河南省中原名校2014届高三下学期第二次联考数学(文)试卷(扫描版)


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中原名校 2013-2014 学年高三下期第二次联考文科参考答案
一、选择题 1----5 DBCAA
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6-----10 CADDB

11—12 BA

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13.

2017 2

14.

2p

15.

?4, ?? ?

16.①③④

三、 解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.解 答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17(本题 10 分) 解: (1)

f ? x? ?

3 1 sin ? x ? cos ? x ? 1 2 2

?? 2? ?? ? ? ? sin ? ? x ? ? ? 1且周期为 ? ? ? ? ?? ? 2 ? f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? 1 6? ? 6? ? ?
y ? f ? x ? 的图像关于 x ?
点关于 x ?

?
3

对称,所以当 x ? ?0,

? ?? 时, y ? m 与函数 f ? x ? 图像的交 ? 2? ? 3 ? ? ? ? ---------6 分 2 ?

?
3

对称,? x1 ? x2 ?

2? ? 2? ? f ? x1 ? x2 ? ? f ? 3 ? 3

(2)由(1)知, f ? C ? ? sin ? 2C ?

? ?

??

? ? 1 ? 0?C ? 6? 3
a2 ? b2 ? 2ab cos C ? c2

?



m / / n ?sin A ? sin B ? 0 ? 2a ? b

c ? 2?a ? 3, b ? 2 3 ----------12 分
18(本题 12 分) (Ⅰ)由题意得 x甲 ?

86 ? 94 ? 89 ? 88 ? 91 ? 90 ? 92 ? 90, 7 88 ? 89 ? 90 ? 91 ? 93 ? 92 ? 87 x乙 ? ? 90, 7
1 2 S甲 ? [(86 ? 90) 2 ? (94 ? 90) 2 ? (89 ? 90) 2 ? (88 ? 90) 2 ? (91 ? 90) 2 ? (90 ? 90) 2 ? (92 ? 90) 2 ] 7 ? 6;
1 2 S乙 ? [(88 ? 90) 2 ? (89 ? 90) 2 ? (90 ? 90) 2 ? (91 ? 90) 2 ? (93 ? 90) 2 ? (92 ? 90) 2 ? (87 ? 90) 2 ] 7 ? 4;
因为 6 ? 4 ,所以乙选手成绩更稳定. ---------------------6 分

(Ⅱ) 从甲选手的七次成绩中随机抽取 2 次的所有基本事件为: (86,94) , (86,89) , (86,88) , (86,91) , (86,90) , (86,92) , (94,89) , (94,88) , (94,91) , (94,90) , (94,92) , (89,88) , (89,91) , (89,90) , (89,92) , (88,91) , (88,90) , (88,92) , (91,90) , (91,92) , (90,92)
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共 21 种情况, 则抽取的两次分数差距至少 3 分的事件包含: (86,94) , (86,89) , (86,91) , (86,90) , (86,92) , (94,89) , (94,88) , (94,91) , (94,90) , (89,92) , (88,91) , (88,92)共 12 种情况. 则抽取的两次成绩差距至少 3 分的概率 P ? 19(本题 12 分) (Ⅰ)点 M 是 PC 的中点, 连接 BE ,因为 BC / / AD , DE ? BC , 所以四边形 BCDE 为平行四边形 连接 EC 交 BD 于 O ,连接 MO ,则 MO / / PE , 又 MO ? 平面 BDM , PE ? 平面 BDM ,所以 PE / / 平面 BDM .--------------5 分 (2)由题意 VP? DMB ? VP? DBC ? VM ? DBC , 由于平面 PAD ? 底面 ABCD ,三角形 PAD 是等边三角形, 所以 PE ? AD ,所以 PE ? 底面 ABCD 则 PE 是三棱锥 P ? DBC 的高, 由题意 PA ? AD ? PD ? 4, 所以 PE ? 2 3 , 由(1)知 MO 是三棱锥 M ? DBC 的高,

12 4 ? .---------------------12 分 21 7

MO ? 3, S ?ABC ? 2 3 ,
所以 VP?DBC ? 4, VM ? DBC ? 2, ,则 VP? DBM ? 2, .---------------------12 分 20(本题 12 分) 解: (1)依题意知: QF ? QA ? 4 ? FA ? 2 ,所以点 Q 的轨迹是以 F,A 为焦点的椭圆 ∴所求椭圆方程为 + =1.------------------4 分 4 3 → → → → → (2)∵条件(DM+DN)·MN=0 等价于|DM|=|DN|, ∴若存在符合条件的直线,该直线的斜率一定存在, 否则点 D(0,1)在 x 轴上,矛盾.------------6 分 ∴可设直线 l:y=kx+m(k≠0),

x2 y2

y ? kx ? m ? ? 2 2 2 2 y2 由?x 得(3+4k )x +8kmx+4m -12=0, ? ?1 ? 3 ?4
由 Δ =64k m -4(3+4k )(4m -12)>0 得 4k +3>m .--------------8 分 设 M(x1,y1),N(x2,y2),MN 的中点为 Q(x0,y0),
2 2 2 2 2 2

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则 x0=

x1+x2
2

4km 3m =- 2,y0=kx0+m= 2. 3+4k 3+4k

→ → 又∵|DM|=|DN|, 3m 2-1 3+4k y0-1 1 1 2 ∴ =- ,即 =- ,解得:m=-3-4k . x0 k 4km k - 2 3+4k → → → (注:将点的坐标代入(DM+DN)·MN=0 亦可得到此结果.) 由 4k +3>m 得 4k +3>(3+4k ) , 即 4k <-2,这是不可能的. 故满足条件的直线不存在.------------------12 分 21.(本题 12 分) 解: (1) h( x) ? f ( x ? 1) ? g ?( x) ? ln ? x ? 1? ? x ? 2
2 2 2 2 2 2

? x ? ?1? ,

h '? x? ?

