北京市重点中学2014-2015年度高二数学下学期期中试卷-理

北京市重点中学 2014-2015 年度高二数学下学期期中试卷-理

北京市 2014~2015 学年度第二学期期中考试

高 二数学(理)试卷
(考试时间:100 分钟 总分:100 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合要求的.)
1.已知复数 z 满足: zi ? 2 ? i ( i 是虚数单位),则 z 的虚部为( )

A. ? 2i

B. 2i

C. 2

D. ? 2

2.图书馆的书架有三层,第一层有 3 本不同的数学书,第二层有 5 本不同的语文书,第三层

有 8 本不同的英语书,现从中任取一本书,共有( )种不同的取法。

A.120

B.16

C.64

D.39

3.已知曲线 y ? x2 ? 3ln x ? 1 的一条切线的斜率为 1 ,则切点的横坐标为( )

4

2

A.3

B.2

C.1

D. 1

2

4.由直线 y ? 1 , y ? 2 ,曲线 y ? 1 及 y 轴所围成的封闭图形的面积是( )

2

x

A. 2ln 2

B. 2ln 2 ?1

5.以下说法正确的是( )

C. 1 ln 2 2

D. 5 4

A.在用综合法证明的过程中,每一个分步结论都是结论成立的必要条件

B.在用综合法证明的过程中,每一个分步结论都是条件成立的必要条件

C.在用分析法证明的过程中,每一个分步结论都是条件成立的充分条件

D.在用分析法证明的过程中,每一个分步结论都是结论成立的必要条件

6.设函数 f (x) ? x ln x ,则 f (x) 的极小值点为( )

A. x ? e

B. x ? ln 2

C. x ? e2

D. x ? 1 e

7.已知 21 ?1 ? 2 , 22 ?1? 3 ? 3? 4 , 23 ?1? 3? 5 ? 4 ? 5? 6 ,...,以此类推,第 5 个等式

为( )

A. 24 ?1? 3? 5? 7 ? 5? 6 ? 7 ?8

B. 25 ?1? 3? 5? 7 ? 9 ? 5? 6 ? 7 ? 8? 9

C. 24 ?1? 3? 5? 7 ? 9 ? 6 ? 7 ?8? 9 ?10

D. 25 ?1? 3? 5? 7 ? 9 ? 6 ? 7 ?8? 9 ?10
8.在复平面内,复数 3 ? 4i , i ?2 ? i? 对应的点分别为 ? , ? ,则线段 ??的中点 C 对应的
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复数为( )

A. ?2 ? 2i

B. 2 ? 2i

C. ?1? i

D.1? i

9.已知函数 f ? x? ? 1 x2 ? cos x, f ?? x? 是函数 f ? x? 的导函数,则 f ?? x? 的图象大致是( )
4

10.设函数 y ? f ? x? 在区间 ?a,b? 上的导函数为 f ?? x? , f ?? x? 在区间 ?a,b? 上的导函数为

f ??? x? ,若区间 ?a,b? 上 f ??? x? ? 0 ,则称函数 f ? x? 在区间 ?a,b? 上为“凹函数”,已知

f ? x? ? 1 x5 ? 1 mx4 ?2x2 在 ?1,3? 上为“凹函数”,则实数 m 的取值范围是( )
20 12

A. (??, 31) 9

B. [ 31 , 5] 9

C. (??,3] D. ???,5?

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.)

11.函数 f (x) ? x3 ? ax ? 2 在 (1, ??) 上是增函数,则实数 a 的取值范围是

12.设集合 A ? ?1,2,3,4,5?, a,b ? A , 则方程 x 2 ? y 2 ? 1 表示焦点位于 y 轴上的椭圆有
ab
个.

? 13.设

f

(x)

?

???sin

?

? ??

1,

x, x x?

?

???0,

? 2

? ??

? 2

,

2???

? ??

