吉林省吉林市2015届高三第一次摸底考试数学理试题(WORD版)

吉林市 2015 届高三第一次摸底考试 数学理试题
一、选择题:本大题共 12 题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符 合题目要求. 1.计算: =( )

A. i+1 B.i﹣1 C.﹣i+1 D.﹣i﹣1 2.已知 A?B,A?C,B={1,2,3,5},C={0,2,4,8},则 A 可以是( ) A. {1,2} B.{2,4} C.{2} D.{4} 3.已知条件 p:x ﹣2ax+a ﹣1>0,条件 q:x>2,且 q 是 p 的充分而不必要条件,则 a 的取值范围 是( ) A. a≥1 B.a≤1 C.a≥﹣3 D.a≤﹣3 4.某程序图如图所示,该程序运行后输出的结果是( )
2 2

A. 3

B.4

C.5

D.6

5.已知某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形,且体积为 .则该几何体的俯视图可以 是( )

6.将函数 f(x)=2sin( +

)的图象向左平移 )

个单位,再向下平移 1 个单位,得到函数 g(x)

的图象,则 g(x)的解析式为( A. g(x)=2sin( + C. g(x)=2sin( ﹣ )﹣1 )+1

B.g(x)=2sin( ﹣ D. g(x)=2sin( ﹣

)+1 )﹣1

7. 已知等差数列{an}的公差为 2,若前 17 项和为 S17=34,则 a12 的值为( ) A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 2 2 8. 在△ ABC 中, 内角 A、 B、 C 的对边分别是 a、 b、 c, 若 b ﹣c = ac, sinA=2 sinC, 则 B= (



A. 30° 9. 在(x﹣ A. 1024 10.已知双曲线 ﹣
8

B.60°

C.120° )

D.150°

) 的二项展开式中,常数项为( B.1324

C.1792
2

D.﹣1080

=1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线 y =2px 的焦点的距离为 4,且双曲线 )

的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(﹣2,﹣1) ,则双曲线的焦距为( A. 2 B.2 C.4 D.4 11. △ ABC 中,∠ BAC=120°,AB=2,AC=1,D 是边 BC 上的一点(包括端点) ,则

?

的取值范

围是( ) A. [1,2] B.[0,1] C.[0,2] D.[﹣5,2] 12. 对函数 f(x) ,若?a,b,c∈R,f(a) ,f(b) ,f(c)为一三角形的三边长,则称 f(x)为“三 角型函数”,已知函数 f(x)= A. [1,4] B.[0,2] (m>0)是“三角型函数”,则实数 m 的取值范围是( C.[2,4] D.[1,2] )

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 已知 x,y 满足不等式组 ,则目标函数 z=2x+y 的最大值为 _________ .

14.已知直线 l⊥ 平面 α,直线 m?平面 β,则下列四个命题: ① α∥ β?l⊥ m;② α⊥ β?l∥ m;③ l∥ m?α⊥ β; ④ l⊥ m?α∥ β 其中正确命题的序号是 _________ . 15. 若动直线 x=a 与函数 f(x)=sinxcosx 和 g(x)=cos x 的图象分别交于 M,N 两点,则|MN| 的最大值为 _________ . 16. 若数列{an}满足 a1=2,an+1= _________ . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (10 分)已知△ ABC 中,a,b,c 为角 A,B,C 所对的边,3bcosA=ccosA+acosC. (Ⅰ )求 cosA 的值; (Ⅱ )若△ ABC 的面积为 2 ,a=3,求 b,c 的长. 18. (12 分) 已知数列{an}是公差大于零的等差数列, 数列{bn}为等比数列, 且 a1=1, b1=2, b2﹣a2=1, a3+b3=13 (Ⅰ )求数列{an}和{bn}的通项公式 (Ⅱ )设 cn=anbn,求数列{cn}前 n 项和 Tn. (n∈N ) ,则该数列的前 2014 项的乘积 a1?a2?a3?…a2014=
* 2

19. (12 分)一企业某次招聘新员工分笔试和面试两部分,人力资源部经理把参加笔试的 40 名学生 的成绩分组: 第 1 组[75,80) , 第 2 组[80,85) , 第 3 组[85,90) , 第 4 组[90,95) , 第 5 组[95,100) , 得到频率分布直方图如图所示 (Ⅰ )分别求成绩在第 4,5 组的人数 (Ⅱ )若该经理决定在笔试成绩较高的第 3,4,5 组中用分层抽样抽取 6 名进入面试, ① 已知甲和乙的成绩均在第 3 组,求甲和乙同时进入面试的概率 ② 若经理决定在这 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受考官 D 的面试,设第 4 组中有 X 名学生被考官 D 面试,求 X 的分布列和数学期望.