1 ?x ?1 ? ,当 ?1 ? x ? 0 时, h ' ? x ? ? 0 ; x ?1 x ?1

当 x ? 0 时,h ' ? x ? ? 0 , 所以 h ? x ? 在 ? ?1,0? 上单调递增, 在 ? 0, ?? ? 单调递所以当 x ? 0 时

h ? x ? 取得最大值 h ? 0? ? 2 ------------(3 分)
(2)当 0 ? b ? a 时, ?1 ?

b?a ? 0 ,由(1)知:当 ?1 ? x ? 0 时, h ? x ? ? 2 2a

即 ln ? x ? 1? ? x ? 2 ? 2 ,所以 ln ? x ? 1? ? x . 所以 f ? a ? b ? ? f ? 2a ? ? ln

a?b ? b?a? b?a ? ln ?1 ? ------------(7 分) ?? 2a 2a ? 2a ?
x ln x ? x ? 2 ,所以 x ?1

(3)当 x ? 1 时,不等式 k ( x ? 1) ? xf ( x) ? 3g ?( x) ? 4 化为 k ?

k?

x ln x ? x x ln x ? x ? 2 对任意 x ? 1 恒成立.令 F ? x ? ? ?2, x ?1 x ?1

则 F '? x? ?

x ? ln x ? 2

? x ? 1?

2

,令 u ? x ? ? x ? ln x ? 2 ? x ? 1? ,则 u ' ? x ? ? 1 ?

1 x ?1 ? ? 0, x x

所以函数 u ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增.因为 u ?3? ? 1 ? ln3 ? 0, u ? 4? ? 2 ? 2ln 2 ? 0 , 所以方程 u ? x ? ? 0 在上存在唯一实根 x0 ,且满足 x0 ? ? 3, 4? , x0 ? ln x0 ? 2 ? 0 . 当 1 ? x ? x0 时, u ? x ? ? 0 ,即 F ' ? x ? ? 0 ;当 x ? x0 时, u ? x ? ? 0 即 F ' ? x ? ? 0 ,

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所以函数 F ? x ? ?

x ? x ln x ? 2 在 ?1, x0 ? 上单调递减,在 ? x0 , ??? 上单调递增. x ?1

所以 F ? x ?min ? F ? x0 ? ?

x0 ?1 ? ln x0 ? x ?1 ? x0 ? 2 ? ?2 ? 0 ? 2 ? x0 ? 2 ? ? 5,6 ? , x0 ? 1 x0 ? 1

所以 k ? F ? x ?min ? x0 ? 2 ? ?5,6? ,故 k 整数的最大值是 5. ----------------12 分 22.(本题 12 分) 解: (1)由已知条件,可得 ?BAE ? ?CAD ,因为 ?AEB 与 ?ACB 是同弧所对的圆周角,所 以 ?AEB ? ?ACD .故 ?ABE ∽?ADC ----------------5 分 (2)因为 ?ABE ∽?ADC 所以 AB ? AE ,即
AD AC 又 S ? 1 AB ? AC ? sin ?BAC 且 S ? 1 AD ? AE 故 AB ? AC ? sin 2 2

?BAC ? AD? AE 则 sin ?BAC ? 1 ,又 ?BAC 为 ?ABC 的内角, 所以 ?BAC ? 90 .------------10 分

23.解: (1) ? ? 2 cos? ? 2 sin ? ,? ? ? 2? cos? ? 2? sin ?
2

? 圆 C 的直角坐标方程为: x2 ? y2 ? 2x ? 2 y ? 0 ------------5 分
(2)直线 l 上的点向圆 C 引切线长是

? 2 ? 2? ? 2 2 t ? ? t ? ? 4 2 ? 1 ? t 2 ? 8t ? 40 ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? 2 ? ? 2 2 ? ?

2

2

?t ? 4?

2

? 24

? 2 6,?直线 l 上的点向圆 C 引切线的最小值为 2 6 ------------10 分
24.(1)解:

f ? x ? ? f ? x ? 4? ? x ? 1 ? x ? 5 ? 8

? 当 x ? 5 时, x ?1 ? x ? 5 ? 2x ? 6 ? 8? x ? 7
当 1 ? x ? 5 时, x ?1 ? x ? 5 ? 4 ? 8 不成立,所以无解 当 x ? 1 时, x ?1 ? x ? 5 ? 6 ? 2x ? 8? x ? ?1 综上所述:不等式的解集是 x x ? ?1, 或x ? 7 --------------------5 分

?

?

(1) 证明:
2

b ?b? f ? ab ? ? ab ? 1 , a ? f ? ? ? a ? ? 1 ? b ? a a ?a?
2

? ab ? 1 ? b ? a ? a 2b 2 ? a 2 ? b 2 ? 1 ? ? a ? 1? ? ? b ? 1? ? 0

?b? ? ab ? 1 ? b ? a ,? f ? ab ? ? a ? f ? ? ------------------------10 分 ?a?

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