成都外国语学校2015届高三理科数学试题解析


成都 2015 届高三理科数学试题 jiexi
【试卷综析】 本试卷是高三理科试卷, 以基础知识和基本技能为载体, 以能力测试为主导, 在注重考查学科核心知识的同时, 突出考查考纲要求的基本能力, 重视学生科学素养的考查. 知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识,兼顾覆盖面.试题重点考查:不等式、函数 的性质及图象、三角函数、解三角形、数列、平面向量、立体几何、导数的应用、概率、二 项式定理、充分必要条件、复数、程序框图等;考查学生解决实际问题的综合能力,是份较 好的试卷. 第I卷 【一、选择题(本大题 10 个小题,每题 5 分,共 50 分,请将答案涂在答题卷上) 1.已知 i 是虚数单位,则

i 1 ? 3i

= (



A.

3 1 ? i 4 4

B.

3 1 ? i 4 4

C.

3 1 ? i 2 2

D.

3 1 ? i 2 2

【知识点】复数的代数运算 L4【答案】 【解析】B

解析:因为

i 1 ? 3i

?

i 1 ? 3i

?1 ? 3i ??1 ? 3i ?

?

?

?

3 ?i 3 1 ? ? i ,所以选 B. 4 4 4

【思路点拨】 复数的代数运算是常考知识点之一, 熟练掌握复数的除法运算是本题解题的关 键. 【题文】2.已知 x , y ? R ,则“ x ? y ? 1 ”是“ xy ? A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 【知识点】充分、必要条件 A2 【答案】 【解析】A

1 ”的( 4

) D.既不充分也不必要条件

C.充要条件

解析:若 x+y=1,当 x,y 异号或有一个为 0 时,显然有 xy ?

1 ,当 x,y 4

同号时,则 x,y 只能都为正数,此时 1=x+y ? 2 xy ,得 xy ? 的任意实数 x,y 都有 xy ?

1 ,所以对于满足 x+y=1 4

1 1 , 则充分性成立, 若 xy ? , 不妨取 x=4,y=0.001,此时 x+y=1 4 4

不成立,所以必要性不成立,综上可知选 A. 【思路点拨】一般判断充分、必要条件时,可先分清命题的条件与结论,若从条件能推出结 论,则充分性满足,若从结论能推出条件,则必要性满足. 3. 若 ( x ? A. ?2

1 7 ) 的展开式中 x 项的系数为 280,则 a = ( ax 1 1 B. 2 C. ? D. 2 2



【知识点】二项式定理 J3【答案】 【解析】C 解 析 : 因 为 Tr ?1 ? C x
r 7 ?r 7

1? 7 ? 1 ? r? ? ?? ? ? C 7 ?? ? x ? ax ? ? a?

r

r

r2

, 由 7-2r=1 , 得 r=3, 所 以

1 ? 1? C ? ? ? ? 280 ,解得 a= ? ,则选 C. 2 ? a?
3 7

3

【思路点拨】一般遇到展开式的项或项的系数问题,通常利用展开式的通项公式解答. 4.已知函数 f ( x) ? x2 ? 2cos x ,若 f '( x) 是 f ( x ) 的导函数,则函数 f '( x) 在原点附 近的图象大致是( )

A B 【知识点】导数的计算,函数的图像 B8 B11 【答案】 【解析】A

C

D

解析:因为 f ' ? x ? ? 2x ? 2sin x, f '' ? x ? ? 2 ? 2cos x ? 0 ,所以函数

f '( x) 在 R 上单调递增,则选 A.
【思路点拨】一般判断函数的图像,可结合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性 及特殊位置的函数值或函数值的符号等进行判断. 5.某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体,其直观图和三视图如图所示,正视图为正方形, 其中俯视图中椭圆的离心率为 A. 2 B.

1 2

C.

2 4

D.

