2013届高三一轮复习理科数学周练试卷(9)[1]

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2013 届高三一轮复习周练试卷(9) (解答题) 理 科 数 学
命题:我学习,我快乐 工作室 试卷满分:75 分 时量:75 分钟

本卷共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 1. (本小题满分 12 分)已知 A,B,C 三点的坐标分别为 A(3,0) , B(0,3) , C (cos ? ,sin ? ) ,

? 3? 其中 ? ? ( , ) . 2 2 ???? ??? ? (1)若 AC ? BC ,求角 ? 的值;
???? ??? ? ? (2)若 AC ?BC ? ?1 ,求 tan(? ? ) 的值. 4

2 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 △ABC 中 , 设角 A, B , C 的 对 边 分 别为 a , b , c , 若 sin A ? sin B ? ? cos C , (1)求角 A,B,C 的大小; (2)若 BC 边上的中线 AM 的长为 7 ,求△ABC 的面积.

1

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3. (本小题满分 12 分)某地有三个村庄,分别位于等腰直角三角形 ABC 的三个顶点处,已 知 AB=AC=6km,现计划在 BC 边的高 AO 上一点 P 处建造一个变电站.记 P 到三个村 庄的距离之和为 y. (1)设 ?PBO ? ? ,求 y 关于 ? 的函数关系式; (2)变电站建于何处时,它到三个小区的距离之和最小?

?( x 2 ? 2ax)e x , x ? 0 4. (本小题满分 13 分)已 知 x ? 2 是函数 f ( x) ? ? 的极值点. x?0 ?bx,

(1)当 b ? 0 时,讨论函数 f ( x) 的单调性; (2)当 b ? R 时,函数 y ? f ( x) ? m 有两个零点,求实数 m 的取值范围.

2

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5. (本小题满分 13 分)设数列 {an } 是有穷等差数列,给出下面数表:
a1
a1 ? a2

a2
a2 ? a3

a3

?? ??

an ?1
an?1 ? an

an

第1行 第2行

? ?

? ? ?

? 第n行

上表共有 n 行,其中第 1 行的 n 个数为 a1 , a2 , a3 ,?, an ,从第二行起,每行中的每一个数 都等于它肩上两数之和.记表中各行的数的平均数(按自上而下的顺序)分别为 b1 , b2 ,?, bn . (1)求证:数列 b1 , b2 ,?, bn 成等比数列; (2)若 ak ? 2k ? 1(k ? 1,2, ?, n) ,求和 ? ak bk .
k ?1 n

3

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6 . 本 小 题 满 分 13 分 ) 已 知 函 数 f ( x) 的 图 象 在 [a, b] 上 连 续 不 断 , 定 义 : (
f1 ( x) ? min{ f (t ) | a ? t ? x} ( x ?[a, b]) , f 2 ( x) ? max{ f (t ) | a ? t ? x} ( x ?[a, b]) .其中,
max{ f ( x) | x ? D} 表示函数 f ( x) 在 D min{ f ( x) | x ? D} 表示函数 f ( x) 在 D 上的最小值,

上的最大值.若存在最小正整数 k ,使得 f 2 ( x) ? f1 ( x) ? k ( x ? a) 对任意的 x ? [a, b] 成立, 则称函数 f ( x) 为 [a, b] 上的“ k 阶 收缩函数” . (1)已知函数 f ( x) ? 2sin x, x ?[0, ] ,试写出 f1 ( x) , f 2 ( x) 的表达式,并判断 f ( x) 是否 2 为 [0, ] 上的“ k 阶收缩函数” ,如果是,请求对应的 k 的值;如果不是,请说明理由; 2 (2)已知 b ? 0 ,函数 g ( x) ? ? x3 ? 3x2 是 [0, b] 上的 2 阶收缩函数,求 b 的取值范围.

?

?

4

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2013 届高三一轮复习周练试卷(9)理科数学参考答案
???? ??? ? 1. 【解析】 (1)∵ AC ? (cos? ? 3,sin ? ) , BC ? (cos? ,sin ? ? 3) ,

??? ? ??? ? ∴ | AC | (cos? ? 3)2 ? sin2 ? ? 10 ? 6cos? , | BC |? 10 ? 6sin ? .
???? ??? ? 由 | AC |?| BC | 得 sin ? ? cos ? .
?????????????4 分

? 3? 5 又 ? ? ( , ) ,∴ ? ? ? . ?????????????6 分 2 2 4 ???? ??? ? (2)由 AC ?BC ? ?1 ,得 (cos ? ? 3) cos ? ? sin ? (sin ? ? 3) ? ?1 ,
∴ sin ? ? cos ? ? 又由

? 2 2 ?0. ,∴ sin(? ? ) ? 4 3 3

???????????9 分

? 7 3? 3? ? ,∴ . ? ? ? ? ? ,∴ cos(? ? ) ? ? 4 3 2 2 4 4 14 ? 故 tan(? ? ) ? ? . ???????????12 分 7 4

?

