广东省揭阳一中、金山中学2015届高考数学联考试卷 文(含解析)

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广东省揭阳一中、金山中学 2015 届高考数学联考试卷(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 A={x|lg(x﹣2)≥0},B={x|x≥2},全集 U=R,则(?UA)∩B=() A. {x|﹣1<x≤3} B. ? C. {x|x=3} D. {x|2≤x<3}

2. (5 分)复数 A. 充分不必要条件 C. 充要条件

在复平面内对应的点在第三象限是 a≥0 的() B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

3. (5 分)已知数列{an}满足 a1=1,an=an﹣1+2n(n≥2) ,则 a7=() A. 53 B. 54 C. 55 D. 109 4. (5 分)已知一棱锥的三视图如图所示,其中侧视图和俯视图都是等腰直角三角形,正视图 为直角梯形,则该棱锥的体积为()

A. 8

B. 16
2

C. 32

D. 48

5. (5 分)对于函数 f(x)=x +mx+n,若 f(a)>0 且 f(b)>0,则函数 f(x)在区间(a, b)内() A. 一定有零点 B. 一定没有零点 C. 可能有两个零点 D. 至多有一个零点

6. (5 分)曲线 A. e
2

在点(4,e )处的切线与坐标轴所围三角形的面积为() B. 2e
2

2

C. 4e

2

D.

7. (5 分)下列程序框图的输出结果为()

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A.

B.

C.

D.

8. (5 分)设 θ ∈( A. 0

, B. 1

) ,则关于 θ 的方程 2 C. 2

=tanθ 的解的个数为() D. 3

9. (5 分)点 A 到图形 C 上每一个点的距离的最小值称为点 A 到图形 C 的距离.已知点 A(1, 2 2 0) ,圆 C:x +2x+y =0,那么平面内到圆 C 的距离与到点 A 的距离之差为 1 的点的轨迹是() A. .双曲线的一支 B. .椭圆 C. 抛物线 D. 射线 10. (5 分) 定义两种运算: a⊕b= 为() A. 奇函数 C. 奇函数且为偶函数 , a?b= , 则函数

B. 偶函数 D. 非奇函数且非偶函数

二、 填空题: 本大题共 3 小题, 考生作答 4 小题, 每小题 5 分, 满分 15 分. (一) 必做题 (11-13 题) 11. (5 分) ( + )与 垂直,且| |=2| |,则 与 的夹角为.

12. (5 分)若等比数列{an}的前项 n 和为 Sn,且

=5,则

=.

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13. (5 分)已知函数 f(x)= ①若? x0∈ C. 充要条件 考点: 复数的代数表示法及其几何意义. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用除法的运算法则:复数 限,可得﹣a<0,即可判断出. 解答: 解:∵复数 象限, ∴﹣a<0,解得 a>0. ∴复数 =

(a>1,x≥2) .

D. 既不充分也不必要条件

=﹣a﹣3i,由于在复平面内对应的点在第三象

=﹣a﹣3i,在复平面内对应的点在第三

在复平面内对应的点在第三象限是 a≥0 的充分不必要条件.

故选:A. 点评: 本题考查了复数的运算法则及其几何意义、充分不必要条件,属于基础题. 3. (5 分)已知数列{an}满足 a1=1,an=an﹣1+2n(n≥2) ,则 a7=() A. 53 B. 54 C. 55 D. 109 考点: 数列的求和;数列的概念及简单表示法. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由于数列{an}满足 a1=1,an=an﹣1+2n(n≥2) ,利用“累加求和”an=(an﹣an﹣1)+(an ﹣1﹣an﹣2)+?+(a2﹣a1)+a1,及等差数列的前 n 项和公式即可得出. 解答: 解:∵数列{an}满足 a1=1,an=an﹣1+2n(n≥2) , ∴an=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+?+(a2﹣a1)+a1 =2n+2(n﹣1)+?+2×2+1 = =n +n﹣1, 当 n=1 时也成立,∴ ∴ =55. .
2

+1

故选:C. 点评: 本题考查了“累加求和”方法、等差数列的前 n 项和公式,属于基础题. 4. (5 分)已知一棱锥的三视图如图所示,其中侧视图和俯视图都是等腰直角三角形,正视图 为直角梯形,则该棱锥的体积为()

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A. 8

B. 16

C. 32

D. 48

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由已知中的三视图可得该几何体是以底面为直角梯形的四棱锥,求出底面面积和高, 代入可得答案. 解答: 解:该几何体是以底面为直角梯形的四棱锥, 底面面积 S= 高 h=4, 故体积 . =12,