2 2

正视图

侧视图

直观图

俯视图

(第 5 题)

【知识点】三视图 椭圆的性质 G2 H5【答案】 【解析】D 解析:设正视图中正方形的边长 为 2b,由三视图可知,俯视图中的矩形一边长为 2b,另一边长为圆锥底面直径,即为正视 图中的对角线长, 计算得 2 2b , 所以 2a ? 2 2b, a ?

2b,e ?

c a 2 ? b2 b 2 , ? ? ? a a 2 2b

则选 D. 【思路点拨】由三视图解答几何问题,注意三视图与原几何体的长宽高的对应关系,求椭圆 的离心率,抓住其定义寻求 a,b,c 关系即可解答.
2 2 2 6 . 在 ? ABC 中 , 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 且 b ? c ? bc ? a ? 0 , 则

a sin( 30? ? C ) 的值为( b?c
A.



1 2

B.

3 2

C. ?

1 2

D. ?

3 2

【知识点】解三角形 C8【答案】 【解析】A 解析:由 b ? c ? bc ? a ? 0 得 cos A ?
2 2 2

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? ? ,又 A 为三角形内角,所以 2bc 2

A=120°,则

? 1? 3 ? 3?1 3 3 sin C ? cos C ? sin C ? ? cos C ? ? 2 ?2 2 2 a sin(30? ? C ) sin A sin ? 30? ? C ? ? ? 2? 2 ??1 ? ? b?c sin B ? sin C sin ? 60? ? C ? ? sin C 2 3 3 cos C ? sin C 2 2
,所以选 A. 【思路点拨】在解三角形中,若遇到边角混合条件,通常先利用正弦定理或余弦定理转化为 单一的角的关系或单一的边的关系,再进行解答. 7.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S10:S5=1:2,则 A.

S 5 ? S10 ? S15 ? S10 ? S 5
D. ?

(

)

7 2

B. ?

9 2

C.

9 2

7 2

【知识点】等比数列 D3【答案】 【解析】B 解 析 : 因 为 S10:S5 = 1:2 , 所 以 S1 0 ?

1 1 S5 , S 1? S ,5由 等 比 数 列 的 性 质 得 0 S ? 5 ? 2 2

1 1 3 1 1 ? ? S5 , ? S5 , S15 ? S5 成 等 比 数 列 , 所 以 S52 ? S5 ? S15 ? S5 ? , 得 S15 ? S5 , 所 以 2 2 4 4 2 ? ?

1 3 S ? S ? S5 5 5 S5 ? S10 ? S15 9 2 4 ? ? ? ,则选 B. 1 S10 ? S5 2 ? S5 2
【思路点拨】在等比数列中,若遇到等距的和时,可考虑利用等比数列的性质

Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,

, 成等比数列进行解答..
( )

y-2≤0, ? ? x? y?6 8.已知 x,y 满足?x+3≥0, 则 的取值范围是 x?4 ? ?x-y-1≤0,

A. ?0, ? 7

? 3? ? ?

B. ? 2,

? 20 ? ? 7? ?

C. ?1,

? 13? ? 7? ?

D. ?0, ? 7

? 6? ? ?

【知识点】简单的线性规划 E5【答案】 【解析】C y-2≤0, ? ? 解 析 : 不 等 式 组 ?x+3≥0, 表 示 的 平 面 区 域 如 图 , 因 为 ? ?x-y-1≤0,

y?2 x? 4 ? y 2? y 2? ? 1 ? ,而 为区域内的点与点(4,2)连线的斜率,显然 x?4 x?4 x?4 ?4 ? 2 6 y?2 ? ,所以1 ? 斜率的最小值为 0,点(-3,-4)与点(4,2)连线的斜率最大为 的 ?3 ? 4 7 x?4
取值范围为 ?1,

x? y? 6 ? x?4

? 13? ,则选 C. ? 7? ?

