高一数学必修1知识点总结:第二章基本初等函数

高中数学必修 1 知识点总结

?

(? 1)元素与集合的关系:属于(?)和不属于(?)

?????集合与元素(((?????? 324)))集集集合合合的中的分元表类素示:的方按特法集性:合:列中确举元定法素性、的、描个互述数异法多性(少、自分无然为序语:性言有描限述集、、特无征限性集质、描空述集)、图示法、区间法

? ?

? ?子集:若x ? A ? x ? B,则A ? B,即A是B的子集。

? ? ? ? ? ? ?

?? ?? ?? ??关系 ??? ?? ??

?1、若集合A中有n个元素,则集合A的子集有2n 个,真子集有(2n -1)个。



??2、任何一个集合是它本身的子集,即 A ? A ??3、对于集合A, B,C,如果A ? B,且B ? C, 那么A

?

C.

??4、空集是任何集合的(真)子集。

集合

? ?

? ?

?真子集:若A ?

?

B且A

?

B(即至少存在x0

?

B但x0

?

A),则A是B的真子集。

? ? ?集合与集合 ? ? ? ? ? ? ?

???????????运算???????????集并交合集集Ca相??????????r定定性性d等(义义质质A:?::::ABAAAA?)?????BBBC且AAa????Ar??dAA?xx,(,A//BxAxA) ??????CAA??a或且rA??dxx?(?A??B,B,)BB-A??AC??arBdB(??ABB???BA)A,,AA??BB??AA,, AA??BB??

B,A ? B,A ?

B B

? ?

A?B A?B

? ?

A B

? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ??

? ? ?补集 ? ??

???定性义质::(CCUUAA)

? ?

CU ( A

? ?x / x ?U且x ? A? ? A
? A ? ?,(CU A) ? A ? U,CU ? B) ? (CU A) ? (CU B)

(CU

A)

?

A,CU

(A

?

B)

?

(CU

A)

?

(CU

B),

?

?

?

?

?

?

?根式: n a , n为根指数,a为被开方数??

? ?分数指数幂

? ??

n

am

m ? an

? ?

??指数的运算

? ?

?ar a s ? ar ?s (a ? 0, r, s ? Q)

??指数函数 ? ?

? ? ? ?

??性质

? ?(a

r

)s

?

ars (a

? 0, r, s ? Q)

? ?

??(ab)r ? ar bs (a ? 0, b ? 0, r ? Q)

? ? ?

? ?指数函数 ??

?定义:一般地把函数y ??性质:见表1

?

a x (a

?

0且a

? 1)叫做指数函数。

?

?

?

?对数:x ? loga N , a为底数,N为真数

基本初等函数

? ? ? ? ? ??对数函数

? ? ? ??对数的运算 ? ?

? ? ? ? ??性质 ?

?log ? ?log ? ??log

a a a

(M ? N ) ? log

M N

? loga M

M n ? n loga

a M ? loga N ; ? loga N ; M ; (a ? 0, a ? 1,

M

? 0, N

? 0)

.

?

?

?

?

?

?

? ? ?

? ?换底公式:log a ?

b

?

log c log c

b a

(a, c

?

0且a, c

? 1, b

?

0)

? ? ? ?

? ?对数函数 ??

?定义:一般地把函数y ??性质:见表1

?

log a

x(a

?

0且a

? 1)叫做对数函数

?

? ?幂函数 ??

?定义:一般地,函数y ??性质:见表2

?

x?叫做幂函数,x是自变量,? 是常数。

1

2.1.2 指数函数及其性质

(4)指数函数 函数名称

指数函数

定义

函数 y ? ax (a ? 0 且 a ? 1) 叫做指数函数

a ?1

0? a ?1

y y ? ax

y ? ax y

图象
定义域 值域
过定点 奇偶性 单调性

y?1

(0,1)

1

O

0x

y?1

(0,1)

1

O

0x

R
(0,+∞)

图象过定点(0,1),即当 x=0 时,y=1.

非奇非偶

在 R 上是增函数

在 R 上是减函数

函数值的
y>1(x>0), y=1(x=0), 0<y<1(x<0)
变化情况

y>1(x<0), y=1(x=0), 0<y<1(x>0)

a 变化对
图象的影 响

在第一象限内, a 越大图象越高,越靠近 y 轴; 在第一象限内, a 越大图象越高,越靠近 y 轴; 在第二象限内, a 越大图象越低,越靠近 x 轴. 在第二象限内, a 越小图象越低,越靠近 x 轴.

〖2.3〗幂函数
(1)幂函数的定义
一般地,函数 y ? x? 叫做幂函数,其中 x 为自变量,? 是常数.
(2)幂函数的图象

2

〖2.2〗对数函数
(1)对数的定义
①若 ax ? N (a ? 0,且a ? 1) ,则 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x ? loga N ,其中 a 叫做底数, N 叫做真数.

②负数和零没有对数.③对数式与指数式的互化: x ? loga N ? ax ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) .

(2)几个重要的对数恒等式:

loga 1 ? 0 , loga a ? 1 , loga ab ? b .

