湖南省湘南三校(永州四中、郴州一中、衡阳八中)2015-2016学年高一数学上学期第一次期末模拟联考试题_图文


湘南三校联盟 2015-2016 年度高一年级期末模拟第一次联 考综合检测数学(试题卷)
注意事项: 1.本卷共 22 题,满分 150 分,考试时间为 120 分钟。 2.考生领取到试卷后, 应检查试卷是否有缺页漏页, 重影模糊等妨碍答题现象, 如有请立即向监考老师通报。 3.考区填写:衡阳八中 A1 永州四中 A2 郴州一中 A3 一.选择题。(每题 5 分,共 60 分。在每题后面所给的四个选项中,只有一个 是正确的) 1.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的体积为( A. B. C. ) 15.已知函数 D. 7.设函数 f(x)= 则实数 a 的取值范围是( A.a≥2 8.函数 f(x)=a ( 第 1 题图 第 5 题图 第 6 题图 ) B.(3,2) C.(3,6) D.(3,7) A.(3,3) B. ≤a<1
x﹣3

A.

B.

C.

D.

6.如图,动点 P 在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的对角线 BD1 上.过点 P 作垂直于平面 BB1D1D 的直线,与正方体表面相交于 M,N.设 BP=x,MN=y,则函数 y=f(x)的 图象大致是( ) 第 13 题图 14.已知圆 C:(x﹣3) +(y﹣4) =1 和两点 A(﹣m,0),B(m,0)(m>0), 若圆 C 上不存在点 P, 使得∠APB 为直角, 则实数 m 的取值范围是 . A. B. C. D. ,且 f(﹣1)=f(2),则
2 2

,若 f(x)恰有 2 个零点, ) C. <a<1 D.a≥2 或 ≤a<1

=

.

16.已知函数 f(x)= 列四个命题:

,则关于 x 的方程 f[f(x)]+k=0 给出下

+1(a>0,且 a≠1)的图象恒过定点 P,则定点 P 的坐标为

①存在实数 k,使得方程恰有 1 个实根; ②存在实数 k,使得方程恰有 2 个不相等的实根; ③存在实数 k,使得方程恰有 3 个不相等的实根; ④存在实数 k,使得方程恰有 4 个不相等的实根. 其中正确命题的序号是 (把所有满足要求的命题序号都

2.对于实数

定义运算“

”:

,设 恰有三个互不相等的实 )

9.设函数 A.(﹣1,1) C.(﹣∞,﹣2)∪(0,+∞)

若 f(x0)>1,则 x0 的取值范围是( B.(﹣1,+∞) D.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) )
2 2



填上). 三.解答题。(共 6 题,共 70 分) 17.(本题满分 10 分) 如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,E,F,G,H 分别是 AB,AC,A1B1,A1C1 的中点, 求证: (1)B,C,H,G 四点共面; (2)平面 EFA1∥平面 BCHG.

,且关于 的方程 数根 ,则 的取值范围是(

10.以线段 AB:x+y-2=0(0≤x≤2)为直径的圆的标准方程为( A.(x+1) +(y+1) =2 C.(x+1) +(y+1) =8
2 2 2 2 2 2

B.(x-1) +(y-1) =2 D.(x-1) +(y-1) =8
2

A.

B.

C.

D. },则 M∩N=( )

11.设两条直线的方程分别为 x+y+a=0,x+y+b=0,已知 a,b 是方程 x +x+c=0 的两个实根,且 0≤c≤ ,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是 ( ) A. ) B. C. D.

