2010年高考江西卷——理科数学试题答案及解析


2010 年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)
数学 (理科)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.已知(x+i)(l- i)=y,则实数 x,y 分别为 A.x=-1 y=1 B.x=-1,y=2 C.x=1 y=1 D. x=1,y=2 2.若集合 A= A.{ x | -1 ? x ? 1 } C.{ x | 0 ? x ? 1 } 3.不等式 | B. { x | x ? 0} D. ?

x?2 x?2 |? 的解集是 x x A. (0,2) B. (- ? ,0) C. (2,+ ? ) D. (- ? ,0) ? (0,+ ? )
1 1 1 + 2 +…+ x )= 3 3 3

4 lim (1+
x??

A.5/3 B.3/2 C. 2 D.不存在 5.等比数列| an |中 a1 = 2,ax = 4,函数 f(x)=x(x - a1)(x – a2 )…(x - ax),责 fx(0)= A. 26 B.29 C .212 D. 215 6.(2x )8 展开始终不含 x4 想的系数的和为

A.-1 B.0 C. 1 D.2 7.E,F 是等腰直角 ABC 斜边 AB 上的三等分点,则 tan∠ECF= A.

26 27

B.

2 3
2

C.
2

3 3

D .

3 4

8.直线 y=kx+3 与圆 ? x ? 3? + ? y ? 2 ? = 4 相交于 M , N 两点,若 MN ≥2 3 ,则 k 的取值 范围是 A. ? ?

? 3 ? ,0 ? 4 ? ?

B. ? ??, ? ? ∪ ?0, ??? 4

? ?

3? ?

C. ? ?

? ?

3 3? , ? 3 3 ?

D. ? ?

? 2 ? ,0 ? 3 ? ?

9.给出下列三个命题: ①函数 y =

1 1 ? cos x x ln 与 y =ln tan 是同一函数; 2 1 ? cos x 2 1 g(x) 2

②若函数 y = f(x)与 y =g(x)的图像关于直线 y = x 对称,则函数 y =f (2x)与 y = 的图像也相关于直线 y = x 对称;

③若奇函数 f(x)对定义域内任意 x 都有 f(x)= f(2-x),则 f(x)为周期函数,期中真命题是 A.①② B.①③ C.②③ D.②

A 做直线 l1 ,使 l 与棱 AB1 AD1 AA1 所成的角都相等, 10.过正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 顶点
这样的直线 l 可以作

A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 11.一位国王的铸币大臣在每箱 100 枚的硬币中各掺入了一枚劣币,国王怀疑大臣作弊, 他用两种方法来检测。方法一:在 10 箱中各任意抽查一枚:方法二:在 5 箱中各任意 抽查两枚。国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为 p1 和 p2 ,则 A. p1 = p2 B. p1 ﹤ p2 C. p1 ﹥ p2 D.以上三种情况都

有可能 12.如图,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记 t 时刻五角星 露出水面部分的图形面积为 S (t )( S (0) ? 0) ,则导函数 y ? S , (t ) 的图像大致为

二.填空题;本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,请把答案填在答题卡上。

13.已知向量 a , b ,满足 a =1, b =2,则 a 与 b 的夹角为 60°,则 a - b =_ 14.将 6 位志愿者分成 4 组,其中两个组各 2 人,另两个组各 1 人,分赴世博会的四个不同 场馆服务,不同的分配方案有_种(用数字作答) 。 15.点 A x0, y0 ? 在双曲线

?

x

2

4

?

y

2

32

=1 的右支上,若点 A 到右焦点的距离等于 2 x0 ,则 x 0 =

16.如图,在三棱锥 O ? ABC 中,三条棱 OA , OB , OC 两两 垂直,且 OA ? OB ? OC ,分别经过三条棱 OA , OB , OC 作 一个截面平分三棱锥的体积,截面面积依次为 S1 , S2 S3 ,则

S1 , S2 S3 的大小关系为
三.解答题:本小题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = (1 ? cos x) sin x ? m sin( x ?
2

?

) sin( x ? ) , 4 4

?

(1) 当 m ? 0 时,求 f ( x ) 在区间 ? (2) 当 tan a =2 时, a =

? ? 3? ? 上的取值范围; , ?3 4 ? ?