故选:B 点评: 本题考查的知识点是由三视图求体积,其中根据已知的三视图判断出几何体的形状 是解答的关键. 5. (5 分)对于函数 f(x)=x +mx+n,若 f(a)>0 且 f(b)>0,则函数 f(x)在区间(a, b)内() A. 一定有零点 B. 一定没有零点 C. 可能有两个零点 D. 至多有一个零点 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题. 分析: 结合二次函数的图象可知 f(x)在区间(a,b)内的零点个数为 0 或 2 解答: 解:由二次函数的图象可知 f(x)在区间(a,b)内的零点个数为 0 或 2 故选 C 点评: 本题考查对根的存在性定理的理解,准确把握根的存在性定理的条件和结论及它们 之间的关系是解题的关键.
2

6. (5 分)曲线 A. e
2

在点(4,e )处的切线与坐标轴所围三角形的面积为() B. 2e
2

2

C. 4e

2

D.

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题;作图题;导数的综合应用.

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分析: 由题意作图, 求导 y′=

, 从而写出切线方程为 y﹣e = e (x﹣4) ; 从而求面积.

2

2

解答: 解:如图,y′= 故 y′|x=4= e ;
2



故切线方程为 y﹣e = e (x﹣4) ; 当 x=0 时,y=﹣e , 当 y=0 时,x=2; 故切线与坐标轴所围三角形的面积 S= ×2×e =e ; 故选 A.
2 2 2

2

2

点评: 本题考查了导数的求法及曲线切线的求法,同时考查了数形结合的思想,属于中档 题. 7. (5 分)下列程序框图的输出结果为()

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A.

B.

C.

D.

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 根据程序框图,得到程序的计算功能为计算 S= ,直到不满足条件 i>2013 即可得到结论.

解答: 解:根据程序框图可知该程序的功能是计算 S= 则根据数列求和的裂项法法可得 S= =1﹣ , , =1﹣

故选:C. 点评: 本题主要考查程序框图的识别和判断,根据条件得到程序的计算功能是解决本题的 关键,注意数列求和的基本方法.

8. (5 分)设 θ ∈( A. 0

, B. 1

) ,则关于 θ 的方程 2 C. 2

=tanθ 的解的个数为() D. 3

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 首先可判断方程 2 考点: 轨迹方程. 专题: 计算题. =tanθ 若有解,解在区间

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: 由题设条件能够推导出动点 M(x,y)到两定点 A(1,0) ,C(﹣1,0)的距离之差 为 2,由|AC|=2,知点 M 的轨迹是射线. 解答: 解:圆 C:x +2x+y =0 的圆心 C(﹣1,0) ,半径 r=
2 2

=1,

设平面内到圆 C 的距离与到点 A 的距离之差为 1 的点的坐标为 M(x,y) , 则( ∴ ﹣1)﹣ ﹣ =2, =1,

即动点 M(x,y)到两定点 A(1,0) ,C(﹣1,0)的距离之差为 2, ∵|AC|=2, ∴点 M 的轨迹是射线. 故选 D. 点评: 本题考查点的轨迹方程的求法,解题时要认真审题,注意双曲线定义的灵活运用. 10. (5 分) 定义两种运算: a⊕b= 为() A. 奇函数 C. 奇函数且为偶函数 , a?b= , 则函数

B. 偶函数 D. 非奇函数且非偶函数

考点: 函数奇偶性的判断. 专题: 压轴题;新定义. 分析: 先利用新定义把 f(x)的表达式找出来,在利用函数的定义域把函数化简,最后看 f(x)与 f(﹣x)的关系得结论. 解答: 解:有定义知 f(x)=
2

=



由 4﹣x ≥0 且|x﹣2|﹣2≠0,得﹣2≤x<0 或 0<x≤2, 即函数 f(x)的定义域为{x|﹣2≤x<0 或 0<x≤2},关于原点对称; f(﹣x)= = =﹣ =﹣f(x) ,

故 f(x)是奇函数. 故选:A. 点评: 本题是对函数新定义与奇偶性的综合考查,关于新定义的题,关键在于理解新定义, 并会用新定义解题. 二、 填空题: 本大题共 3 小题, 考生作答 4 小题, 每小题 5 分, 满分 15 分. (一) 必做题 (11-13 题) 11. (5 分) ( + )与 垂直,且| |=2| |,则 与 的夹角为 120°.

