 2 x , 2 1 2 x ?x 1 2 2 则 a ? x ? ln x ? ? x ? x , 由 x ? ?1, e? 知 x ? ln x ? 0 , 因 而 a ? ,设 x ? ln x 2 1 2 x ?x 2 y? , x ? ln x

7

x ?? 2 ? ?? 2 ?x ? ln x ? 1 且当 x ? ?1, e ? 时 x ? 1 ? 0 , x ? 1 ? ln x ? 0 , 2
由 y' ?
'

?x ? 1??x ? ln x ? ? ?1 ? 1 ?? 1 x 2 ? x ? ?x ? 1?? 1 x ? 1 ? ln x ? ? ?? ? ? ?
?2 ?x ? ln x ?2

?,

从而, y ? 0 .由不等式有解,知 a ? y min ? ?

1 ……………………… 10 分 2

(3)不等式

f ( x0 ) ? f ' ? x0 ? ? g ' ? x0 ? ?

1 a 1 g ? x0 ? 等价于 a ln x0 ? ? x0 ? , x0 x0
'

整理为 x0 ? a ln x0 ?

1? a 1? a ,则由题意可知只需在 [1, e] ? 0 ,设 m( x) ? x ? a ln x ? x x0
在 一 点





x0



使



m( x0 ) ? 0. m' ( x) ? 1 ?
因 为

a 1 ? a x 2 ? ax ? (1 ? a ) ( x ? 1 ? a )( x ? 1) , ? 2 ? ? x x x2 x2
所 以

x ? 0,

x ? 1 ? 0,



x ? 1 ? a ? 0,



x ? 1 ? a .………………………………………… 12 分
①若 1 ? a ? 1 ,即 a ? 0 时,令 m(1) ? 2 ? a ? 0 ,解得 a ? ?2 . ②若 1 ? 1 ? a ? e ,即 0 ? a ? e ? 1 时, m( x) 在 1 ? a 处取得最小值, 令

m(1 ? a ) ? 1 ? a ? a ln(1 ? a) ? 1 ? 0





1 ? a ? 1 ? a ln(1 ? a )







a ?1?1 ? ln(a ? 1) a t ?1 考察式子 ? ln t ,因为 1 ? t ? e ,所以左端大于 1,而右端小于 1,所以不成立 t ?1 e2 ? 1 ③当 1 ? a ? e , a ? e ? 1 时,m( x) 在 [1, e] 上单调递减, 即 只需 m(e) ? 0 , a ? 得 , e ?1 e 2 ? 1 ? 2e e2 ? 1 又因为 e ? 1 ? . ? ? 0 ,所以, a ? e ?1 e ?1 e ?1 a ? ?2 综 上 所 述 , 或

a?

e2 ? 1 .………………………………………………………………… 16 分 e ?1

(B) (三星高中及普通高中学生做) 解: (2)同(A) (1) (3)当 a ? 1 , f ? x ? ? ln x .由 m ? g ? x1 ? ? g ? x2 ? ? ? x1 f ? x1 ? ? x2 f ? x2 ? ? ? 恒 成 立 知 ,

mg ? x1 ? ? x1 f ? x1 ? ? mg ? x 2 ? ? x 2 f ? x 2 ?
8











t ?x ? ?

m 2 x ? x ln x? x ? 0 ? . 2 ' 由题意知 x1 ? x 2 ? 0 ,故当 x ? 0 时函数 t ? x ? 单调递增,则 t ? x ? ? mx ? ln x ? 1 ? 0 恒 ln x ? 1 ln x ? 1 ? ln x 恒成立,记 y ? ,由 y ' ? x ? ? , x x x2 知函数在 ?0,1? 上单调递增,在 ?1,?? ? 上单调递减, 则 h? x ?max ? h?1? ? 1 ,所以 m ? 1 , 又 m ? Z , m ? 1 ,所以 m ? 1 .…………… 16 分
因此, m ?

成立,

9


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