东北三省三校2017年高三第二次联合模拟考试-文科数学试题 Word版含答案

2017 年高三第二次联合模拟考试

文科数学试卷

第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合 A ? {x |1 ? x ? 3}, B ? {x | x2 ? 4},则 A (CR B) ? ( )

A.{x |1 ? x ? 2}

B.{x | ?2 ? x ? 1}

C.{x |1 ? x ? 2}

D.{x |1 ? x ? 2}

2.复数 1? i ( i 是虚数单位)的虚部为( ) 1? i

A. ?i

B. ?2i

C. -1

D.-2

3.函数 f (x) ? sin x ? cos(x ? ? ) 的值域为( ) 6

A.[?2, 2]

B.[? 3, 3]

C.[?1,1]

D.[? 3 , 3 ] 22

4. 等差数列{an}中,a1 ? a3 ? a5 ? 39 ,a5 ? a7 ? a9 ? 27 ,则数列{an} 的前 9 项的和 S9 等

于( )

A.66

B.99

C. 144

D.297

5. ? 是一个平面,m, n 是两条直线,A 是一个点,若 m ?? ,n ? ? ,且 A?m ,A?? ,

则 m, n 的位置关系不可能是( )

A.垂直

B.相交

C. 异面

D.平行

6. 某几何体的三视图如图所示,其中正视图是半径为 1 的半圆,则该几何体的表面积是

()

A. ( 5 ?1)? ? 2 2

B. ( 5 ?1)? ? 2 2

C. ? ? 3 2

D. 5 ? ? 2 2

7. 函数 f (x) ? cos(2x ? ? ) 的图象可由函数 g(x) ? sin(2x ? ? ) 的图象( )

3

3

A.向左平移 ? 个单位长度得到 2

B.向右平移 ? 个单位长度得到 2

C. 向左平移 ? 个单位长度得到 4

D.向右平移 ? 个单位长度得到 4

8.已知平面向量 a, b 满足 a ? (2a ? b) ? 5 且| a |? 2 ,| b |? 3 ,则向量 a 与向量 b 的夹角余弦

值为( )

A.1

B.-1

C. 1

D. ? 1

2

2

9. 公元 263 年左右,我国数学家刘徽发现,当圆内接正多边形的边数无限增加时,正多边

形的周长可无限逼近圆的周长,并创立了割圆术,利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数

点后面两位的近似值 3.14,这就是著名的徽率,利用刘徽的割圆术设计的程序框图如图所

示,若输出的 n ? 96 ,则判断框内可以填入(

)(参考数据: sin 7.5 ? 0.1305 ,

sin 3.75 ? 0.06540 , sin1.875 ? 0.03272 )

A. p ? 3.14

B. p ? 3.14

C. p ? 3.1415

D. p ? 3.1415926

10. 已知偶函数 f (x) 的定义域为 R ,若 f (x ?1) 为奇函数,且 f (2) ? 3 ,则 f (5) ? (6f) 的

值为( A. -3

) B. -2

C. 2

D.3

11.已知 A, B, P 为双曲线 x2 ? y2 ? 1上不同三点,且满足 PA ? PB ? 2PO ( O 为坐标原 4

点),直线 PA, PB 的斜率记为 m, n ,则 m2 ? n2 的最小值为( ) 4

A.8

B.4

C. 2

D.1

12.已知函数 f (x) 是定义在 (0, ??) 的可导函数, f ' (x) 为其导函数,当 x ? 0 且 x ? 1时,

2 f (x) ? xf ' (x) ? 0 ,若曲线 y ? f (x) 在 x ?1处的切线的斜率为 ? 3 ,则 f (1) ? ( )

x ?1

4

A. 0

B. 1

C. 3 8

D. 1 5

第Ⅱ卷(共 90 分)

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

13.袋中装有编号为 1,2,3,4,5 的五个大小相同的小球,从中任取两个小球,则取出两

球的编号之和为偶数的概率为



14. 若直线 y ? k(x ? 3) 与圆 x2 ? y2 ? 2x ? 3 相切,则 k ?



15. 下列命题正确的是

.(写出所有正确命题的序号)

①已知 a,b ? R ,“ a ?1且 b ?1”是“ ab ?1”的充分条件;

②已知平面向量 a, b ,“| a| 1? 且| b |? 1 ”是“| a ? b |? 1 ”的必要不充分条件;

③已知 a,b ? R ,“ a2 ? b2 ? 1”是“| a | ? | b |? 1 ”的充分不必要条件;

④命题 P :“ ?x0 ? R ,使 ex0 ? x0 ?1 且 ln x0 ? x0 ?1 ”的否定为 ?p :“ ?x ? R ,都有

ex ? x ?1 且 ln x ? x ?1”

16. ?ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ,若 sin A ? 2 , sin B ? 2cosC 且 3

c2 ? a2 ? b ,则 b ?