考点: 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 设| |=1,则| |=2| |=2,再根据( + )与 垂直,求出两向量夹角的余弦值,利 用向量夹角的范围求出向量的夹角. 解答: 解:设| |=1,∴| |=2| |=2, ∵( + )⊥ ,∴( + )? = ∴ ∴cos =| || |cos< , >=2cos =﹣ ,又 0°≤cos + ? =0, =﹣1, ≤180°.

∴cos< , >=120°, 故答案为:120°. 点评: 本题考查向量的数量积公式,考查学生的计算能力.

12. (5 分)若等比数列{an}的前项 n 和为 Sn,且

=5,则

=17.

考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 根据等比数列的前 n 项和公式,求出公比即可得到结论. 解答: 解:若公比 q=1,则 = 5,∴公比 q≠1.



=5 得



即 q =4,

2



=



故答案为:17. 点评: 本题主要考查等比数列通项公式和前 n 项和公式的计算,要求熟练掌握相应的公式, 考查学生的计算能力.

13. (5 分)已知函数 f(x)=

(a>1,x≥2) .

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ①若? x0∈, 故答案为: 点评: 本题主要考查函数最值的应用,根据函数的单调性之间的关系是解决本题的关键. (二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题) (坐标系与参数方程选做题) 14. (5 分)在极坐标系中,过点 A(4, )引圆 ρ =4sinθ 的一条切线,则切线长为 4 .

考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 首先,将极坐标下的点 A 和圆的方程化为直角坐标下的相应的点和圆,然后,根据 直角三角形中的边角关系,求解切线长即可. 解答: 解:由 ρ =4sinθ ,得 2 2 x +y ﹣4y=0, 2 2 ∴x +(y﹣2) =4, 根据 A(4, ) ,得

A(0,﹣4) , 设圆心为 O,半径为 r,则|OA|=6, 切线长为 d= ,

故答案为:4 . 点评: 本题重点考查点、圆的极坐标方程和直角坐标的互化、切线长的计算等知识,属于 中档题. (几何证明选讲选做题) 15.如图,PA 是圆 O 的切线,切点为 A,PO 交圆 O 于 B,C 两点,且 PA=2,PB=1,则 AB 的长 为 .

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 选作题;立体几何. 分析: 利用切割线定理,求出 PC,BC,再利用△PAB∽△PCA,即可得出结论. 解答: 解:∵PA 是圆 O 的切线,切点为 A,PO 交圆 O 于 B,C 两点, 2 ∴PA =PB?PC, ∵PA=2,PB=1, ∴PC=4,BC=3, ∵△PAB∽△PCA,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴ ∴ , ,

∴AB=

. .

故答案为:

点评: 本题考查切割线定理,考查三角形相似的性质,考查学生的计算能力,属于中档题. 三.解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (12 分)如图,在直角坐标系 xOy 中,角 α 的顶点是原点,始边与 x 轴正半轴重合,终 边交单位圆于点 A,且 于点 B.记 A(x1,y1) ,B(x2,y2) . (Ⅰ)若 x1= ,求 x2; (Ⅱ)分别过 A,B 作 x 轴的垂线,垂足依次为 C,D.记△AOC 的面积为 S1,△BOD 的面积为 S2.若 S1=S2,求角 α 的值. .将角 α 的终边按逆时针方向旋转 ,交单位圆

考点: 三角函数中的恒等变换应用. 专题: 计算题. 分析: (I)根据三角函数定义求得 x1=cosα , cosα ,sinα ,然后利用 x2=cos(α + )= cosα ﹣ sinα 求 x2; ,再利用 x1= ,求得

(II) 根据图形用 α 的三角函数表示 S1、 S2, 利用 S1=S2 求得 tan2α , 分析 2α 的范围求得 2α , 从而求得 α . 解答: 解: (I)由三角函数定义,得 x1=cosα , ∵α ∈( , ) ,cosα = , ,

∴sinα =

=



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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴x2=cos(α + )= cosα ﹣ sinα = . ) .

