安徽省阜阳市第一中学2013届高三数学(文)


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安徽省阜阳市第一中学 2013 届高三上学期第二次模拟考试 数学(文)试题 一、单选题(每小题 5 分,共 50 分)
1.已知集合 P ? x y ? log 2 ( x ? 3) A. P ? Q B. P ? Q ? ?

?

?

,Q ? y y ? C. P

?

x ? 2 ,则下列选项正确的是( )
D. Q

?

Q

P

2.已知 f (x ) 的图像在 ?a, b ? 上连续,则“ f (a) ? f (b) ? 0 ”是“ f (x) 在 ?a, b ? 内有零点” 的( )条件。 A.充分不必要 B.必要不充分 3. 下列函数中周期为 ? 且在 A. y ? sin(2 x ?

C.充要

D.既不充分也不必要

?? ? ? ? 4 , 2 ? 上为减函数的是( ) ? ?

?
2

)

B. y ? cos(2 x ?

?
2

)

C. y ? sin(x ?
x

?
2

)

D. y ? cos(x ?

?
2

)

4.设 f (x ) 为定义 R 上在的奇函数, x ? 0 时,f ( x) ? 2 ? 2 x ? b b 为常数)则 f (?1) ? 当 ( , ( ) A. ? 3 B. ? 1

C. 1

D. 3 )

5.若非零向量 a , b 满足 a ? b ,且 ( 2a ? b) ? b ? 0 ,则向量 a , b 的夹角为( A.

2 ? 3

B.

? 6

C.

? 3

D.

5 ? 6

6. 等差数列 ?an ?中,已知 a1 ? 3a8 ? a15 ? 120 ,则 2a9 ? a10 ? ( ) A. ? 8 B. 24 C. 22 D. 20 X|k |b| 1 . c|o |m

7.已知 m ,n 是两条不同的直线,? ,? ,? 为三个不同的平面, 则下列命题正确的是( ) A.若 m ∥ n , m

? ,则 n ∥ ? ;

B.若 m ∥ n , m

? ,n

? ,则 ? ∥ ? ;

C.若 ? ⊥ ? , ? ⊥ ? ,则 ? ∥ ? ;

D. 若 m ∥ n , m ⊥ ? , n ⊥ ? ,则 ? ∥ ? .

8.直线 x cos? ? 3 y ? 2 ? 0 的倾斜角的取值范围是( )

A. ?0, ? ? 6?

? ??

B. ? ? , ? ? ?6 ?

?5

?

C. ? , ? ?6 2 ?

?? ? ?

D. ?0, ? ? ? ? , ? ? ? 6 ? ?6 ?
'

? ??

?5

?

9. 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f (x ) 满 足 f (1) ? 1 , 且 f (x ) 的 导 函 数 f ( x ) 在 上 R 恒 有

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f ' ( x) ?

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1 ,则不等式 2 x 1 f ( x ) ? ? 的解集为( )新 课 标 第 一 网 2 2
A. ?1,?? ? B. ?? ?,1? C.

?? 1,1?

D. ?? ?,1? ? ?1,???

10.若直角坐标平面内的两个点 P 和 Q 满足条件:①P 和 Q 都在函数 y ? f (x ) 的图像上;② P 和 Q 关于原点对称,则称点对 ?P, Q ? 是函数 y ? f (x ) 的一对 “友好点对” ?P, Q ? 与 ?Q, P ? ( 看作同一对“友好点对”。已知函数 f ( x ) ? ? ) 有( ) A. 0 对

?log 2 x, x ? 0
2 ?? x ? 4 x, x ? 0

,则此函数的“友好点对”

B. 1 对

C.2 对

D. 3 对

二.填空题(每小题 5 分,共 25 分)
11. 已知 i 是虚数单位, a 为实数,且复数 z ?

a ? 2i 在复平面内对应的点在虚轴上,则 1? i

a =_______.
12. 空 间 直角 坐 标 系 中, 已 知 点 P(2,3, , P 点 关 于 xoy 平 面 的 对 称 点 为 P? , 则 - 1 )

