第2课时参 数 方 程

第 2 课时 参 数 方 程(理科专用) 1 ? ?x=1- t , 1. 曲线的参数方程是? (t 为参数,t≠0),求它的普通方程. 2 ? ?y=1-t 1 x(x-2) 1 1 解:1-x= ,t= ,而 y=1-t2,则 y=1-?1-x?2= t ? ? (x-1)2 (x≠1). 1-x
?x=-2+5t, ? 2. 求曲线? (t 为参数)与坐标轴的交点. ? ?y=1-2t 1 2 1 0, ? ; 解:当 x=0 时,t= ,而 y=1-2t,即 y= ,得与 y 轴的交点为? ? 5? 5 5 1 1 1 ? 当 y=0 时,t= ,而 x=-2+5t,即 x= ,得与 x 轴的交点为? ?2,0?. 2 2 1 x=1+ t, 2 3. 直线 (t 为参数)和圆 x2+y2=16 交于 A、 B 两点, 求 AB 的中点坐标. 3 y=-3 3+ t 2 1 ?2 ? t1+t2 3 ?2 2 解:? ?1+2t? +?-3 3+ 2 t? = 16,得 t - 8t+12= 0 ,t1+ t2 =8 , 2 =4. 中点为 1 x=1+ ×4, 2 ?x=3, 即 AB 中点坐标为(3,- 3). ? 3 ?y=- 3. y=-3 3+ ×4 2 ? ?x=3sinθ +4cosθ , 4. 已知圆的参数方程为? (θ 为参数),求此圆的半径. ?y=4sinθ -3cosθ ? ? ?x=3sinθ+4cosθ, 解:由? 得 x2+y2=25,则圆的半径为 5. ?y=4sinθ-3cosθ, ? ? ? ?x=tcosθ , ?x=4+2cosα , 5. 已知直线? 与圆? 相切,求直线的倾斜角. ? ? ?y=tsinθ ?y=2sinα π 5π 解: 直线为 y=xtanθ, 圆为(x-4)2+y2=4, 作出图形, 相切时, 易知倾斜角为 或 . 6 6 ? ? ?x=1+2t, ?x=3cosα , 6. 求直线? (t 为参数)被圆? (α 为参数)截得的弦长. ?y=1-2t ?y=3sinα ? ? ? ? ?x=1+2t, ?x=3cosα, 解: 把直线方程? 化为普通方程为 x+y=2.将圆? 化为普通方程为 ?y=1-2t, ?y=3sinα ? ? 2 x2+y2=9.圆心 O 到直线的距离 d= = 2,故弦长 L=2 R2-d2=2 9-2=2 7.所以直 2 ?x=1+2t, ?x=3cosα, ? ? 线? 被圆? 截得的弦长为 2 7. ? ? ?y=1-2t ?y=3sinα

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7. 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的正半轴重合.若曲线 ?x=2 2cosα , C1 的方程为 ρ2=8ρsinθ -15,曲线 C2 的方程为? (α 为参数). ?y= 2sinα (1) 将 C1 的方程化为直角坐标方程; 3π (2) 若 C2 上的点 Q 对应的参数为α = ,P 为 C1 上的动点,求 PQ 的最小值. 4 解:(1) x2+y2-8y+15=0.

3π (2) 当 α= 时,得 Q(-2,1),点 Q 到 C1 的圆心的距离为 13,所以 PQ 的最小值为 4 13-1. x2 y2 8. 已知点 P 在椭圆 + =1 上,求点 P 到直线 3x-4y=24 的最大距离和最小距离. 16 9 解:设 P(4cosθ,3sinθ), |12cosθ-12sinθ-24| 则 d= , 5 ?12 2cos?θ+π?-24? 4? ? ? ? 即 d= , 5 π 12 当 cos?θ+ ?=-1 时,dmax= (2+ 2); 5 4? ? π 12 当 cos?θ+ ?=1 时,dmin= (2- 2). 5 4? ? π 9. 已知直线 l 经过点 P(1,1),倾斜角 α= . 6 (1) 写出直线 l 的参数方程; (2) 设 l 与圆 x2+y2=4 相交于两点 A、B,求点 P 到 A、B 两点的距离之积. 解:(1) 直线的参数方程为 π 3 x=1+tcos , x=1+ t, 6 2 即 π 1 y=1+ t. y=1+tsin , 2 6 3 x=1+ t, 2 1 3 1+ t?2=4,化简,得 t2+( 3 (2) 把直线 代入 x2+y2=4,得?1+ t?2+? 2? ? 2 ? ? 1 y=1+ t, 2 +1)t-2=0,故 t1t2=-2,则点 P 到 A、B 两点的距离之积为 2. 1 x= 3+ t, 2 10. 已 知 直 线 l 的 参 数 方 程 为 (t 为 参 数 ) , 曲 线 C 的 参 数 方 程 为 3 y=7+ t 2 ? x = 4cos θ , ? ? (θ 为参数). ?y=4sinθ ? (1) 将曲线 C 的参数方程转化为普通方程; (2) 若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,试求线段 AB 的长. ?x=4cosθ, ? ?x2=16cos2θ, ? 解:(1) 由? 得? 2 故曲线 C 的普通方程为 x2+y2=16. 2 ? ? y = 4sin θ, y = 16sin θ . ? ?

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?x= 3+2t (2) (解法 1)把? (t 为参数)代入方程 x +y =16,得 t +8 3 ?y=7+ 2 t
2 2 2

1

3t+36=0,∴ t1

+t2=-8 3,t1t2=36.∴ 线段 AB 的长为|AB|=|t1-t2|= (t1+t2)2-4t1t2=4 3. 1 x= 3+ t, 2 (解法 2)由 (t 为参数),得 l 的普通方程为 3x-y+4=0. 3 y=7+ t 2 由 (1) 知 圆 心 的 坐 标 为 (0 , 0) , 圆 的 半 径 R = 4 , ∴ 圆 心 到 直 线 l 的 距 离 d =

? ? ?

|4| ( 3) +(-1)
2 2

=2,∴ |AB|=2 R2-d2=2 16-4=4 3.

?x=-4+cosα , ?x=8cosθ , ? ? 11. 已知曲线 C1:? (α 为参数), C2:? (θ 为参数). ?y=3+sinα ?y=3sinθ ? ? (1) 将 C1、C2 的方程化为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; π (2) 若 C1 上的点 P 对应的参数为 α= ,Q 为 C2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 C3: 2 ? ?x=3+2t, ? (t 为参数)距离的最小值. ?y=-2+t ? x2 y2 解: (1) C1: (x+4)2+(y-3)2=1, C2: + =1.C1 为圆心是(-4, 3), 半径是 1 的圆. 64 9 C2 为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长半轴长是 8,短半轴长是 3 的椭圆. π 3 ? (2) 当 α= 时,P(-4,4),Q(8cosθ,3sinθ),故 M? ?-2+4cosθ,2+2sinθ?.C3 为直线 2

x-2y-7=0,M 到 C3 的距离 d= 8 5 d 取得最小值为 . 5

5 4 3 |4cosθ-3sinθ-13|.从而当 cosθ= ,sinθ=- 时, 5 5 5


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坐 标 系 与 参 数 方 程 数 学 试 题
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