高中数学 专题二 三角函数、平面向量综合题的解答_图文

专题二

三角函数、平面向量综合
题的解答

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专 题 探 究 突 破 热 点

知 能 演 练 轻 松 闯 关

专题探究突破热点
方法综述 三角函数作为一种重要的基本初等函数, 是中学数学的 重要内容,也是高考命题的热点之一.近几年对三角函 数的要求基本未作调整,主要考查三角函数的定义、图 象与性质以及同角三角函数的基本关系式、诱导公式、 和差角与倍角公式等.解答题主要考查三角函数的性 质、三角函数的恒等变换或三角函数的实际应用,一般 出现在前两个解答题的位置.

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平面向量是连接代数与几何的桥梁,是高考的重要内
容之一.高考常设置1个客观题或1个解答题,对平面 向量知识进行全面的考查,其分值约为10分,约占总 分的7%.近年高考中平面向量与解三角形的试题是难 易适中的基础题或中档题,一是直接考查向量的概念、

性质及其几何意义;二是考查向量、正弦定理与余弦
定理在代数、几何问题中的应用.

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专题探究

专题1 三角函数的化简与求值
三角函数的化简与求值是高考考查的重点内容.近 几年高考解答题单独考查逐渐减少,多在某一问中 进行考查,解此类题应根据考题的特点灵活地正用、 逆用、变形运用和、差、倍角公式和诱导公式,进

行化简、求值.

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?2x+π ?+sin2x. 例1 设函数 f(x)=cos? 3?
(1)求函数 f(x)的最大值和最小正周期; 1 ?C? (2)设 A,B,C 为△ABC 的三个内角,若 cosB= ,f? 2 ?= 3 1 - ,且 C 为锐角,求 sinA. 4 π π 1-cos2x 【解】 (1)f(x)=cos2xcos -sin2xsin + 3 3 2

1 3 1 1 = cos2x- sin2x+ - cos2x 2 2 2 2 1 3 = - sin2x. 2 2
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π π 所以,当 2x=- +2kπ,即 x=- +kπ(k∈Z)时, 2 4 1+ 3 f(x)取得最大值,f(x)最大值= , 2 2π f(x)的最小正周期 T= =π, 2 1+ 3 故函数 f(x)的最大值为 ,最小正周期为 π. 2

?C?=-1,即1- 3sinC=-1,解得 sinC= 3, (2)f? 2 ? 4 2 2 4 2
π 又 C 为锐角,所以 C= . 3
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1 2 2 由 cosB= 得 sinB= . 3 3 因此 sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C) =sinBcosC+cosBsinC 2 2 1 1 3 2 2+ 3 = × + × = . 3 2 3 2 6

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专题2 三角函数的图象与性质
三角函数的图象与性质是高考考查的重点,其中图 象的变换是重中之重,函数的各种变换,都是对自 变量x与函数值y进行的变换.准确作出三角函数的图 象,可以帮助我们迅速而又准确地求解相关问题.

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?ωx-π ?· 例2 (2012· 高考重庆卷)设函数 f(x)=4cos 6 ? sinωx ?
-cos(2ωx+π),其中 ω>0. (1)求函数 y=f(x)的值域;

?-3π,π ?上为增函数,求 ω 的最大值. (2)若 f(x)在区间 ? 2 2? 3 1 【解】 (1)f(x)=4? cosωx+ sinωx?sinωx+cos2ωx ?2 2 ?
=2 3sinωxcosωx+2sin2ωx+1-2sin2ωx = 3sin2ωx+1, 因为-1≤sin2ωx≤1, 所以函数 y=f(x)的值域为[1- 3,1+ 3].
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?2kπ-π ,2kπ+π ?(k∈Z)上为 (2)因为 y=sinx 在每个闭区间 2 2? ?
增 函 数 , 故 f(x) = 3 sin2ωx + 1(ω > 0) 在 每 个 闭 区 间

?kπ- π ,kπ+ π ? (k∈Z)上为增函数.依题意知?-3π,π ? ? ω 4ω ω 4ω? ? 2 2? ?kπ- π ,kπ+ π ?对某个 k∈Z 成立,此时必有 k=0,于 ? ? ω 4ω ω 4ω ?

? 是? π π ?2≤4ω,

3π π - ≥- , 2 4ω

1 1 解得 ω≤ ,故 ω 的最大值为 . 6 6

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专题3

三角形中的三角函数

此类题主要考查三角函数在三角形中的应用.解三角形
的关键是在转化与化归数学思想的指导下,正确、灵活 地运用正弦、余弦定理、三角形的面积公式及三角形内 角和等公式及定理解题.

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例3 (2012· 高考江西卷)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分
π ?π+C ?-csin?π+B ?=a. 别为 a,b,c.已知 A= ,bsin 4 4 ? ? ?4 ? π (1)求证:B-C= ; 2 (2)若 a= 2,求△ABC 的面积. ?π+C?-csin?π+B ?=a, 【解】 (1)证明:由 bsin 4 ? ? ?4 ?
应用正弦定理,得

?π+C?-sinCsin?π+B ?=sinA, sinBsin 4 ? ? ?4 ?

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2 2 ? 2 ?-sinC? 2 ?= 2 , sinB ? 2 sinC+ 2 cosC ? ? 2 sinB+ 2 cosB ? 2 整理得 sinBcosC-cosBsinC=1,即 sin(B-C)=1, 3 π 由于 0<B,C< π,从而 B-C= . 4 2 3π 5π π (2)B+C=π-A= ,因此 B= ,C= . 4 8 8 π asinB 5π asinC π 由 a= 2,A= ,得 b= =2sin ,c= =2sin , 4 8 8 sinA sinA 1 5π π π π 1 所以△ABC 的面积 S= bcsinA= 2sin sin = 2cos sin = . 2 8 8 8 8 2

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专题4

平面向量与三角函数

此类题型主要表现为两种综合方式:(1)三角函数与向
量的数量积直接联系;(2)利用三角函数与向量的夹角 交汇,达到与数量积的综合.解答时首先利用向量进行 转化,再利用三角函数知识求解.

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A 例4 (2012· 高考山东卷)已知向量 m=(sinx,1), n=( 3Acosx, 2 cos2x)(A>0),函数 f(x)=m· 的最大值为 6. n (1)求 A; π (2)将函数 y=f(x)的图象向左平移 个单位,再将所得图象上 12 1 各点的横坐标缩短为原来的 倍, 纵坐标不变, 得到函数 y=g(x) 2

?0,5π ?上的值域. 的图象,求 g(x)在 ? 24 ?

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【解】

(1)f(x)=m· n

A 3 1 = 3Asinxcosx+ cos2x=A? sin2x+ cos2x? 2 ?2 2 ?

?2x+π ?.因为 A>0,由题意知 A=6. =Asin 6? ? ?2x+π ?. (2)由(1)知 f(x)=6sin 6? ?
π 将函数 y=f(x)的图象向左平移 个单位后得到 12

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?2?x+ π ?+π ?=6sin?2x+π ?的图象; y=6sin ? 12? 6 ? 3? ? ?
1 再将得到图象上的各点横坐标缩短为原来的 倍,纵坐标 2

?4x+π ?的图象. 不变,得到 y=6sin 3? ? ?4x+π ?.因为 x∈?0,5π ?, 因此 g(x)=6sin 3? ? ? 24 ?
π ?π 7π? 所以 4x+ ∈ 3, 6 , 3 ? ?

?0,5π ?上的值域为[-3,6]. 故 g(x)在 ? 24 ?
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