?? ?

i o ? 2. 【解析】 由 sin A ? sin B 知 A ? B , (1) 所以 C ? ? ? ? 2 A , s A ? cs 又n

C ? 得 sin A ? cos 2 A ,

即 2sin 2 A ? sin A ? 1 ? 0 ,解得 sin A ? 故 A? B?

1 , sin A ? ?1 (舍) . 2
????????????????6 分

?
6

,C ?

2? . 3

(2)在△ABC 中,由于 BC 边上中线 AM 的长为 7 ,故在△ABM 中,由余弦定理得
a2 3 a2 a ? ? ac. ? 2c ? ? cos , 即 7 ? c 2 ? 4 2 4 2 6 在△ABC 中,由正弦定理得

AM 2 ? c2 ?



??????8 分

a sin

?
6

?

b sin

?
6

?

c c , 即a ? b ? . 2? 3 sin 3



??????10 分

由①②解得 a ? 2, b ? 2, c ? 2 3. 1 1 3 ? 3. 故 ?ABC的面积S ? ab sin C ? ? 2 ? 2 ? 2 2 2 3. 【解析】 (1)在 Rt?AOB 中, AB ? 6 , 所以 OB =OA= 3 2 , ?ABC ? π , 4 由题意知, 0 ? ? ? π . 4 所以点 P 到 A,B,C 的距离之和为 3 2 2 ? sin ? y ? 2 PB ? PA ? 2 ? ? (3 2 ? 3 2 tan ? ) ? 3 2 ? 3 2 ? . cos ? cos ?
5

A ??????12 分 P

B

(第 3 题图)

O

C

????????2 分

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故所求函数关系式为 y ? 3 2 ? 3 2 ? 2 ? sin ? 0 ? ? ? π . cos ? 4 (2)由(1)得 y? ? 3 2 ? 当0 ?? ?

?

?

?????????6 分

2sin ? ? 1 1 π ,令 y ? ? 0 ,即 sin ? ? ,又 0 ? ? ? π ,从而 ? ? . 2 4 cos ? 2 6

π π π 时, y ? ? 0 ;当 ? ? ? 时, y ? ? 0 . 6 6 4 π 2 ? sin ? 时, y ? 4 ? 3 2 ? 取得最小值, 6 cos ?
???????? 10 分

所以当 ? ?

此时 OP ? 3 2 tan

π ,即点 P 在 OA 上距 O 点 6 km 处. ? 6 (km) 6
?????12 分

答:变电站建于距 O 点 6 km 处时,它到三个小区的距离之和最小.

4. 【解析】 (1) x ? 0时, f ( x) ? ( x2 ? 2ax)e x ,[来源:学。科。网]
? f ?( x) ? (2 x ? 2a)e x ? ( x2 ? 2ax)e x ? [ x2 ? 2(1 ? a) x ? 2a]e x .

由已知得, f '( 2) ? 0, ? 2 ? 2 2 ? 2a ? 2 2a ? 0, 解得 a=1.

????????3 分

? f ( x) ? ( x 2 ? 2x)e x ,? f ' ( x) ? ( x 2 ? 2)e x .
当 x ? (0, 2) 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? ( 2, ??) 时, f ?( x) ? 0 .又 f (0) ? 0 , 所以当 b ? 0 时, f ( x) 在 (??, 2) 上单调递减, ( 2, ??) 单调递增; 当 b ? 0 时, f ( x) 在 (??,0) , ( 2, ??) 上单调递增,在 (0, 2) 上单调递减. ????7 分 (2)由(1)知,当 x ? (0, 2) 时, f (x) 单调递减, f ( x) ? ((2 ? 2 2)e 2 ,0) 当 x ? ( 2, ??)时 , f (x) 单调递增, f ( x) ? ((2 ? 2 2)e 2 , ??) . ??????9 分

要使函数 y ? f ( x) ? m 有两个零点,则函数 y ? f (x) 的图象与直线 y ? m 有两个不同的交 点.①当 b ? 0 时,m=0 或 m ? (2 ? 2)e 2 ;②当 b=0 时, m ? ((2? 2 2e )
2

; , 0) ③当

b ? 0时, m ? ((2 ? 2 2)e 2 , ??) .

??????????13 分

5. 【解析】 (1)由题设易知, b1 ?

n(a1 ? an ) a1 ? an , ? 2n 2 (a ? a2 ? ? ? an ?1 ? an )(n ? 1) a1 ? a2 ? an ?1 ? an b2 ? 1 ? ? a1 ? an . 2(n ? 1) 2

设表中的第 k (1 ? k ? n ? 1) 行的数为 c1 , c2 ,?, cn ? k ?1 ,显然 c1 , c2 ,?, cn ? k ?1 成等差数列,则它的第

6

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k ? 1 行的数是 c1 ? c2 ,c2 ? c3 , ?,c n?k ? c n ?k ?1 也成等差数列, 它们的平均数分别是 bk ?

c1 ? cn?k ?1 , 2

bk ?1 ? c1 ? cn ? k ?1 ,于是

bk ?1 ? 2(1 ? k ? n ? 1, k ? N* ) . bk

故数列 b1 , b2 ,?, bn 是公比为 2 的等比数列. (2)由(1)知, bk ? b1 ?2k ?1 ?

