2017-2018学年北师大版高中数学选修4-5课件: 第一章 不等关系与基本不等式 复习整合_图文

第一章 不等关系与基本不等式 答案:①|a+b|≤|a|+|b| ②ax+b≥c或ax+b≤-c ④3abc ⑤求差比较法 ⑥分析法 ③ + 2 ≥ 专题一 专题二 专题三 专题四 专题一 含绝对值的不等式的解法 1.解含绝对值的不等式的一般步骤 (1)令每个绝对值符号里的一次式为0,求出相应的根. (2)把这些根由小到大排列,它们把实数轴分为若干个区间. (3)在所分区间上,根据绝对值的定义去掉绝对值符号,讨论所得 的不等式在这个区间上的解集. (4)这些解集的并集就是原不等式的解集. 2.解不等式常用技巧 解不等式时,在不等式的两边分别作恒等变形,在不等式的两边 同时加上(或减去)一个数或代数式,移项,在不等式的两边同时乘 (或除以)一个正数或一个正的代数式,得到的不等式都和原来的不 等式等价.这些方法,也是利用综合法和分析法证明不等式时常常 用到的技巧. 专题一 专题二 专题三 专题四 【例1】 解不等式|x+1|>|2x-3|-2. 解令 x+1=0,则 x=-1;令 2x-3=0,则 x=2. 3 ①当 x≤-1 时,原不等式化为-(x+1)>-(2x-3)-2,解得 x>2 与 x≤-1 矛盾. 3 ②当-1<x≤2时,原不等式化为 x+1>-(2x-3)-2,解得 x>0,故 3 0<x≤2. 3 3 ③当 x>2时,原不等式化为 x+1>2x-3-2,解得 x<6,故2<x<6. 综上所述,不等式的解集为{x|0<x<6}. 专题一 专题二 专题三 专题四 变式训练1已知函数f(x)=|x-1|. (1)解关于x的不等式f(x)+x2-1>0; (2)若g(x)=-|x+3|+m,且f(x)<g(x)的解集非空,求实数m的取值范围. 解(1)由题意,原不等式可化为|x-1|>1-x2. 由x-1>1-x2,得x>1或x<-2; 由x-1<-(1-x2),得x>1或x<0. 则x>1或x<0,故原不等式的解集为{x|x<0或x>1}. (2)原不等式等价于|x-1|+|x+3|<m的解集非空. 令h(x)=|x-1|+|x+3|,则h(x)min<m,由|x-1|+|x+3|≥|x-1-x-3|=4,所以 h(x)min=4,所以m>4. 故实数m的取值范围为(4,+∞). 专题一 专题二 专题三 专题四 专题二 最值及恒成立问题 关于不等式的恒成立问题,一般要转化为求函数的最值问题,例 如:要使f(x)<a恒成立,我们只需求出f(x)的最大值f(x)max,如果a比这 个最大值还大,那么这个式子就恒成立了,即f(x)<a恒成立 ?f(x)max<a.同理要使f(x)>a恒成立,我们只需求出f(x)的最小值 f(x)min,如果a比这个最小值还小,那么这个式子就恒成立,即f(x)>a恒 成立?f(x)min>a. 专题一 专题二 专题三 专题四 【例2】 若不等式log3(|x-4|+|x+5|)>a对于一切x∈R恒成立,则实 数a的取值范围是 . 分析应求出log3(|x-4|+|x+5|)的最小值,令a小于这个最小值,即为 实数a的取值范围. 解析:由绝对值的几何意义知|x-4|+|x+5|≥9,则log3(|x4|+|x+5|)≥2,所以要使不等式log3(|x-4|+|x+5|)>a对于一切x∈R恒 成立,则需a<2. 答案:(-∞,2) 专题一 专题二 专题三 专题四 变式训练2若关于x的不等式|a|≥|x+1|+|x-2|存在实数解,则实数a 的取值范围是 . -2 + 1, ≤ -1, 解析:因为 f(x)=|x+1|+|x-2|= 3,-1 < < 2, 所以 f(x)≥3,因此要 2-1, ≥ 2, 使|a|≥|x+1|+|x-2|有解,应有|a|≥3,即 a≤-3 或 a≥3. 答案:(-∞,-3]∪[3,+∞) 专题一 专题二 专题三 专题四 【例 3】 设 a>0,b>0,且不等式 + + +≥0 恒成立,则实数 k 的最小值等于( A.0 ) B.4 C.-4 D.-2 1 1 分析将参数k与变量a,b进行分离,即把参数k放到不等式的一边, 不等式的另一边是关于变量a,b的代数式,然后只需求出关于变量 a,b的代数式的最值,即可得到参数k的取值范围,从而得出k的最小 值. 专题一 专题二 专题三 专题四 解析:因为 a>0,b>0,所以不等式可化为 (+)2 又 (+)2 k≥- . = 2 +2+ 2 =2+ + ≥2+2 · =4,当且仅当 a=b 时 (+)2 (+)2 等号成立,所以≤-4,即的最大值为-4,因此要使 (+)2 k≥- 恒成立,应有 k≥-4,即实数 k 的最小值是-4. 答案:C 专题一 专题二 专题三 专题四 专题三 不等式证明的其他方法 1.换元法 换元法主要是指对结构较为复杂,量与量之间的关系并不明显的 命题,通过引进新的变量,代换原题中的部分式子,简化原有的结构, 使之转化为便于研究的形式. 专题一 专题二 专题三 专题四 【例4】 已知-1≤x≤1,n≥2,且n∈N,求证:(1-x)n+(1+x)n≤2n. 证明∵-1≤x≤1,∴可设 x=cos 2θ 0 ≤ ≤ 则(1-x)n=[1-(1-2sin2θ)]n=2nsin2 θ, (1+x) =[1+(2cos θ-1)] =2 cos θ. n 2 n n π 2 . 2 ∵0≤θ≤2,∴0≤sin2θ≤1.∴sin2 θ≤sin2θ. 同理 cos 2 θ≤cos2θ. π ∴2 sin θ+2 cos θ≤2n(sin2θ+cos2θ)=2n. ∴(1-x)n+(1+x)n≤2n. n n 2 2 当且仅当 x=1 时,等号成立. 专

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