2013届高三一轮复习理科数学周练试卷(10)[1]

我学习 我快乐

2013 届高三一轮复习周练试卷(10) 数 学(文、理科兼用)
命题:我学习,我快乐 工作室 时量:120 分钟 满分:150 分 考查内容:集合、逻辑、函数、导数、三角函数、平面向量、复数、数列 一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. 设全集 U ? {1, 2,3, 4,5, 6, 7} ,集合 A ? {1,3,5} , B ? {2,5, 7} ,则 U ( A ? B) =( ) A. {1, 2,3,5, 7} 2. 设 i 是虚数单位,则复数 A. 3. B. {2, 7} C. {4, 6} D. {6}

i 2

i 的虚部是( ) 1? i 1 1 B. C. ? 2 2
→ → → B. AD+AB=AC

D. ? )

1 2
→ → → D. AB-AD=BD ).

在平行四边形 ABCD 中,下列结论中不正确的是( ... → → A. AB=DC

→ → ? C. AD+CB= 0

4.

已知幂函数 f ( x) ? x? 的图象经过点(2, A. (??, 0) C. (??, 0) ? (0, ??)

1 ),则函数 f ( x ) 的定义域为( 2 B. (0, ??) D. (??, ??)
?

开始 s=0,n=1

5.

在 ?ABC 中,已知 p : 三内角 A B、C 成等差数列; q : B ? 60 . 、 则 p 是 q 的( ) A. 充分必要条件 B.必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 已知|a|=1,|b|=6,a· (b-a)=2,则向量 a 与 b 的夹角是( A. )

n ? 20
Y
s ? s ? (?1)n n

N

6.

? 2

B.

? ? C. 3 4

D.

? 6

n=n+1

7. 8.

阅读如右图所示的程序框图,则输出的结果是( A. -10 B. 0 C. 10

) D. 20

已知函数 f ( x ? ) 为奇函数,设 g ( x) ? f ( x) ? 1 , 则 g(

1 2

1 2 3 4 2010 ) ? g( ) ? g( ) ? g( ) ? ??? ? g ( )?( 2011 2011 2011 2011 2011
B. 2010 C. 2011 D.4020



输出s

结束

A. 1005

二、填空题:本大题共 7 个小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填写在题中的横线上. 9. 若函数 f ( x) ? x2 ? (a ?1)x ? a为偶函数,则a ? ______. .

10. 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 S9 ? 81,则 a2 ? a5 ? a8 ?

? 1 x ? ( ) 11. 已知函数 f ( x) ? ? 2 ?log3 x ?

x?0 x?0

,则 f ( f ( )) =

1 3

.

1

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12. 向量 a=(cos 15° ,sin 15° ),b=(sin 15° ,cos 15° ),则|a-b|的值是 13. 函数 f ( x) ? ln x 在 x ? n (n ? N ) 处的切线斜率为 an , 则 a1a2 ? a2a3 ? a3a4 ????? a2010a2011 =
x



?

. (b>a),则 a+b= .

14. 设函数 f(x)=|3 -1|的定义域是[a,b],值域是[2a,2b] 15. 给出下面的数表序列:
表1 1 2 表2 1 2 22 2 22 表3 1 2 22

有 表中每一个数“两脚”的两数都是此数的 2 倍, 记表 n 中所有的数之和为 an , ?) n 行, 例如 a2 ? 5 , a3 ? 17 , a4 ? 49 .则 (1) a5 ? . (2)数列 {an } 的通项 an = 其中表 n (n=1,2,3 题号 答案 9. 12. 10. 13. 11.____________ 14. 15. . 1 2 3 4 5 6 7 8

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知 a ? (2sin ? x, cos ? x ? sin ? x) , b ? (cos ?x,cos ?x ? sin ?x) , (? ? 0) , 函数 f ( x) ? a ? b

? ?

,且函数 f ( x ) 的最小正周期为 ? .

(I)求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在 [0,

?
2

] 上的单调区间.

