(新课标Ⅰ)2016届高三数学第六次月考试题 文

第六次月考数学文试题【新课标Ⅰ版】
一、选择题 1. 已知集合 A ? x x ? 16 ? 0 , B ? ??5, 0,1? 则
2

?

?

A. A ? B ? ? B. B ? A C. A ? B ? ?0,1? D. A ? B 2.已知 i 是虚数单位,则复数 z ? A. 0 B.

4 ? 3i 的虚部是 3 ? 4i
D. 1

i

C. ?i

3.具有线性相关关系的变量 x,y ,满足一组

? ? 3x ? 数据如右表所示.若 y 与 x 的回归直线方程为 y
是 A. 4 B.

3 ,则 m 的值 2

x

0 -1

1 1

2 m

3 8

y

9 2
x2 y2 a b

C. 5

D. 6

4.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为 y ? ? 5 2 3 2 2 3

5 x ,则它的离心率为( 2

)

A.

B.

3 5 C. 5

D.

5.执行如右图所示的程序框图,若输入的 n 值等于 7,则输出的 s 的值为 A.15 B.16 C.21 D.22

?1 ? x ? 2 ? 6. 已知在平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组 ? y ? 2 给 ? x ? 2y ?
定.目标函数 z ? 2 x ? y ? 5 的最大值为 A. 1 B. 0 C. ?1 D. ?5

7. 在正四棱锥 P-ABCD 中,PA=2,直线 PA 与平面 ABCD 所成角为 60°,E 为 PC 的中点,则异面直线 PA 与 BE 所成角为 A. 90
?

B. 60

?

C. 45

?

D. 30

?

1

8. 已知 ? ? ( x, y) x ? 1, y ? 1 ,A 是由直线 y ? x 与曲线 y ? x 围成的封闭区域,用随机模拟的
3

?

?

方法求 A 的面积时,先产生

? 0,1? 上的两组均匀随机数, x1, x2 ,..., xN 和 y1, y2 ,..., yN ,由此得 N 个点

? xi , yi ? (i ? 1, 2,3,... N) ,据统计满足 xi3 ? yi ? xi (i ? 1, 2,3,...N ) 的点数是 N1 ,由此可得区域 A 的面
积的近似值是

2 N1 4 N1 8 N1 C. D. N N N 3 3 9.下列三个数 a ? ln ? , b ? ln ? ? ? , c ? ln 3 ? 3 ,大小顺序正确的是 2 2
A. B. A. b ? c ? a B. a ? b ? c C. a ? c ? b D. b ? a ? c 10.已知等差数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,前 10 项的和等于前 5 的和,若 am ? a6 ? 0 则 m ? 3 4 A 10 B 9 C 8 D 2 5

N1 N

正视图 11.某几何体的三视图如右图所示, 则该几何体的体积为 A.10 B.20 C.40 D.60 3 俯视图

侧视图

? ?5 sin( x) (0 ? x ? 1) ? ?4 2 12. 已知函数 y ? f ( x) 是定义域为 R 的偶函数. 当 x ? 0 时, f ( x) ? ? ?( 1 ) x ? 1 ( x ? 1) ? ? 4
2



关于 x 的方程 5 ? f ( x) ? ? (5a ? 6) f ( x) ? 6a ? 0 ( a ? R ),有且仅有 6 个不同实数根,则实数 a 的 取值范围是

5 4 5 C. 0 ? a ? 1或a ? 4
A. 0 ? a ? 1或a ?

B. 0 ? a ? 1或a ? D. 1 ? a ?

5 4

5 或a ? 0 4

二、填空题 13.如图,正六边形 ABCDEF 的边长为 3 ,则 AC ? DB ? ______

??? ? ??? ?

2

14. 已知 x, y ? (0, ??) , 2

x ?3

1 1 4 ? ( ) y ,则 ? 的最小值为 2 x y

15. 已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 4 ,过点 A(2,3) 作 C 的切线,切点分别为 P, Q ,则直线 PQ 的方程 为 .

? 16. 如 图 , 在 Rt ?A B C 中 , ?A ? 90 ,D 是 AC 上 一 点 , E 是 BC 上 一 点 , 若

AB ?

1 1 BD , CE ? EB . ?BDE ? 120? , CD ? 3 ,则 BC= 2 4
B E C A D

三.解答题 17. (本小题满分 10 分)等差数列 ?an ? 中, a1? ?1 ,公差 d ? 0 且 a2 , a3 , a6 成等比数列,前 n 项的 和为 Sn . (1) 求 an 及 Sn . (2) 设 bn ?

1 , Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,求 Tn an an ?1

18. (本小题满分 12 分)已知

f ( x) ?

3 3 sin 2 x ? cos2 x ? 2 2

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期及单调递增区间. (2)当 x ? [0,

?
2

] 时,方程 f ( x) ? m ? 0 有实数解,求实数 m 的取值范围.