(3)常用对数与自然对数:常用对数: lg N ,即 log10 N ;自然对数: ln N ,即 loge N (其中 e ? 2.71828 …).

(4)对数函数 函数名称

对数函数

定义

函数 y ? loga x(a ? 0 且 a ? 1) 叫做对数函数

a ?1

0? a ?1

y

x?1 y ? loga x

y

x?1 y ? loga x

图象

1

O

(1, 00)

x

1(1, 0)

O

0x

定义域 值域
过定点 奇偶性 单调性

(0, ??)

R 图象过定点 (1, 0) ,即当 x ?1 时, y ? 0 .

非奇非偶

在 (0, ??) 上是增函数

在 (0, ??) 上是减函数

函数值的 变化情况

loga x ? 0 (x ? 1) loga x ? 0 (x ? 1) loga x ? 0 (0 ? x ? 1)

loga x ? 0 (x ? 1) loga x ? 0 (x ? 1) loga x ? 0 (0 ? x ? 1)

a 变化对 图
象的影响

在第一象限内, a 越大图象越靠低,越靠近 x 轴 在第一象限内, a 越小图象越靠低,越靠近 x 轴 在第四象限内, a 越大图象越靠高,越靠近 y 轴 在第四象限内, a 越小图象越靠高,越靠近 y 轴

3

高一数学必修 4 知识点
?正角:按逆时针方向旋转形成的角 1、任意角??负角:按顺时针方向旋转形成的角
??零角:不作任何旋转形成的角 2、角? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称? 为
第几象限角.
? ? 第一象限角的集合为 ? k ?360 ? ? ? k ?360 ? 90 , k ? ?
? ? 第二象限角的集合为 ? k ?360 ? 90 ? k ?360 ?180 , k ? ?
? ? 第三象限角的集合为 ? k ?360 ?180 ? ? ? k ?360 ? 270 , k ? ?
? ? 第四象限角的集合为 ? k ?360 ? 270 ? ? ? k ?360 ? 360 , k ? ?
? ? 终边在 x 轴上的角的集合为 ? ? ? k ?180 , k ? ?
? ? 终边在 y 轴上的角的集合为 ? ? ? k ?180 ? 90 , k ? ?
? ? 终边在坐标轴上的角的集合为 ? ? ? k ?90 , k ? ?
? ? 3、与角? 终边相同的角的集合为 ? ? ? k ?360 ??, k ? ?
? ? 4、已知? 是第几象限角,确定 ? n ? ?* 所在象限的方法:先把各象限均分 n 等份,再从 x 轴 n 的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则 ? 原来是第几象限对应的标号即 为 ? 终边所落在的区域.
n 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度. 6、半径为 r 的圆的圆心角? 所对弧的长为 l ,则角? 的弧度数的绝对值是 ? ? l .
r
8、若扇形的圆心角为? ??为弧度制?,半径为 r ,弧长为 l ,周长为 C ,面积为 S ,则 l ? r ? ,
C ? 2r ? l , S ? 1 lr ? 1 ? r2 . 22
14、函数 y ? sin x 的图象上所有点向左(右)平移 ? 个单位长度,
得到函数 y ? sin? x ??? 的图象;再将函数 y ? sin? x ??? 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)
到原来的 1 倍(纵坐标不变),得到函数 y ? sin??x ??? 的图象;再将函数 y ? sin??x ??? 的
?
图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍(横坐标不变),得到函数 y ? ?sin ??x ???
的图象.
4

函数 y ? sin x 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的 1 倍(纵坐标不变),得到函数 ?
y ? sin?x 的图象;再将函数 y ? sin?x 的图象上所有点向左(右)平移 ? 个单位长度,得到 ?

函数 y ? sin??x ??? 的图象;再将函数 y ? sin??x ??? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)

到原来的 ? 倍(横坐标不变),得到函数 y ? ?sin ??x ???的图象.

函数 y ? ?sin??x ????? ? 0,? ? 0? 的性质:

①振幅 ? ;②周期: ? ? 2? ;③频率: f ? 1 ? ? ;④相位:?x ?? ;⑤初相:? .

?

? 2?

二、向量

17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点.

⑶三角形不等式: a ? b ? a ? b ? a ? b .

⑷运算性质:①交换律: a ? b ? b ? a ;
? ? ? ? ②结合律: a ? b ? c ? a ? b ? c ;

③a?0?0?a ?a .
⑸坐标运算:设 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2, y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2, y1 ? y2 ? .
18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.
⑵坐标运算:设 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2, y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2, y1 ? y2 ? .
设 ? 、 ? 两点的坐标分别为 ? x1, y1 ? , ? x2, y2 ? ,则 ?? ? ? x1 ? x2, y1 ? y2 ? .
19、向量数乘运算: ⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ?a .
① ?a ? ? a ; ②当 ? ? 0 时,?a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时,?a 的方向与 a 的方向相反;当 ? ? 0 时, ?a ? 0.
? ? ⑵运算律:① ? ??a? ? ????a ;② ?? ? ??a ? ?a ? ?a ;③ ? a ? b ? ?a ? ?b .
⑶坐标运算:设 a ? ?x, y? ,则 ?a ? ? ?x, y? ? ??x,? y? .