2

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17. (本小题满分 12 分) 已知公差不为零的等差数列 {an } 中, a1 ? 1 ,且 a1, a3 , a13 成等比数列. (I)求数列 {an } 的通项公式; (II)设 bn ? 2 n ,求数列 {bn }的前 n 项和 S n .
a

18. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A B、C 所对的边分别为 a、b、c . 、 设向量 m ? (sin A, cos B ) , n ? (cos A,sin B ) (I)若 m // n ,求角 C ;

??

?

?? ? ?? ? ? (Ⅱ)若 m ? n , B ? 15 , a ? 6 ? 2 ,求边 c 的大小.

3

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19. (本小题满分 13 分) 已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ?

1 2 3 2 a x ? ax2 ? , g ( x) ? ?ax ? 1 , x ? R 3 3

.

(I)求函数 f ( x ) 的单调递减区间; (Ⅱ)若在区间 (0, ] 上至少存在一个实数 x0 ,使 f ( x0 ) ? g( x0 ) 成立,试求正实数 a 的取值范围. ...

1 2

20. (本小题满分 13 分) 某鱼塘 2009 年初有鱼 10(万条) ,每年年终将捕捞当年鱼总量的 50%,在第二年年初又将有一部分新 鱼放入鱼塘. 根据养鱼的科学技术知识,该鱼塘中鱼的总量不能超过 19.5(万条) (不考虑鱼的自然繁 殖和死亡等因素对鱼总量的影响) ,所以该鱼塘采取对放入鱼塘的新鱼数进行控制,该鱼塘每年只放入 新鱼 b (万条). (I)设第 n 年年初该鱼塘的鱼总量为 an (年初已放入新鱼 b (万条),2010 年为第一年),求 a1 及 an?1 与

an 间的关系; (Ⅱ)当 b ? 10 时,试问能否有效控制鱼塘总量不超过 19.5(万条)?若有效,说明理由;若无效,
请指出哪一年初开始鱼塘中鱼的总量超过 19.5(万条).

4

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1 2 ,且 f ?(1) ? 0 . ax ? bx ( a ? 0 ) 2 (Ⅰ)试用含有 a 的式子表示 b ,并求 f ( x ) 的极值; (Ⅱ) 对于函数 f ( x ) 图象上的不同两点 A( x1, y1 ) , ( x2 , y2 ) , 如果在函数图象上存在点 M ( x0 , y0 ) (其 B x ? x2 中 x0 ? ( x1, x2 ) ) ,使得点 M 处的切线 l // AB ,则称 AB 存在“伴随切线”. 特别地,当 x0 ? 1 时,又 2 B 称 AB 存在“中值伴随切线”. 试问: 在函数 f ( x ) 的图象上是否存在两点 A 、 使得它存在“中值伴随切线”, 若存在,求出 A 、 B 的坐标,若不存在,说明理由.
21. 已知函数 f ( x) ? ln x ?

5

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2013 届高三一轮复习周练试卷(10) (文、理科兼用)数学教师用卷
一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. 设全集 U ? {1, 2,3, 4,5, 6, 7} ,集合 A ? {1,3,5} , B ? {2,5, 7} ,则 U ( A ? B) =( B ) A. {1, 2,3,5, 7} 2. 设 i 是虚数单位,则复数 A. 3. B. {2, 7} C. {4, 6} D. {6}

i 2

i 的虚部是( B ) 1? i 1 1 B. C. ? 2 2
→ → → B. AD+AB=AC

D. ?

1 2
→ → → D. AB-AD=BD

在平行四边形 ABCD 中,下列结论中不正确的是( D ) ... → → A. AB=DC

→ → ? C. AD+CB= 0

4.

已知幂函数 f ( x) ? x? 的图象经过点(2, A. (??, 0) C. (??, 0) ? (0, ??) 【解析】 由已知得

1 ),则函数 f ( x ) 的定义域为( C ). 2 B. (0, ??) D. (??, ??)