19. (本小题满分 12 分) 如图,已知⊙O 的直径 AB=3,点 C 为⊙O 上异于 A,B 的一点,VC⊥平面 ABC,且 VC=2,点 M 为线段 VB 的中点. (1)求证:BC⊥平面 VAC;

3

(2)若直线 AM 与平面 VAC 所成角为

? .求三棱锥 B-ACM 的体积. 4

20. (本小题满分 12 分)从某小区抽取 100 个家庭进行月用电量调查,发现其月用电量都在 50 度至 350 度之间,频率分布直方图如图所示. (1)根据直方图求 x 的值,并估计该小区 100 个家庭的月均用电量(同一组中的数据用该组区间的 中点值作代表) ; (2)从该小区已抽取的 100 个家庭中, 随机抽取月用电量超过 300 度的 2 个家庭,参加电视台举办 的环保互动活动,求家庭甲(月用电量超过 300 度)被选中的概率.

21. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C: 点 F1 , F2 分别为其左右焦点. (1)求椭圆 C 的标准方程;

x2 y2 2 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 A (? , , ) ,离心率为 2 a b 2 2 2

( 2) 是否 存在 圆心 在原点 的 圆, 使得 该圆 的任意 一 条切 线与 椭圆 C 恒有 两 个交 点 P, Q , 且

OP ? OQ ?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由.
22. (本小题满分 12 分)已知 a ? R ,函数 f ( x) ?

1 3 x ? (a ? 2) x 2 ? b , g ( x) ? 4a ln x . 3

(1)若曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 在它们的交点 (1, c) 处的切线重合,求 a , b 的值; (2)设 F ( x) ? f '( x) ? g ( x) ,若对任意的 x1 , x2 ? (0, ??) ,且 x1 ? x2 ,都有

F ( x2 ) ? F ( x1 ) ? 2a( x2 ? x1 ) ,求 a 的取值范围.

4

参考答案 一、选择题 1—5 CDABB 6—10 ACBCA 二、填空题 13. ? 11—12 BC

9 ,14. 3 ,15. 2 x ? 3 y ? 4 ? 0 ,16. 93 2

三.解答题
2 17. 解: (1)有题意可得 a2 ? a6 ? a3 又因为 a1? ?1 ? d ? 2 …… 2 分

? an ? 2n ? 3
(2) bn ?

sn ? n2 ? 2n …………………4 分

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ………6 分 an an ?1 (2n ? 3)(2n ? 1) 2 2n ? 3 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 ? Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? [( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? )] 2 ?1 1 1 3 2n ? 3 2n ? 1 1 1 n ? (?1 ? )?? …………10 分 2 2n ? 1 2n ? 1
18. 解:

5

(1)

? f ( x) ?

3 1 ? cos 2 x 3 3 1 ? sin 2 x ? ? ? sin 2 x ? cos2x-1= sin(2 x ? ) ? 1 2 2 2 2 2 6

? f ( x) ? sin(2 x ? ) ? 1 ………2 分 6

?

? 最小正周期为 ? ………4 分
令? z=2 x ?

?
6

.函数 f ( x) ? sin z ?1 的单调递增区间是

? ? ? ? ? ? ? ? 2 k ? ? 2 x ? ? ? 2 k? , ,由 ? 2 k ? , ? 2 k ? , k ? Z ? ? 2 6 2 2 ? 2 ?
得?

?
3

? k? ? x ?

?
6

? k? , k ? Z

? 函数 f ( x) 的单调递增区间是 [?
( 2 ) 当

?
3

? k? ,

?
6

? k? ], k ? Z ………6 分


? ? ? 7? x ? [0, ] 时 , 2 x ? ? [ , ] 2 6 6 6 ? 1 3 sin( 2 x ? ) ? [? ,1] f ( x) ? [? ,0] 6 2 2 3 ? f ( x) ? m ? m ? [ ? ,0] ………12 分 2
19.解: (1)证明:因为 VC⊥平面 ABC, BC 以 VC⊥BC,

? 平面ABC ,所

又因为点 C 为圆 O 上一点,且 AB 为直径,所以 AC⊥BC,又因为 VC,AC ? 平面 VAC,VC∩AC=C,所以 BC⊥平面 VAC. …………………4 分

(2)如图,取 VC 的中点 N,连接 MN,AN,则 MN∥BC,由(I)得 BC⊥平面 VAC,所以 MN⊥平面 VAC, 则 ∠MAN 为 直 线 AM 与 平 面 VAC 所 成 的 角 . 即 ∠MAN=

? , 所 以 4

MN=AN;…………………………………6 分

9 ? a2 令 AC=a,则 BC= 9-a ,MN= ;因为 VC=2,M 为 VC 中点,所以 AN= a2 ?1 , 所以, 2
2

9 ? a2 = a2 ?1 ,解得 a=1…………………………10 分 2
因为 MN∥BC,所以

V

B ? ACM

1 2 ? V M ? ABC ? V N ? ABC ? S? ABC ?NC ? …12 分 3 3

20.