20. (12 分)一个多面体的直观图(图 1)及三视图(图 2)如图所示,其中 M,N 分别是 AF、BC 的中点 (Ⅰ )求证:MN∥ 平面 CDEF: (Ⅱ )求二面角 A﹣CF﹣B 的余弦值;

21. (12 分)已知椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的离心率 e=

,并且经过定点 P(

, ) .

(Ⅰ )求椭圆 E 的方程; (Ⅱ )问是否存在直线 y=﹣x+m,使直线与椭圆交于 A、B 两点,满足 OA⊥ OB,若存在求 m 值,若 不存在说明理由. 22. (12 分)已知函数 f(x)=ax+lnx(a∈R) . (Ⅰ )若 a=2,求曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程;

(Ⅱ )求 f(x)的单调区间; (Ⅲ )设 g(x)=x ﹣2x+2,若对任意 x1∈(0,+∞) ,均存在 x2∈[0,1],使得 f(x1)<g(x2) ,求 a 的取值范围.
2

数 学(理科)参考答案与评分标准
一、选择题:
1 C 2 D 3 B 4 C 5 A 6 A 7 B 8 A 9 C 10 A 11 D 12 A

二、填空题: 13.6 14. ①③ 15.

2 ?1 2

16.

-6

三、解答题: 17.解:(Ⅰ)由正弦定理得: 3 sin B cos A ? sin( A ? C ) ? sin B ? sin B ? 0

? cos A ?

1 3

----------------------------------------------------------------------5 分

(Ⅱ)由题意得: S ?ABC ?
2

1 bc sin A ? 2 2 ,即: bc ? 6 2
2 2 2

------------------ 7 分

由余弦定理得: a ? b ? c ? 2bc cos A,9 ? (b ? c ) ? 2bc ? 联立上述两式,解得: b ? 2, c ? 3 或 b ? 3, c ? 2 . 18.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)设数列 {an } 的公差为 d (d ? 0) ,数列 {bn } 的公比为 q 由已知得: ?

2 bc, b ? c ? 5 3

---------------------------10 分

?2q ? (1 ? d ) ? 1 ?1 ? 2d ? 2q ? 13
2

,解得: ?

?d ? ?10 ?d ? 2 , ? ?q ? ?4 ?q ? 2

--------------------3 分

n?1 n 因为 d ? 0 ,所以 d ? 2, q ? 2 , an ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1, bn ? 2 ? 2 ? 2

即 an ? 2n ? 1(n ? N *), bn ? 2 (n ? N *)
n

------------------------------------------6 分

(Ⅱ) Tn ? 1? 2 ? 3 ? 2 ? 5 ? 2 ?
2 3

? (2n ? 1) ? 2n ? ? ? ? ? ? ? ? ? (1) ? (2n ? 1) ? 2n?1 ? ? ? ? ? ? ? (2)
3

2Tn ? 1? 22 ? 3 ? 23 ? 5 ? 24 ?
2

(2)-(1)得: Tn ? ?1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?

? 2 ? 2n ? (2n ? 1) ? 2n?1

? ?2 ? 23 ? 24 ? ? ?2 ?

? 2n ?1 ? (2n ? 1) ? 2n ?1

23 (1 ? 2n ?1 ) ? (2n ? 1) ? 2n ?1 1? 2 ? 6 ? (2n ? 3) ? 2n ?1
---------------------------------12 分 19.(本小题满分 12 分)

解(Ⅰ)第 4 组学生人数为 0.04 ? 5 ? 40 ? 8 ,第 5 组人数为 0.02 ? 5 ? 40 ? 4 所以第 4,5 组的学生人数分别为 8 人,4 人 -----------------------------------------4 分 (Ⅱ)①因为第 3 组学生人数为 0.06 ? 5 ? 40 ? 12 ,所以第 3,4,5 中抽取的人数分别是
1 C10 1 3 人,2 人,1 人,则甲,乙同时进入面试的概率为 P ? 3 ? C12 22

---------------------8 分

②由①知,X 的可能取值为 0,1,2 所以 P( X ? 0) ? X 分布列为
2 1 1 2 C4 2 C4 C2 8 C2 1 ? , P ( X ? 1) ? ? , P ( X ? 2) ? ? 2 2 2 C6 5 C6 15 C6 15

X P

0

1

2

2 5

8 15

1 15

2 8 1 2 EX ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 5 15 15 3
20.(本小题满分 12 分)