【思路点拨】 一般遇到由两个变量满足的不等式组求范围问题, 通常利用目标函数的几何意 义,利用数形结合进行解答. 9.已知椭圆 C:

x2 ? y 2 ? 1 ,点 M1 , M 2 , ?, M5 为其长轴 AB 的 6 等分点,分别过这五 2

点 作 斜 率 为 k ( k ? 0) 的 一 组 平 行 线 , 交 椭 圆 C 于 P1 , P2 , ?, P10 , 则 直 线

AP1 , AP2 , ?, AP10 这 10 条直线的斜率乘积为 (
A. ?



1 16

B. ?

1 32

C.

1 64

D. ?

1 1024

【知识点】椭圆的标准方程 椭圆的性质 H5【答案】 【解析】B 解析:由椭圆的性质可得 k AP1 ? k BP1 ? k AP2 ? k BP10 ? ?

1 ,由椭圆的对称性可得 2

kBP1 ? k AP10 , kBP10 ? kAP1 ,同理可得
1 k AP3 ? k AP8 ? k AP5 ? k AP6 ? k AP7 ? k AP4 ? k AP9 ? k AP2 ? ? ,则直线 AP1 , AP2 , ?, AP10 这 2
10 条直线的斜率乘积为 ? ?

1 ? 1? ? ? ? ,所以选 B. 32 ? 2?

5

. 【思路点拨】抓住椭圆上的点与长轴端点的连线的斜率为定值是本题的关键. 【题文】10.已知 C 为线段 AB 上一点, P 为直线 AB 外一点, I 为 PC 上一点,满足

| PA | ? | PB |? 4 , | PA ? PB |? 10 ,
AC AP

PA ? PC | PA |

?

PB ? PC | PB |

,且

BI ? BA ? ? (

| AC | | AP |

?

)( ? ? 0) ,则

BI ? BA | BA |

的值为( D.



A. 2 B. 3 C. 4 【知识点】向量的数量积 F3【答案】 【解析】B 解析: ,而

5

PA ? PC | PA |


?

PB ? PC | PB |





又 BI ? BA ? ? (

AC

| AC | | AP |

?

AP

)( ? ? 0) ,即 AI ? ? (

AC AP ? ), | AC | | AP |

所以 I 在∠BAP 的角平分线上,由此得 I 是△ABP 的内心,过 I 作 IH⊥AB 于 H,I 为圆心,I H 为半径,作△PAB 的内切圆,如图,分别切 PA,PB 于 E、F,

| PA | ? | PB |? 4 ,

| PA ? PB |? 10 , BH ? BF ?

1 1 PB ? AB ? PA ? ? AB ? PA ? PB ? ? 3 , ? 2 2?

?

?

?

?

在直角三角形 BIH 中, cos ?IBH ? 以选 B

BH BI

,所以

BI ? BA ? BI cos ?IBH ? BH ? 3 ,所 | BA |

【思路点拨】理解向量

a a

是与向量 a 共线同向的单位向量即可确定 I 的位置,再利用向量

的减法及数量积计算公式进行转化求解. 第Ⅱ卷 二.填空题(本大题 5 个小题,每题 5 分,共 25 分,请把答案填在答题卷上) 11.若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值为 .

【知识点】程序框图 L1【答案】 【解析】

137 60

解析:第一次执行循环体得 s=1,i=2; 第二次执行循环体得 s=

3 ,i=3; 第三次执行循环体 2 3 1 11 11 1 25 得 s= ? ? ,i=4; 第四次执行循环体得 s= ? ? ,i=5; 第五次执行循环体 2 3 6 6 4 12 25 1 137 137 1 147 27 9 ? ? ? ? ?2 ? 得 s= ,i=6; 第六次执行循环体得 s= 此时不 12 5 60 60 6 60 60 4 147 满足判断框跳出循环,所以输出的值为 .. 60

【思路点拨】一般遇到循环结构的程序框图问题,当运行次数较少时就能达到目的,可依次 执行循环体,直到跳出循环,若运行次数较多时,可结合数列知识进行解答. .