三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.)

17. 已知数列{an}满足 a1 ? 3 ,an?1 ? 2an ? n ?1,数列{bn}满足 b1 ? 2 ,bn?1 ? bn ? an ? n .

(1)证明:{an ? n} 为等比数列;

(2)数列{cn}满足 cn

?

(bn

an ? n ? 1)(bn?1

? 1)

,求数列{cn}的前 n

项和 Tn

,求证: Tn

?

1 3



18. 下表数据为某地区某种农产品的年产量 x (单位:吨)及对应销售价格 y (单位:千元

/吨).

(1)若 y 与 x 有较强的线性相关关系,根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的

线性回归方程

y^

?

^
b

x

?

a^



(2)若每吨该农产品的成本为 13.1 千元,假设该农产品可全部卖出,预测当年产量为多

少吨时,年利润 Z 最大?

19. 如图,在直四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB / /DC , AD ? AB , AD ? DC ? AA1 ? 2AB ? 2 ,点 E 为棱 C1D1 的中点.
(1)证明: BE ? CD ; (2)若 F 为线段 A1C 上一点,且 BF ? AC , M 为 AD 的中点,求三棱锥 F ? MBC 的体
积.
20. 已知在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,动圆 P 经过点 F(0,1) ,且与直线 l : y ? ?1
相切.
(1)求动圆圆心 P 的轨迹方程 C ; (2)过 F(0,1) 的直线 m 交曲线 C 于 A, B 两点,过 A, B 作曲线 C 的切线 l1, l2 ,直线 l1, l2 交 于点 M ,求 ?MAB 的面积的最小值. 21. 设 f (x) ? x eax , g(x) ? kx ? ln x ?1. (1) a ? ?1, f (x) 与 g(x) 均在 x0 取到最大值,求 x0 及 k 的值; (2) a ? k ?1时,求证: f (x) ? g(x) . 请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修 4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线 l

的极坐标方程为 ?(sin? ? 3 cos? ) ? 4 3 ,若射线? ? ? ,? ? ? 分别与 l 交于 A, B 两点.

6

3

(1)求| AB | ;

(2)设点 P 是曲线 C : x2 ? y2 ? 1 上的动点,求 ?ABP 面积的最大值. 9
23.选修 4-5:不等式选讲
已知函数 f (x) ?| 2x ?1| ? | 2x ? 3 | .

(1)求不等式 f (x) ? 6 的解集; (2)若对任意 x ?[? 1 ,1] ,不等式 f (x) ?| 2x ? a | ?4 恒成立,求实数 a 的取值范围.
2

一、 选择题 ACCBD BCCBD BC 二、 填空题

2017 二模文科数学答案

13. 2

14. ? 3 15.3

16.3

5

3

三、 解答题

17.

(1) an?1 ? 2an ? n ?1,?an?1 ? (n ?1) ? 2(an ? n) ,即bn?1 ? 2bn

又b1 ? a1 ?1? 2,?数列?bn?是以2为首项,2为公比的等比数列.

(2)

由(1)知bn ? an ? n ? (a1 ?1) ? 2n?1 ? 2n

cn

?

(2n

2n ? 1)(2n ?1

? 1)

?

1? 2n ?1

1 2n?1 ?1

?Tn

?

1 2 ?1

?

1 22 ?1

?

1 22 ?1

?

1 23 ?1

?

?

1 2n ?1

?

1 2n?1 ?1

?

1 3

?

1 2n?1 ?1

?

1 3

18. (12 分)

(1) x ? 3 , y ? 50 ,

b? ?(-2)20+(-1) 15+0+1 (-12)+2 (-28) ? ?12.3

4?1?0?1? 4



a? ? 50 ?12.3? 3 ? 86.9

所以: y? ? ?12.3x ? 86.9 ;

(2)年利润 z ? x(86.9 ?12.3x) ?13.1x ? ?12.3x2 ? 73.8x
所以 x ? 3 时,年利润 Z 最大.
19. (12 分)
(1) 连AD1

AB/ / 1 CD 2

? ? ?

D1E

?

1 2

C1D1

? ? ?

?

D1E

/

/AB

?

BE

/

/AD1

CD/ /C1D1 ? ??

?

?

?

?

?

?? ?

?

BE

?

CD

?

AD ? AB?

AB

/

/CD

? ?

?

直棱柱中 DD1

CD ? ? CD

? AD?
? ? ?

?

CD

?

平面ADD1 A1

?

CD

?

?

?

AD1

? ?

??

(2)
设AC BM ? O,连FO,延长AB至Q,使AQ ? 2AB

AB / /CD

?

AD ? AB

? ?

?

四边形AQCD为正方形

?

AC

?

QD

CD ? AD ? 2AB??

又M

,

B为AD,

AQ的中点,所以AC 已知AC

? ?