3 ,求 m 的值。 5

18. (本小题满分 12 分) 某迷宫有三个通道, 进入迷宫的每个人都要进入一扇智能门, 首次到达此门, 系统会随机 (即 等可能)为你打开一个通道,若是 1 号通道,则需要 1 小时走出迷宫;若是 2 号,3 号通道, 则分别需要 2 小时,3 小时返回智能门,再次到达智能门时,系统会随即打开一个你为到过 的通道,直至走出迷宫为止,令表示走出迷宫所需的时间。 (1)求 ? 的分布列;(2)求 ? 的数学期望 19. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ln x ? ln(2 ? x) ? ax(a ? ??? (1)当 a=1 时,求 f ( x ) 的单调区间。 (2)若 f ( x ) 在,0,1 上的最大值为 ,求 a 的值。
2 1

20、 (本小题满分 12 分) 如图, BCD 与 MCD 都是边长为 2 的正三角形,平面 MCD ? 平面 BCD ,

AB ? 2 3 ,

(1)求点 A 到平面 MBC 的距离; (2)求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值。

21、 (本小题满分 12 分)

x2 y 2 设椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,抛物线 C2 : x2 ? by ? b2 。 a b
(1)若 C2 经过 C1 的两个焦点,求 C1 的离心率; (2)设 A(0, b), Q(3 3, ) ,又 M、N 为 C1 与 C2 不在 y 轴上的两个交点,若 AMN 的垂 心为 B (0,

5 4

3 b) ,且 QMN 的重心在 C2 ,求椭圆 C1 和抛物线 C2 的方程。 4

22、 (本小题满分 14 分) 证明以下命题: (1)对任一正整数,都存在正整数 b, c(b ? c) ,使得 a , b , c 成等差数列;
2 2 2

2 2 2 (2) 存在无穷多个互不相似的三角形 , 其边长 an , bn , cn 为正整数且 an 成等差数列。 , bn , cn

参考答案 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分 1.D 2.C 3. A 4. B 5.C 6. B 7.D 8.A 9.C 10.D 11.B 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分 13.

12.A

3

14. 1080

15. 2

16.

s1

s2

s3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分 17.(本小题满分 12 分) 解: (1)当 m ? 0时,

1 1 2 ? 1 f ( x) ? sin 2 x ? sin x cos x ? (sin 2 x ? cos 2 x) ? ? sin(2 x ? ) ? 2 2 2 4 2
又由 x ? ?

? ? 5? ? ? ? 2 ? ? ? 3? ? , ? 得2 x ? ? ?0, ? , 所以 sin(2 x ? ) ? ? ? ,1? . 4 ? 4 ? 4 ? 2 ? ?8 4 ?
2 ? 1 ? 1? 2 ? sin(2 x ? ) ? ? ?0, ?. 2 4 2 ? 2 ?
m 1 ? cos 2 x 1 m 1 1 cos 2 x ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? ?sin 2 x ? (1 ? m) cos 2 x ? ? 2 2 2 2 2 2

从而 f ( x) ? (2)

f ( x) ? sin 2 x ? sin x cos x ?

由 tan a ? 2 得 sin2a=

2 ? a cos a 2 tan a 4 ? ? , 2 2 2 sin a ? cos a 1 ? tan a 5

cos2a=

cos 2 a ? sin 2 a 1 ? tan 2 a 3 3 1 ?4 3? 1 ? ? ? ,所以 ? ? ? (1 ? m) ? ? ,得 m ? ?2 2 2 2 sin a ? cos a 1 ? tan a 5 5 2 ?5 5? 2

18(本小题满分 12 分) 解: (1) ? 的所有可能取值为:1,3,4,6

P (? ? 1) ?

1 1 1 1 , P(? ? 3) ? , P(? ? 4) ? , P(? ? 6) ? ,所以 ? 的分布列为: 3 6 6 3

(2) E? ? 1?

1 1 1 1 7 ? 3 ? ? 4 ? ? 6 ? ? (小时) 3 6 6 3 2 1 1 ? a, , x 2? x

19.(本小题满分 12 分) 解:函数的定义域为 f '( x ) ?

? x2 ? 2 (1) 当 a =1 时, f '( x) ? ,所以 f ( x ) 的单调递增区间为(0, 2 ) ,单调递减 x(2 ? x)
区间为 ( 2, 2) ; (2) 当 x ? (0,1] x ? (0,1) 时, f '( x) ?

