老吕数学母题讲义(上)学生版


老吕数学-母题精练

吕建刚

老吕数学 MBA MPA MPACC 管理类联考数学 母题精练讲义 (上)

微博:吕建刚老湿 配套图书:北京理工大学出版社 《老吕数学-母题名家精练》

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老吕数学-母题精练

吕建刚

老吕简介
吕建刚,专业硕士命题研究专家,数学、逻辑、写作全能名师,北京理工大学出版社考 试分社首席专家, 《求学考研》杂志顾问,百度文库特约作者。 独创“老吕逻辑”学习法,颠覆传统学院派逻辑学习法。成功的将形式逻辑公式化、 论 证逻辑模型化、逻辑术语口语化;剔除了大量对考试无用的学术知识,直接传授解题技巧, 突破命题本质,使考生的形式逻辑的正确率可达 100%,论证逻辑的正确率可达 90%。 独创老吕数学“四网一模”学习法,详尽总结 130 类题型及其变化、方法、技巧。方法 总结系统,解题技巧有效,直击命题本质。 提出“老吕写作”学习法,突出写作技巧的可用性和公式化, 迅速提高考生写作能力 和应试得分能力。

老吕作品
“老吕数学”图书系列包括: 《老吕数学·2015 年 MBA/MPA/MPAcc 管理类联考·数学名家精讲》 《老吕数学·2015 年 MBA/MPA/MPAcc 管理类联考·数学母题名家精练》 ; 《老吕数学·2015 年 MBA/MPA/MPAcc 管理类联考·数学历年真题名家精解》 。 “老吕逻辑”图书系列包括: 《老吕逻辑·2015 年 MBA/MPA/MPAcc 管理类、经济类联考·逻辑名家精讲》 《老吕逻辑·2015 年 MBA/MPA/MPAcc 管理类、经济类联考·逻辑母题名家精练》 《老吕逻辑·2015 年 MBA/MPA/MPAcc 管理类联考·逻辑历年真题名家精解》 “老吕写作”图书系列包括: 《老吕写作·2015 年 MBA/MPA/MPAcc 管理类、经济类联考·写作名家精讲》 “老吕综合”图书系列包括 《老吕专硕·2015 年 MBA/MPA/MPAcc 管理类联考·综合考前高分冲刺》 《老吕专硕·2015 年 MBA/MPA/MPAcc 管理类联考·综合冲刺 6 套卷》

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目录
老吕简介................................................................................................................................... 1 老吕作品................................................................................................................................... 2 联系老吕................................................................................................................................... 2 第一章 算术..................................................................................................................................... 5 第一节 实数........................................................................................................................... 5 题型 1 整除问题.............................................................................................................. 5 题型 2 带余除法问题...................................................................................................... 8 题型 3 奇数与偶数问题................................................................................................ 10 题型 4 质数与合数问题................................................................................................ 11 题型 5 约数与倍数问题................................................................................................ 13 题型 6 不定方程问题.................................................................................................... 14 题型 7 无理数的整数与小数部分................................................................................ 17 题型 8 有理数与无理数的运算.................................................................................... 18 题型 9 实数的运算技巧问题........................................................................................ 20 第二节 比和比例................................................................................................................... 27 题型 11 等比定理与合比定理的应用........................................................................... 27 第三节 绝对值....................................................................................................................... 29 题型 13 非负性问题.................................................................................................... 29 题型 14 自比性问题...................................................................................................... 32 题型 15 绝对值的最值问题.......................................................................................... 34 题型 16 求解绝对值方程和不等式.............................................................................. 39 题型 17 证明绝对值等式或不等式.............................................................................. 42 题型 18 含绝对值的式子求值...................................................................................... 44 第四节 平均值和方差........................................................................................................... 46 题型 19 平均值和方差的定义...................................................................................... 46 题型 20 均值不等式...................................................................................................... 48 第二章 整式与分式....................................................................................................................... 50 第一节 整式......................................................................................................................... 50 题型 21 因式分解问题.................................................................................................. 50 题型 22 双十字相乘法.................................................................................................. 52 题型 23 求展开式的系数.............................................................................................. 55 题型 24 代数式的最值问题.......................................................................................... 57 题型 25 三角形的形状判断问题.................................................................................. 58 题型 26 整式除法与余式定理...................................................................................... 60 题型 27 其他整式化简求值问题.................................................................................. 65 第二节 分式........................................................................................................................... 67 题型 28 齐次分式求值.................................................................................................. 67 题型 29 已知 x ?