开始 s=0,n=1

1 1 ? 2? ,所以 ? ? ?1, f ( x) ? x?1 ? , 2 x 所以函数 f ( x ) 的定义域为 (??, 0) ? (0, ??) . ? 5. 在 ?ABC 中,已知 p : 三内角 A B、C 成等差数列; q : B ? 60 . 、 则 p 是 q 的( A )
A. 充分必要条件 C. 充分不必要条件 6. B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

n ? 20
Y
s ? s ? (?1)n n

N

已知|a|=1,|b|=6,a· (b-a)=2,则向量 a 与 b 的夹角是( B ) A.

n=n+1

? 2

B.

? ? C. 3 4

D.

? 6

【解析】 ∵a· (b-a)=a· 2=2,∴a· b-a b=2+a2=3. a· b 3 1 π ∴cos〈a,b〉= = = ,∴a 与 b 的夹角为 . |a||b| 1× 2 6 3 7. 阅读如图所示的程序框图,则输出的结果是( C ) A. -10 B. 0 C. 10 D. 20 【解析】由题意得, s ? ?1? 2 ? 3 ? 4 ? ??19 ? 20 ? 10 . 8. 已知函数 f ( x ? ) 为奇函数,设 g ( x) ? f ( x) ? 1 , 则 g(

输出s 结束

1 2

1 2 3 4 2010 ) ? g( ) ? g( ) ? g( ) ? ??? ? g ( )?( B ) 2011 2011 2011 2011 2011

A. 1005 B. 2010 C. 2011 D.4020 二、填空题:本大题共 7 个小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填写在题中的横线上. 9. 若函数 f ( x) ? x2 ? (a ?1)x ? a为偶函数,则a ? ___1___. 27 .

10. 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 S9 ? 81,则 a2 ? a5 ? a8 ?

6

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? 1 x ? ( ) 11. 已知函数 f ( x) ? ? 2 ?log3 x ?

x?0 x?0

,则 f ( f ( )) =

1 3

2

.

12. 向量 a=(cos 15° ,sin 15° ),b=(sin 15° ,cos 15° ),则|a-b|的值是 1 . 【解析】 由题设,|a|=1,|b|=1, 1 a· b=sin(15° +15° . )= 2 ∴|a-b|2=a2+b2-2a· b=1+1-2× =1. ∴|a-b|=1. 13. 函数 f ( x) ? ln x 在 x ? n (n ? N ? ) 处的切线斜率为 an , 则 a1a2 ? a2a3 ? a3a4 ????? a2010a2011 =

1 2

2010 . 2011
(b>a),则 a+b= 1 .

14. 设函数 f(x)=|3x-1|的定义域是[a,b],值域是[2a,2b] 【解析】 因为 f(x)=|3x-1|的值域为[2a,2b], 所以 b>a≥0, 而函数 f(x)=|3x-1|在[0,+∞)上是单调递增函数,

?| 3a ? 1|? 2a ?a ? 0 ? a ? 0或1 . 因此应有 ? b ,解得 ? , ∵ b ? a,? ? ?b ?1 ?b ? 0或1 ?| 3 ? 1|? 2b
所以有 a+b=1. 15. 给出下面的数表序列:
表1 1 2 表2 1 2 22 2 22 表3 1 2 22

有 表中每一个数“两脚”的两数都是此数的 2 倍, 记表 n 中所有的数之和为 an , ?) n 行, 例如 a2 ? 5 , a3 ? 17 , a4 ? 49 .则 (1) a5 ? 129 . (2)数列 {an } 的通项 an = (n ?1) ? 2n ?1 其中表 n (n=1,2,3 【解析】 (1) a5 ? 129 ,
2 3 n ?1 (2)依题意, an ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 4 ? 2 ? ??? ? n ? 2


n

由① ? 2 得, 2an ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 4 ? 2 ? ??? ? n ? 2
2 3 4



将①-②得

?an ? 1 ? 2? 2 ? 2?
2 3

2 ??? ? ?
4

n?

