人教版高中数学必修一 第三章 函数的应用知识点总结

高中数学必修一第三章函数的应用知识点总结(详细) 第三章函数的应用
一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念:对于函数 y=f(x),使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数的零点。 (实质上是函数 y=f(x)与 x 轴交 点的横坐标) 2、函数零点的意义:方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点?函数 y=f(x)有零点 3、 零点定理: 函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的, 并且有 f(a)f(b)<0,那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 至少有一个零点 c,使得 f( c)=0,此时 c 也是方程 f(x)=0 的根。 4、函数零点的求法:求函数 y=f(x)的零点: (1) (代数法)求方程 f(x)=0 的实数根; (2) (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y=f(x)的图象联系起来,并利用函数的性质 找出零点. 5、二次函数的零点:二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 1)△>0,方程 f(x)=0 有两不等实根,二次函数的图象与 x 轴有两个交点,二次函数有两个零点. 2)△=0,方程 f(x)=0 有两相等实根(二重根) ,二次函数的图象与 x 轴有一个交点,二次函数有一个二 重零点或二阶零点. 3)△<0,方程 f(x)=0 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交点,二次函数无零点. 二、二分法 1、概念:对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a)f(b)<0 的函数 y=f(x),通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间 一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法。 2、用二分法求方程近似解的步骤: ⑴确定区间[a,b],验证 f(a)f(b)<0,给定精确度ε ; ⑵求区间(a,b)的中点 c; ⑶计算 f(c), ①若 f(c)=0,则 c 就是函数的零点; ②若 f(a)f(c)<0,则令 b=c(此时零点 x0∈(a,c)) ③若 f(c)f(b)<0,则令 a=c(此时零点 x0∈(c,b)) (4)判断是否达到精确度ε :即若|a-b|<ε ,则得到零点近似值为 a(或 b);否则重复⑵~⑷ 三、函数的应用: (1)评价模型:给定模型利用学过的知识解模型验证是否符合实际情况。 (2)几个增长函数模型:一次函数:y=ax+b(a>0) 指数函数:y=ax(a>1) 指数型函数: y=kax(k>0,a>1) 幂函数: y=xn( n?N*) 对数函数:y=logax(a>1) 2 二次函数:y=ax +bx+c(a>0) 增长快慢:V(ax)>V(xn)>V(logax) 解不等式 (1) log2x< 2x< x2 (2) log2x< x2< 2x (3)分段函数的应用:注意端点不能重复取,求函数值先判断自变量所在的区间。 (4)二次函数模型: y=ax2+bx+c(a≠0) 先求函数的定义域,在求函数的对称轴,看它在不在定义域内, 在的话代进求出最值,不在的话,将定义域内离对称轴最近的点代进求最值。 (5)数学建模: (6)一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根的分布
两个根都在(m,n )内 两个有且仅有一个在(m,n)内 x1∈(m,n) x2∈(p,q)

y

m

m

n

n

x

m

n p
? f ( m) ? 0 ? f ( n) ? 0 ? ? ? f ( p) ? 0 ? ? f (q) ? 0

q

?? ? 0 ? ?m ? ? b ? n ? 2a ? ? f ( m) ? 0 ? ? ? f ( n) ? 0
两个根都小于 K

f(m)f(n)<0

两个根都大于 K

一个根小于 K,一个根大于 K

y

k

k
?? ? 0 ? b ? ? k ?? ? 2a ? ? f (k ) ? 0

x

k
?? ? 0 ? b ? ? k ?? ? 2a ? ? f (k ) ? 0

f(k)<0


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