5

? ? 20、向量共线定理:向量 a a ? 0 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ?a . ? ? 设 a ? ? x1, y1 ? ,b ? ? x2, y2 ? ,其中 b ? 0 ,则当且仅当 x1y2 ? x2 y1 ? 0 时,向量 a 、b b ? 0 共线.
21、平面向量基本定理:如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内
的任意向量 a ,有且只有一对实数 ?1 、?2 ,使 a ? ?1e1 ? ?2e2 .(不共线的向量 e1 、e2 作为这一
平面内所有向量的一组基底)
22、分点坐标公式:设点 ? 是线段 ?1?2 上的一点, ?1 、?2 的坐标分别是 ? x1, y1 ? ,? x2, y2 ? ,当

?1?

?

???2

时,点

? 的坐标是

? ??

x1 ? ? x2 1? ?

,

y1 ? ? y2 1? ?

? ??



23、平面向量的数量积:

? ? ⑴ a ?b ? a b cos? a ? 0,b ? 0,0 ? ? ? 180 .零向量与任一向量的数量积为 0 .

⑵性质:设 a 和 b 都是非零向量,则① a ? b ? a ?b ? 0 .②当 a 与 b 同向时,a ?b ? a b ;当

a 与 b 反向时, a ?b ? ? a b ; a ? a ? a2 ? a 2 或 a ? a ? a .③ a ?b ? a b .

? ? ? ? ? ? ⑶运算律:① a ?b ? b ? a ;② ??a??b ? ? a ?b ? a ? ?b ;③ a ? b ?c ? a ?c ? b ?c .

⑷坐标运算:设两个非零向量 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2, y2 ? ,则 a ?b ? x1x2 ? y1y2 . 若 a ? ? x, y? ,则 a 2 ? x2 ? y2 ,或 a ? x2 ? y2 .

设 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2, y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1y2 ? 0 .

设 a 、 b 都 是 非 零 向 量 , a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2, y2 ? , ? 是 a 与 b 的 夹 角 , 则

cos? ? a ?b ? x1x2 ? y1y2 .

ab

x12 ? y12 x22 ? y22

(二)对数的运算性质

如果 a ? 0 ,且 a ?1, M ? 0 , N ? 0,那么:

log a (M · N ) ? log a M + log a N ;

log a

M N

? log a M - log a N ;

log a M n ? n log a M (n ? R) .

log

a

b

?

log c log c

b a

( a ? 0 ,且 a ?1; c ? 0 ,且 c ? 1; b ? 0 ).

log am

bn

?

n m

log a

b

log a

b

?

1 log b

a



6

基本公式

12、同角三角函数的基本关系: sin2 ? ? cos2 ? ? 1 sin2 ? ? 1? cos2 ?、、、、cos2 ? ? 1? sin2 ? 13、三角函数的诱导公式:

sin? ? tan? cos?

?1?sin?2k? ?? ? ? sin? , cos?2k? ?? ? ? cos? , tan?2k? ?? ? ? tan? ?k ??? .

?2?sin?? ?? ? ? ?sin? , cos?? ?? ? ? ?cos? , tan?? ?? ? ? tan? .

?3?sin??? ? ? ?sin? , cos??? ? ? cos? , tan??? ? ? ? tan? .

?4?sin?? ?? ? ? sin? , cos?? ?? ? ? ?cos? , tan?? ?? ? ? ? tan? .

口诀:函数名称不变,符号看象限.

?5?

sin

? ??

? 2

?

?

? ??

?

cos

?



cos

? ??

? 2

?

?

? ??

?

sin

?



?

6?

sin

? ??

? 2

?

?

? ??

?

cos ?



cos

? ??

? 2

?

?

? ??

?

?

sin

?



口诀:奇变偶不变,符号看象限.
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:

⑴ cos?? ? ? ? ? cos? cos ? ?sin? sin ? ;

⑵ cos?? ? ? ? ? cos? cos ? ?sin? sin ? ;

⑶ sin?? ? ? ? ? sin? cos ? ?cos? sin ? ;

⑷ sin?? ? ? ? ? sin? cos ? ? cos? sin ? ;

⑸ tan ?? ? ? ? ? tan? ? tan ? ( tan? ? tan ? ? tan?? ? ? ??1? tan? tan ? ?);
1? tan? tan ?

⑹ tan ?? ? ? ? ? tan? ? tan ? ( tan? ? tan ? ? tan?? ? ? ??1? tan? tan ? ? ).
1? tan? tan ?
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:
⑴ sin 2? ? 2sin? cos? . cos 2? ? cos2 ? ? sin2 ? ? 2cos2 ? ?1 ?1? 2sin2 ?

tan

2?

?

2 tan? 1? tan2 ?

cos2 ? ? cos 2? ?1 2

sin2 ? ? 1? cos 2? 2

26、 ?sin? ? ?cos? ? ?2 ? ?2 sin ?? ?? ? ,其中 tan? ? ? .
?

27. a3 ? b3 ? (a ? b)(a2 ? ab ? b2 )

a3 ? b3 ? (a ? b)(a2 ? ab ? b2 )

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