2015-2016学年高中数学 1.2.3 绝对不等式的解法(二)练习 新人教A版选修4-5

1.2.3

绝对值不等式的解法(二)

会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式: |x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c.

1.求解不等式|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c 的第一种方法:________去绝 对值. 答案:分类讨论 思考 1 不等式|x-2|+|x-1|≥5 的解集是________. 答案:{x|x≥4 或 x≤-1} 2.求解不等式|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c 的第二种方法:__________直 接求边界值,再利用几何意义写出解集. 答案:用几何意义 思考 2 不等式|x|+|x+1|<2 的解集是________.
? ? 3 1? 答案:?x?- <x< ? 2 2? ? ?

一 层 练 习 1 1 1.已知 a,b 为实数,则“|a|+|b|<1”是“|a|< 且|b|< ”的( 2 2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:B )

1

2.已知 x∈R,则 x≥1 是|x+1|+|x-1|=2|x|的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A

)

3.不等式|x+2|-|x|≤1 的解集是________. 解析:利用零点分段讨论法解绝对值不等式. ①当 x≤-2 时,原不等式可化为-x-2+x≤1,该不等式恒成立. ②当-2<x<0 时,原不等式可化为 x+2+x≤1, ∴2x≤-1, 1 ∴x≤- , 2 1 ∴-2<x≤- . 2 ③当 x≥0 时,原不等式可化为 x+2-x≤1,不成立.
? ? 1? 综上,原不等式的解集为?x?x≤- ?. 2? ? ? ? ? 1? 答案:?x?x≤- ? 2? ? ?

4.不等式|x+1|-|x-3|≥0 的解集是________. 2 2 解析:解法一 不等式等价转化为|x+1|≥|x-3|,两边平方得(x+1) ≥(x-3) ,解 得 x≥1, 故不等式的解集为[1,+∞). 解法二 不等式等价转化为|x+1|≥|x-3|,根据绝对值的几何意义可得数轴上点 x 到点-1 的距离大于等于到点 3 的距离,到两点距离相等时 x=1,故不等式的解集为[1,+ ∞). 答案:[1,+∞)

二 层 练 习 5. (2014·安徽高考理科)若函数 f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为 3, 则实数 a 的值 为( ) A.5 或 8 B.-1 或 5 C.-1 或-4 D.-4 或 8 解析:(1)当 a<2 时,

? a ? -x+1-a,(-1≤x≤- ); 2 f(x)=? a ? ?3x+a+1,???x>-2???
-3x-a-1,(x<-1) (2)当 a<2 时,
2

? ? f(x)=? ? a ? x+a-1,?- ≤x≤-1?, ? 2 ? ? ?3x+a+1,(x>-1)
-3x-a-1,?x<- ? 2? ? 由(1)(2)可得 f(x)min=f?- ?=| - +1|=3, 2 ? 2? 解得 a=-4 或 8 答案:D 6.在实数范围内,不等式|2x-1|+|2x+1|≤6 的解集为________.
? ? 3 3? 答案:?x?- ≤x≤ ? 2? ? ? 2

?

a?

? a?

a

7 . 已 知 集 合

A = {x∈R||x + 3| + |x - 4|≤9} , B =

? ? 1 ?x∈R|x=4t+ -6,t∈(0,+∞)?,则集合 A∩B=________. t ? ?

解析:|x+3|+|x -4|≤9, 当 x<-3 时,-x-3-(x-4)≤9,即-4≤x<-3; 当-3≤x≤4 时,x+3-(x-4)=7≤9 恒成立; 当 x>4 时,x+3+x-4≤9,即 4<x≤5. 综上所述,A={x|-4≤x≤5}. 1 又∵x=4t+ -6,t∈(0,+∞),

t

∴x≥2

1 1 4t· -6=-2,当 t= 时取等号. t 2

∴B={x|x≥-2},∴A∩B={x|-2≤x≤5}. 答案:{x|-2≤x≤5} 8.若关于 x 不等式|x-1|+|x-2|>a +a+1(x∈R)恒成立,则实数 a 的取值范围为 ( ) A.(0,1) B.(-∞,-1)∪(0,+∞) C.(-∞,-1) D.(-1,0) 2 2 解析:由绝对值的几何意义知|x-1|+|x-2|≥1,所以 a +a+1<1 恒成立,即 a +a <0, 所以-1<a<0.故选 D. 答案:D 9.解不等式: 2 (1)|x -2x+3|<|3x-1|; (2)|x+7|-|x-2|≤3. 2 2 2 2 2 解析:(1)原不等式?(x -2x+3) <(3x-1) ?[(x -2x+3)+(3x-1)][(x -2x+3) 2 2 2 2 -(3x-1)]<0?(x +x+2)(x -5x+4)<0?x -5x+4<0(因为 x +x+2 恒大于 0)?1<x
3
2

<4.所以原不等式的解集是{x|1<x<4}. (2)原不等式
?x<-7, ?-7≤x≤2, ? ? ?? 或? ? ?-(x+7)+x-2≤3 ? ?x+7+x-2≤3 ? ?x>2, ?x+7-(x-2)≤3. ?

或?

