江苏省扬州中学2013-2014学年高二上学期期中考试试卷 数学 Word版含答案

江苏省扬州中学 2013—2014 学年度第一学期期中考试

高 二 数 学 试 卷
(注:本试卷满分 160 分,考试时间 120 分钟,请将答案写在答题纸上) 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分) 1.抛物线 y ? 4 x 的焦点坐标是
2
2

2013 年 11 月



. ▲ . ▲ 条.

2.命题“ ?x ? R , x ? 1 ? 0 .”的否定是

3.设 AA1 是正方体的一条棱,这个正方体中与 AA1 平行的棱共有 4.“ a ? 1 且 b ? 1 ”是“ ab ? 1”成立的 条件或既不充分也不必要) 5.已知椭圆 ▲ .
3



条件. (填充分不必要,必要不充分,充要

x2 y2 ? ? 1 上一点 M 到左焦点 F1 的距离是 2,则 M 到左准线的距离为 25 9

6.曲线 y ? x ? x ? 3 在点 P(1,3) 处的切线方程为 7.在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C :
2 x ? y ? 1 ? 0 垂直,则实数 a ?





x2 ? y 2 ? 1 ( a ? 0 )的一条渐近线与直线 l : a2

▲ ▲

. .

8.函数 f ( x) ? xe 的单调增区间为
x

9.把一个圆锥截成圆台,已知圆台的上、下底面半径之比为 1:2,母线长为 6cm,则圆锥 的母线长为 ▲ cm. 10.函数 f ( x) ?

1 x ? sin x 在区间[0,π]上的最小值为 2
2





11.设命题 p :| 4 x ? 3 |? 1 ;命题 q : x ? (2a ? 1) x ? a(a ? 1) ? 0 .若 ?p 是 ?q 的必要不 充分条件,则实数 a 的取值范围是
2





12.已知函数 f ( x) ? mx ? ln x ? 2 x 在定义域内是增函数,则实数 m 的取值范围为 ▲ .

13.如图, 已知椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,B a2 b2

是其下顶点, F 是其右焦点, BF 的延长线与椭圆 及其右准线分别交于 P, Q 两点, 若点 P 恰好是线段

BQ 的中点,则此椭圆的离心率 e ?
14.设 a ? 0 ,函数 f ( x) ? x ?





a , g ( x) ? x ? ln x ,若对任意的 x1 , x2 ? [1, e] ,都有 x
▲ .

f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则 a 的取值范围为

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分) 15. (本题满分 14 分) 如图, 在三棱锥 A ? BCD 中,E , F , G, H 分别是边 AB, BC, CD, DA 的中点. (1)求证:四边形 EFGH 是平行四边形; A (2)若 AC ? BD ,求证: EFGH 是菱形.

E

H D F C G

B

15. (本题满分 14 分)设命题 p :关于 x 的方程 4 x ? 4ax ? 1 ? 0 有实数根;命题 q :关于
2

x 的不等式 x 2 ? ax ? a ? 0 的解集是 R .若“ p 或 q ”为真,“ p 且 q ”为假,求 a 的取值范
围.

2 ? ? y 17. (本题满分 15 分)已知椭圆 C1 与椭圆 x ? ? 1 有相同的焦点,且过点 ? 1, 3 ? . 2

5

2

?

2 ?

⑵若 P 是椭圆 C1 上一点,F1、F2 为椭圆 C1 的左、右焦点,PF1⊥PF2,求△ PF1F2 的面积.

18. (本题满分 15 分)现有一张长 80 厘米、宽 60 厘米的长方形 ABCD 铁皮,准备用它 做成一只无盖长方体铁皮盒, 要求材料利用率为 l00%,不考虑焊接处损失. 方案一:如图(1),从右侧两个角上剪下两个小正方形,焊接到左侧中闻,沿虚线折起,求 此时铁皮盒的体积; 方案二:如图(2),若从长方形 ABCD 的一个角上剪下一块正方形铁皮,作为铁皮盒的底 面,用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面,求该铁皮盒体积的最大值,并说明如何剪拼?

19. (本题满分 16 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知 F1 , F2 分别是椭圆

E:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 左 、 右 焦 点 , A, B 分 别 是 椭 圆 E 的 左 、 右 顶 点 , 且 a 2 b2

???? ???? ? ? ? AF2 ? 5BF2 ? 0 .
(1)求椭圆 E 的离心率; (2) 已知点 D ?1, 0 ? 为线段 OF2 的中点, 为椭圆 E 上的动点 M (异于点 A 、B ) 连接 MF1 , 并延长交椭圆 E 于点 N ,连接 MD 、 ND 并分 别延长交椭圆 E 于点 P 、 Q ,连接 PQ ,设直 线 MN 、 PQ 的斜率存在且分别为 k1 、 k2 ,试 问是否存在常数 ? , 使得 k1 ? ? k2 ? 0 恒成立? 若存在,求出 ? 的值;若不存在,说明理由.