开始

i ?1

s?0
s? s? 1 i


i ? i?1

s?

9 ? 4


输出 s
结束
(第 11 题)

12.若非零向量 a, b ,满足 | a ? b |?| b | , a ? (a ? ? b) , 则 ? ? 【知识点】向量的模,向量垂直的充要条件 F3【答案】 【解析】2



解 析 : 由 | a ? b |?| b | 得 a ? 2a ? b ? b ? b , a ? ?2a ? b , 由 a ? (a ? ? b) 得

2

2

2

2

a ? a ? ? b ? a ? ? a ? b ? ?2a ? b ? ? a ? b ? 0 ,解得 ? ? 2 .
【思路点拨】由向量的模的关系寻求向量的关系,通常利用性质:向量的模的平方等于向量 的平方进行转化. 13.已知函数 f ( x ) ? a sin 2 x ? cos( 2 x ?

?

?

2

?
3

) 的最大值为 1,则 a ?



【知识点】三角函数的性质 C3【答案】 【解析】0 或 3 解析:因为 f ( x) ? a sin 2 x ? cos(2 x ?
2

?

? 3? 1 )?? a ? sin 2 x ? cos 2 x 的最大值为 1,所 ? 3 ? 2 ? 2 ? ?

? 3? 1 以?a ? ? ? ? 1 ,解得 a=0 或 3 . ? 2 ? ? ? 4
【思路点拨】研究三角函数的性质,一般先化成一个角的三角函数再进行解答,本意注意应 用 asinx+bcosx 的最值的结论进行作答. 14.过点 A(11, 2) 作圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ?164 ? 0 的弦,其中弦长为整数的共有
2 2

条。

【知识点】圆的方程 H3【答案】 【解析】32 解析:由题意可知过点 A(11, 2) 的最短的弦长为 10,最长的弦长为 26,所以共有弦长为整 数有 2+2×(26-10-1)=32. 【思路点拨】可先求出弦长的范围,弦与点 A 与圆心连线垂直时弦长最短,弦过圆心时弦长

为圆的直径,此时长度最大,取得最值的两个位置只有一条,中间的整数值都有两条. 【题文】15.已知两个正数 a , b ,可按规律 c ? ab ? a ? b 推广为一个新数 c ,在 a, b, c 三个 数中取两个较大的数,按上述规则扩充到一个新数,依次下去,将每扩充一次得到一个新数 称为一次操作。若 p ? q ? 0 ,经过五次操作后扩充得到的数为 (q ? 1)m ( p ? 1)n ?1(m, n 为 正整数) ,则 m ? n ? 【知识点】归纳推理 M1【答案】 【解析】13 解析:因为 p>q>0 第一次得:c1=pq+p+q=(q+1) (p+1)-1,因为 c>p>q,所以第二次 2 得:c2=(c1+1) (p+1)-1=(pq+p+q)p+p+(pq+p+q)=(p+1) (q+1)-1,所得新数大于 3 2 任意旧数,所以第三次可得 c3=(c2+1) (c1+1)-1=(p+1) (q+1) -1,第四次可得:c4= 5 3 8 5 (c3+1) (c2-1)-1=(p+1) (q+1) -1,故经过 5 次扩充,所得数为: (q+1) (p+1) -1, ∴m=8,n=5,则 m ? n ? 13. 【思路点拨】可通过逐步扩充发现每次扩充得到的数的规律,即可解答. 三.解答题(本大题 6 个小题,共 75 分,请把答案填在答题卷上) 16. (本题满分 12 分)一个袋中装有大小相同的黑球和白球共 9 个,从中任取 2 个球,记随 机变量 X 为取出 2 球中白球的个数,已知 P ( X ? 2) ? (Ⅰ)求袋中白球的个数; (Ⅱ)求随机变量 X 的分布列及其数学期望. 【知识点】古典概型 离散型随机变量及其分布列 K2 K6 【答案】 【解析】 (Ⅰ)6; (Ⅱ) E ? X ? ?

