2014-2015学年湖北省宜昌市金东方高级中学高二(下)6月月考数学试卷(理科) Word版含解析

2014-2015 学年湖北省宜昌市金东方高级中学高二(下)6 月月考 数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.复数的 A. 的共轭复数是( B. ﹣ )

C. i D. ﹣i

2.下列有关命题的说法正确的是( ) 2 2 A. 命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为“若 x =1,则 x≠1” 2 2 B. 命题“?x∈R,x +x﹣1<0”的否定是“?x∈R,x +x﹣1>0” C. 命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为假命题 D. 若“p 或 q”为真命题,则 p,q 至少有一个为真命题 3.已知命题 p:2<x<3,q:x ﹣5x+4<0,则 p 是 q 的( A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.定积分 (2x+e )dx 的值为(
x 2





A. e+2 B. e+1 C. e D. e﹣1 5.函数 f(x)=alnx+x 在 x=1 处取到极值,则 a 的值为( A. B. ﹣1 C. 0 D. )

6.若直线 l1:x+ay﹣1=0 与 l2:4x﹣2y+3=0 垂直,则二项式(ax ﹣ ) 展开式中 x 的系数 为( ) A. ﹣40 B. ﹣10 C. 10 D. 40 7.A,B,C,D,E 五人并排站成一排,如果 B 必须站在 A 的右边(A,B 可以不相邻) ,那 么不同的排法共有( ) A. 24 种 B. 60 种 C. 90 种 D. 120 种 8.正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,点 M 在 则| |为( ) 上且 = ,N 为 B1B 的中点,

2

5

A.

B.
2 2

C.

D.

9.设圆(x+1) +y =25 的圆心为 C,A(1,0)是圆内一定点,Q 为圆周上任一点.线段 AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点 M,则 M 的轨迹方程为( )

A.

B.

C.

D.

10.已知 m,n 为两个不相等的非零实数,则方程 mx﹣y+n=0 与 nx +my =mn 所表示的曲线 可能是( )

2

2

A.

B.

C.

D. 11.在区间上任取三个数 a、b、c,若点 M 在空间直角坐标系 O﹣xyz 中的坐标为(a,b,c) , 则|OM|≤1 的概率是( ) A. B. C. D.

12.棱长为 2 的正四面体 ABCD 在空间直角坐标系中移动,但保持点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上移动,则棱 CD 的中点 E 到坐标原点 O 的最远距离为( ) A. M B. N C. +1 D. +1

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.请将答案填在答题卡对应题号的位 置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 3 13.曲线 y=2x﹣x 在 x=﹣1 的处的切线方程为 .

14.已知随机变量 ξ 服从二项分布 ξ~B(n,p) ,且 Eξ=7,Dξ=6,则 p 等于



15.先后掷骰子(骰子的六个面上分别标有 1、2、3、4、5、6 个点)两次,落在水平桌面后, 记正面朝上 的点数分别为 x,y,设事件 A 为“x+y 为偶数”,事件 B 为“x,y 中有偶数且 x≠y”, 则概率 P(B|A)= . 16.直线 ax+ by=1 与圆 x +y =1 相交于 A,B 两点(其中 a,b 是实数) ,且△ AOB 是直角 三角形(O 是坐标原点) ,则点 P(a,b)与点(1,0)之间距离的最小值为 .
2 2