? x 2 ? 2 x ? a, x ? 0 20. (本题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? ? ,其中 a 是实数.设 ?ln x, x ? 0

A( x1 , f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) 为该函数图象上的两点,且 x1 ? x2 .
(1)指出函数 f ( x) 的单调区间; (2)若函数 f ( x) 的图象在点 A, B 处的切线互相垂直,且 x2 ? 0 ,求 x2 ? x1 的最小值; (3)若函数 f ( x) 的图象在点 A, B 处的切线重合,求 a 的取值范围.

命题、校对:钱伟 审核:姜卫东

高二数学期中试卷答题纸
……………线……………内……………不……………要……………答……………题……………… 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分) 1. 5. 9. 13. 2. 6. 10. 14. 3. 7. 11. 成绩 4. 8. 12.

2013.11

姓名_____________

三、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分) 15.解: A

E

H D F C G

B

学号________

16.解:

17.解:

18.解:

19.解:

请将 20 题做在反面

高二数学期中试卷参考答案
1. (1,0) ;2. ?x ? R, x ? 1 ? 0 ;3.3 ;4.充分不必要; 5.
2

2013.11

5 ;6. 2 x ? y ? 1 ? 0 ;7.2 ; 2

8. (?1,??) ; 9.12 ; 10.

?
6

?

3 3 1 1 ; 11. [0, ] ;12. [ ,?? ) ;13. ;14. [e ? 2,??) 2 3 2 2

15.(1)? E, F 为 AB, BC 的中点,? EF // AC 且 EF ?

1 AC . 2

? G, H 为 CD, AD 的中点,? GH // AC 且 GH ?

1 AC . 2 由平行公理, EF // GH 且 EF ? GH ,所以四边形 EFGH 是平行四边形; 1 1 (2) EF ? AC ,同理 EH ? BD ,? AC ? BD ,? EF ? EH . 2 2 由(1)四边形 EFGH 是平行四边形,所以四边形 EFGH 是菱形.
16. p 真: ?1 ? 16 a ? 16 ? 0 ? a ? 1 或 a ? ?1 , q 真: ? 2 ? a ? 4a ? 0 ? 0 ? a ? 4
2 2

因为“ p 或 q ”为真,“ p 且 q ”为假,则 p, q 一真一假。 若 p 真 q 假 ? a ? ?1 或 a ? 4 ,若 q 真 p 假 ? 0 ? a ? 1 综上: a 的范围是 (??,?1] ? (0,1) ? [4,??)
2 2 17.(1) x ? y 2 ? 1; (2)∵ PF1 ? PF2 ? 12 ,PF1+PF2=4,∴PF1· 2=2, PF

2

4

S?PF1F2 = 1 PF1PF2 ? 1
18.方案一:设小正方形的边长为 x ,由题意得 4x ? 60 , x ? 15 , 所以铁皮盒的体积为 65 ? 30 ? 15 ? 29250(cm3 ) . 方案二:设底面正方形的边长为 x(0 ? x ? 60) ,长方体的高为 y ,
4800 ? x2 , 4x 4800 ? x2 1 所以铁皮盒体积 V ( x) ? x 2 y ? x 2 ? ? x3 ? 1200 x , 4x 4 3 2 / / , V ( x) ? ? x ? 1200 ,令 V ( x) ? 0 ,解得 x ? 40 或 x ? ?40 (舍) 4 当 x ? (0, 40) 时, V ?( x) ? 0 ;当 x ? (40,60) 时, V ?( x) ? 0 ,所以函数 V ( x) 在 x ? 40 时取

2

由题意得 x 2 ? 4 xy ? 4800 ,即 y ?

得最大值 32000cm3 .将余下材料剪拼成四个长 40cm,宽 20cm 的小长方形作为正方形

铁皮盒的侧面即可. 答:方案一铁皮盒的体积为 29250cm3 ;方案二铁皮盒体积的最大值为 32000cm3 ,将余 下材料剪拼成四个长 40cm 宽 20cm 的小长方形作为正方形铁皮盒的侧面即可.

???? ???? ? ? ? ???? ? ???? ? 19.解: (1)? AF2 ? 5 BF2 ? 0 ,? AF2 ? 5F2 B .? a ? c ? 5 ? a ? c ? ,化简得 2a ? 3c ,
故椭圆 E 的离心率为
2 . 3

4 (2)存在满足条件的常数 ? , l ? ? .点 D ?1, 0 ? 为线段 OF2 的中点,? c ? 2 ,从而 a ? 3 , 7

左焦点 F1 ? ?2,0 ? , 椭圆 E 的方程为 b? 5,

x2 y 2 ? ? 1 .设 M ? x1 , y1 ? ,N ? x2 , y2 ? ,P ? x3 , y3 ? , 9 5

Q ? x4 , y4 ? , 则 直 线 MD 的 方 程为 x ?