--------------------------------------------- 12 分

解 ( 1 ) 证 明 : 由 三 视 图 知 , 该 多 面 体 是 底 面 为 直 角 三 角 形 的 直 三 棱 柱 ADE-BCF, 且 AB=BC=BF=4,DE=CF= 4 2 , ?CBF ? 90? ,连结 BE, M 在 BE 上,连结 CE EM=BM,CN=BN, 所以 MN ∥ CE, CE ? 面CDEF ,所以 MN // 平面 CDEF (II) ------5 分

--------------------------------------9 分

-------------------------------------------------------12 分
z

(II)另解:以 EA,AB,AD 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立空 间直角坐标系, 所以 A(0,0,0), B(0,4,0), C (0,4,4), F ( ?4,4,0) 面 CBF 法向量为 n ? (0,1,0)

D

C

E

F

CA ? (0, ?4, ?4), CF ? (?4,0, ?4) -----------------8 分
设面 ACF 法向量为 m ? ( x, y, z ) ,
x

A

B

y

?m ? CA ?( x, y, z ) (0, ?4, ?4) ? 0 ??4 y ? 4 z ? 0 ? ?? ?? ? ( x , y , z ) ( ? 4,0, ? 4) ? 0 m ? CF ? ??4 x ? 4 z ? 0 ? ?
取 z ? ?1 ,所以 x ? 1, y ? 1, m ? (1,1, ?1) 设二面角 A ? CF ? B 为 ? , cos ? ? 21.(本小题满分 12 分) 解(Ⅰ)由题意: e ?

mn (0,1,0) (1,1, ?1) 3 ? ? | m || n | 3 3

-----------12 分

3 1 c 3 ? 1 ,又 c2 ? a 2 ? b2 ? 且 2 ? 2 a 4b a 2

解得: a2 ? 4, b2 ? 1 ,即:椭圆 E 的方程为 (Ⅱ)设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )

x2 ? y2 ? 1 4

------------------5 分

? x2 2 ? ? y ?1 (*) ? x 2 ? 4(m ? x )2 ? 4 ? 0 ? 5x 2 ? 8mx ? 4m2 ? 4 ? 0 ?4 ? ? y ? ?x ? m 8m 4m 2 ? 4 , x1 x2 ? 所以 x1 ? x2 ? --------------------------------------------------7 分 5 5 8 4m 2 ? 4 m 2 ? 4 y1 y2 ? (m ? x1 )(m ? x2 ) ? m 2 ? m( x1 ? x2 ) ? x1 x2 ? m 2 ? m 2 ? ? 5 5 5
-----------------------------------9 分 由 OA ? OB ? OA OB ? 0

4m2 ? 4 m2 ? 4 2 10 ? ? 0, m ? ? ----------11 分 5 5 5 2 2 又方程(*)要有两个不等实根, ? ? (?8m) ? 4 ? 5(4m ? 4) ? 0, ? 5 ? m ? 5
得 ( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) ? 0, x1 x2 ? y1 y2 ? 0, m 的值符合上面条件,所以 m ? ? 22.(本小题满分 12 分)

2 10 5

------------------------------------------12 分

1 ( x ? 0) , f ?(1) ? 2 ? 1 ? 3 ,所以斜率 k ? 3 , x 又切点 (1, 2) ,所以切线方程为 y ? 2 ? 3( x ? 1) ),即 3x ? y ? 1 ? 0
解:(Ⅰ)由已知 f ?( x) ? 2 ? 故曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处切线的切线方程为 3x ? y ? 1 ? 0 。 (Ⅱ) f ?( x) ? a ? -----------------4 分

1 ax ? 1 ? ( x ? 0) x x

①当 a ? 0 时,由于 x ? 0 ,故 ax ? 1 ? 0 , f ?( x) ? 0 , 所以 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ??) . ---------------------------------------------6 分 ②当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?

1 . a

在区间 (0, ? ) 上, f ?( x) ? 0 ,在区间 (?

1 a

1 , ??) 上, f ?( x) ? 0 , a 1 , ??) . --------8 分 a

所以,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ? ) ,单调递减区间为 (?

1 a

(3)由已知,转化为 f ( x)max ? g ( x)max . g ( x) ? ( x ? 1)2 ? 1, x ?[0,1] ,所以 g ( x)max ? 2 由(2)知,当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增,值域为 R ,故不符合题意. (或者举出反例:存在 f (e3 ) ? ae3 ? 3 ? 2 ,故不符合题意.) 当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (0, ? ) 上单调递增,在 (?

1 a

1 , ??) 上单调递减, a
1 a

故 f ( x ) 的极大值即为最大值, f ( ? ) ? ?1 ? ln( ? ) ? ?1 ? ln( ? a) , 所以 2 ? ?1 ? ln(?a) , 解得 a ? ?

1 a

1 . e3

-----------------------12 分


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