,则

2 f (x)dx 为
0



14.已知复数 z ? x ? yi?x, y ? R, x ? 0?且 z ? 2 ? 3 ,则 y 的范围为



x

15.在平面上,我们用一直线去截正方形的一个角,那么截下的一个直角三角形,按如图所

标边长,由勾股定理有 c2 ? a2 ? b2 .设想正方形换成正方体,把截线换成如图截面,这时从

正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 O ? LMN ,如果用 S1, S2 , S3 表示三个侧面面积,

S 4 表示截面面积,那么类比得到的结论是



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16.对定义在区间 D 上的函数 f (x) 和 g(x) ,如果对任意 x ? D ,都有 f (x) ? g(x) ?1成立,

那么称函数 f (x) 在区间 D 上可被 g(x) 替代, D 称为“替代区间”.给出以下命题:

① f (x) ? x2 ?1 在区间 (??,??) 上可被 g(x) ? x2 ? 1 替代; 2

② f (x) ? x 可被 g(x) ? 1 ? 1 替代的一个“替代区间”为[1 , 3] ;

4x

42

③ f (x) ? ln x 在区间[1, e] 可被 g(x) ? x ? b 替代,则 e ? 2 ? b ? 2 ;

④ f (x) ? lg(ax2 ? x)( x ? D1), g(x) ? sin x(x ? D2 ) ,则存在实数 a(a ? 0) ,使得 f (x) 在区
间 D1 ? D2 上被 g(x) 替代;
其中真命题的有

三、解答题(本大题共 4 小题,共 36 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本小题共 8 分)
已知函数 f (x) ? x3 ? ax2 ? 2, x ? 2 是 f (x) 的一个极值点,求: (1)实数 a 的值;
(2) f (x) 在区间 ??1, 3?上的最大值和最小值。

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18. (本小题共 8 分)

若 a 、 b 、 c 均为实数,且 a ? x2 ? 2 y ? ? , b ? y2 ? 2Z ? ? , c ? Z 2 ? 2x ? ?

2

3

6

求证: a 、 b 、 c 中至少有一个大于 0 。

19. (本小题共 10 分)
已知函数 f (x) ? ex ? ax ?1 (a ? R) . (1)求函数 f (x) 的单调区间;
(2)若函数 F(x) ? f (x) ? 1 x2 在?1, 2? 上有且仅有一个零点,求 a
2
的取值范围;
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20. (本小题共 10 分)

1? 1

? ? 已知数列

an

的各项均为正整数,对于任意 n ? N * ,都有 2 ? 1 an?1

?

an 1?

an?1 1

?2? 1 an

n n?1

成立,

且 a2 ? 4 .

(1)求 a1 , a3 的值;

(2)猜想数列?an? 的通项公式,并给出证明.

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高二(理)试卷答案及评分标准

一、选择题

序号 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案 D

B

A

A

B

D

D

D

A

C

二、填空题

11.??3, ??? 12.10 13. 3 ? ?
2
16.①②③

14. ??? 3, 3?? 15. s12 ? s22 ? s32 ? s42

三、解答题

17.(1)因为, f ?(x) ? 3x2 ? 2ax,

(1 分)

f (x) 在 x ? 2 处有极值,所以, f ?(2) ? 0,

(2 分)

即 3? 4 ? 4a ? 0, 所以, a ? ?3 。

(3 分)

(2)由(1)知 a ? ?3 ,所以 f (x) ? x3 ? 3x2 ? 2, f ?(x) ? 3x2 ? 6x

(4 分)

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令 f ?(x) ? 0, 得 x1 ? 0, x2 ? 2 , 当 x 变化时 f ?(x), f (x) 的变化情况如下表:

x

?1

??1, 0?

0

?0, 2?

2

?2, 3?

3

f ?(x)

+

0

-

0

+

f (x)

?2

2

?2

从上表可知 f (x) 在区间 ??1, 3? 上的最大值是 2 ,最小值是 ? 2 。

2
(7 分) (8 分)

18. 证明:假设 a, b, c 都不大于 0 ,

即 a ? 0, b ? 0, c ? 0

∴a?b?c?0

(4 分)

∵ a ? b ? c ? x2 ? 2y ? ? ? y2 ? 2z ? ? ? z2 ? 2x ? ?