(Ⅱ)解:依题意得 y1=sinα ,y2=sin( ∴S1= x1y1= sin2α , S2= |x2|y2= sin(α + ∵S1=S2 ∴sin2α =﹣sin(2α + 整理得 tan2α =﹣ ∵ ∴ , <2α <π , ,即 α = . , )=﹣ sin2α ﹣ )|cos(α +

)|=﹣ sin(2α +

) ,

cos2α ,

∴2α =

点评: 本题主要考查三角函数的定义及三角函数恒等变形,考查了学生运用三角函数的知 识解决问题的能力. 17. (12 分)从某校 2015 届高三年级 800 名学生中随机抽取 50 名测量身高.据测量,被抽取 的学生的身高全部介于 155cm 和 195cm 之间,将测量结果分成八组得到的频率分布直方图如 图. (Ⅰ)试估计这所学校 2015 届高三年级 800 名学生中身高在 180cm 以上(含 180cm)的人数 为多少; (Ⅱ)在样本中,若学校决定身高在 185cm 以上的学生中随机抽取 2 名学生接受某军校考官 进行面试,求:身高在 190cm 以上的学生中至少有一名学生接受面试的概率.

考点: 古典概型及其概率计算公式;频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: (I)由频率分布直方图,结合各组累积频率为 1,及每组的频率=矩形的面积=矩形 的高×组距, 可求出身高介于 185cm~190cm 的频率, 进而求出身高在 180cm 以上的累积频率, 进而根据频数=频率×样本容量得到答案.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (II)根据频数=频率×样本容量,可以求出身高介于 185cm~190cm 的学生人数和身高介于 190cm~195cm 的学生人数,进而由组合数公式,可求出从身高在 185cm 以上的学生中随机抽 取 2 名学生的事件个数及身高在 190cm 以上的学生中至少有一名学生接受面试的事件个数, 代 入古典概型概率公式,可得答案. 解答: 解: (Ⅰ)由频率分布直方图可知,样本中身高介于 185cm~190cm 的频率为: 1﹣(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06+0.016+0.008)×5=0.06,?(3 分) ∴800 名学生中身高在 180cm 以上的人数为: 800×(0.016×5+0.06+0.008×5)=144 人. ?(6 分) (Ⅱ)样本中,身高介于 185cm~190cm 的学生人数为 50×0.06=3 人, 身高介于 190cm~195cm 的学生人数为 50×0.008×5=2 人.?(8 分) ∴“身高在 185cm 以上的学生 5 人中随机抽取 2 名学生”的基本事件数共 10 种, ? (10 分)

其中抽取的 2 名学生中“身高在 190cm 以上的学生中至少有一名学生”的基本事件数有 =7 种. ∴所求事件的概率为 ?(12 分)

点评: 本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式,频率分面直方图,其中利用公式: 频数=频率×样本容量计算出满足条件的各组人数是解答的关键. 18. (14 分)如图,已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面垂直,且∠ACB=90°,∠BAC=30°, BC=1,AA1= ,点 P、M、N 分别为 BC1、CC1、AB1 的中点. (1)求证:PN∥平面 ABC; (2)求证:A1M⊥AB1C1; (3)求点 M 到平面 AA1B1 的距离.

考点: 点、线、面间的距离计算;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (1)证明 PN∥平面 ABC,利用线面平行的判定,只需证明 PN∥AC; (2)证明 A1M⊥AB1C1,只需证明 AC1⊥A1M,B1C1⊥A1M; (3)利用 ,可求点 M 到平面 AA1B1 的距离,

解答: (1)证明:连结 CB1, ∵P 是 BC1 的中点,∴CB1 过点 P,﹣﹣(1 分)

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∵N 为 AB1 的中点,∴PN∥AC,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (2 分) ∵AC? 面 ABC,PN?面 ABC, ∴PN∥平面 ABC. ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣(4 分) (2)证法一:连结 AC1,在直角△ABC 中, ∵BC=1,∠BAC=30°, ∴AC=A1C1= ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣(5 分) ∵ = = ,

∴Rt△A1C1M~Rt△C1CA﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7 分) ∴∠A1MC1=∠CAC1,∴∠AC1C+∠CAC1=∠AC1C+∠A1MC1=90° ∴AC1⊥A1M.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8 分) ∵B1C1⊥C1A1,CC1⊥B1C1,且 C1A1∩CC1=C1 ∴B1C1⊥平面 AA1CC1,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9 分) ∴B1C1⊥A1M,又 AC1∩B1C1=C1,故 A1M⊥平面 A B1C1,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(11 分) 证法二:连结 AC1,在直角△ABC 中,∵BC=1,∠BAC=30°, ∴AC=A1C1= ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5 分) 设∠AC1A1=α ,∠MA1C1=β ∵ ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7 分) ∴α +β =90° 即 AC1⊥A1M. ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8 分) ∵B1C1⊥C1A1,CC1⊥B1C1,且 C1A1∩CC1=C1 ∴B1C1⊥平面 AA1CC1,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9 分) ∴B1C1⊥A1M,又 AC1∩B1C1=C1 故 A1M⊥面 A B1C1,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(11 分) 】 (3)设点 M 到平面 AA1B1 的距离为 h, 由(2)知 B1C1⊥平面 AA1CC1 ∵ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分) ∴
- 13 -

