【状元360】高考数学一轮复习 7.9 数列求和(二)课件 理_图文

求数列的前 n 项和 Sn,通常要掌握以下解法: (1)错位相减法: 对于形如 cn=anbn 的数列求和, 其中数列{an} 是等差数列, 数列{bn}是等比数列, 即一个等差数列与一个等比数 列对应项相乘所得的数列的求和方法是 先写一行,再写一行,但每一项都乘以公比 q,再错位 相减,即转化为等比数列求和 _________________________________________________. 等差、等比数列求和 (2)分段求和法:通过分段,化归为____________________ 考点一 分段求和 示范1 设数列{an}的通项公式为 an=2n-31,令 bn=|an|, (1)求数列{bn}的前 15 项和; (2)求数列{bn}的前 40 项和. 解析 (1)∵an+1-an>0,∴{an}为单调增数列, 又 a15=-1<0,a16=1>0, 15×14 ∴{an}的前 15 项为负,S15=15×(-29)+ 2 ×2=- 225, 而 bn=|an|,所以{bn}前 15 项和为 225. (2)∵数列{an}从 16 项起为正数,∴{bn}从第 16 项起与{an} 从第 16 项起和相等.即 b16+b17+…+b40=a16+a17+…+a40 a16+a40 = 2 ×25=625, ∴{bn}前 40 项和为 225+625=850. n?103-3n? 展示1 已知数列{an}的前 n 项和 Sn= , 2 (1)求 an; (2)求 Sn 的最大值; (3)令 bn=|an|,求数列{bn}前 n 项和 Tn. 【解析】(1)a1=S1=50, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=-3n+53, 又 n=1 时,a1=50 也符合上式, ∴an=-3n+53. x?103-3x? 103 (2)考虑函数 f(x)= ,其图象的对称轴为 x= 6 = 2 1 176,∴(Sn)max=S17=442. (3)由(1),知,an=-3n+53. ∴当 n≤17 时,an>0;当 n>17 时,an<0. ∴当 n≤17 时,Tn=Sn, 当 n>17 时,Tn=S17+(-a18-a19-…-an)=2S17-Sn. 方法点拨:仔细观察数列,可发现数列呈现一段一段的规 律,与绝对值有关的一般分为两段,分段求和即可. 考点二 错位相减法求和 示范2 己知各项为实数的数列{an}是等比数列且a1=2,a5 +a7=8(a2+a4),数列{bn}满足:对任意正整数n,有a1b1+a2b2 +…+anbn=(2n-2)· 2n+2, (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)在数列{bn}的任意相邻两项bk和bk+1之间插入k个ak(k∈N*) 后,得到一个新的数列{cn},求数列{cn}的前2 013 项之和 ? ? 62×63 63×64 ? ? 提示: = 1 953 , = 2 016 ? ?. 2 2 ? ? 解析 (1)设{an}公比为q,由a5+a7=8(a2+a4) 得a1q4(1+q2)=8a1q(1+q2),又a1=2,q≠0,1+q2>0 则q3=8,q=2,∴an=2n 则题意有a1b1=2得b1=1 当n≥2时,anbn=(a1b1+a2b2+…+anbn)-(a1b1+a2b2+… ? 2n+1+2???-????n-2?· 2n+2???=n,2n +an-1bn-1)=???n-1?· ∴bn=n (2)显然{cn}可举如下:1,21,2,22,22,3,23,23,23,4,24,24,2424,5,… 可见k是数列{cn}的第mk项,k≥2时,mk=k[1+2+…+(k k?k+1? -1)]= 2 62×63 63×64 而m62= 2 =1953,m63= 2 =2016 也即C1935=62,C2016=63. 即{Cn}前2016项为: 1+63 S2016= ×63+(1×2+2×22+…+62×62) 2 =2016+122×262+2 ∴S2013=1955+120×262. 展示2 已知数列{bn}中,b1=1,点 P(bn,bn+1)在直线 x-y +2=0 上,数列{an}的通项为 an,前 n 项和为 Sn 且 an 是 Sn 与 2 的等差中项, (1)求数列{bn},{an}的通项公式 bn,an; b1 b2 bn (2)设 Tn=a +a +…+a ,求满足关于 n 的不等式 Tn<c 的 n 1 2 最小整数 c. 【解析】(1)∵点 P 在直线 x-y+2=0 上, 则 bn-bn+1+2=0,即 bn+1-bn=2. ∴数列{bn}是以 2 为公差的等差数列且 b1=1. ∴bn=1+(n-1)· 2=2n-1. 由条件,得 Sn+2=2an. ∴Sn+1+2=2an+1,即 an+1=2(an+1-an). ∴an+1=2an 对任意 n∈N*成立. ∴数列{an}为等比数列,公比 q=2 且由 a1=S1=2(a1-1), 得 a1=2. - ∴an=2· 2n 1=2n. 所求通项公式为 an=2n,bn=2n-1. 2n-1 1 3 5 (2)Tn=2+22+23+…+ 2n ,① 2n-1 3 5 2Tn=1+2+22+…+ n-1 ,② 2 ?1 1 1 ? ? ? 2n-1 ②-①,得 Tn=1+2?2+22+…+2n-1?- 2n ? ? ? 1 ? ? ? 2n-1 =1+2?1-2n-1?- 2n ? ? 2n-1 2n+3 1 =3- n-2- 2n =3- 2n <3. 2 37 而 T4=16>2,∴满足关于 n 的不等式 Tn<c 的最小整数 c=3. 展示3 已知直线 ln:y=x- 2n与圆 Cn:x2+y2=2an+n+ 2(n∈N*)交于不同两点 An,Bn,其中数列{an}满足 a1=1

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