3.若集合 M={x|y=ln(x﹣1)},N={x|y= A.{x|1<x≤2} 4.设 A.若 B.若 C.若 D.若 B.{x|1≤x≤2}

C.{x|x>1}

D.{x|1≤x≤2}

是不同的直线, ,则

是不同的平面,下列命题中正确的是(

12.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ,则 ,则 ,则 则 f(3)的值为( A.﹣1 ) B.﹣2 C.1 D.2

, 18.(本题满分 10 分) 已知三角形 ABC 的顶点坐标为 A(﹣1,5)、B(﹣2,﹣1)、C(4,3),M 是 BC 边的中点. (1)求 AB 边所在的直线方程; (2)求中线 AM 的长. (3)求 BC 的垂直平分线方程.
1

二.填空题。(每题 5 分,共 20 分。将最终结果填写到答题卡上。) 13.如图,在直四棱柱 A1B1C1D1﹣ABCD 中,当底面四边形 ABCD 满足条 件 ) 时,有 A1C⊥B1D1.(注:填上你认为正确的一种条件即 可,不必考虑所有可能的情形.)

5.如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,O 是底面 ABCD 的中心,E、F 分别是 CC1、AD 的中点,那么异面直线 OE 和 FD1 所成的角的余弦值等于(

(2) 若对



, ,必有一个实数根属于

,证明方程 。

(3)是否存在 ①当 时, 函数

,使

同时满足以下条件 有最小值 0; 若存在,求出 的值,

②对任意 ,都有 若不存在,请说明理由。

19.(本题满分 11 分) 某旅游点有 50 辆自行车供游客租货使用,管理这些自行车的费用是每日 115 元.根据经验,若每辆自行车的日租金不超过 6 元,则自行车可以全部租出; 若超过 6 元,则每提高 1 元,租不出去的自行车就增加 3 辆. 旅游点规定: 每辆自行车的日租金不低于 3 元并且不超过 20 元, 每辆自行车的 日租金 x 元只取整数,用 y 表示出租所有自行车的日净收入(即一日中出租的 所有自行车的总收入减去管理费后的所得). (1)求函数 y=f(x)的解析式; (2) 试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元?日净收入最多为 多少元? 21.(本题满分 13 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C 经过 A(2,﹣2),B(1,1)两点,且圆 心在直线 x﹣2y﹣2=0 上. (1)求圆 C 的标准方程; (2)过圆 C 内一点 P(1,﹣1)作两条相互垂直的弦 EF,GH,当 EF=GH 时,求 四边形 EGFH 的面积. (3)设直线 l 与圆 C 相交于 P,Q 两点,PQ=4,且△POQ 的面积为,求直线 l 的方程.

20.(本题满分 12 分) 如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,PA=PB=AB=2,BC=3,∠ABC=90°,平面 PAB⊥平面 ABC,D、E 分别为 AB、AC 中点. (1)求证:AB⊥PE; (2)求二面角 A﹣PB﹣E 的大小. 22.(本题满分 14 分) 已知二次函数 (1)若 ,试判断函数 . 零点个数;

2

2015-2016 年度湘南三校联盟期末模拟第一次联考数学参考答案 一.选择题(每题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 B 2 A 3 A 4 C 5 B 6 B 7 D 8 B

20.(1)证明:连结 PD, ∵PA=PB,∴PD⊥AB.(2 分) ∵DE∥BC,BC⊥AB,DE⊥AB. 9 又∵PD10 11 AB⊥平面 12 PDE(4 分),∵PE? 平面 PDE,∴AB⊥PE.(6 分) ∩DE=E,∴ D B C B (2)解:∵平面 PAB⊥平面 ABC,平面 PAB∩平面 ABC=AB,PD⊥AB,PD⊥平面 ABC. 则 DE⊥PD,又 ED⊥AB,PD∩平面 AB=D,DE⊥平面 PAB, 过 D 做 DF 垂直 PB 与 F,连接 EF,则 EF⊥PB, ∴∠DFE 为所求二面角的平面角(8 分) ∴DE= ,DF= ,则 , 当 分) 当 ( 时, ,函数 2 , 有两个零点。 (4 分) ) 令 时 , 函 数 有 一 个 零 点 ; ( 2 由(*),(**)解得 .?(12 分) 综上所述,直线 l 的方程为 3x+4y﹣1=0 或 3x﹣4y+1=0.?(13 分) 22.(1)

二.填空题(每题 5 分,共 20 分) 13.AC⊥BD 14. (0, 4) ∪ (6, +∞) ①② 三.解答题(共 6 题,共 70 分) ∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,BC∥B1C1, ∴GH∥BC ∴B、C、H、G 四点共面;(5 分) (2)∵E、F 分别为 AB、AC 中点, ∴EF∥BC ∴EF∥BC∥B1C1∥GH(7 分)

15.-1

16.