三、解答题:本题共 6 小题,共 70 分,解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17. (10 分) (2014 秋?赣州期末)已知 p:|x﹣3|≤2,q: (x﹣m+1) (x﹣m﹣1)≤0,若非 p 是 非 q 的充分而不必要条件,求实数 m 的取值范围. 18. (12 分) (2015?江西校级二模)4 月 15 日,亚投行意向创始成员国已经截止,意向创始 成员国敲定 57 个,其中,亚洲国家 34 个,欧洲国家 18 个,非洲和大洋洲各 2 个;南美洲 1 个.18 个欧洲国家中 G8 国家有 5 个(英法德意俄) .亚投行将设立理事会、董事会和管理层 三层管理架构.假设理事会由 9 人组成,其中 3 人由欧洲国家等可能产生. (1)这 3 人中恰有 2 人来自于 G8 国家的概率; (2)设 X 表示这 3 人来自于 G8 国家的人数,求 X 的分布列和期望. 19. (12 分) (2014?蚌埠二模)运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶 130 千米(50≤x≤100) (单位:千米/小时) .假设汽油的价格是每升 2 元,而汽车每小时耗油(2+ 工资是每小时 14 元. (1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式; (2)当 x 为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值. 20. (12 分) (2015?黄冈校级模拟)已知四边形 ABCD 满足 AD∥BC,BA=AD=DC= BC=a, E 是 BC 的中点,将△ BAE 沿 AE 折起到△ B1AE 的位置,使平面 B1AE⊥平面 AECD,F 为 B1D 的中点. (1)证明:B1E∥平面 ACF; (2)求平面 ADB1 与平面 ECB1 所成锐二面角的余弦值. )升,司机的

21. (12 分) (2015?黄冈校级模拟)已知椭圆 C: 长为 2 .

+

=1(a>b>0)的离心率为

,长轴

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)设 F 为椭圆 C 的右焦点,T 为直线 x=t(t∈R,t≠2)上纵坐标不为 0 的任意一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P,Q. (ⅰ)若 OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点) ,求 t 的值; (ⅱ)在(ⅰ)的条件下,当 最小时,求点 T 的坐标.
2 x

22. (12 分) (2015 春?宜昌校级月考)设函数 f(x)=(x﹣a) (x+b)e ,a、b∈R,x=a 是 f(x)的一个极大值点; (Ⅰ)若 a=0,求 b 的取值范围; (Ⅱ) 当 a 是给定的实常数,设 x1x2x3 是 f(x)的 3 个极值点,问是否存在实数 b,可找到 x4∈R,使得 x1,x2,x3,x4 的某种排列 x1,x2,x3,x4(其中{i1,i2,i3}={1,2,3,4})依 次成等差数列?若存在,求所有的 b 及相应的 x4;若不存在,说明理由、

2014-2015 学年湖北省宜昌市金东方高级中学高二(下)6 月月考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.复数的 A. 的共轭复数是( B. ﹣ )

C. i D. ﹣i

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 复数的分母实数化,化简为 a+bi 的形式,然后求出它的共轭复数即可. 解答: 解:复数 所以复数的 = = =i.

的共轭复数是:﹣i.

故选 D 点评: 本题考查复数的代数形式的混合运算,共轭复数的概念,考查计算能力. 2.下列有关命题的说法正确的是( ) 2 2 A. 命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为“若 x =1,则 x≠1” 2 2 B. 命题“?x∈R,x +x﹣1<0”的否定是“?x∈R,x +x﹣1>0” C. 命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为假命题 D. 若“p 或 q”为真命题,则 p,q 至少有一个为真命题

考点: 复合命题的真假. 专题: 计算题. 分析: 根据原命题与否命题的关系,可得 A 选项不正确;根据含有量词的命题否定的规律, 得到 B 选项是不正确的;根据原命题与逆否命题真值相同,可知 C 选项不正确;对于 D,得 到复合命题 p 或 q 的真值表,可得 D 选项正确. 解答: 解:命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为“若 x ≠1,则 x≠1”所以 A 错误. 2 2 命题“?x∈R,x +x﹣1<0”的否定是“?x∈R,x +x﹣1≥0”,所以 B 错误. 命题“若 x=y,则 sinx=siny”正确,则命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题也正确,所以 C 错 误. 若“p 或 q”为真命题,根据复合命题 p 或 q 的真值表,则 p,q 至少有一个为真命题,故 D 为 真. 故选 D. 点评: 本题以命题真假的判断为载体,着重考查了四种命题及其相互关系和含有量词的命题 的否定等知识点,属于基础题. 3.已知命题 p:2<x<3,q:x ﹣5x+4<0,则 p 是 q 的( A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 2 解答: 解:由 x ﹣5x+4<0 得 1<x<4, 则 p 是 q 的充分不必要条件, 故选:A 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,比较基础. 4.定积分 (2x+e )dx 的值为(
x 2 2 2