x1 ? 1 x2 y 2 ? ?1 ,整理得, y ? 1 , 代 入 椭 圆 方程 y1 9 5

y ? x ? 1? 5 ? x1 2 x1 ? 1 4 y1 5x ? 9 y ? y ? 4 ? 0 . ? y1 ? y3 ? 1 1 , ? y3 ? . 从 而 x3 ? 1 ,故点 2 x1 ? 5 y1 y1 x1 ? 5 x1 ? 5
? 5 x ? 9 4 y1 ? ? 5 x2 ? 9 4 y2 ? y1 y2 , ? P? 1 , , ? .同理,点 Q ? ? .? 三点 M 、 F1 、 N 共线,? x1 ? 2 x2 ? 2 ? x1 ? 5 x1 ? 5 ? ? x2 ? 5 x2 ? 5 ?

从而 x1 y2 ? x2 y1 ? 2 ? y1 ? y2 ? .
4 y1 4 y2 ? x y ? x2 y1 ? 5 ? y1 ? y2 ? 7 ? y1 ? y2 ? 7k1 y3 ? y4 x1 ? 5 x2 ? 5 ? ? 1 2 ? ? 从而 k2 ? . x3 ? x4 5 x1 ? 9 5 x2 ? 9 4 ? x1 ? x2 ? 4 ? x1 ? x2 ? 4 ? x1 ? 5 x2 ? 5

故 k1 ?

4k 2 4 ? 0 ,从而存在满足条件的常数 ? , l ? ? . 7 7

20 解:(1)函数 f ? x ? 的单调递减区间为 ? ??, ?1? ,单调递增区间为 ? ?1,0 ? , ? 0, ?? ? (2)由导数的几何意义可知,点 A 处的切线斜率为 f ? ? x1 ? ,点 B 处的切线斜率为 f ? ? x2 ? ,故 当点 A 处的切线与点 B 处的切垂直时,有 f ? ? x1 ? f ? ? x2 ? ? ?1 . 当 x ? 0 时,对函数 f ? x ? 求导,得 f ? ? x ? ? 2 x ? 2 . 因为 x1 ? x2 ? 0 ,所以 ? 2 x1 ? 2 ?? 2 x2 ? 2 ? ? ?1, 所以 ? 2 x1 ? 2 ? ? 0, ? 2 x2 ? 2 ? ? 0 . 因此 x2 ? x1 ?

1 ?? ? 2 x1 ? 2 ? ? ? 2 x2 ? 2 ?? ? ? ? 2 x1 ? 2 ?? 2 x2 ? 2 ? ? 1 ? 2?

当且仅当 ? ? 2 x1 ? 2 ? = ? 2 x2 ? 2 ? =1,即 x1 ? ?

3 1 且 x 2 ? ? 时等号成立. 2 2

所以函数 f ( x) 的图象在点 A, B 处的切线互相垂直时, x2 ? x1 的最小值为 1 (3)当 x1 ? x2 ? 0 或 x2 ? x1 ? 0 时, f ? ? x1 ? ? f ? ? x2 ? ,故 x1 ? 0 ? x2 . 当 x1 ? 0 时,函数 f ( x) 的图象在点 x1 , f ? x1 ? 处的切线方程为

?

?

y ? ? x12 ? 2 x1 ? a ? ? ? 2 x1 ? 2 ?? x ? x1 ? ,即 y ? ? 2 x1 ? 2 ? x ? x12 ? a
当 x2 ? 0 时,函数 f ( x) 的图象在点 x2 , f ? x2 ? 处的切线方程为

?

?

y ? ln x2 ?

1 1 ? x ? x2 ? ,即 y ? ? x ? ln x2 ? 1 . x2 x2
① ②

? 1 ? ? 2 x1 ? 2 两切线重合的充要条件是 ? x2 ?ln x ? 1 ? ? x 2 ? a ? 2 1
由①及 x1 ? 0 ? x2 知, 0 ?

1 ? 2. x2

由①②得, a ? ln x 2 ? (

1 1 1 1 ? 1) 2 ? 1 ? ? ln ? ( ? 2) 2 ? 1 . 2 x2 x2 4 x2

令t ?

1 1 2 ,则 0 ? t ? 2 且 a ? t ? t ? ln t 。 x2 4

1 1 (t ? 1) 2 ? 3 1 2 ?0 设 h(t ) ? t ? t ? ln t (0 ? t ? 2) ,则 h' (t ) ? t ? 1 ? ? 2 t 2t 4
所以 h(t ) 在 (0,2) 为减函数。 h(t ) ? h(2) ? ? ln 2 ? 1 , 则 而当 t 趋近于 0 时,h(t ) 无限增大, 所以 a 的取值范围是 (? ln 2 ? 1,??) 。 故当函数 f ( x) 的图象在点 A, B 处的切线重合,求 a 的取值范围是 (? ln 2 ? 1,??) 。


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