17.证明:(1)∵G、H 分别为 A1B1,A1C1 中点,∴GH∥B1C1,(2 分)

故二面角的 A﹣PB﹣E 大小为 60°.(12 分) 21.(1)因为 A(2,﹣2),B(1,1), 所以 kAB= =﹣3,AB 的中点为( ,﹣ ),

故线段 AB 的垂直平分线的方程为 y+ = (x﹣ ),即 x﹣3y﹣3=0,?(1 分) , 由 ,解得圆心坐标为(0,﹣1).?(2 分)
2 2 2

又∵E、G 分别为三棱柱侧面平行四边形 AA1B1B 对边 AB、A1B1 中点, ∴四边形 A1EBG 为平行四边形,A1E∥BG(8 分) ∴平面 EFA1 中有两条直线 A1E、EF 分别与平面 BCHG 中的两条直线 BG、BC 平行 ∴平面 EFA1∥平面 BCHG.(10 分) 18. (1) 由两点式得 AB 所在直线方程为: 分) ( 2 ) 设 M 的 坐 标 为 ( x0 , y0 ) , 则 由 中 点 坐 标 公 式 得 , ,即点 M 的坐标为(1,1). 故 .(6 分) ∴四边形 EGFH 的面积 S= × =9 ?(8 分) (3)设坐标原点 O 到直线 l 的距离为 h, 又 BC 的斜率是 k1= ,则 k= 因为△POQ 的面积 S= ∴BC 的垂直平分线方程为 即 3x+2y﹣5=0(10 分) 19.(1)当 x≤6 时,y=50x﹣115,令 50x﹣115>0,解得 x>2.3.(2 分) ∵x∈N,∴x≥3,∴3≤x≤6,且 x∈N. 当 6<x≤20 时,y=[50﹣3(x﹣6)]x﹣115=﹣3x +68x﹣115
2

所以半径 r 满足 r =1 +(﹣1﹣1) =5.?(3 分) 故圆 C 的标准方程为 x +(y+1) =5.?(3 分)
2 2

(6 分) 在 即方程 (3)假设 存在,由①得 .. 由②知对 令 得 ,都有 (9 分) 内必有一个实根。 必有一个实数根属于 。 (8 分)

, 即 6x﹣y+11=0. (3

(2)∵EF=GH, ∴C 到直线 EF,GH 的距离相等,设为 d。 则 =1,即 d= =3 ?(4 分)

∴EF=GH=2

(3)M 的坐标为(1,1).设 BC 的垂直平分线斜率为 k,

= ,

∴h= .(9 分) 由 ①当直线 l 与 x 轴垂直时,由坐标原点 O 到直线 l 的距离为 知,直线 l 的方 程为 x= 或 x=﹣ , 经验证,此时 PQ≠4,不适合题意; ?(10 分) 0 ) 满 足 条 件 ① , 又 (*),? ,满足条件②。∴存在 条件①、②。 (14 分) 又圆心到直线 l 的距离为 c= 即 k +1=(1+b)
2 2







11

分) 当 时, ,其顶点为(-1, 对 ,使 , 都 有 同时满足

综上可知 (2)当 3≤x≤6,且 x∈N 时,∵y=50x﹣115 是增函数, ∴当 x=6 时,ymax=185 元.(8 分) 当 6<x≤20,x∈N 时,y=﹣3x +68x﹣115= ∴当 x=11 时,ymax=270 元.(11 分)
2

(5 分)

②当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=kx+b, 由坐标原点到直线 l 的距离为 h= = ,得 k +1=25b ,所以 PQ=2
2 2



=4,
3

(**),?(11 分)

4


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