2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第七章 第二节两条直线的位置关系 文

第二节 两条直线的位置关系 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. 2.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标. 3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离. 知识梳理 一、直线与直线的位置关系 1.平行与垂直. (1)若直线 l1 和 l2 有斜截式方程 l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则 ①直线 l1∥l2 的充要条件是______________. ②直线 l1⊥l2 的充要条件是__________. (2)若 l1 和 l2 都没有斜率,则 l1 与 l2________________. (3)若 l1 和 l2 中有一条没有斜率而另一条斜率为 0,则_____________. 2.两直线相交. 若直线 l1 : A1x + B1y + C1 = 0 和 l2 : A2x + B2y + C2 = 0 的公共点的坐标与方程组 ?A1x+B1y+C1=0, ? ? 的解一一对应. ? ?A2x+B2y+C2=0 相交?__________________________________; 平行?__________________________________; 重合?__________________________________. 二、点与直线的位置关系 若点 P(x0,y0)在直线 Ax+By+C=0 上,则有 Ax0+By0+C=0;若点 P(x0,y0)不在直 线 Ax+By+C=0 上,则有 Ax0+By0+C________0. 三、两点间的距离公式 已知 A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=________________. 四、点 P(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 第 1 页 共 6 页 d=________________________. 两平行线 l1:Ax+By+C1=0 和 l2:Ax+By+C2=0 之间的距离:d=______________. 五、中点坐标公式 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则线段 AB 的中点 P(x0,y0)的坐标公式为 ________________________________________________________________________. 六、对称问题 1.中心对称问题:点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点, 因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题. 设 P(x0,y0),对称中心为 A(a,b),则 P 关于 A 的对称点为 P′(________, ________). 2.点关于直线成轴对称问题. 由轴对称定义知, 对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”. 利用“垂直”、 “平分” 这两个条件建立方程组,就可求出对称点的坐标.一般情形如下: 设点 P(x0,y0)关于直线 y=kx+b 的对称点为 P′(x′,y′),则有 y′-y k=-1, ? ?x′-x · ?y′+y x′+x ? 2 =k· 2 +b, ? 0 0 0 0 可求出 x′,y′. 特殊地,点 P(x0,y0)关于直线 x=a 的对称点为 P′(2a-x0,y0); 点 P(x0,y0)关于直线 y=b 的对称点为 P′(x0,2b-y0); 点 P(x0,y0)关于直线 x-y=0(即 y=x)的对称点为 P′(y0,x0); 点 P(x0,y0)关于直线 x+y=0(即 y=-x)的对称点为 P′(-y0,-x0). 3.曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题. 一般是转化为点的中心对称或轴对称(这里既可选特殊点,也可选任意点实施转化). 一般结论如下: (1)曲线 f(x,y)=0 关于已知点 A(a,b)的对称曲线的方程是 f(2a-x,2b-y)=0. (2)曲线 f(x,y)=0 关于直线 y=kx+b 的对称曲线的求法: 设曲线 f(x,y)=0 上任意一点为 P(x0,y0),点 P 关于直线 y=kx+b 的对称点为 P′(x, y-y k=-1, ? ?x-x · y),则由上面第三点知,P 与 P′的坐标满足? y +y x +x ? 2 =k· 2 +b, ? 0 0 0 0 从中解出 x0,y0, 代入已知曲线 f(x,y)=0,应有 f(x0,y0)=0.利用坐标代换法就可求出曲线 f(x,y)=0 关 于直线 y=kx+b 的对称曲线方程. 4.两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论: (1)点(x,y)关于 x 轴的对称点为________; 第 2 页 共 6 页 (2)点(x,y)关于 y 轴的对称点为________; (3)点(x,y)关于原点的对称点为________; (4)点(x,y)关于直线 x-y=0 的对称点为________; (5)点(x,y)关于直线 x+y=0 的对称点为________. 一、1.(1)①k1=k2 且 b1≠b2 ②k1· k2=-1 (2)平行或重合 (3)l1⊥l2 2.方程组有唯一解,交点坐标就是方程组的解 方程组无解 方程组有无穷多个解 二、≠ 三、 ?x2-x1?2+?y2-y1?2 |Ax0+By0+C| 四、 A2+B2 六、 1.2a -x0 (5)(-y,-x) |C2-C1| A +B 2 2 x1+x2 y1+y2 五、x0= ,y0= 2 2 (2)(- x, y) (3)(- x,- y) (4)(y ,x) 2b -y0 4.(1)(x,-y) 基础自测 1.(2013· 汕头二模)过点 A(1,2)且垂直于直线 2x+y-5=0 的直线方程为( A.x-2y+4=0 B.2x+y-7=0 C.x-2y+3=0 ) D.x-2y+5=0 1 解析: 因为直线 2x+y-5=0 的斜率等于-2, 故所求的直线的斜率等于 , 故过点 A(1,2) 2 1

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