A. e+2 B. e+1 C. e D. e﹣1 考点: 定积分. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 根据微积分基本定理计算即可. 解答: 解: (2x+e )dx=(x +e )
x 2 x

=(1+e)﹣(0+e )=e.

0

故选:C. 点评: 本题主要考查了微积分基本定理,关键是求出原函数. 5.函数 f(x)=alnx+x 在 x=1 处取到极值,则 a 的值为( A. B. ﹣1 C. 0 D. )

考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 计算题. 分析: 题目中条件:“函数 f(x)=alnx+x 在 x=1 处取到极值”,利用导数, 得导函数的零点是 1,从而得以解决. 解答: 解:∵ ,

∴f′(1)=0?a+1=0, ∴a=﹣1. 故选 B. 点评: 本题主要考查利用导数研究函数的极值,属于基础题.
2 5

6.若直线 l1:x+ay﹣1=0 与 l2:4x﹣2y+3=0 垂直,则二项式(ax ﹣ ) 展开式中 x 的系数 为( ) A. ﹣40 B. ﹣10 C. 10 D. 40 考点: 二项式定理;直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 二项式定理. 分析: 根据两条直线垂直的性质求得 a 的值,在二项展开式的通项公式中,令 x 的幂指数等 于 1,求出 r 的值,即可求得展开式中 x 的系数. 解答: 解:∵直线 l1:x+ay﹣1=0 与 l2:4x﹣2y+3=0 垂直,∴﹣ ?2=﹣1,a=2. 二项式(ax ﹣ ) 展开式的通项公式为 Tr+1=
r 2 5

?a

5﹣r

?(﹣1) ?x

r

10﹣2r

?x



=

?x

10﹣3r


2 5

令 10﹣3r=1,求得 r=3,可得二项式(ax ﹣ ) 展开式中 x 的系数为﹣40, 故选:A. 点评: 本题主要考查两条直线垂直的性质,二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,求 展开式中某项的系数,属于中档题. 7.A,B,C,D,E 五人并排站成一排,如果 B 必须站在 A 的右边(A,B 可以不相邻) ,那 么不同的排法共有( ) A. 24 种 B. 60 种 C. 90 种 D. 120 种 考点: 排列、组合的实际应用. 专题: 转化思想. 分析: 根据题意,首先计算五人并排站成一排的情况数目,进而分析可得,B 站在 A 的左边 与 B 站在 A 的右边是等可能的,使用倍分法,计算可得答案. 解答: 解:根据题意,使用倍分法, 5 五人并排站成一排,有 A5 种情况, 而其中 B 站在 A 的左边与 B 站在 A 的右边是等可能的, 则其情况数目是相等的,

则 B 站在 A 的右边的情况数目为 ×A5 =60, 故选 B. 点评: 本题考查排列、组合的应用,注意使用倍分法时,注意必须保证其各种情况是等可能 的.

5

8.正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,点 M 在 则| |为( A. ) B. C. D.

上且

=

,N 为 B1B 的中点,

考点: 点、线、面间的距离计算;棱柱的结构特征. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 以 AB,AD,AA1,分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,确定向量 坐标,可得 的坐标,从而可得| |. 、 的

解答: 解:以 AB,AD,AA1,分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,则 A(0,0,0) , B(1,0,0) ,B1(1,0,1) ,C1(1,1,1) ∴ ∵ = =(1,1,1) ,∴ =( , , ) ,

∵点 N 为 B1B 的中点, ∴ ∴ =(1,0, ) =( ,﹣ , )

∴|

|=

=

故选 C.