2? n?
1

n

2

1(1 ? 2n ) ? n ? 2 n ? 2n ? 1 ? n ? 2n 1? 2 n 所以 an ? ( n ? 1) ? 2 ? 1. ?
三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知 a ? (2sin ? x, cos ? x ? sin ? x) , b ? (cos ?x,cos ?x ? sin ?x) , (? ? 0) ,

7

? ? 函数 f ( x) ? a ? b ,且函数 f ( x ) 的最小正周期为 ? . (I)求函数 f ( x ) 的解析式;
(Ⅱ)求函数 f ( x ) 在 [0,

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] 上的单调区间. 2 【解析】 (I) f ( x) ? a ? b ? (2cos ?x sin ?x)2 ? (cos ?x ? sin ?x)(cos ?x ? sin ?x) ………………2 分 ? sin 2?x ? cos2?x
? 2 sin(2? x ? ) 4
因为函数 f ( x ) 的最小正周期为 ? ,所以

?

?

………………4 分

f ( x) ? 2 sin(2 x ? ) . 4
17. (本小题满分 12 分) 已知公差不为零的等差数列 {an } 中, a1 ? 1 ,且 a1, a3 , a13 成等比数列. (I)求数列 {an } 的通项公式; (II)设 bn ? 2 n ,求数列 {bn }的前 n 项和 S n .
a

?

2? ? ? ?? ?1. 2?
.………………6 分

【解析】 (I)设等差数列 {an } 的公差为 , (d ? 0) d 由 a1, a3 , a13 成等比数列,得 即 (1? 2d ) ? 1?12d 得 d ? 2 或 d ? 0 (舍去). 所以 an ? 2n ?1
2

a32 ? a1? a1 3
故d ?2,

………………2 分

……………… 6 分 ………………8 分 ………………… 12 分

(II)? bn ? 2

an

? 22 n ?1 ,

所以数列 {bn }是以 2 为首项,4 为公比的等比数列.

?

Sn ? 2 ? 23 ? 25 ? ??? ? 22 n ?1 ?

2(1 ? 4 ) 2 n ? (4 ? 1) 1? 4 3
n

18. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A B、C 所对的边分别为 a、b、c . 、 设向量 m ? (sin A, cos B ) , n ? (cos A,sin B ) (I)若 m // n ,求角 C ;

??

?

?? ? ?? ? ? (Ⅱ)若 m ? n , B ? 15 , a ? 6 ? 2 ,求边 c 的大小. ?? ? 【解析】 (I)由 m // n ? sin Asin B ? cos Acos B ? 0 ? cos( A ? B) ? 0 , ? ? 因为 0 ? A ? B ? 180 ,所以 A ? B ? 90 , C ? 180? ? ( A ? B) ? 90? . ………………6 分 ?? ? (Ⅱ)由 m ? n ? sin Acos A ? sin Bcos B ? 0 ? sin 2 A ? sin 2 B ? 0 , 1 ? ? 已知 B ? 15 ,所以 sin 2 A ? sin 30 ? 0 , sin 2 A ? ? , 2 ? ? ? ? 因为 0 ? 2 A ? 360 ? 2 B ? 330 ,所以 2 A ? 210 , A ? 105 . C ? 180? ? 15? ? 105? ? 60? . 6? 2 c ( 6 ? 2)sin 60? a c 根据正弦定理 . ? ? ?c? ? sin105? sin 60? sin105? sin A sin C 6? 2 ? ? ? 因为 sin105 ? sin(45 ? 60 ) ? , 4

8

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所以 c ?

( 6 ? 2) ? ( 6 ? 2) 4

3 2 ? 2 3.

………………12 分

19. (本小题满分 13 分) 已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ?

1 2 3 2 a x ? ax2 ? , g ( x) ? ?ax ? 1 , x ? R 3 3

.

(I)求函数 f ( x ) 的单调递减区间; (Ⅱ)若在区间 (0, ] 上至少存在一个实数 x0 ,使 f ( x0 ) ? g( x0 ) 成立,试求正实数 a 的取值范围. ...