2

3

6

= (x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? (z ?1)2 ? ? ? 3

? 0 与上式矛盾 ∴ a, b, c 中至少有一个大于 0

(8 分)

19.(1)解: f ?(x) ? ex ? a (1 分)

当 a ? 0 时, f ?(x)≥ 0 ,则 f (x) 在 (??, ??) 上单调递增 (2 分)

当 a ? 0 时, f (x) 在 (??,ln a) 上单调递减, f (x) 在 (ln a,? ?) 上单调递增. (4 分)

(2)解:由

F ( x)

?

f

(x) ?

1

x2

? 0 ,得 a

?

ex

?

1 2

x2

?1

2

x

ex ? 1 x2 ?1

(x ?1)ex ? 1 x2 ?1

考查函数 g(x) ? 2 x

( x ??1, 2?),则 g?(x) ?

2 x2

令 h(x) ? (x ?1)ex ? 1 x2 ?1, h?(x) ? x(ex ?1) 2
当1 ? x ? 2时, h?(x) ? 0 ,∴ h(x) 在 ?1, 2? 上单调递增

(5 分) (6 分) (7 分)

∴ h(x)≥ h(1) ? 1 ? 0 , g?(x) ? 0 ,∴ g(x) 在 ?1, 2? 上单调递增 2

(8 分)

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? ? ∴ g(x) ?

ex

?

1 2

x2

?1 在

1, 2

上的最小值为 g(1) ? e ?

3

,最大值为 g(2) ?

1 (e2 ? 3)

x

2

2

(9 分)

? ? ? ? ∴当 e ? 3 ≤ a ≤ 1 e2 ? 3 时,函数 F(x) ? f (x) ? 1 x2 在 1, 2 上有且仅有一个零点

2

2

2

(10 分)

1? 1

20. (1)因为 2 ? 1 ? an an?1 ? 2 ? 1

an?1 1 ? 1

an

n n?1

, a2 ? 4

当 n ?1 时,由 2 ?

1 a2

?

2

? ? ?

1 a1

?

1 a2

? ?? ?

2?

1 a1

,即有 2 ?

1 4

?

2 a1

?

2 4

?

2?

1 a1



解得

2 3

?

a1

?

8 7

.因为

a1

为正整数,故

a1

?

1.

(2 分)



n

?

2 时,由 2 ?

1 a3

?

? 6?
?

1 4

?

1 a3

? ? ?

?

2?

1 4



解得 8 ? a3 ? 10 ,所以 a3 ? 9 .

(4 分)

(2)由 a1 ? 1, a2 ? 4 , a3 ? 9 ,猜想: an ? n2
下面用数学归纳法证明.
1? 当 n ?1 , 2 , 3 时,由(1)知 an ? n2 均成立.
2? 假设 n ? k ?k ≥3? 成立,则 ak ? k 2 ,

(5 分) (6 分)

由条件得 2 ?

1 ak ?1

?

k

?

k

?

1?

? ? ?

1 k2

?

1 ak ?1

? ?? ?

2?

1 k2



? ? 所以

k3 k2

?k ?1?
?k ?1

?

ak ?1

?

k

k2 ? k ?1 k ?1



所以

?

k

?1?2

?

k

k ?1 2 ? k ?1

?

ak ?1

?

?

k

?

1?2

?

k

1 ?1

因为

k ≥3, 0

?

k ?1 k2 ? k ?1

?1,

0

?

k

1 ?1

?

1,

? ? 又 ak?1 ? N? ,所以 ak?1 ? k ?1 2 .

(8 分) (9 分)

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即 n ? k ?1时, an ? n2 也成立. 由 1?,2? 知,对任意 n ? N? , an ? n2 .

(10 分)

-8-/8


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