点评: 本题考查向量知识的运用,考查学生的计算能力,确定向量的坐标是关键. 9.设圆(x+1) +y =25 的圆心为 C,A(1,0)是圆内一定点,Q 为圆周上任一点.线段 AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点 M,则 M 的轨迹方程为( )
2 2

A.

B.

C.

D.

考点: 圆锥曲线的轨迹问题. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据线段中垂线的性质可得,|MA|=|MQ|,又|MQ|+|MC|=半径 5,故有|MC|+|MA|=5> |AC|,根据椭圆的定义判断轨迹椭圆,求出 a、b 值,即得椭圆的标准方程. 解答: 解:由圆的方程可知,圆心 C(﹣1,0) ,半径等于 5,设点 M 的坐标为(x,y ) , ∵AQ 的垂直平分线交 CQ 于 M, ∴|MA|=|MQ|. 又|MQ|+|MC|=半径 5,∴|MC|+|MA|=5>|AC|.依据椭圆的定义可得, 点 M 的轨迹是以 A、C 为焦点的椭圆,且 2a=5,c=1,∴b= 故椭圆方程为 故选 D. =1,即 . ,

点评: 本题考查椭圆的定义、椭圆的标准方程,得出|MC|+|MA|=5>|AC|,是解题的关键和难 点. 10.已知 m,n 为两个不相等的非零实数,则方程 mx﹣y+n=0 与 nx +my =mn 所表示的曲线 可能是( )
2 2

A.

B.

C.

D. 考点: 双曲线的标准方程;直线的一般式方程. 专题: 规律型. 分析: 方程 mx﹣y+n=0 一定表示直线,方程 nx +my =mn,如果 m,n 同正,则表示椭圆, 如果一正一负,则表示双曲线,从而可得结论. 解答: 解:方程 mx﹣y+n=0 表示直线,与坐标轴的交点分别为(0,n) , ( 若方程 nx +my =mn 表示椭圆,则 m,n 同为正,∴ 若方程 nx +my =mn 表示双曲线,则 m,n 异号,∴
2 2 2 2 2 2

,0)

<0,故 A,B 不满足题意; ,故 C 符合题意,D 不满足题意

故选 C 点评: 本题考查曲线与方程,考查数形结合的数学思想,判断曲线的类型是关键,属于基础 题. 11.在区间上任取三个数 a、b、c,若点 M 在空间直角坐标系 O﹣xyz 中的坐标为(a,b,c) , 则|OM|≤1 的概率是( ) A. B. C. D.

考点: 几何概型. 专题: 计算题.

分析: 在区间上任取三个数 a、b、c,组成一个空间点的坐标,这些点构成一个以 1 为边长 的正方体,为基本事件空间,其体积为 V;所研究的事件“|OM|≤1”包含的基本事件在以 1 为半 径的球夹在正方体内的部分,其体积为 v,由几何概型概率计算公式即可的 P= 解答: 解:在区间上任取三个数 a、b、c,若点 M 在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标为(a, b,c) ,则点 M 的活动区域构成一个边长为 1 的正方体,如图,其体积为 V=1 其中满足|OM|≤1 的点在以 O 为球心,以 1 为半径的球夹在正方体内的部分,即为球的 ,其 体积为 v= ∴|OM|≤1 的概率是 P= = 故选 D =

点评: 本题主要考查了几何概型概率的计算方法,空间几何体正方体、球间的关系及其体积 计算公式,属基础题 12.棱长为 2 的正四面体 ABCD 在空间直角坐标系中移动,但保持点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上移动,则棱 CD 的中点 E 到坐标原点 O 的最远距离为( ) A. M B. N C. +1 D. +1 考点: 棱柱的结构特征. 分析: 固定正四面体 ABCD 的位置,则原点 O 在以 AB 为直径的球面上运动,原点 O 到直 线 CD 的最近距离为点 M 到直线 CD 的距离加上球 M 的半径,求解即可. 解答: 解:如图, 若固定正四面体 ABCD 的位置,则原点 O 在以 AB 为直径的球面上运动, 设 AB 中点为 M,则原点到直线 CD 的最近距离 d 等于点 M 到直线 CD 的距离加上球 M 的半 径, ∵EB= ,MB=1,∴ME= , 则所求距离的最大值为:d= . 故选:D.