1 2

1 2 3 2 a x ? ax2 ? 求导得, f ?( x) ? a2 x2 ? 2ax . ……………………1 分 3 3 2 2 ①当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? a 2 x 2 ? 2ax ? a 2 x( x ? ) ? 0 ,解得 0 ? x ? a a 1 2 2 所以 f ( x) ? a 2 x3 ? ax 2 ? 在 (0, ) 上递减. …………3 分 3 3 a 2 2 ②当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? a 2 x 2 ? 2ax ? a 2 x( x ? ) ? 0 可得 ? x ? 0 a a 1 2 3 2 2 所以 f ( x) ? a x ? ax 2 ? 在 ( , 0) 上递减. …………………5 分 3 3 a 2 综上:当 a ? 0 时, f ( x ) 单调递减区间为 (0, ) ; a 2 当 a ? 0 时, f ( x ) 单调递减区间为 ( , 0) …………………6 分 a 1 1 1 (Ⅱ)设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? a 2 x3 ? ax2 ? ax ? x ? ( 0 , .] ……………………8 分 3 3 2 对 F ( x ) 求导,得 F?( x) ? a2 x2 ? 2ax ? a ? a2 x2 ? a(1? 2x) , ……………………9 分 1 因为 x ? (0, ] , a ? 0 ,所以 F ?( x) ? a2 x2 ? a(1? 2x) ? 0 , 2 1 1 F ( x ) 在区间 (0, ] 上为增函数,则 F ( x)max ? F ( ) . ……………………11 分 2 2 1 1 1 1 1 依题意,只需 F ( x)max ? 0 ,即 a 2 ? ? a ? ? a ? ? ? 0 , 3 8 4 2 3 2 即 a ? 6a ? 8 ? 0 ,解得 a ? ?3 ? 17 或 a ? ?3 ? 17 (舍去). 所以正实数 a 的取值范围是 (?3 ? 17, ??) . ……………………13 分
【解析】 (I)由 f ( x) ? 20. (本小题满分 13 分) 某鱼塘 2009 年初有鱼 10(万条) ,每年年终将捕捞当年鱼总量的 50%,在第二年年初又将有一部分新 鱼放入鱼塘. 根据养鱼的科学技术知识,该鱼塘中鱼的总量不能超过 19.5(万条) (不考虑鱼的自然繁 殖和死亡等因素对鱼总量的影响) ,所以该鱼塘采取对放入鱼塘的新鱼数进行控制,该鱼塘每年只放入 新鱼 b (万条). (I)设第 n 年年初该鱼塘的鱼总量为 an (年初已放入新鱼 b (万条),2010 年为第一年),求 a1 及 an?1 与

an 间的关系; (Ⅱ)当 b ? 10 时,试问能否有效控制鱼塘总量不超过 19.5(万条)?若有效,说明理由;若无效,
请指出哪一年初开始鱼塘中鱼的总量超过 19.5(万条).
9

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【解析】 (I)依题意, a1 ? 10 ? (1 ? ) ? b ? 5 ? b ,

1 2

……………………1 分 ……………………4 分

1 an?1 ? an ? b(n ? N * ) 2
(Ⅱ)当 b ? 10 时, an ?1 ?

1 1 an ? 10 , ? an?1 ? 20 ? (an ? 20) , 2 2 1 所以 {an ? 20} 是首项为-5,公比为 的等比数列. ………………7 分 2 1 1 1 故 an ? 20 ? ?5 ? ( )n?1 ,得 an ? 20 ? 5 ? ( )n?1 ? 20 ? 10 ? ( )n ………………9 分 2 2 2 1 n 若第 n 年初无效,则 20 ? 10 ? ( )n ? 19.5 ? 2 ? 20 ? n ? 5 . 2 所以 n ? 5 ,则第 5 年初开始无效. ……………………………12 分
即 2014 年初开始无效. …………………………………………13 分