PP? =_________

?2 x ? y ? 4 ? 13.设 x, y 满足 ? x ? y ? ?1 ,则 z ? x ? y 的最小值为_________ ?x ? 2 y ? 2 ?
14. 已知数列 ?an ?满足 a1 ? 31 , a n ?1 ? a n ? 2n , n ? N ? , 则

an 的最小值是_________. n

15.下列命题中正确命题的序号是:___________ ①两条直线 a , b 和两条异面直线 m , n 相交,则直线 a , b 一定异面; ② ?? , ? ? R ,使 cos( ? ? ) ? cos? ? cos ? ; ? ③ ?x ? 0, 都有 ln x ? ln x ? 1 ? 0 ;X k b 1 . c o m
6 3

④ ?m ? R ,使 f ( x ) ? ( m ? 1) x

m2 ?4 m ?3

是幂函数,且在 ?0,??? 上递减;

⑤ ?? ? R, 函数 y ? sin(2 x ? ? ) 都不是偶函数。 三.解答题(共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

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16.已知函数 f ( x ) ? x ? (a ? 1) x ? b ,
2

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(1)若 f ( x ) ? 0 的解集是 ?? 5,2? ,求 a , b 的值; (2)若 a = b ,解关于 x 的不等式 f ( x ) ? 0 .

17. 如图, 四棱锥 P ? ABCD 中, PD ⊥平面 ABCD , 底面四边形 ABCD 为矩形,E 为 PC 中点, (1)求证: AD ⊥ PC ; (2)在线段 AC 上是否存在一点 M ,使得 PA ∥平面 EDM ,若存在,指出 M 的位置; 若不存在,说明理由。

P E

D

C

A

B

18.如图,一艘轮船在 A 处正沿直线返回港口 B,接到气象台的台风预报,台风中心 O 位于 轮船正西 40km 处,受影响的范围是半径为 20km 的圆形区域。已知港口 B 位于台风中心正 北 30km 处。 (1)建立适当的坐标系,写出直线 AB 的方程; (2)如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响?(不考虑台风中心的移动)

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北 .B

轮船
西 O.

.东 A



19. A, 是△ABC 的内角,a ,b , c 分别是其对边, B,C 已知 m ? ( 2 sin B,? 3 ) ,n ? (cos 2 B

B ? 1) ,且 m ∥ n ,B 为锐角, 2 (1)求 B 的大小; (2)如果 b ? 3 ,求△ABC 的面积的最大值。 ,2 cos2

w

w w .x k b 1.c o m

20.已知函数 f ( x ) ?

1 2 3 ( x ? x ,数列 ?an ?的前 n 项和为 S n ,点 ?n, S n ? , n ? N ? )都在 2 2

函数 y ? f (x ) 的图像上, (1)求 ?an ?的通项公式; (2)令 bn ? (3)令 cn ?

an ,求 ?bn ?的前 n 项和 Tn ; 2 n ?1
an a 1 ? n ?1 ,证明: 2n ? c1 ? c2 ? ...... ? cn ? 2n ? , n ? N ? 。 an ?1 an 2

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X|k |b| 1 . c|o |m

21.已知 a ? R ,函数 f ( x) ? ax ? ln x , g ( x ) ? 底数,为常数), (1)当 a ? 1 时,求 f (x ) 的单调区间与极值; (2)在(1)的条件下,求证: f ( x ) ? g ( x ) ?

ln x , x ? ?0,e? ,(其中 e 是自然对数的 x

1 ; 2

(3)是否存在实数 a ,使得 f (x ) 的最小值为 3. 若存在,求出 a 的值,若不存在,说明理 由。

阜阳一中高三第二次月考数学答案(文科)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,每小题只有一个正确答案) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 B A B A C B C C B B 1

二、填空题:(共 5 小题,每小题 5 分) 11 3 12. 32 13.