点评: 本题考查空间想象能力,转化思想的应用,考查分析问题解决问题的能力与计算能力, 是中档题. 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.请将答案填在答题卡对应题号的位 置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 3 13.曲线 y=2x﹣x 在 x=﹣1 的处的切线方程为 x+y+2=0 . 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题. 分析: 根据导数的几何意义求出函数在 x=﹣1 处的导数,从而得到切线的斜率,再利用点斜 式方程写出切线方程即可. 解答: 解:y'=2﹣3x y'|x=﹣1=﹣1 而切点的坐标为(﹣1,﹣1) 3 ∴曲线 y=2x﹣x 在 x=﹣1 的处的切线方程为 x+y+2=0 故答案为:x+y+2=0 点评: 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,考查运算求解能力,属于基础题.
2

14.已知随机变量 ξ 服从二项分布 ξ~B(n,p) ,且 Eξ=7,Dξ=6,则 p 等于



考点: 二项分布与 n 次独立重复试验的模型. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 根据随机变量符合二项分布,根据二项分布的期望和方差的公式和条件中所给的期望 和方差的值,得到关于 n 和 p 的方程组,解方程组得到要求的两个未知量. 解答: 解:ξ 服从二项分布 B~(n,p) 由 Eξ=7=np,Dξ=6=np(1﹣p) , 可得 p= ,n=49. 故答案为: . 点评: 本题主要考查二项分布的期望与方差的简单应用,通过解方程组得到要求的变量,这 与求变量的期望是一个相反的过程,但是两者都要用到期望和方差的公式.

15.先后掷骰子(骰子的六个面上分别标有 1、2、3、4、5、6 个点)两次,落在水平桌面后, 记正面朝上 的点数分别为 x,y,设事件 A 为“x+y 为偶数”,事件 B 为“x,y 中有偶数且 x≠y”, 则概率 P(B|A)= .

考点: 条件概率与独立事件. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 根据题意,利用随机事件的概率公式,分别求出事件 A 的概率与事件 A、B 同时发生 的概率,再用条件概率公式加以计算,可得 P(B|A)的值. 解答: 解:根据题意,若事件 A 为“x+y 为偶数”发生,则 x、y 两个数均为奇数或均为偶数. 共有 2×3×3=18 个基本事件, ∴事件 A 的概率为 P1= = .

而 A、B 同时发生,基本事件有“2+4”、“2+6”、“4+2”、“4+6”、“6+2”、“6+4”, 一共有 6 个基本事件, 因此事件 A、B 同时发生的概率为 P2= =

因此,在事件 A 发生的情况下,B 发生的概率为 P(B|A)= 故答案为: . 点评: 本题给出掷骰子的事件,求条件概率.着重考查了随机事件的概率公式、条件概率的 计算等知识,属于中档题. 16.直线 ax+ by=1 与圆 x +y =1 相交于 A,B 两点(其中 a,b 是实数) ,且△ AOB 是直角 .
2 2

三角形(O 是坐标原点) ,则点 P(a,b)与点(1,0)之间距离的最小值为

考点: 专题: 分析: 解答:

直线与圆的位置关系. 计算题;直线与圆. 根据直线和圆的位置关系以及两点间的距离公式即可得到结论. 解:∵△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点) , by=1 的距离 d= , ,

∴圆心到直线 ax+ 即 d=
2 2

=

整理得 a +2b =2, 则点 P(a,b)与点 Q(1,0)之间距离 d= ∴点 P(a,b)与点(1,0)之间距离的最小值为 故答案为: . . = ≥ ,