5 . 12

4 3
2 Cn 5 ? , 解得 n=6. 2 C9 12

解析:(Ⅰ)设袋中有白球 n 个,则 P ? X ? 2 ? ?

(Ⅱ)因为 P ? X ? k ? ?

2? K C3K C6 ? K ? 0,1, 2? ,所以随机变量 X 的分布列如下: C92

X P

0

1

2

得 E ? X ? ? 0?

1 1 5 4 ? 1? ? 2 ? ? . 12 2 12 3

【思路点拨】一般遇到求随机变量的分布列与数学期望,通常先确定随机变量的取值,再计 算各个取值的概率,即可列表得分布列,用公式求期望.

17、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? (1)若 x ? [

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? , x ? R 。 2 2

5 3 ? , ? ] ,求函数 f ? x ? 的最大值和最小值,并写出相应的 x 的值; 24 4
且 0

( 2 ) 设 ?ABC 的 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 满 足 c ? 3 , f (C ? )

sin B ? 2sin A ,
求 a , b 的值。 【知识点】三角函数性质,解三角形 C3 C8 【答案】 【解析】 (1) x ?

3? 3 时函数得最小值为 ? (2)a=1,b=2. ?1; 4 2

解析: (1)f ? x ? ?

3 1 3 1 ? cos 2 x 1 ?? ? sin 2 x ? cos2 x ? ? sin 2 x ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? 1 , 2 2 2 2 2 6? ?

因为 x ? [

5 3 ? ? ? ? ? ? 4? ? ? , ? ] ,所以 2 x ? ? ? , ? ,则当 2 x ? ? , x ? 时,函数得最大 24 4 6 2 3 6 ?4 3 ?

值为 0,当 2 x ?

?
6

?

4? 3? 3 ,x ? 时函数得最小值为 ? ?1; 3 4 2

? ? )-1=0,则 sin(2C- )=1, ∵0<C<π ,∴0<2C>2π , 6 6 ? ? 11? ? ? ? ∴ ? <2C- < ,∴2C- = ,∴C= ,∵sinB=2sinA,∴由正弦定理得 b=2a ①, 6 6 6 6 2 3
(2)因为 f(C)=sin(2C由余弦定理得 c =a +b -ab=3 ②,由①②解得:a=1,b=2. 【思路点拨】 一般研究三角函数的性质, 通常先利用公式把函数化成一个角的三角函数再进 行解答,在解三角形时,注意利用正弦定理和余弦定理进行边角的转化和求值. 【题文】18. (本题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,四边形 ABCD 是正方形,
2 2 2

CD ? PD , ?ADP ? 90?, ?CDP ? 120 ? , E , F , G 分别为 PB , BC , AP 的中点.
(Ⅰ)求证:平面 EFG // 平面 PCD ; (Ⅱ)求二面角 D ? EF ? B的平面角的大小.
A

B G F D E P

C

(第 18 题)

【知识点】平行关系 二面角 G4 G11

3 ? 4 解析: (Ⅰ)因为 E , G 分别为 BP , AP 中点,所以 EG // AB , 又因为 ABCD 是正方形, AB // CD ,所以 EG // CD ,所以 EG // 平面 PCD . 因为 E , F 分别为 BP , BC 中点,所以 EF // PC ,所以 EF // 平面 PCD . 所以平面 EFG // 平面 PCD . (Ⅱ)法 1.易知 AD ? CD ,又 AD ? PD ,故 AD ? 平面 PCD 分别以 DC , DA 为 x 轴和 z 轴,建立空间直角坐标系(如图) 不妨设 AD ? CD ? PD ? 2
【答案】 【解析】 (Ⅰ) 略; (Ⅱ) 则 B( 2,0, 2), F ( 2,0,1) , P ( ?1, 3 ,0) 所以 E ( ,

