浙江省嘉兴市第一中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题
嘉兴市第一中学 2015 学年第二学期期中考试 高二数学 试题卷
2016 年 4 月
满分[150]分 ，时间[120]分钟
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．若复数 (2 ? i)(1 ? ai) 是纯虚数( i 是虚数单位， a 是实数)，则 a 等于（ A. -1 B. ? ）
1 2
C.2
D. 3
2．已知双曲线
x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的离心率为 2 ，一个焦点与抛物线 y 2 ? 16 x 的焦 2 a b
） C． y ? ?
2 2
点相同，则双曲线的渐近线方程为（ A． y ? ?
3 x 2
B． y ? ? 3x
3 x 3
D． y ? ?
3 x 2
3.椭圆 ＋ ＝1 的离心率为 e，点(1，e)是圆 x ＋y －4x－4y＋4＝0 的一条弦的中点，则此 4 3 弦所在直线的方程是( A．3x＋2y－4＝0
2
x2 y2
) B．4x＋6y－7＝0 C．3x－2y－2＝0 D．4x－6y－1＝0
4．点 P 是抛物线 y ? 4 x 上一动点， 则点 P 到点 A(0, ? 1) 的距离与到直线 x ? ?1 的距离和 的最小值是( A. 5 5．方程 ) B. 3 C．2 ) D．
2
x2 y2 ? ? 1所表示的曲线是 ( 2 sin ? ? 3 sin ? ? 2
A．焦点在 x 轴上的椭圆 C．焦点在 x 轴上的双曲线
2
B．焦点在 y 轴上的椭圆 D．焦点在 y 轴上的双曲线
x2 y 2 6．已知抛物线 y ? 2 px （ p ? 0 ）与椭圆 2 ? 2 ? 1 （ a ? b ? 0 ）有相同的焦点 F ，点 a b ) A 是两曲线的一个公共点，且 AF ? x 轴，则椭圆的离心率为(
A． 3 ?1
2
B． 2 ? 1
C．
5 ?1 2
D．
2 2 ?1 2
7．设抛物线 y ＝6x 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点，PA⊥l，垂足为 A， 如果△APF 为正三角形，那么|PF|等于( A．4 3 8．若直线 y ? ? （ ）
1
) C．6 D．12
B．6 3
x 1 ? m 与曲线 y ? | 4 ? x 2 | 恰有三个公共点，则实数 m 的取值范围是 2 2
A． (1, 2)
B． ( 2 ?1, 2 ? 1)
C． (1, 2 ? 1)
D． (2, 2 ? 1)
9．已知椭圆 C1 :
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与圆 C2 : x2 ? y 2 ? b2 ，若在椭圆 C1 上存在点 P， 2 a b
过 P 作圆的切线 PA,PB,切点为 A，B 使得 ?BPA ? ( A． [ )
?
3
，则椭圆 C1 的离心率的取值范围是
3 ,1) 2
B． [
2 3 , ] 2 2
C． [
2 ,1) 2
D． [ ,1)
1 2
10. 设双曲线
x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F，过点 F 与 x 轴垂直的直线 l 交 两渐 a 2 b2
近线于 A，B 两点，与双曲线的其中一个交点为 P，设坐标原点为 O，若 OP ? mOA ? nOB
??? ?
??? ?
??? ?
(m, n ? R) ，且 mn ?
A． y ? ?
2 ，则该双曲线的渐近线为（ 9
）
3 x 4
B． y ? ?
2 x 4
C． y ? ?
1 x 2
D． y ? ?
1 x 3
二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分. 11.抛物线 y ? 4 x 2 的焦点坐标为 ． ．
12.复数 z 满足 (1 ? 2i) ? z ? 4 ? 3i ，其中 i 是虚数单位， z 为 z 的共轭复数，那么 z＝
13.若椭圆的方程
2
x2 y2 2 ? ? 1 ，且此椭圆的离心率为 ，则实数 a = 10 ? a a ? 2 2
2 2
.
14.已知圆 C： x ? y ? 8x ? ay ? 5 ? 0 经过抛物线 E： x ? 4 y 的焦点，则抛物线 E 的准线 与圆 C 相交所得弦长为 15.已知抛物 线 C ： y ? 8x 的焦点为 F ， P 是 C 上一点，若 P 在第一象限， | PF |? 8 ，
2
则点 P 的坐标为 16．已知 A，B 为椭圆
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 长轴的两个顶点，M，N 是椭圆上关于 x 轴对称 a 2 b2
的两点，直线 AM，BN 的斜率分别为 k1 , k2 ，且 k1k2 ? 0 ，若 | k1 | ? | k2 | 的最 小值为 1，则椭 圆的离心率为______________． 17.已知 P 是椭圆
x2 y 2 x2 y 2 和双曲线 ( a ? b ? 0) ? ? 1 ? 2 ? 1 (a2 ? 0, b2 ? 0) 的一个交 1 1 2 a12 b12 a2 b2
2
点 ， F1 , F2 是 椭 圆 和 双 曲 线 的 公 共 焦 点 ， e1 , e2 分 别 为 椭 圆 和 双 曲 线 的 离 心 率 ，
?F1 PF2 ?