点评: 本题主要考查直线和圆的位置公式的应用以及两点间的距离公式,考查学生的计算能 力. 三、解答题:本题共 6 小题,共 70 分,解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17. (10 分) (2014 秋?赣州期末)已知 p:|x﹣3|≤2,q: (x﹣m+1) (x﹣m﹣1)≤0,若非 p 是 非 q 的充分而不必要条件,求实数 m 的取值范围. 考点: 充分条件. 专题: 计算题. 分析: 通过解绝对值不等式化简命题 p,求出非 p;通过解二次不等式化简命题 q,求出非 q; 通过非 p 是非 q 的充分而不必要条件得到两个条件端点值的大小关系,求出 m 的范围. 解答: 解:由题意 p:﹣2≤x﹣3≤2, ∴1≤x≤5. ∴非 p:x<1 或 x>5. q:m﹣1≤x≤m+1, ∴非 q:x<m﹣1 或 x>m+1. 又∵非 p 是非 q 的充分而不必要条件,∴ ∴2<m<4 点评: 本题考查绝对值不等式的解法、二次不等式的解法、将条件问题转化为端点值的关系 问题. 18. (12 分) (2015?江西校级二模)4 月 15 日,亚投行意向创始成员国已经截止,意向创始 成员国敲定 57 个,其中,亚洲国家 34 个,欧洲国家 18 个,非洲和大洋洲各 2 个;南美洲 1 个.18 个欧洲国家中 G8 国家有 5 个(英法德意俄) .亚投行将设立理事会、董事会和管理层 三层管理架构.假设理事会由 9 人组成,其中 3 人由欧洲国家等可能产生. (1)这 3 人中恰有 2 人来自于 G8 国家的概率; (2)设 X 表示这 3 人来自于 G8 国家的人数,求 X 的分布列和期望. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 专题: 概率与统计. 分析: (1)直接利用古典概型的概率求解这 3 人中恰有 2 人来自于 G8 国家的概率; (2)设 X 表示这 3 人来自于 G8 国家的人数,求出概率得到分布列,然后求解 X 的期望.

解答: 解: (1)这 3 人中恰有 2 人来自于 G8 国家的概率:P= (2)X 可能的取值为 0、1、2、3

=

…(5 分)

P(X=0)=

=

,P(X=1)=

=

P(X=2)= X0123 P …(10 分) EX=0× +1×

=

P(X=3)=

=

+2×

+3×

= …(12 分)

点评: 本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法,考查计算能力. 19. (12 分) (2014?蚌埠二模)运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶 130 千米(50≤x≤100) (单位:千米/小时) .假设汽油的价格是每升 2 元,而汽车每小时耗油(2+ 工资是每小时 14 元. (1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式; (2)当 x 为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值. 考点: 基本不等式在最值问题中的应用;函数模型的选择与应用. 专题: 应用题. 分析: (1)求出车所用时间,根据汽油的价格是每升 2 元,而汽车每小时耗油(2+ 司机的工资是每小时 14 元,可得行车总费用; (2)利用基本不等式,即可求得这次行车的总费用最低. 解答: 解: (1)行车所用时间为 , )升,司机的工资是每小时 14 元, )升, )升,司机的

根据汽油的价格是每升 2 元,而汽车每小时耗油(2+ 可得行车总费用: y= (2)y= ≥26 = ,当且仅当

(50≤x≤100) ,即 时,等号成立

∴当 时,这次行车的总费用最低,最低费用为 元. 点评: 本题考查函数模型的构建,考查利用基本不等式求最值,确定函数的模型是关键.

20. (12 分) (2015?黄冈校级模拟)已知四边形 ABCD 满足 AD∥BC,BA=AD=DC= BC=a, E 是 BC 的中点,将△ BAE 沿 AE 折起到△ B1AE 的位置,使平面 B1AE⊥平面 AECD,F 为 B1D 的中点. (1)证明:B1E∥平面 ACF; (2)求平面 ADB1 与平面 ECB1 所成锐二面角的余弦值.