1 2

3 ,1) 2

3 3 FB ? (0,0,1), EF ? ( , ? ,0) 2 2
设 m ? ( x1 , y1 , z1 ) 是平面 BEF 的法向量,则

? x1 ? 1 ? z1 ? 0 ? FB ? m ? 0 ? ? ? 所以 ? 3 取 ? y1 ? 3 ,即 m ? (1, 3 ,0) ? 3 y1 ? 0 ? ? ? x1 ? ? EF ? m ? 0 ?2 2 ? z1 ? 0
设 n ? ( x2 , y2 , z2 ) 是平面 DEF 的法向量,则

? x2 ? 1 ?2 x 2 ? z 2 ? 0 ? ? ? FD ? n ? 0 ? 所以 ? 3 取 ? y2 ? 3 ? 3 ? y2 ? 0 ? ? x 2? ? EF ? n ? 0 ?2 2 ? z 2 ? ?2
设二面角 D ? EF ? B的平面角的大小为 ?

cos ? m , n ??

m?n | m || n |

?

1? 3 2?2 2

?

2 2

所以 cos? ? ?

3 2 ,二面角 D ? EF ? B的平面角的大小为 ? . 4 2

A

B

G E

F

D P

C

法 2. 取 PC 中点 , 联结 EM , DM 则 EM // BC , 又 AD ? 平面 PCD , AD // BC , 所以

BC ? 平面 PCD ,所以 EM ? 平面 PCD ,所以 EM ? DM , EM ? PC .

因为 CD ? DP ,则 DM ? PC ,所以 DM ? 平面 PCB . 又因为 EF // PC ,所以 EF ? EM 所以 ?DEM 就是二面角 D ? EF ? B的平面角的补角. 不妨设 AD ? CD ? PD ? 2 ,则

EM ? 1 , DM ? 1 , ?DEM ?

?
4

.

所以二面角 D ? EF ? B的平面角的大小为
A

3 ?. 4

B G F D E P M

C

【思路点拨】 证明面面平行一般利用面面平行的判定定理进行证明, 求二面角可以建立适当 坐标系利用平面的法向量求解,也可以寻求二面角的平面角求解. 19. (本题满分 12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? ? (Ⅰ)求 an ; (Ⅱ)设 bn ?

?2 ( n ? 1) . ?2an ( n ? 2)

Sn ? 1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . ( Sn ? log2 Sn )( Sn?1 ? log2 Sn?1 )

【知识点】数列的通项公式,数列求和 D1 D4 【答案】 【解析】 (Ⅰ) an ? ?

?2n?1 ( n ? 2) 1 1 ; (Ⅱ) ? n ?1 3 2 ? n ?1 (n ? 1) ?2
S n? 2S n?1, S1 ? 2

解析: (Ⅰ) n ? 2 时, Sn ? 2an ? 2( Sn ? Sn?1 ) 所以 Sn ? 2n

?2n?1 ( n ? 2) an ? ? (n ? 1) ?2

(Ⅱ) bn ?

2n ? 1 1 1 ? n ? n?1 n n?1 ( 2 ? n)(2 ? n ? 1) 2 ? n 2 ? n ? 1

Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 3 ??? n ? n ?1 . 2?1 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 3 2 ? n 2 ? n?1 1 1 ? ? n ?1 3 2 ? n?1 ?