1 ? a 或者 x 2 ? ax ? 1 ? 0 ,求代数的值...................................... 69 x 1 1 1 题型 30 关于 ? ? ? 0 的问题............................................................................. 72 a b c
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题型 31 其他分式的化简求值问题.............................................................................. 73 第三章 函数、方程、不等式....................................................................................................... 77 第一节 简单方程与不等式................................................................................................... 77 第二节 一元二次函数、方程、不等式............................................................................... 77 题型 34 一元二次函数、方程和不等式的基本题型.................................................. 77 题型 35 根的判别式问题.............................................................................................. 80 题型 36 韦达定理问题.................................................................................................. 82 题型 37 一元二次函数的最值...................................................................................... 87 题型 38 根的分布问题................................................................................................ 88 题型 39 一元二次不等式的恒成立问题...................................................................... 93 第三节 特殊函数、方程、不等式....................................................................................... 96 题型 40 指数与对数...................................................................................................... 96 题型 41 分式方程及其增根.......................................................................................... 99 题型 42 穿线法解分式、高次不等式........................................................................ 101 题型 43 无理方程和无理不等式................................................................................ 103 第四章 数列................................................................................................................................. 106 第一节 等差数列............................................................................................................... 107 题型 44 等差数列基本问题...................................................................................... 108 题型 45 连续等长片段和.......................................................................................... 110 题型 46 奇数项、偶数项的关系............................................................................... 111 题型 47 两等差数列相同的奇数项和之比...............................................................112 题型 48. 等差数列前 n 项和的最值....................................................................... 114 第二节 等比数列............................................................................................................... 116 题型 49 等比数列基本问题...................................................................................... 116 题型 50 无穷等比数列.............................................................................................. 117 题型 51 连续等长片段和.......................................................................................... 118 第三节 数列综合题........................................................................................................... 119 题型 52 等差数列和等比数列的判定...................................................................... 119 题型 53 等差与等比数列综合题................................................................................ 122 题型 54 数列与函数、方程的综合题...................................................................... 125 题型 55 递推公式问题.............................................................................................. 126

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第一章
第一节

算术
实数

题型 1 整除问题
1.(2008-10) m 是一个整数。 (1)若 m ?

p ,其中 p 与 q 为非零整数,且 m 2 是一个整数 q p 2m ? 4 ,其中 p 与 q 为非零整数,且 是一个整数 q 3
2

(2)若 m ?

2. 4 x ? 7 xy ? 2 y 是 9 的倍数。
2

(1) x, y 是整数; (2) 4 x ? y 是 3 的倍数。

n ? 14 是整数。 15 n?2 (1) n 是整数, 是整数; 3 n?4 (2) n 是整数, 是整数; 5
3. 4.

m 是一个整数。

(1)若 m ?

p ,其中 p 与 q 为非零整数,且 log 2 3m 是一个整数 q p 2m ? 4 ,其中 p 与 q 为非零整数,且 是一个整数 q m ?1

(2)若 m ?

5. 已知 a, b 是整数, 3a (2a ? 1) ? b(1 ? 7 a ? 3b) 是 10 的倍数 (1) b 是奇数; (2) 3a ? b 是 5 的倍数。

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题型 2 带余除法问题
带余除法问题常用以下方法: 1. 特殊值法 带余除法的条件充分性判断问题,首选特殊值法。 2.设 K 法 若 a 被 b 除余 r ,可设 a ? bk ? r , ( k ? Z ) 。 若 a 被 b 除余 r ,则 a ? r 能被 b 整除。 3. 同余问题 若 a 被 b, c, d 除均余 r ,则 a ? r 能被 b, c, d 整除,即 a ? r 能被 b, c, d 的最小公倍数整 除。 1.若 x 和 y 是整数,则 xy ? 1 能被 3 整除。 (1)当 x 被 3 除时,余数为 1 (2)当 y 被 9 除时,余数为 8 2.有一个四位数,它被 121 除余 2,被 122 除余 109,则此数字的各位数字之和为( (A)12 (B)13 (C)14 (D)16 (E)17 )

3.一个盒子装有 m 个小球( m ? 100 ) ,每次 2 个、3 个、4 个的取出,最终盒内都只剩下 一个小球,如果每次以 11 个的取出,则余 4 个,则 m 的各个数位上的数字之和为( (A)9 (B)10 (C)11 (D)12 (E)13 )