?x<-7 或-7≤x≤-1 或 x∈??x≤-1. 所以原不等式的解集是{x|x≤-1}.

? 1? 10.(2014·新 课标全 国卷Ⅱ高考理科数学)设函数 f(x)=?x+ ?+|x-a| (a>0), ?
a?
若 f(3)<5,求 a 的取值范围.

? 1? 解析:f(3)=?3+ ?+|3-a|. ?
a?
1 当 a>3 时,f(3)=a+ ,

a

5+ 21 由 f(3)<5,得 3<a< . 2 1 当 0<a≤3 时,f(3)=6-a+ ,

a

1+ 5 由 f(3)<5,得 <a≤3. 2 综上,a 的取值范围是?

?1+ 5 5+ 21? , ? 2 ? ? 2

三 层 练 习 11.(2013·重庆卷)若关于实数 x 的不等式|x-5|+|x+3|<a 无解,则实数 a 的取值 范围是________. 解析:利用三角不等式求解. ∵|x-5|+|x+3|=|5-x|+|x+3|≥ |5-x+x+3|=8, ∴|x-5|+|x+3|=8, 要使|x-5|+|x+3|<a 无解,只需 a≤8. 答案:(-∞ ,8] 12.若存在实数 x 使|x-a|+|x-1|≤3 成立,则实数 a 的取值范围是________. 解析: 不等式|x-a|+|x-1|≤3 可以表示数轴上的点 x 到点 a 和点 1 的距离之和小于 等于 3,且为数轴上的点 x 到点 a 和点 1 的距离之和最小时即是 x 在点 a 和点 1 之间,此时 距离和为|a-1|,要使不等式|x-a|+|x-1|≤3,则|a-1|≤3,解得-2≤a≤4. 答案:[-2,4]

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13 .(2015·新课标全国卷Ⅰ,文理)已知函数 f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (2)若 f(x)的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6 ,求 a 的取值范围. 解析:(1)当 a=1 时,f(x)>1 化为|x+1|-2|x-1|-1>0. 当 x≤-1 时,不等式化为 x-4>0,无解; 2 当-1<x<1 时,不等式化为 3x-2>0,解得 <x<1; 3 当 x≥1 时,不等式化为-x+2>0,解得 1≤x<2.
? 2 ? 所以 f(x)>1 的解集为?x| <x<2?. 3 ? ?

x-1-2a,x<-1, ? ? (2)由题设可得,f(x)=?3x+1-2a,-1≤x≤a, ? ?-x+1+2a,x>a.
所以函数 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A?

?2a-1,0?. ? ? 3 ?

B(2a+1,0).C(a,a+1),△ABC 的面积为 (a+1)2.
2 2 由题设得 (a+1) >6,故 a>2. 3 所以 a 的取值范围为(2,+∞).

2 3

14.已知函数 f(x)=|x+a|+|x-2|. (1)当 a=-3 时,求不等式 f(x)≥3 的解集; (2)若 f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求 a 的取值范围. 解析:(1)当 a=-3 时,f(x)≥3?|x-3|+|x-2|≥3 ??
? ?x≤2, ? ?2<x<3, 或? ?3-x+2-x≥3 ? ?3-x+x-2≥3 ? ?x≥3, ? ? ?x-3+x-2≥3.

或?

?x≤1 或 x∈?或 x≥4. 故不等式解集为{x|x≤1 或 x≥4}. (2)原命题?f(x)≤|x-4|在[1,2]上恒成立?|x+a|+2-x≤4-x 在[1,2]上恒成立 ?-2-x≤a≤2-x 在[1,2]上恒成立?-3≤a≤0. 故 a 的取值范围是[-3,0].

5

1.|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c 型不等式有三种解法:分区间(分类)讨论 法、图象法和几何法.分区间讨论的方法具有普遍性,但较麻烦; 几何法和图象法直观, 但只适用于数据较简单的情况.
? ?x,x≥0, 2 .分区间讨论的关键在于对绝对值代数意义的理解,即|x|=? ?-x,x<0. ?

也即 x∈R,x 为非负数时,|x|为 x;x 为负数时,|x|为-x,即 x 的相反数.利用这一 性质,在解|x-a|+|x-b|≤c(c>0)时,不妨设 a<b,则是在(-∞,a],(a,b),[b, + ∞)上得到|x-a|+|x-b|的不同的解析表达式,将问题转化为解三个不等式组: (1)?
?x≤a, ? ?a-x+b-x≤c; ? ? ?a<x<b, ?x-a+b-x≤c; ? ?x≥b, ? ? ?x-a+x-b≤c.

(2)?

(3)?

原不等式的解集为以上三个不等式组解集的并集.|x-a|+|x-b|≥c 型不等式可类似 处理. 3.|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c 型不等式的图象解法和画出函数的图象是 密切相关的,其图象是折线,正确地 画出其图象的关键是写出 f(x)的分段解析表达式,不 妨设 a<b,于是 f(x)=|x-a|+|x-b|-c -2x+a+b-c,x≤a, ? ? ? f(x)=?b-a-c,a<x<b, ? ?2x-a-b-c,x≥b. 这种解法体现了函数与方程结合、数形结合的思想.

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