平面向量的概念、线性运算、基本定理(学生版)


平面向量的概念 线性运算、基本定理

向量的有关概念
向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小 叫做向量的长度(模). 零向量:长度为0的向量叫做零向量,其方向是任意的. 单位向量:长度等于1个单位的向量. 平行向量:方向相同或相反的非零向量. 平行向量又叫 共线向量,任一组平行向量都可以移到同一条直线上. 规定:0与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 相反向量:长度相等且方向相反的向量.

题型一、平面向量的基本概念辨析

《世纪金榜》P74例1及变式训练

首尾相连, 可推广多边形法则

向量的加减运算
代数方法
? ?

几何方法

运算律
?

加 法
减 法

?

?

b

a? b
?

?

?

a? b
?

设 a ? ( x1 , y1 ),
?

?

b a

b ? ( x 2 , y2 )则 a ? b

?

?

a? b ? b? a
? ? ?

?

?

? ? ? ?

a 平行四边形法则
?

三角形法则
?

? ( x1 ? x 2 , y1 ? y2 )
?

(a ? b ) ? c ? a ? (b ? c )

b
?

?

a? b
?

?

b a

?

a ? b 设 a ? ( x1 , y1 ),
?

?

三角形不等式:
?

a

b ? ( x 2 , y2 )则 a ? b

?

?

平行四边形法则

三角形法则

? ( x1 ? x 2 , y1 ? y2 )

a- b ? a? b ? a ? b

?

?

?

?

?

要点: 1.平移到同一起点; 2.指向被减向量.

“=”何时成立?同向或反向或有零向量
当 非 零 不 共 线 向 量 , b满 足 什 么 条 件 时 a
? (1)a ? b与a ? b互 相 垂 直 ? a ? b ? 菱形

( 2) a ? b ? a ? b ?

? a ? b ? 矩形

实数?与向量a的积是一个向量 a,长度和方向规定如下 ? : (1) ? a ? ? a ;
几何意义: (1) ? 可 视 为 将 向 量的 长 度a a 伸长或缩短;

向量的数乘运算

( 2)当? ? 0时,? a的方向与 的方向相同; a 当? ? 0时,? a ? 0.
运算律: ,?是实数, ? (1)? ( ? a ) ? (?? )a; ( 2)( ? ? ? )a ? ? a ? ? a; (3)? (a ? b ) ? ? a ? ? b.

当? ? 0时,? a的方向与 的方向相反; )?的 符 号 表 示 是 否 改 变 a (2
向 量a的 方 向 .

向量的加、减、数乘运算统称向量的 线性运算.
恒有?(?1 a ? ?2 b) ? ??1 a ? ?? 2 b

对于任意向量 , b,以及任意实数 , ?1 , ?2, a ?

题型二、平面向量的线性运算 《世纪金榜》P74 例2
1.下 列 各 式 中 不 能 化 简 为 的 是( ) AD A. AB ? CD ? BC; B . AD ? EB ? BC ? CE; C . MB ? MA ? BD; D .CB ? AD ? BC .

2.化 简 以 下 各 式 : (1) AB ? BC ? CA; ( 2) AB ? AC ? BD ? CD; ( 3)OA ? OD ? AD; (4) NQ ? QP ? MN ? MP , 结 果 为0的 个 数 ( )A.1 B.2 C.3 D.4

3.已知:任意四边形 ABCD中, E , F分别为AD, BC的 1 中点, 求证: ? ( AB ? DC ). EF 2

共线定理
向量a(a ? 0)与b共线,当且仅当有唯一 一个实数 ,使得b ? ? a ? 即a(a ? 0) // b ? 存在唯一 ? R,使得b ? ? a ?
定理的应用: 证明 向量共线 证明 三点共线: AB ? ? CD ? AB // CD 证明 两直线平行:
A, B , C三点共线? 存在实数 , ?,且? ? ? ? 1, ? 使得OC ? ? OA ? ? OB

? ? ? ? AB // CD ? AB, CD不 在 同 一 条 直 线 上 ?
中点公式向量表示法 OC ? OA ? OB 2

G是△ABC重心 ? GA ? GB ? GC ? 0(G在△ABC内)

△ ABC重心向量表示法 OG ? 1 OA ? OB ? OC 3

?

?

题型三、共线向量定理的应用
1.设e1 , e2 是两个不共线的非零向 量 若 AB ? e1 ? e2 , BC ? 3e1 ? 2e2 , CD ? ?8e1 ? 2e2 , 求证:A, C , D三点共线 .

2.设 e1 , e2 是两个不共线的非零向 量 若 AB ? e1 ? e2 , BC ? 2e1 ? 3e2 , CD ? 2e1 ? k e2 , 且A, C , D三点共线 求实数k的值. ,

练习:《世纪金榜》P75例1及变式训练

平面向量基本定理
如果e1 , e2 是同一平面内的两个不 共线向量,那么 对于这一平面内的任意 a,有且只有一对实 向量 数?1 , ?2,使a ? ?1 e1 ? ?2 e2 .
1.一组基底:不共线的向 e1 , e2 (非零) 量 2.a ? ?1 e1 ? ?2 e2的形式称为向量的分解 3.当e1 , e2互相垂直时,称为向量 的正交分解

题型四、平面向量基本定理的应用
1.若 e1 , e2 是平面内向量的一组基 底,则下面的向量中 不能作为一组基底的是 ) ( A.e1 ? e2 和e1 ? e2 C .e1 ? 3e2 和 3e1 ? e2 B .3e1 ? 2e2 和 ? 6e1 ? 4e2 D.e1 ? e2 和e2

2、《世纪金榜》P77例1及变式训练

3.平面内有三个向量 , OB , OC , OA 2? ? 其中OA与OB的夹角为 , 与OC的夹角为 , OA 3 6 且 OA ? OB ? 1, ? 2 3,若OC ? ? OA ? ? OB OC (? , ? ? R ),则? ? ?的值为__________ . 4.已知 OA ? 1, ? 3,向量OA与OB的夹角 OB 为 ,点C在?AOB内,且?AOC ? , 设 2 6 m OC ? m OA ? nOB ( m , n ? R ), 则 ? _______. n

?