2

14. ( 1 ,?? ) 2

15. [1,??)

三、解答题: 16 、( 12 分 ) (1)

f ( x) ? 2 sin x cos x ? 2 cos2 x ? 2 sin(2 x ? ? ) ? 1 4

的增区间是

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3 [k? ? 8 ? , k? ? ? ] K ? Z 8

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(2) a ? b ? (2 sin x ? cos x,? cos x)

c ? ( 2,1) ? (a ? b) // c ?2 sin x ? cos x ? ?2 cos x ? tan x ? ? 1 2
所以 sin x ? 5
5

由于 x 为第二象限角

x x x c o s ? ? 2 5 5 ? (a ? b) ? c ? 2(2 s i n ? c o s ) ? 3 c o s ? ? 5 6 5 x

17、 (12 分)?函数

f (x) 为奇函数,且在 [?1,1] 上为增函数,
f (0) ? 0 ? f ( x) 在 [?1,1] 上的最大值为 f (1) .若
? 1? t 2 ? 2at ? 0 新 课 标 第 一 网.

f (?1) ? ?1 ? f (1) ? 1

f ( x) ? t 2 ? 2at ? 1 ?t 2 ? 2at ? 1 ? f (1) max

令 ? ( x) ? t 2 ? 2at ? (?2t )a ? t 2 看成一条直线

a ?[?1,1] 上恒成立,?? (1) ? 0

且 ? (?1) ? 0

?t ? ?2 或 t=0 或 t ? 2

故 t 的范围 ? ?,?2] ? {0} ? [2,??) (

18、 (12 分) (1)连 BC1
? MN // BC1

在 ?A1 BC1 中,M、N 分别为线段 A1 B、A1C1 的中点 故 MN//平面 BCC1 B1 三 棱 柱 ,
? BB1 ? 面ABC

BC1 ? 平面 BB1CC1

(2)

?

ABC ? A1 B1C1





?面BB1C1C ? 面ABC又面A1 BC ? 面A1 B1 BA

方法一: 取 ABA1 面上一点 P 作 PR ? AB

PQ ? A1 B .? PR ? 面ABB1 A1 又

平面 A1 BC ? 面 A1 ABB1 且交线为 AB? PR ? 面ABC ? PR ? BC 同理 PQ ? BC ?BC ? 平面 AA1 B1 B 方法二:过 C 作 CS ? A1 B CT ? AB ? 面ABC ? 面AA1 B1 B 面ABC ? 面AA1 B1 B ? AB ?CT ? 面AA1 B1 B 同理
CS ? 面AA1 B1 B ?CS // CT ? CS 与 CT 重合为 CB?BC ? 平面 AA1 B1 B 方法三:在面 ABC 内,作 a ? AB ,在面 A1 BC中作b ? A1 B ? 面ABC ? 面AA1 B1 B 面ABC ? 面AA1 B1 B ? AB ? a ? 面AA1 B1 B 同理 b ? 面AA1 B1 B ?a // b b ? 面A1 BC a ? 面ABC ?b // 面ABC

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面ABC ? 面A1 BC ? BC ? b // BC ? b ? 面AA1 B1 B ?BC ? 平面 AA1 B1 B

19、 (12 分)证法一 ? a ? b ? 2ab? 2(a ? b ) ? (a ? b)
2 2 2 2

2

?

a 2 ?b2 2

? ( a ?b ) 2 2
25 2

?(

a ?1 ) 2 ? ( b ? 2 ) 2 2

?(

a ?1 ? b ? 2 2 2

) ? ( 5 ) 2 ? 25 2 4

? a ?1?b ? 2 ? 2

25 4

?a ? b ? 3 ?

a?b ?

19 2

证法二:令 a ? 1 ? x

b ? 2 ? y ? a ? 1 ? x 2 X|k |b| 1 . c|o |m

b ? 2 ? y 2 ? P( x, y) 满足

x?0
y?0
x? y?5

的区域,

目标函数 Z= a ? b ? x 2 ? y 2 ? 3 ,由线性规划可求 x 2 ? y 2 的最小值为
25 2

?Z ?

