高一数学-两角和与差的三角函数(五) 精品

§4.6.5 两角和与差的余弦、正弦、正切(五)? ●教学目标? (一)知识目标? 两角和与差的余弦、正弦、正切公式.? (二)能力目标? 1.掌握S(α ±β ) ,C(α ±β )及 T(α ±β )的灵活应用. 2.综合应用上述公式的技能.? (三)德育目标? 1.培养学生观察、推理的思维能力.? 2.使学生认识到事物间是有联系的.? 3.培养学生判断、推理的能力、加强化归转化能力的训练.? 4.提高学生的数学素质.? ●教学重点? S(α ±β ) ,C(α ±β ) ,T(α ±β )的灵活应用.? ●教学难点? 灵活应用和、差角公式进行化简、求值、证明.? ●教学方法? 通过讲练相结合的方法,以达到初步掌握和、差角公式的灵活应用.? ●教具准备? 幻灯片二张? 第一张: (§4.6.5 A)? S(α +β ) 以–β 代β C(α +β ) 相除 T (α +β ) 以–β 代β S(α -β ) C(α -β ) 相除 T(α -β 第二张: (§4.6.5 B)? 1.化简下列各式:? (1)cos(α +β )cosβ +sin(α +β )sinβ ? (2) sin 2 x sin x ? cos x ? ? sin x ? cos x sin x ? cos x tan2 x ? 1 (3) sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) tan2 ? ? sin 2 ? cos2 ? tan2 ? sin(? ? ? ) tan? ? tan ? ? ? cos(? ? ? ) 1 ? tan? tan ? 2 2 2 2 2.证明下列各式? (1) (2)tan(α +β )tan(α -β ) (1-tan α tan β )=tan α -tan β ? (3) sin( 2? ? ? ) sin ? ? 2 cos( ? ? ? ) ? sin ? sin ? 3.(1)已知 sin(α +45°)= 3 ,45°<α <135°求 sinα .? 5 (2)求 tan11°+tan34°+tan11°tan34°的值. ●教学过程? Ⅰ.复习回顾? 师:请同学们回顾一下这一段时间我们一起所学的和、差角公式.? (学生作答,老师板书)? sin(α ±β )=sinα cosβ ±cosα sinβ (S(α ±β ))? cos(α ±β )=cosα cosβ ? Sinα Sinβ (C(α ±β ))? tan(α ±β )= tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ? (T(α ±β ) )? Ⅱ.讲授新课? 师:这三个公式即为两角和(差)公式.下面请同学们思考这一组公式的区别与联系 .首 先,可考虑一下这组公式的推导体系.? 师(提示):我们为推导这组公式先引入平面内两点间距离公式,然后利用单位圆,三角 函数的定义,最先推导出余弦的和角公式 C(α +β ) ,然后依次??? 生(回答):按如下顺序推导其余公式:? C(α +β )→C(α -β )→S(α +β )→S(α -β )→T(α +β )→T(α -β ).? 师:它们又有什么内在联系呢?? (打出幻灯片§4.6.5 A,学生观察)? 师:从此框架图可发现,实际上,正弦的和角公式包括了正弦的差角公式,余弦的和角 公式包括了余弦的差角公式, 正切的和角公式也包括了正切的差角公式, 这是因为在和角公 式中,β 本来就是一个任意角,当然可正可负.总之,和角公式和差角公式可以互相转化. 回忆推导过程,也是这样的,因为和角公式中的α 、β 均可任意取值,所以只要将和角公式 中的β 用-β 代替,便可得到了差角公式,这是和角公式与差角公式的关系.? 师:再之,将两角和(差)的正、余弦公式结合同角的三角函数基本关系,即将 S(α ±β ) 与 C(α ±β )相除,便得到 T(α ±β ),但要注意,要求“除式”不能为 0.? 即:公式 S(α ±β ),C (α ±β )都适用于α 、β 为任意角,但运用公式 T (α ±β )时必须限定α 、 β ,α ±β 都不等于 ? +kπ (k∈Z).? 2 下面,结合例题来看一下如何灵活运用这组公式:? [例 1]求证 sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) tan2 ? ? 1 ? sin 2 ? cos2 ? tan2 ? 分析:证明三角恒等式,一般要遵循“由繁到简”的原则,另外“化弦为切”与“化切 为弦”也是在三角式的变换中经常使用的方法.? 证明:左边= sin ? cos ? ? cos? sin ? )(sin? cos ? ? cos? sin ? ) sin 2 ? cos2 ? ? sin 2 ? cos2 ? ? cos2 ? sin 2 ? sin 2 ? cos2 ? ? 1? cos2 ? sin 2 ? tan2 ? ? 1 ? ? 右边 sin 2 ? cos2 ? tan2 ? ∴原式成立.? 1 ? cos2 ? sin 2 ? sin 2 ? cos2 ? ? cos2 ? sin 2 ? 或:右边= ? sin 2 ? cos2 ? sin 2 ? cos2 ? ? (sin? cos ? ? cos? sin ? )(sin? cos ? ? cos? sin ? ) sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) ? sin 2 ? cos2 ? sin 2 ? cos2 ? = 左边,? ∴原式成立.? [例 2]已知 sinβ =m?sin(2α +β )? 求证:tan(α +β )= 1? m tanα ? 1? m 分析:仔细观察已知式与所证式中的角,不要盲目展开,要有的放矢,看到已知式中的 2α +β 可化为结论式中的α +β 与α 的和,不妨将α +β 作为一整体来处理.? 证明:由 sinβ =msin(2α +β ) (α

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