?

五、性质: ? a 不等式 a ? b ? a ? b ? a ? b a
1.若 AB ? 8, AC ? 5, 求 BC 的取值范围 .

2

2

六、向量在三角形中的应用
1.O是平面上一定点, 、B、C是平面上不共线的三个 A 点, ? ? AB AC 动点P满足OP ? OA ? ? ? ? ? AB AC ? 一定通过 ABC的 _________ . ? 心 若改为: ? OA ? ? AB ? AC 呢 ? OP ? ? ?, ? ? ?0,?? ?, 则P的轨迹 ? ?

?

?

2. 点O是三角形 ABC所在平面内的一点,满 足 OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA,则点O是在什么位置?

提高练习:基底向量思想
1.如图,在△ AOB中,延长 到C, BA 1 使AC ? BA,在OB上取点D,使DB ? OB, 3 DC与OA交于点E,设OA ? a,OB ? b , 试用a,表示OC , DC . b

1 2.设OADB是平行四边形其对角线相交于点 .BM ? BC , , C 3 1 CN ? CD, 试求向量MN与向量OA, OB的关系. 3

3.如图所示,在△ABC中,点M是BC中点,点N在边 AC上,且AN=2NC,AM∩BN=P,求AP:PM的值。
A N P B M C

4.设I是?ABC的内心,当AB ? AC ? 5, BC ? 6时, AI ? x AB ? y BC , 求实数x , y的值.

平面向量的坐标运算

向量的坐标表示
1.向量可以任意平移,但 坐标是唯一不变的 2.以原点O为起点作 ? a , 设OA ? x i ? y j , OA 则向量a的坐标( x , y )就是终点 的坐标 A
j

y
A(x, y)

a

a

O i

x

3.在平移过程中,表示向 量的有向线段的起点、 终点 坐标变化,但向量的坐 标始终等于表示此向量 的有向 线段的终点坐标减去始 点的坐标,即: 设A( x1 , y1 ), B( x 2 , y2 ), 则 AB ? ( x 2 ? x1 , y2 ? y1 ).
y
B( x2 , y2 )

A( x1 , y1 )

O

x

平面向量的坐标运算
设a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x 2 , y2 )
1.加减:? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ), a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) a 2.数乘 : ? a ? (?x1 , ?y1 )
x1 y1 ? 3.共线 : a // b(b ? 0) ? a ? ? b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 ? x2 y2
A, B , C共线, AC ? ? CB ? 1 ? OC ? OA ? OB 1? ? 1? ?
A( x1 , y1 ), B( x 2 , y2 ), C ( x , y ) x1 ? ?x 2 1? ? ?? ? ?1? y1 ? ?y2 1? ? ? ?x ? ? ? ?y ? ? ?

1 1 C为AB中点 ? OC ? OA ? OB 2 2

C(

x1 ? x2 y1 ? y2 , ) 2 2

1 G是△ABC重心, OG ? OA ? OB ? OC 3

?

?

? x ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 ? G? 1 , ? 3 3 ? ?

题型一、平面向量的坐标运算 《世纪金榜》P78例2
1.a ? ( ?2,2), b ? (5, k ), 若 a ? b 不超过5, 则k的取值范围是 ___. 2.? ? ?0,2? ?,已知OP1 ? (cos? , sin? ), OP2 ? ( 3 ? cos? ,4 ? sin? ), 则 P1P2 的取值范围是 _________ .
3.已知点A( ?1,2), 若AB与a ? ( 2,3)同向, ? 2 13 , AB 则点B的坐标为 _______. 4.若平面向量 与a ? (1,?2)的夹角是 ? , 且 b ? 3 5 , 则b ? (____). b 180 5. A( 4,1), B(7,?3), 则与AB平行的单位向量是 ____.

题型二、平面向量共线的坐标表示
1.a ? ( 3,2), b ? ( ?1,2), c ? (4,1), (1)若(a ? k c ) //(2b ? a ), 求实 数k ; ( 2)设 d ? ( x , y )满足(d ? c ) //(a ? b )且 d ? c ? 1, 求d .

2、《世纪金榜》P78例3及变式训练

练习: 1、平面内给定三个向量
c= ,请解答下列问题: (1)求满足a=mb+nc的实数m,n; (2)若∥ ,求实数k;

(3)若d满足∥,且=,

求d.

2、已知a=(1,0),b=(2,1).
(1)求|a+3b|; (2)当k为何实数时,ka-b与a+3b平行, 平行时它们 是同向还是反向?

3.若a=(6,-8),则与a平行的单位向量是 __________. 4、平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点 A(3,1)、B(-1,3),若点C满足 其中α,β∈R 且α+β=1,则点C的轨迹方程为( )

A.
B.3x+2y-11=0

=5

C.2x-y=0
D.x+2y-5=0


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