?????????????7 分

a1 ? an k ?1 ?2 , 2

故当 ak ? 2k ? 1 时, bk ? n ?2k ?1 , ak ?bk ? n(2k ? 1) ?2k ?1 (1 ? k ? n, k ? N* ) . 于是 ? ak bk ? n? (2k ? 1) ? 2k ?1 .
k ?1 k ?1 n n

???????????9 分

设 ? (2k ? 1) ? 2k ?1 ? S ,
k ?1

n

则 S ? 1? 20 ? 3 ? 21 ? 5 ? 22 ? ? ? (2n ? 1) ?2n?1
2S ? 1? 21 ? 3 ? 22 ? ? ? (2n ? 3) ?2n?1 ? (2n ? 1) ?2n

① ②

① ? ②得, ?S ? 1? 20 ? 2(21 ? 22 ? ? ? 2n?1 ) ? (2n ? 1) ?2n , 化简得, S ? (2n ? 1) ?2n ? 2n?1 ? 3 , 故 ? ak bk ? n(2n ? 1) ?2n ? n ?2n?1 ? 3n .
k ?1 n

??????????????13 分

5. (1)由题意可得, f1 ( x) ? 0 , f 2 ( x) ? 2sin x, x ?[0, ] . ????????2 分 2 于是 f 2 ( x) ? f1 ( x) ? 2sin x . 若 f ( x) 是为 [0, ] 上的“ k 阶收缩函数” ,则 2sin x ? kx 在 [0, ] 上恒成立,且 ?x0 ? [0, ], 2 2 2
使得2 sin x ? (k ? 1) x 成立.
? ? 令 ? ( x) ? sin x ? x , x ?[0, ] ,则 ? ?( x) ?cos x 1 0 ,所以 ? ( x) ? sin x ? x 在 [0, ] 单调递减, 2 2

?

?

?

?

?

?

∴ ? ( x) ? ? (0) , x ?[0, ] ,即 sin x ? x ,于是 2sin x ? 2 x 在 [0, ] 恒成立; 2 2 又 ?x0 ?

?

?

?
2

, 2 sin x ? x 成立.

故存在最小的正整数 k ? 2 ,使 f ( x) 是为 [0, ] 上的“2阶收缩函数” ??????6 分 . 2 (2) g ?( x) ? ?3x2 ? 6x ? ?3x ? x ? 2? ,令 g '( x) ? 0 得 x ? 0 或 x ? 2 .令 f ( x) ? 0 ,解得 x ? 0 或 3. 函数 g ? x ? , g '( x) 的变化情况如下:
7

?

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x g ?( x)
g ( x)

(??,0) ?
?

0 0 0

(0, 2)

2 0 4

?
?

(2, ??) ?
?

??????????????????? 8 分 ⅰ) b ? 2 时, g ( x) 在 [0, b] 上单调递增,因此, g2 ( x) ? g ? x ? ? ? x3 ? 3x2 , g1 ( x) ? g ? 0? ? 0 . 因为 g ( x) ? ? x3 ? 3x2 是 [0, b] 上的 2 阶收缩函数, 所以,① g2 ( x) ? g1 ? x ? ? 2 ? x ? 0? 对 x ? [0, b] 恒成立; ②存在 x ? ?0, b? ,使得 g2 ( x) ? g1 ? x ? ? ? x ? 0? 成立. ①即: ? x3 ? 3x2 ? 2 x 对 x ? [0, b] 恒成立,由 ? x3 ? 3x2 ? 2 x ,解得: 0 ? x ? 1 或 x ? 2 , 要使 ? x3 ? 3x2 ? 2 x 对 x ? [0, b] 恒成立,需且只需 0 ? b ? 1 . ②即:存在 x ? [0, b] ,使得 x x2 ? 3x ? 1 ? 0 成立. 由 x x2 ? 3x ? 1 ? 0 得: x ? 0 或 综合①②可得:
3? 5 ? b ? 1. 2

????????10 分

?

?

?

?

3? 5 3? 5 3? 5 ?x? ,所以,需且只需 b ? . 2 2 2

?????????11 分

3 ⅱ)当 b ? 2 时,显然有 ?[0, b] ,由于 f ( x) 在 [0, 2] 上单调递增,根据定义可得: 2 3 3 3 27 3 ? 3 ? 27 ? 2? ? 3 , , f1 ( ) ? 0 ,可得 f 2 ( ) ? f1 ? ? ? f2 ( ) ? 2 2 2 8 2 ?2? 8
此时, f 2 ( x) ? f1 ? x ? ? 2 ? x ? 0? 不成立. 综合ⅰ)ⅱ)可得:
3? 5 ? b ? 1. 2

?????????13 分

注:在ⅱ)中只要取区间(1,2)内的一个数来构造反例均可,这里用

3 只是因为简单而已. 2

8


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