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=



即点 M 到平面 AA1B1 的距离为

. ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(14 分)

点评: 本题考查直线与平面平行的证明, 考查直线与平面垂直的证明, 考查点 M 到平面 AA1B1 的距离,用好等体积是关键. 19. (14 分)已知数列{an}满足 an=3an﹣1+3 ﹣1(n∈N ,n≥2)且 a3=95. (1)求 a1,a2 的值; (2)是否存在一个实数 t,使得 bn= 的值,如不存在,请说明理由; (3)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 考点: 数列递推式;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. n ? 分析: (1)数列{an}满足 an=3an﹣1+3 ﹣1(n∈N ,n≥2)且 a3=95.分别令 n=3,2,解出即 可. (2)由 an=3an﹣1+3 ﹣1(n∈N ,n≥2) ,变形为
n ? n ?

(an+t) (n∈N)且{bn}为等差数列?若存在,求出 t

,利用“累加求和”可得

an=

. . 假设存在一个实数 t, 使得 bn= (an+t) (n∈N) 且{bn}为等差数列. bn+1

﹣bn=一个常数即可. (3)由(2)可得:an= Sn= + . .可得数列{an}的前 n 项和 +?+(2n+1)×3 ]. ,设 Tn=3×3+5×3 +?+(2n+1)×3 ,利
n 2 n

用“错位相减法”与等比数列的前 n 项和公式即可得出.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解答: 解: (1)∵数列{an}满足 an=3an﹣1+3 ﹣1(n∈N ,n≥2)且 a3=95. 令 n=3 时, 令 n=2 时, ∴a2=23,a1=5. (2)由 an=3an﹣1+3 ﹣1(n∈N ,n≥2) ,变形为
n ? n ?

=95,解得 a2=23. ﹣1=23,解得 a1=5.



∴ =

= +

+ +?+

+?+ +

+

=(n﹣1)﹣

+ =

+



∴an=

. (an+t) (n∈N)且{bn}为等差数列.

假设存在一个实数 t,使得 bn= 则 bn+1﹣bn= = ﹣

=



当 t=0 时,bn+1﹣bn=3 为一个常数. 因此存在一个实数 t=0,使得 bn= (an+t) (n∈N)且{bn}为等差数列.

(3)由(2)可得:an= ∴数列{an}的前 n 项和 Sn= +
2 n

. . +?+(2n+1)×3 ].
n

设 Tn=3×3+5×3 +?+(2n+1)×3 , 2 3 n n+1 则 3Tn=3×3 +5×3 +?+(2n﹣1)×3 +(2n+1)×3 , ∴﹣2Tn=3×3+2×3 +2×3 +?+2×3 ﹣(2n+1)×3 =3+ ﹣2n×3 , n+1 ∴Tn=n×3 . ∴数列{an}的前 n 项和 Sn= + ×3 .
n+1 n+1 2 3 n n+1

﹣(2n+1)×3 =

n+1

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 点评: 本题考查了递推式的应用、“累加求和法”、“错位相减法”、等差数列的定义、 等比数列的前 n 项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

20. (14 分)如图,O 为坐标原点,双曲线 C1:



=1(a1>0,b1>0)和椭圆 C2:

+

=1

(a2>b2>0)均过点 P( 积为 2 的正方形. (Ⅰ)求 C1、C2 的方程;

,1) ,且以 C1 的两个顶点和 C2 的两个焦点为顶点的四边形是面

(Ⅱ) 是否存在直线 l, 使得 l 与 C1 交于 A、 B 两点, 与 C2 只有一个公共点, 且| 证明你的结论.

+

|=|

|?

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ)由条件可得 a1=1,c2=1,根据点 P( C1 的方程.再由椭圆的定义求得 a2= ,可得 + = ,1)在上求得 ﹣ |≠| =3,可得双曲线

的值,从而求得椭圆 C2 的方程. |.若直线 l 不垂直于 x 轴,设直

(Ⅱ)若直线 l 垂直于 x 轴,检验部不满足|

线 l 得方程为 y=kx+m, 由

可得 y1?y2=

. 由

可得 (2k +3)

2

x +4kmx+2m ﹣6=0,根据直线 l 和 C1 仅有一个交点,根据判别式△=0,求得 2k =m ﹣3,可得 ≠0,可得| + |≠| |.综合(1) 、 (2)可得结论.