MB? ?
FB ?

?

AC

?

平面FBM

? ? ?

?

AC

?

FO

FO ? 平面FBM

? ?

平面A1AC中AA1 ? AC, 所以FO / / AA1

直棱柱中AA1 ? 平面ABCD, 所以FO ? 平面ABCD, FO ? 平面MBC, 所以FO为棱锥F ? MBC的高

FO

/

/ AA1

?

FO AA1

?

CO AC

?

3 4

?

FO

?

3 4

AA1

?

3 2

所以V ? 1 (1 2 3 2 2) 3 ? 3

32 4

24

20. (12 分)

(1) x2 ? ? y ?1?2 ? y ?1 ? x2 ? 4 y

(2)设 A? x1, y1 ? B? x2, y2 ? ,直线 m : y ? kx ?1
将 m : y ? kx ?1代入 x2 ? 4 y 中得 x2 ? 4kx ? 4 ? 0

所以

x1

?

x2

?

4k



x1

?

x2

?

?4 ,

y?

?

x 2

得切线: l1 :

y?

x12 4

?

x1 2

?x?

x1 ?

l1 :

y?

x22 4

?

x2 2

? x ? x2 ?

联立得:M ( x1 ? x2 x1x2 ),即M (2k, ?1) 24

AB ?

1? k2

x1 ? x2

? 4(1? k 2), d

?

2k 2 ? 2 1? k2

S

?

1

AB

d

3
? 4(k 2 ?1)2

2

k ? 0时,Smin ? 4

21. (12 分)

(1) a ? ?1 时 f ' ? x? ? ?xe?x ? e?x ? e?x ?1? x?

f ? x? 在 ???,1? 递增, ?1,+?? 递减? f ? x? ? f ?1? ,1 为 f ? x? 最大值点,即 x0 ? 1
max

g' ? x? ? k ? 1 ? kx ?1, k ? 0 时 g ? x?
xx

在 ?0,+?? 增

f ?x?

无最值

k ?0



? ??

0,- 1 k

? ??



? ??

-

1 k

,

??

? ??



g

? x? 最大值为

g

? ??

?

1 k

??? ? ?

1 k

? 1?k

?

?1,

x0

?1

(2)

设h?

x?

?

xex

?

x

?

ln

x

?1 ,

h'

?

x?

?

?

x

?1?

ex

?

x

?1 x

?

?

x

? 1?

?

? ??

ex

?

1 x

? ??

设u ? x? ? ex

?

1 ,u' ?x? ?
x

ex

?

1 x2

? 0,?u(x)递增

u(1) ? 2

e

?

2

?

0,

u

(1)

?

e

?

1

?

0,?

?x0

?

? ??

1 2

,1???,使u

?

x0

?

?

0

即e x0

?

1 x0

? 0,?ex0

?

1 x0

, 且x0

? ? ln x

所以 h? x? 在 ?0, x0 ?递减,在?x0, ???递增

h

?

?x min

?

h?x0 ?

?

x0ex0

? x0

? ln x0

?1 ? 1?

x0

? ln

x0

?1?

0

?h(x) ? xex ? x ? ln x ?1 ? 0恒成立

? xex ? x ? ln x ?1,即f (x) ? g(x)

22. (10 分)

(1) l : ? ?sin(? ? ? ) ? 2 3 3

? ?? 时,? ?2

3,? A(2

? 3, )

6

6

? ? ? 时 , ? ? 4,? A(4, ? )

3

3

?AOB ? ? ? ? ? ? ,OA ? 2 3,OB ? 4 36 6
??BAO ? ? ,?| AB |? 2 2

(2) l : 3x ? y ? 4 3

?x ? cos?

C

:

? ?

y

?

3sin

?

?d ? | 3sin? ?

3 cos?-4

3| = | 2

3 sin(? + ? )-4 6

3| ? | -2

3-4

3| =3 3

2

2

2

当且仅当? + ? =2k? - ? ,即? ? 2k? ? 2 ? 时取“=”

6

2

3

?S

ABC

?

1 2

|

AB | ?d

?

1 ?2?3 2

3?3

3

23. (10 分)

1 当x ? ? 1 时 , ?2x ?1? 2x ? 3 ? 6 ? x ? ?1? ?1 ? x ? ? 1

2

2

2 当 ? 1 ? x ? 3 时 , 2x ?1? 2x ? 3 ? 6恒成立 ? ? 1 ? x ? 3

2

2

2

2

3 当x ? 3 时 , 4x ? 2 ? 6 ? 3 ? x ? 2

2

2

解集为[?1, 2]

(2) f (x) ? 2x ? a ? 4 ?| 2x ? a |? 8
即 ?8 ? 2x ? a ? 8
?a ?1 ? ?8 ? ??a ? 2 ? 8 ? ?7 ? a ? 6


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