【思路点拨】一般遇到数列求和问题,通常先求出数列的通项公式,再结合通项公式特征确 定求和思路. 20. (本题满分 13 分) 已知椭圆 C :

x 2 y2 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的左焦点 F ( ?1,0) ,离心率为 , 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ) 设 P ( t ,0)(t ? 0) , 过 P 的直线 l 交椭圆 C 于 A, B 两点, 求 QA ? QB Q( f ( t ),0) , 的最小值,并求此时的 t 的值. 【知识点】椭圆,直线与椭圆位置关系 H5 H8 【答案】 【解析】 (Ⅰ)

1 x2 6 ? y2 ? 1 ; (Ⅱ)最小值为 ? ,此时 t ? ? . 2 2 3

?1 2 x2 ? ? ? y2 ? 1 解析: (Ⅰ) c ? 1 ,由 ? a 得 a ? 2 , b ? 1 ,椭圆方程为 2 2 ?a 2 ? b 2 ? 1 ?
(Ⅱ)若直线 l 斜率不存在,则 QA ? QB = (

1 3 2 ? t) ? 2 2t 4

设直线 l : y ? k ( x ? t ) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), Q( x0 ,0)

QA ? ( x1 ? x0 , y1 ), QB ? ( x2 ? x0 , y2 )
QA ? QB ? ( x1 ? x0 )( x 2 ? x0 ) ? y1 y2 ? ( x1 ? x0 )( x 2 ? x0 ) ? k 2 ( x1 ? t )( x2 ? t )
2 ? ( k 2 ? 1) x1 x 2 ? ( k 2 t ? x0 )( x1 ? x2 ) ? x0 ? k 2t 2

? x2 ? ? y2 ? 1 由? 2 得 ( 2k 2 ? 1) x 2 ? 4k 2 tx ? 2k 2 t 2 ? 2 ? 0 ? ? y ? k( x ? t )
? 4k 2 t x ? x ? 2 ? ? 1 1 ? 2k 2 所以 ? 2 2 ? x x ? 2k t ? 2 1 2 ? 1 ? 2k 2 ?
2 故QA ? QB ? x0 ? 2? (

1 3 2 1 3 2 1 ? t ) ? 2 ? ?2 ? (2 ? t) ? ? 2t 4 2t 4 2
1 6 ,此时 t ? ? . 2 3

故 QA ? QB 的最小值为 ?

【思路点拨】在圆锥曲线与向量的综合应用中,出现向量关系,一般把向量关系转化为坐标

关系,再通过联立方程,利用韦达定理转化为系数关系进行解答. 21 、 ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 已 知 二 次 函 数 f ? x ? ? x ? ax ? m ?1 , 关 于 x 的 不 等 式
2

f ? x ? ? (2m ?1) x ?1 ? m2 的解集为 (m, m ? 1) ,其中 m 为非零常数,设 g ? x ? ?
(1)求 a 的值;

f ( x) 。 x ?1

(2) k (k ? R) 如何取值时,函数 ? ? x ? ? g ? x ? ? k ln( x ?1) 存在极值点,并求出极值点。 (3)若 m ? 1 ,且 x ? 0 ,求证: [ g ( x ? 1)]n ? g ( xn ? 1) ? 2n ? 2(n ? N ? ) 。 【知识点】一元二次不等式 导数的应用 二项式定理 基本不等式 E3 E6 B12 J3 【答案】 【解析】 (1)-2; (2)当 m>0 时,k 取任意实数,函数 φ (x)有极小值点 x2;当 m<0 时,函数 φ (x)有极小值点 x2,有极大值点 x1. (其中 x1 ?

2 ? k ? k 2 ? 4m 2 ? k ? k 2 ? 4m ) ; (3)略 , x2 ? 2 2
2 2

解析: (1)∵关于 x 的不等式 f(x)<(2m-1)x+1-m 的解集为(m,m+1) ,即不等式 x + 2 2 2 (a+1-2m)x+m +m<0 的解集为(m,m+1) ,∴x +(a+1-2m)x+m +m=(x-m) (x-m-1) .∴ 2 2 2 x +(a+1-2m)x+m +m=x -(2m+1)x+m(m+1) .∴a+1-2m=-(2m+1) .∴a=-2.

f ? x ? x2 ? 2x ? m ? 1 m ? ? x ?1 ? (2)由(1)得 g ? x ? ? . x ?1 x ?1 x ?1
∴φ (x)=g(x)-kln(x-1)= x ? 1 ?

m -kln(x-1)的定义域为(1,+∞) .∴ x ?1

? '? x? ? 1?
2

m

? x ? 1?