2? 1 1 ，则 ? 的最大值为 3 e1 e2
.
三、解答题：本大题共 5 大题、共 72 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 18.（本小题 14 分）已知复数 z ? m2 (1 ? i) ? m(3 ? i) ? 6i ，则当 m 为何实数时，复数 z 是 （1）实数？（2）纯虚数？（3）对应点在第三象限？
19.（本小题 14 分）已知抛物线 E: x ? 4 y ，过 M（1，4）作抛物线 E 的弦 AB，使弦 AB 以
2
M 为中点，
（1）求弦 AB 所在直线的方程． （2）若直线 l:y=x+b 与抛物线 E 相切于点 P,求以点 P 为圆心，且与抛物线 E 的准线相切的 圆的方程．
20.（本小题 14 分）已知圆 C：(x＋ 3) ＋y ＝16，点 A( 3，0)，Q 是圆上一动点，AQ 的 垂直平 分线交 CQ 于点 M，设点 M 的轨迹为 E. (1)求轨迹 E 的方程； 4 (2)过点 P(1,0)的直线 l 交轨迹 E 于两个不同的点 A， B， △AOB(O 是坐标原点)的面积 S＝ ， 5 求直线 AB 的方程．
2
2
3
x2 y2 3 21． （本小题 15 分）已知椭圆 2 + 2 =1（ a ＞ b ＞ 0 ）的离心率为 ，且过点 2 a b
（ 2，
2 )． 2
（1）求椭圆方程； （2）设不过原点 O 的直线 l ： y ? kx ? m (k ? 0) ，与该椭圆交于 P 、 Q 两点，直线 OP 、
OQ 的斜率依次为 k1 、 k2 ，满足 4k ? k1 ? k2 ，试问：当 k 变化时， m 是否为定值？若是，
求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．
2
22. （ 本 小 题 15 分 ） 如 图 ， 曲 线 ? 由 曲 线 C1 :
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0, y ? 0) 和 曲 线 a 2 b2
C2 :
x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0, y ? 0) 组成，其中点 F1 , F2 为曲线 C1 所在圆锥曲线的焦点， 点 a 2 b2
F3 , F4 为曲线 C2 所在圆锥曲线的焦点，
（1）若 F2 (2,0), F3 (?6,0) ，求曲线 ? 的方程； （2）如图，作直线 l 平行于曲线 C2 的渐近线，交曲线 C1 于点 A、B，求证：弦 AB 的中点 M 必在曲线 C2 的另一条渐近线上； （3）对于（1）中的曲线 ? ，若直线 l1 过点 F4 交曲线 C1 于点 C、D，求△CDF1 面积的最大 值.
y
F3
F1 O
F2 B
F4
x
A
4
嘉兴一中 2015-2016 学年高二(下)期中考试数学答案 一、CBBDC BCAAB 二、填空题： ? 1? 11． ? 0, ? ? 16 ? 12. 2 ? i 13、
14 22 或 3 3
14、 4 6 15． (6 , 4 3)
16、
3 2 4 3 3
17.
四、解答题： 18.（1） m ? ?2,3 （2） m ? 0 （3） m ? (0,3)
2 ? y ?y 1 ? x1 ? 4 y1 19.（1）设 A( x1, , y 1 ), B( x2 , y2 ) ，由 ? 2 得 k AB ? 1 2 ? ，所以直线 AB 的方程为 x1 ? x2 2 ? ? x2 ? 4 y2
1 y ? 4 ? ( x ? 1) ，即 x ? 2 y ? 7 ? 0 2
（2）设切点 P( x0 , y 0 ) ， 由y?
x x x2 得 y? ? ， 所以 0 ? 1 ? x0 ? 2 ， 即点 P (2,1) ， 圆 P 的半径 为 2 2 4
2 2
2，所以圆 P 的方程为 ( x－2) ＋( y－ 1) ＝4
20.解：(1)由题意|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝4>2 3， 所以轨迹 E 是以 A，C 为焦点，长轴长为 4 的椭圆，即轨迹 E 的方程为 ＋y ＝1. 4 (2)记 A(x1，y1)，B(x2 ，y2)， 由题意，直线 AB 的斜率不可能为 0，而直线 x＝1 也不满足条件， 故可设 AB 的方程为 x＝my＋1.
?x ＋4y ＝4， ? 由? ?x＝my＋1， ?