2

2

2

2

解答: 解: (Ⅰ)设椭圆 C2 的焦距为 2c2,由题意可得 2a1=2,∴a1=1,c2=1. 由于点 P( ,1)在上,∴ ﹣ =1, =3,

∴双曲线 C1 的方程为:x ﹣

2

=1.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 再由椭圆的定义可得 2a2= + =2 ,∴a2= ,



=



=2,∴椭圆 C2 的方程为:

+

=1.

(Ⅱ)不存在满足条件的直线 l. (1)若直线 l 垂直于 x 轴,则由题意可得直线 l 得方程为 x= 当 x= 显然,| 时,可得 A( + |≠| , |. + |≠| |. ) 、B( ,﹣ ) ,求得|

,或 x=﹣ |=2 ,|

. |=2 ,

同理,当 x=﹣

时,也有|

(2)若直线 l 不垂直于 x 轴,设直线 l 得方程为 y=kx+m,由

可得

(3﹣k )x ﹣2mkx﹣m ﹣3=0,∴x1+x2=

2

2

2

,x1?x2=



于是,y1?y2=k x1?x2+km(x1+x2)+m =

2

2





可得 (2k +3)x +4kmx+2m ﹣6=0,根据直线 l 和 C1 仅有一个交点,

2

2

2

∴判别式△=16k m ﹣8(2k +3) (m ﹣3)=0,∴2k =m ﹣3. ∴ =x1?x2+y1?y2= ≠0,∴ ≠ ,

2 2

2

2

2

2

∴|

+

|≠|

|.

综合(1) 、 (2)可得,不存在满足条件的直线 l. 点评: 本题主要考查椭圆的定义、性质、标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系的应用, 韦达定理,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.
2

21. (14 分)已知函数 f(x)=lnx﹣ ax +x. (1)若 f(1)=0,求函数 f(x)的单调减区间; (2)若关于 x 的不等式 f(x)≤ax﹣1 恒成立,求整数 a 的最小值;

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (3)若 a=﹣2,正实数 x1,x2 满足 f(x1)+f(x2)+x1x2=0,证明:x1+x2≥ .

考点: 函数恒成立问题;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (1)利用 f(1)=0,确定 a 的值,求导函数,从而可确定函数的单调性; (2)构造函数 F(x)=f(x)﹣ax+1,利用导数研究其最值,将恒成立问题进行转化, (3)将代数式 f(x1)+f(x2)+x1x2 放缩,构造关于 x1+x2 的一元二次不等式,解不等式即可. 解答: 解: (1)∵f(x)=lnx﹣ ax +x,f(1)=0, ∴a=2,且 x>0. 2 ∴f(x)=lnx﹣x +x, ∴ = ,
2

当 f′(x)<0,即 x>1 时,函数 f(x)的单调递减, ∴函数 f(x)的单调减区间(1,+∞) . (2)令 F(x)=f(x)﹣ax+1=lnx﹣ ax +(1﹣a)x+1,则
2

F′(x)= ﹣ax+1﹣a=﹣

=﹣a

, >0,不符合题意,

当 a≤0 时,在(0,+∞)上,函数 F(x)单调递增,且 F(1)=2﹣ 当 a>0 时,函数 F(x)在 x= 时取最大值,F( )=ln + 令 h(a)=ln + = ,

,则根据基本函数性质可知,在 a>0 时,h(a)单调递减, <0,

又∵h(1)= >0,h(2)=

∴符合题意的整数 a 的最小值为 2. (3)∵a=﹣2, 2 ∴f(x)=lnx+x +x, 2 2 ∴f(x1)+f(x2)+x1x2=lnx1+x1 +x1+lnx2+x2 +x1x2+x2 2 =(x1+x2) +x1+x2+lnx1x2﹣x1x2 令 g(x)=lnx﹣x,则 g′(x)= ,

∴0<x<1 时,g′(x)>0,g(x)单调递增, x>1 时,g′(x)<0,g(x)单调递减, ∴g(x)max=g(1)=﹣1, 2 ∴f(x1)+f(x2)+x1x2≤(x1+x2) +(x1+x2)﹣1, 2 即(x1+x2) +(x1+x2)﹣1≥0, 又∵x1,x2 是正实数,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴x1+x2≥ .

点评: 本题考查了函数性质的综合应用,属于难题.

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