2

?

x2 ? ? 2 ? k ? x ? k ? m ? 1 k ? . 2 x ?1 ? x ? 1?
2 2

方程 x -(2+k)x+k-m+1=0(*)的判别式△=(2+k) -4(k-m+1)=k +4m, ① 当 m>0 时,△>0,方程(*)的两个实根为

x1 ?

2 ? k ? k 2 ? 4m 2 ? k ? k 2 ? 4m ? 1, x2 ? ? 1 ,则 x∈(1,x2)时,? ' ? x ? ? 0 ; 2 2

x∈(x2,+∞)时, ? ' ? x ? ? 0 .∴函数 φ (x)在(1,x2)上单调递减,在(x2,+∞) 上单调递增.∴函数 φ (x)有极小值点 x2, 当 m < 0 时 , 由 △ > 0 , 得 或 , 若 , 则

x1 ?

2 ? k ? k 2 ? 4m 2 ? k ? k 2 ? 4m ? 1, x2 ? ? 1 ,故 x∈(1,+∞)时, ? ' ? x ? ? 0 , 2 2
时,

∴函数 φ (x)在(1,+∞)上单调递增.∴函数 φ (x)没有极值点.若

② x1 ?

2 ? k ? k 2 ? 4m 2 ? k ? k 2 ? 4m ? 1, x2 ? ? 1 ,则 x∈(1,x1)时,? ' ? x ? ? 0 ; 2 2

x∈(x1,x2)时, ? ' ? x ? ? 0 ;x∈(x2,+∞)时, ? ' ? x ? ? 0 .∴函数 φ (x)在(1,x1) 上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增.∴函数 φ (x)有极小 值点 x2,有极大值点 x1. 综上所述,当 m>0 时,k 取任意实数,函数 φ (x)有极小值点 x2;当 m<0 时,函数 φ (x) 有极小值点 x2,有极大值点 x1. (其中 x1 ?

2 ? k ? k 2 ? 4m 2 ? k ? k 2 ? 4m ) , x2 ? 2 2
1 . x ?1

(3)证明:∵m=1,∴g(x)= x ? 1 ?
n

1? ? 1? ? ∴ [ g ( x ? 1)] ? g ( x ? 1) ? ? x ? ? ? ? x n ? n ? x? ? x ? ?
n n

= x ? Cn x
n

1 n ?1

1 1 2 n ?2 ? ? Cn x ? 2? x x

n ? Cn

1 ? n 1 ? ??x ? n ? xn ? x ?
n?1 2?n ? Cn x ,则 n?1 n?2 ,∵x>0, ? Cn x

1 n?2 2 n ?4 = Cn x ? Cn x ?

n?1 2?n 1 n?2 2 n ?4 ,令 T= Cn ? Cn x x ? Cn x ? 1 n?2 1 2? n 2 4? n ? Cn x ? Cn x ? Cn x ?

n?1 2?n n?2 4?n T= Cn x ? Cn x ?


1 n?2 2? n 2 ? Cn x n ?4 ? x 4? n ? 2T= Cn x ? x

?

?

?

?

n ?1 ? Cn ? x 2? n ? x n?2 ? ≥

1 2 = 2 Cn ? Cn ?
n

?

n ?1 ? Cn ? ? 2 ? Cn0 ? Cn1 ? Cn2 ?
n n n

n ?1 n 0 n ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn . ? =2(2n-2)

∴T≥2 -2,即[g(x+1)] -g(x +1)≥2 -2. 【思路点拨】本题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、导数的应用、均值 不等式等, 其中利用导数求函数的极值点应注意在其定义域内解答, 对于第三问也可以用数 学归纳法证明.


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