题型 3 奇数与偶数问题 【习题精练】
1. (2012-1) m n ? 1 能被2整除
2 2

(1) m 是奇数
2

(2) n 是奇数 ) (C)8 的倍数

2. 设 a 为正奇数,则 a ? 1 必是( (A)5 的倍数 (B)6 的倍数

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(D)9 的倍数

(E)7 的倍数

3. 如果 a、b、c 是三个任意整数,那么 (A)都不是整数 (D)都是整数

a?b b?c c?a 、 、 ( 2 2 2



(B)至少有两个整数 (E)以上答案均不正确

(C)至少有一个整数

4.已知 n 是偶数,m 是奇数, x, y 为整数且满足方程组 ? (A) x, y 都是偶数 (B) x, y 都是奇数

? x ? 1998 y ? n 的解,那么( ?9 x ? 13 y ? m



(C) x 是偶数, y 是奇数

(D) x 是奇数, y 是偶数 (E) 以上都不对

题型 4 质数与合数问题
1. (2013-1) p ? mq ? 1 为质数 (1) m 为正整数, q 为质数 (2) m , q 均为质数

,且 a ? b ? b ? c ? c ? a ? 8 , 2. (2011-1)设 a, b, c 是小于 12 的三个不同的质数(素数) 则a?b?c ?( (A)10 (B)12 ) (C)14 (D)15 (E)19

3.已知 3 个质数的倒数和为

1661 ,则这三个质数的和为( 1986



(A)334(B)335(C)336(D)338 (E)不存在满足条件的三个质数
4.1374 除以某质数,余数为 9,则这个质数为( (A)7 (B)11
3

) (E)19 ) (E)2003

(C)13

(D)17

5.若 a, b 都是质数,且 a ? b ? 2003 ,则 a ? b 的值等于( (A)1999 (B)2000 (C)2001 (D)2002

题型 5 约数与倍数问题
1.若 n 是一个大于 2 的正整数,则 n ? n 一定有约数(
3

) (E)5

(A)7

(B)6

(C)8

(D)4

2. (2010-10)某种同样的商品装成一箱,每个商品的重量都超过 1 千克,并且是 1 千克的

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整数倍,去掉箱子重量后净重 210 千克,拿出若干个商品后,净重 183 千克,则每个商品的 重量为( (A)1 ) (B)2 (C)3 (D)4 (E)5

3.已知两数之和是 60 ,它们的最大公约数与最小公倍数之和是 84 ,此两数中较大那个数 为( ) (B) 38 (C) 40 (D) 42 ( E) 48

(A) 36

4.有 5 个最简正分数的和为 1, 其中的三个是

1 1 1 , , , 其余两个分数的分母为两位整数, 3 7 9


且这两个分母的最大公约数是 21,则这两个分数的积的所有不同值的个数为( (A)2 个 (B)3 个 (C)4 个 (D)5 个 (E)无数个

题型 6 不定方程问题
1. (2010-10)一次考试有 20 道题,做对一题得 8 分,做错一题扣 5 分,不做不计分。某同 学共得 13 分,则该同学没做的题数是( (A)4 (B)6 (C)7 (D)8 ) (E)9

2.某人左右两手分别握了若干颗石子,左手中石子数乘 3 加上右手中石子数乘 4 之和为 29, 则右手中石子数为( (A)奇数 ) (C)质数 (D)合数 (E)不确定

(B)偶数

3.一个整数 x ,加 6 之后是一个完全平方数,减 5 之后也是一个完全平方数,则 x 的各数位 上的数字之和为( (A)3 (B)4 ) (C)5 (D)6 (E)7

4. a 和 b 的算术平均值是 8 (1) a 、 b 为不相等的自然数,且

1 1 1 和 的算术平均值为 ; a b 6 1 1 1 (2) a 、 b 为自然数,且 和 的算术平均值为 。 a b 6

5. 已知 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 是满足条件 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 7 的不同整数, b 是关于 x 的一 元五次方程 ( x ? a1 )( x ? a2 )( x ? a3 )( x ? a4 )( x ? a5 ) ? 1773 的整数根,则 b 的值为( (A)15 (B)17 (C)25 (D)36 (E)38 )

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题型 7 无理数的整数与小数部分
x ? 2y ?( x ? 2y
(D)

1.已知实数 2 ? 3 的整数部分为 x ,小数部分为 y ,求



(A)

17 ? 12 3 17 ? 12 3 (B) 13 12

(C)

17 ? 9 3 13

17 ? 6 3 13

(E)

17 ? 3 13


2.设 x ? (A)0

1 3 3 , a 是 x 的小数部分, b 是 ? x 的小数部分,则 a ? b ? 3ab ? ( 2 ?1
(B)1 (C)2 (D)3 (E)4

题型 8 有理数与无理数的运算
1.设 x, y 是有理数,且 ( x ? 2 y ) ? 6 ? 4 2 ,则 x ? y ? (
2 2 2



(A)2

(B)3

(C)4

(D)5

(E)6

2. 若是 x , y 有理数,且满足 (1 ? 2 3 ) x ? (1 ? 3 ) y ? 2 ? 5 3 ? 0 ,则 x , y 的值分别为 ( ) 。 (B) -1, 2 (C) -1, 3 (D) 1,2 (E) 以上结论都不正确 )