2 ? 2x ? a ? ? ,即 f ( x) 在 x ? (0,1] 上单调递, x(2 ? x)

故 f ( x ) 在 (0,1] 上的最大值为 f (1) ? a ,因此 a=

1 2

20.(本小题满分 12 分) 解法一: (1) 去 CD 中点 O。 连接 OM,则 OB=OM= 3 ,OB ? CD,MO ? CD,有平面 MCD ? 平 面 BCD,则 MO ? 平面 BCD,所以 MO AB,MO 平面 ABC,M,O 到平面 ABC 的距离相等。

作 OH ? BC 于 H , 练 MH, 则 MH ?

BC. 求 得 : OH=OC ? sin 60 =
0

3 2

( 3) 15 MH= ( 3) ? = 2 2
2

2

设点 A 到平面 MBC 的距离为 d,由 VM-ABC=VM-ABC 得

1 ?S 3

MBC

? d=

1 ? S 3

MBC

? OH.



1 3

? 1 ? 2?
2

3 1 1 3 d= ? ? 2 ? 2 3 ? 3 2 2 2

解得 d=

2 15 5

(2)延长 AM,BO 相交于 E,练 CE,DE,EC 是平面 ACM 与平面 BCD 的交线。 有(1)知。O 是 BE 的中点,则四边形 BCED 是菱形。 作 BF ? EC 于 F,连 AF ? EC, ? AFB 就是二面角 A-EC-B 的平面角, 设为 a。 因为 ? BCE=1200, 所以 ? BCF=600. BF=2 sin 60 = 3 . tan ? =

AB 2 5 =2,sin ? = 。 BC 5

解法二:取 CD 中点 O,连 OB,OM,则 OB CD,OM CD,有平面 MCD 平面 BCD,则 MO 平面 BCD,取 O 为原点, 直线 OC,BO,OM 为 x 轴, y 轴, 建立空间直角坐标系如图。 OB=OM= 3 ,则个点坐标分别为 C(1,0,0),M(0,0, 3 ), B(0,- 3 ,0),A(0,- 3 ,2 3 ).

(1)设 n =(x,y,z)是平面 MBC 的法向量,则

BC =(1, 3 ,0),

BC =(0,

3, 3)

由 n ? BC 得 x+ 3 y=0; 由 n ? BM 得 3 y+ 3 z=0。 取 n =( 3 ,-1,1) AB =(0,0,2 3 ) ,则 d=

| AB ? n | 2 3 2 15 = = 5 n 5

(2) CB =(-1,0, 3 ), CA =(-1,- 3 ,2 3 ).
? x? 设平面 ACM 的法向量为 n1 =(x,y,z) ,由 n1 ? CM , n1 ? CA 得{ ? x ? 3? 0 3 y ? 2 3z ? 0

解得 x= 3 z,y=z,取 n1 =( 3 ,1,1) 又平面 BCD 的法向量为 n2 =(0,0,1) 所以 cos< n1 , n2 >=

n1 n 1 . ? 2 = | n1 | n2 5

设所求二面角为 ? 。则 sin ? =

2 5 5

21、 (本小题满分 12 分) 解: ( 1 ) 因 为 抛 物 线 C2 经 过 椭 圆 C1 的 两 个 焦 点 F 1 (?c,0), F2 (c,0) , 可 得 c ? b , 由
2 2

a 2 ? b2 ? c 2 ?2 c 2 ,有

c2 1 2 ? ,所以椭圆 C1 的离心率 e ? 。 2 a 2 2

(2)由题设可知 M , N 关于 y 轴对称,设 M (? x1, y1 ), N ( x1, y1 ),( x1 ? 0) ,则由 AMN 的 垂心为 B,有 BM AN ? 0 ,

所以 ? x1 ? ( y1 ?
2

3 b)( y1 ? b) ? 0 4

……………① ……………②

2 由于点 N ( x1 , y1 ) 在 C2 上,故有 x1 ? by1 ? b2

由①②得 x1 ? ? 所以 x1 ?

b , 或 y1 ? b (舍去) , 4

5 b 5 b 5 b, ? ), N( b,- ), b ,故 M (? 2 4 2 4 2
b 4

所以 QMN 的重心为 ( 3, ), 因重心在 C2 上得: 3 ?

1 1 b2 ? b 2 ,所以 b =2, M (? 5, ? ), N ( 5, ? ), 2 2 4
2

1 (? ) 2 16 (? 5) 又因为 M , N 在 C1 上,所以 ? 2 ? 1 ,得 a 2 ? 。 2 3 a 4
所以椭圆 C1 的方程为:

x2 y 2 ? ?1, 16 4 3

抛物线 C2 的方程为: x ? 2 y ? 4 。
2

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