1 2 ,且 f ?(1) ? 0 . ax ? bx ( a ? 0 ) 2 (Ⅰ)试用含有 a 的式子表示 b ,并求 f ( x ) 的极值; (Ⅱ) 对于函数 f ( x ) 图象上的不同两点 A( x1, y1 ) , ( x2 , y2 ) , 如果在函数图象上存在点 M ( x0 , y0 ) (其 B x ? x2 中 x0 ? ( x1, x2 ) ) ,使得点 M 处的切线 l // AB ,则称 AB 存在“伴随切线”. 特别地,当 x0 ? 1 时,又 2 B 称 AB 存在“中值伴随切线”. 试问: 在函数 f ( x ) 的图象上是否存在两点 A 、 使得它存在“中值伴随切线”, 若存在,求出 A 、 B 的坐标,若不存在,说明理由. 【解析】 (Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , 1 ……………2 分 ? f ?( x) ? ? ax ? b , f ?(1) ? 1 ? a ? b ? 0 ,?b ? a ?1. x 1 1 (ax ? 1)( x ? 1) 代入 f ?( x) ? ? ax ? b ,得 f ?( x) ? ? ax ?a ? 1 ? ? . x x x (ax ? 1)( x ? 1) 当 f ?( x) ? 0 时, ? ? 0 ,由 x ? 0 ,得 (ax ? 1)( x ? 1) ? 0 , x 又 a ? 0 ,?0 ? x ? 1 ,即 f ( x ) 在 (0,1) 上单调递增; (ax ? 1)( x ?1) 当 f ?( x) ? 0 时, ? ? 0 ,由 x ? 0 ,得 (ax ? 1)( x ? 1) ? 0 ,……………4 分 x 又 a ? 0 ,? x ? 1,即 f ( x ) 在 (1, ?? ) 上单调递减. ? f ( x) 在 (0,1) 上单调递增,在 (1, ?? ) 上单调递减. 1 a 所以,当 x ? 1 时, f ( x ) 的极大值为 f (1) ? ln1 ? a ? b ? ? 1 ………………6 分 2 2 (Ⅱ)在函数 f ( x ) 的图象上不存在两点 A 、 B 使得它存在“中值伴随切线”. 假设存在两点 A( x1, y1 ) , B( x2 , y2 ) ,不妨设 0 ? x1 ? x2 ,则 1 1 2 y1 ? ln x1 ? ax12 ? (a ? 1) x1 , y2 ? ln x2 ? ax2 ? (a ? 1) x2 , 2 2 1 2 (ln x2 ? ln x1 ) ? a( x2 ? x12 ) ? (a ? 1)( x2 ? x1 ) y2 ? y1 2 k AB ? ? x2 ? x1 x2 ? x1
21. 已知函数 f ( x) ? ln x ?

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ln x2 ? ln x1 1 ? a( x1 ? x2 ) ? a ? 1, x2 ? x1 2 x ? x2 在函数图象 x0 ? 1 处的切线斜率 2 x ?x 2 x ?x k ? f ?( x0 ) ? f ?( 1 2 ) ? ? a ? 1 2 ? (a ? 1) , 2 x1 ? x2 2 ln x2 ? ln x1 1 x ?x 2 由 ? a( x1 ? x2 ) ? a ? 1 ? ? a ? 1 2 ? (a ? 1) x2 ? x1 2 x1 ? x2 2 x 2( 2 ? 1) ln x2 ? ln x1 x 2 2( x2 ? x1 ) x1 化简得: , ln 2 ? . ? ? x2 x2 ? x1 x1 ? x2 x1 x2 ? x1 ?1 x1 x 2(t ? 1) 4 4 令 2 ? t ,则 t ? 1 ,上式化为: ln t ? ,即 ln t ? ? 2? ? 2, x1 t ?1 t ?1 t ?1 4 若令 g (t ) ? ln t ? , t ?1 1 4 (t ? 1)2 ?(t ) ? ? , g ? t (t ? 1)2 t (t ? 1)2 由 t ? 1 , g ?(t ) ? 0 ,? g (t ) 在 [1, ?? ) 在上单调递增, g (t ) ? g (1) ? 2 . 4 这表明在 (1, ?? ) 内不存在 t ,使得 ln t ? =2. t ?1 综上所述,在函数 f ( x ) 上不存在两点 A 、 B 使得它存在“中值伴随切线”. ……………13 分 ?

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