2 2
x2
2
消去 x 得(4＋m )y ＋2my－3＝0，
2
2
5
－2m y ＋y ＝ ， ? ? 4＋m 所以? 3 y ·y ＝－ . ? ? 4＋m
1 2 2 1 2 2
1 1 2 m ＋3 S＝ |OP||y1－y2|＝ ?y1＋y2?2－4y1y2＝ 2 . 2 2 m ＋4 4 2 由 S＝ ，解得 m ＝1，即 m＝±1. 5 故直线 AB 的方程为 x＝±y＋1，即 x＋y－1＝0 或 x－y－1＝0 为所求．
2
21.（1）
x2 1 （2） m 2 ? ，证明过程详见解析． ? y2 ? 1； 4 2
2 ? ? 2? 2 ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? ?1 ? b2 解: （1） 依题意可得 ? a 2 解得 a ? 2, b ? 1. 所以椭圆 C 的方程是 , ?c 3 ? ? 2 ?a ? ? 2 2 2 ?a ? b ? c
? ?
x2 ? y 2 ? 1. 4
（2）当 k 变化时， m 2 为定值，证明如下：
? y ? kx ? m ? 由 ? x2 得， ?1 ? 4k 2 ? x 2 ? 8kmx ? 4(m 2 ? 1) ? 0 ． 2 ? ? y ?1 ?4
4 ? m 2 ? 1? 8km , ????? ?*? 设 P ( x1 , y1 ) ，Q ( x2 , y2 ) ．则 x1 ? x2 ? ? ， x1 x2 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
? 直线 OP、OQ 的斜率依次为 k1 , k2 ，且 4k ? k1 ? k2 , ? 4k ?
y1 y2 kx1 ? m kx2 ? m ，得 2kx1 x2 ? m ? x1 ? x2 ? , ? ? ? x1 x2 x1 x2
1 ，经检验满足 ? ? 0 ． 2
将 ?*? 代入得： m 2 ?
22.解析： （1）
?a 2 ? b 2 ? 36 ? ?a 2 ? 20 ? ? ? 2 ? 2 2 ?a ? b ? 4 ?b ? 16 ? ?
x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1? y ? 0 ? ? ? 1? y ? 0 ? 则曲线 ? 的方程为 20 16 和 20 16 。
6
y?? x C a （2）曲线 2 的渐近线为
b
l:y?
,如图，设直线
b ? x ? m? a
b ? y ? ? x ? m? ? ? a ? 2 x 2 ? 2mx ? ? m2 ? a 2 ? ? 0 ? 2 2 ? x ? y ?1 ? 2 b2 则 ?a
? ? ? 2 m ? ? 4 ? 2 ? ? m 2 ? a 2 ? ? 4 ? 2 a 2 ? m 2 ? ? 0 ? ? 2 a ? m ? 2a
2
又由数形结合知 m ? a ，? a ? m ? 设点
2a
，
A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , M ? x0 , y0 ?
? x1 ? x2 ? m ? ? m2 ? a 2 x ? x ? ? 1 2 2 ， 则?
? x0 ? x1 ? x2 m b b m b b ? y0 ? ? x0 ? m ? ? ? ? ? y0 ? ? x0 y?? x 2 2 ， a ， a 上。 a a 2 即点 M 在直线
（3）由（1）知，曲线 设直线 1 的方程为
C1 :
x2 y 2 ? ? 1? y ? 0 ? F ? 6,0? 20 16 ，点 4
l
x ? ny ? 6 ? n ? 0?
? x2 y 2 ?1 ? ? ? ? 4n2 ? 5? y 2 ? 48ny ? 64 ? 0 ? 20 16 ? x ? ny ? 6 ?
? ? ? 48n ? ? 4 ? 64 ? ? 4n 2 ? 5 ? ? 0 ? n 2 ? 1
2
设
C ? x3 , y3 ? , D ? x4 , y4 ?
?48n ? y ? y ? 3 4 ? ? 4n 2 ? 5 ? ? y ? y ? 64 ? 3 4 4n 2 ? 5 由韦达定理： ?
? y3 ? y4 ?
? y3 ? y4 ?
2
? 4 y3 ? y4 ? 16 5 ?
n2 ? 1 4n2 ? 5
S?CDF1 ? S?CF1F4 ? S?DF1F4
1 1 n2 ? 1 n2 ? 1 ? F1F4 ? y3 ? y4 ? ? 8 ?16 5 ? 2 ? 64 5 ? 2 2 2 4n ? 5 4n ? 5
7
2 2 令 t ? n ?1 ? 0 ，? n ? t ? 1 ，
2
? S?CDF1 ? 64 5 ?
t 4t ? 9
2
? 64 5 ?
1 4t ? 9 t
?t ? 0 ，
? 4t ?
3 9 13 t? ? 12 n? 2即 t 2 时等号成立 ，当且仅当
?
n?
13 1 16 5 ? S?CDF1 ? 64 5 ? ? max 2 时， 12 3
8