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)根据线面平行的判定定理即可证明:B1E∥平面 ACF; (2)建立空间坐标系,求出平面的法向量,利用向量法即可得到结论. 解答: 证明: (1)连结 ED 交 AC 于 O,连结 OF, 因为 AECD 为菱形,OE=OD, 所以 FO∥B1E, 所以 B1E∥平面 ACF.…(4 分) (2)取 AE 的中点 M,连结 B1M,连结 MD,则∠AMD=90°, 分别以 ME,MD,MB1 为 x,y,z 轴建系, 则 E( ,0,0) ,C(a, B1(0,0, 则 a) , a) , =( , a,0) , =( ,0, a) , a,0) ,A(﹣ ,0,0) ,D(0, a,0) ,

=(﹣ ,0,

设面 ECB1 的法向量为 =(x,y,z) ,



,令 x=1,则 =(1,﹣



) ,…(8 分)

同理面 ADB1 的法向量为 =(1,﹣

,﹣

)…(10 分)

所以 cos< , >=

= ,

故平面 ADB1 与平面 ECB1 所成锐二面角的余弦值为

…(12 分)

点评: 本题主要考查空间平行的位置关系的判断,以及二面角的应用,建立空间坐标系,利 用向量法是解决本题的关键.

21. (12 分) (2015?黄冈校级模拟)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,长轴

长为 2 . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)设 F 为椭圆 C 的右焦点,T 为直线 x=t(t∈R,t≠2)上纵坐标不为 0 的任意一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P,Q. (ⅰ)若 OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点) ,求 t 的值; (ⅱ)在(ⅰ)的条件下,当 最小时,求点 T 的坐标.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)由于 = ,2a=2 ,又 a =b +c .解出即可.
2 2 2

(2) (ⅰ)由(1)可得,F 点的坐标是(2,0) .设直线 PQ 的方程为 x=my+2,与椭圆方程 2 2 联立化为(m +3)y +4my﹣2=0,△ >0.设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,设 M 为 PQ 的中点, 利用根与系数的关系可得:M 点的坐标.由于 TF⊥PQ,可得直线 FT 的斜率为﹣m,其方程 为 y=﹣m(x﹣2) .可得点 T 的坐标,将 M 点的坐标代入解出即可. (ⅱ) 由 (ⅰ) 知 T 为直线 x=3 上任意一点可得, 点 T 点的坐标为 (3, ﹣m) . 于是 ,

|PQ|=

.化简

利用基本不等式的性质即可得出.
2 2 2

解答: 解: (1)∵ = 解得 a =6,b =2,c=2. ∴椭圆 C 的标准方程是
2 2

,2a=2

,又 a =b +c .



(2) (ⅰ)由(1)可得,F 点的坐标是(2,0) . 设直线 PQ 的方程为 x=my+2,

联立
2 2

消去 x,得(m +3)y +4my﹣2=0, 2 2 其判别式△ =16m +8(m +3)>0. 设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,则 y1+y2= ,y1y2= .

于是 x1+x2=m(y1+y2)+4=



设 M 为 PQ 的中点,则 M 点的坐标为 ∵TF⊥PQ, ∴直线 FT 的斜率为﹣m,其方程为 y=﹣m(x﹣2) . 当 x=t 时,y=﹣m(t﹣2) , ∴点 T 的坐标为(t,﹣m(t﹣2) ) , 此时直线 OT 的斜率为 ,其方程为





将 M 点的坐标为

代入,得



解得 t=3. (ⅱ)由(ⅰ)知 T 为直线 x=3 上任意一点可得,点 T 点的坐标为(3,﹣m) . 于是 ,|PQ|= .



=

= . 当且仅当 m +1= 故当
2

,即 m=±1 时,等号成立,此时

取得最小值



最小时,T 点的坐标是(3,1)或(3,﹣1) .