25 2

? 3 ? 19 2

' x ? x?a 20、 分) (13 (1)g ( x) ? ? x ?1 令 x
2

2

? x ? a ? 0 ? ? ? 1 ? 4a ? 0

g ' ( x) ? 0 两

根为 x1与x 2 且x1 ? x 2

x1 ? ?1? 21? 4a

x 2 ? ?1? 21? 4a

a ? 0时x1 ? ?1, x 2 ? 0

?当a ? 0时g ( x)在( - 1,x 2 )上递增,在(x 2 ,??)递减
? (2)原命题等价于证明 ln(1 ? 1 ) ? ln(1 ? 1 ) ln(1 ? 1 ) ? ? ? ? ? ln(1 ? 1 ) ? 1 2 3 n
n? 2 n

方法一用数学归纳法证明 方法二由(1)知 2 ln(1 ? x) ? 1 x 2 ? 2 ln 2 ? 1 ? ln( x ? 1) ? 2 2 令 x ? 1 得 ln(1 ? n
1 n
1 4

x 2 ? (ln 2 ? 1 ) 4

) ? 1 ? n12 ? ln 2 ? 1 4 4

1 ln(1 ? 1 ) ? ln(1 ? 1 ) ln(1 ? 1 ) ? ? ? ? ? ln(1 ? 1 ) ? (1 ? 212 ? 312 ? 412 ? ? ? ? ? n12 ) ? (ln 2 ? 1 )n ? 1 2 3 n 4 4

1 1 1 ? (1 ? 1?12 ? 213 ? 3?4 ? ? ? ? ?(n -1)n ) ? (ln 2 ? 1 )n 4 ? 4

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? 1 (2 ? 1 )(ln 2 ? 1 )n ? 1 ? (ln 2 ? 1 )n ? 4 n 4 2 4
4 只需证 ln 2 ? 1 ? 1 即可,即 ln 2 ? 3 ? ln 2 ? ln 2 4 ? ln 4 16 4 2 4

3 4

? ln e 4 ? ln 4 e 3 ? ln 4 2.7 3 ? ln 4 19.68
1 1 2

3

? ? ln 2 ? 3 ? 1 ? (ln 2 ? 1 )n ? n2 1 ? n? 2 2 4 2 4

? ln(1 ? 1 ) ? ln(1 ?

) ln(1 ? 1 ) ? ? ? ? ? ln(1 ? 1 ) ? n?2 ? 3 n n
n?2 2

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1 1 1 1 ( ? 1 ? 1 )(1 ? 2 )(1 ? 3 )....(1 ? n ) ? e

21、 (14 分) (1)证明: a n ?1 ? can ? 1 ? c a n ?1 ? 1 ? c(a n ? 1)
a ? 1时, n - 1}等比数列 。 a1 ? 1 ? a ? 1 ? a n ?1 ? (a ? 1)c n ?1 ? a n ? (a ? 1)c n ?1 ? 1 {a

(2)由(1)的 a n ? ? 1 ( 1 ) 2 2 由错位相减法得 S n (3) C n

n ?1

n n ? 1 ? ?( 1 ) ? 1 ?b n ? n( 1 ) 2 2

? 2 ? n2?n2

? 4 ? ( ?45) n ?1

dn ?

25?16n (16n ?1)(16n ? 4 )

?

25?16n 2 (16n ) ? 3?16n ? 4
1 16 1 162

?
1 163

25?16n (16n ) 2

25 ? 16n
1 16n
1 1 25?16 (1?( 16 ) n ) 1 1? 16

?Tn ? d1 ? d 2 ? ? ? ? ? d n ? 25( ?

?

? ??? ? ) ?

1 ? 5 (1 ? 16n ) ? 5 3 3

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