6

(0.0012 ? 0.0024 ? 2 ? 0.0036 ? x ? 0.0060) ?1 解: (1)由题意得, 50 ?

? x ? 0.0044 .…………2 分
设该小区 100 个家庭的月均用电量为 S 则 S ? 0.0024 ? 50 ? 75 ? 0.0036 ? 50 ? 125 ? 0.0060 ? 50 ? 175 ? 0.0044 ? 50 ? 225 ?

0.0024 ? 50 ? 275 ? 0.0012 ? 50 ? 325 ? 9+22.5+52.5+49.5+33+19.5=186.……6 分
(2)? 0.0012 ? 50 ?100 ? 6 ,所以用电量超过 300 度的家庭共有 6 个.…………8 分 分别令为甲、A、B、C、D、E,则从中任取两个,有(甲,A) 、 (甲,B) 、 (甲,C) 、 (甲,D) 、 (甲, E) 、 (A,B)、 (A,C)、(A,D)、(A,E)、(B,C)、(B,D)、(B,E)、(C,D)、(C,E)、(D,E)15 种等可能的基 本事件, 其中甲被选中的基本事件有 (甲, A) 、 (甲, B) 、 (甲, C) 、 (甲, D) 、 (甲, E) 5 种.…………10 分

? 家庭甲被选中的概率 p ?

5 1 ? .…………12 分 15 3
(? 2 2 3 ) ( )2 2 ? 2 2 ? 1(a ? b ? 0) ,得 c ? 1 ,所 a2 b

c 2 21.解: (1)由题意得: ? ,得 b ? c ,因为 a 2
2

x2 ? y 2 ? 1 . ……………4 分 以 a ? 2 ,所以椭圆 C 方程为 2
(2)假设满足条件的圆存在,其方程为: x ? y ? r (0 ? r ? 1)
2 2 2

? y ? kx ? b ? 当直线 PQ 的斜率存在时,设直线方程为 y ? kx ? b ,由 ? x 2 得 2 ? ? y ?1 ?2

(1 ? 2k 2 ) x2 ? 4bkx ? 2b2 ? 2 ? 0 ,令 P( x1 , y1 ),Q( x2 , y2 )
2b 2 ? 2 4bk xx ? x1 ? x2 ? ? , 1 2 1 ? 2k 2 …………6 分 2 1 ? 2k

? OP ? OQ ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0
7

(1 ? k 2 )(2b 2 ? 2) 4k 2b 2 ? ? ? b 2 ? 0 ?3b 2 ? 2k 2 ? 2 .………8 分 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k
因为直线 PQ 与圆相切,

?r 2 ?

2 b2 = 2 1? k 3
2 2

所以存在圆 x ? y ?

2 3
2 2

当直线 PQ 的斜率不存在时,也适合 x ? y ? 综上所述,存在圆心在原点的圆 x ? y ?
2 2

2 . 3

2 满足题意.…………12 分 3 1 3 2 22. (本小题满分 12 分)已知 a ? R ,函数 f ( x) ? x ? ( a ? 2) x ? b , g ( x) ? 4a ln x . 3
(1)若曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 在它们的交点 (1, c) 处的切线重合,求 a , b 的值; (2)设 F ( x) ? f '( x) ? g ( x) ,若对任意的 x1 , x2 ? (0, ??) ,且 x1 ? x2 ,都有

F ( x2 ) ? F ( x1 ) ? 2a( x2 ? x1 ) ,求 a 的取值范围.
解:(1) f ?( x) ? x2 ? 2(a ? 2) x , f ?(1) ? 2a ? 3 . g ?( x) ? 由题意, f ?(1) ? g ?(1) , 4a ? 2a ? 3 , a ? ?

4a , g ?(1) ? 4a x

3 . 2 19 又因为 g (1) ? 0 ,? c ? 0 . f (1) ? 0 ,得 b ? ………………… 4 分 6
(2)由 F ( x2 ) ? F ( x1 ) ? 2a( x2 ? x1 ) 可得, F ( x2 ) ? 2ax2 ? F ( x1 ) ? 2ax1 令 h( x) ? F ( x) ? 2ax ,只需证 h( x) 在 (0, ??) 单调递增即可…………8 分

h( x) ? F ( x) ? 2ax ? x2 ? 2(a ? 2) x ? 4a ln x ? 2ax =x 2 ? 4 x ? 4a ln x

h?( x) ?

2 x 2 ? 4 x ? 4a x
2 x 2 ? 4 x ? 4a ? 0 在 ? 0, ??? 恒成立即可……………10 分 x
1 1 ( x ? 1) 2 ? 2 2

只需说明 h?( x) ?
2

即 4a ? -2 x ? 4 x , a ? ? 故, a ? ?

1 2

………………………………………………………12 分

8

(如果考生将

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 视为斜率,利用数形结合得到正确结果的,则总得分不超过 8 分) x1 ? x2

9


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