点评: 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得△ > 0 及其根与系数的关系、弦长公式、基本不等式的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系等基 础知识与基本技能方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

22. (12 分) (2015 春?宜昌校级月考)设函数 f(x)=(x﹣a) (x+b)e ,a、b∈R,x=a 是 f(x)的一个极大值点; (Ⅰ)若 a=0,求 b 的取值范围; (Ⅱ) 当 a 是给定的实常数,设 x1x2x3 是 f(x)的 3 个极值点,问是否存在实数 b,可找到 x4∈R,使得 x1,x2,x3,x4 的某种排列 x1,x2,x3,x4(其中{i1,i2,i3}={1,2,3,4})依 次成等差数列?若存在,求所有的 b 及相应的 x4;若不存在,说明理由、 考点: 数列与函数的综合;函数在某点取得极值的条件. 专题: 计算题. 2 x 分析: (I)由函数 f(x)=(x﹣a) (x+b)e ,我们易求出 a=0 时,函数的解析式及其导 2 函数的解析式,构造函数 g(x)=x +(b+3)x+2b,结合 x=a 是 f(x)的一个极大值点,我们 2 分析函数 g(x)=x +(b+3)x+2b 的两个零点与 0 的关系,即可确定 b 的取值范围; 2 x (Ⅱ)由函数 f(x)=(x﹣a) (x+b)e ,我们易求出 f'(x)的解析式,由(I)可得 x1、a、 x2 是 f(x)的三个极值点,且 ,

2

x

,分别讨论 x1、a、x2 是 x1,x2,x3,x4 的某种排列 构造等差数列时其中三项,即可得到结论. 解答: 解: (Ⅰ)解:a=0 时,f(x)=x (x+b)e ,∴f'(x)= e +x (x+b) (e ) =e x, 2 2 2 令 g(x)=x +(b+3)x+2b,∵△=(b+3) ﹣8b=(b﹣1) +8>0,∴设 x1<x2 是 g(x)=0 的两个根, (1)当 x1=0 或 x2=0 时,则 x=0 不是极值点,不合题意; (2)当 x1≠0 且 x2≠0 时,由于 x=0 是 f(x)的极大值点,故 x1<0<x2.∴g(0)<0,即 2b <0,∴b<0. x (Ⅱ)解:f'(x)=e (x﹣a) , 2 2 2 令 g(x)=x +(3﹣a+b)x+2b﹣ab﹣a,则△ =(3﹣a+b) ﹣4(2b﹣ab﹣a)=(a+b﹣1) +8 >0, 于是,假设 x1,x2 是 g(x)=0 的两个实根,且 x1<x2. 由(Ⅰ)可知,必有 x1<a<x2,且 x1、a、x2 是 f(x)的三个极值点, 则 ,
2 x ′ x 2 x ′ x

假设存在 b 及 x4 满足题意, (1)当 x1,a,x2 等差时,即 x2﹣a=a﹣x1 时, 则 x4=2x2﹣a 或 x4=2x1﹣a, 于是 2a=x1+x2=a﹣b﹣3,即 b=﹣a﹣3. 此时 x4=2x2﹣a=a﹣b﹣3+ 或 x4=2x1﹣a=a﹣b﹣3 (2)当 x2﹣a≠a﹣x1 时,则 x2﹣a=2(a﹣x1)或(a﹣x1)=2(x2﹣a)

①若 x2﹣a=2(a﹣x1) ,则



于是 即
2

, . ,

两边平方得(a+b﹣1) +9(a+b﹣1)+17=0,∵a+b+3<0,于是 a+b﹣1= 此时 此时 = , , .

②若(a﹣x1)=2(x2﹣a) ,则

于是 即
2

, . ,

两边平方得(a+b﹣1) +9(a+b﹣1)+17=0,∵a+b+3>0,于是 a+b﹣1= 此时 此时 综上所述,存在 b 满足题意, 当 b=﹣a﹣3 时, 时, 时, , , .

点评: 本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列等基础知识,同 时考查推理论证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识.


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