(A) 1,3

3.已知 a 为无理数, ( a ? 1)(a ? 2) 为有理数,则下列说法正确的是( (A) a 为有理数
2 2

(B) ( a ? 1)(a ? 2) 为无理数 (E)以上都不对

(C) ( a ? 5) 为有理数
2

(D) ( a ? 5) 为有理数

4.已知 a 、 b 为有理数,若 9 ? 4 5 ? a 5 ? b ,则 1998a ? 1999b 为( (A)0 (B)1 (C)-1
2



(D)2000

(E)-2000

5. 设整数 a 、 m 、 n 满足 a ? 4 2 ? (A)0 (B)1 (C)2

m ? n ,则 a ? m ? n 的取值有( )种
(E)无数种

(D)3

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题型 9 实数的运算技巧问题
1 1 2 1 3 1 ? ( ) ? ( ) ? ? ? ? ? ( )8 2 2 2 1.(2007-10) 2 ?( 0 .1 ? 0 .2 ? 0 .3 ? 0 .4 ? ? ? ? ? 0 .9 85 (A) 768 85 (B) 512 85 (C) 384



255 (D) 256

(E)以上结论不正确

(1 ? 3 )( 1 ? 3 2 )( 1 ? 3 4 )( 1 ? 3 8 ) ? ? ? (1 ? 3 32 ) ?
2.(2008-1) (A)

1 10 19 ?3 ? 3 2

3 ? 3 2 ? 3 3 ? ? ? ? 3 10 1 19 1 19 (B) (C) ?3 ?3 2 2

1 2 =(



(D)

1 9 ?3 2

(E) 以上都不对 3. (

1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ) ? (1 ? 2011) ? ( ) 1? 2 2? 3 2009 ? 2010 2010 ? 2011
(B)2007 (C)2008 (D)2009 (E)2010 ) (E)2011

(A)2006 4. ( ?

1 2

1 1 1 1 ) ? 2011 =( ? ? ... ? ? 2009 ? 2010 2010 ? 2011 6 12
(B)2008 (C)2009 (D)2010

(A)2007 5. (1 ? =( (A)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) )( ? ? ... ? ) ? (1 ? ? ... ? ) ? ( ? ? ... ? ? ... ? 2009 2010 2 3 2 2010 2009 2 3 2
)

1 2010

(B)

1 2009

(C)0 )

(D)1

(E)-1

6. 8 ? 88 ? 888 ? ... ? 888888888 ? ( (A)

8 10(109 ? 1) 8 10(109 ? 1) ? ? 8 (B) ? ?8 9 9 9 9
(E)以上均不正确

(C)

10(109 ? 1) ?8 9

8 10(109 ? 1) (D) ? ?8 9 9
7.

1 1 1 1 ? ? ? ... ? ?( 1 ? 2 ? 3 ? ... ? 2010 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? 4 4020 2011



(A)

2009 4019 4021 (C) (D) 2011 2011 2011 2010 1 2 3 8. ) ? ? ? ... ? ?( 1? 2 ? 3 ? ... ? 2011 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? 4
(B)
10

(E)

2009 2010

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1 2010! 2010 (D) 2011!
(A) 1 ? 9. 1 ?

1 2011! 2010 (E) 1 ? 2011!
(B) 1 ?

(C)

2009 2010!

2 3 9 ? ? ... ? ?( 1? (1 ? 2) (1 ? 2) ? (1 ? 2 ? 3) (1 ? 2 ? ... ? 9) ? (1 ? 2 ? ... ? 10)
(D) )



1 1 1 (B) (C) 45 55 60 1 1 1 1 10. (1 ? )(1 ? )(1 ? )...(1 ? 2 ) ? ( 4 9 16 99
(A)

1 65

(E)

1 75

50 52 48 47 (B) (C) (D) 97 97 98 99 1? 2 ? 3 ? 2 ? 4 ? 6 ? 4 ? 8 ? 12 ? 7 ? 14 ? 21 11. ?( ) 1? 3 ? 5 ? 2 ? 6 ? 10 ? 4 ?12 ? 20 ? 7 ? 21? 35 1 2 3 2 (A) (B) (C) (D) 2 5 5 3 2 ? 3 5 ? 6 8 ? 9 11? 12 14 ? 15 12. ? ? ?( ) ? ? 1? 4 4 ? 7 7 ? 10 10 ? 13 13 ?16 3 3 3 (A) 4 (B) 4 (C)4 (D) 5 4 8 4
(A)
2

(E)

50 99

(E)

4 5

(E) 5

5 8
2

13.对于一个不小于 2 的自然数 n,关于 x 的一元二次方程 x ? (n ? 2) x ? 2n ? 0 的两个根 记 作 an , bn ( n ? 2) 则 ( ) (B)

1 1 1 ? ? ... ? ? = (a2 ? 2)(b2 ? 2) (a3 ? 2)(b3 ? 2) (a2016 ? 2)(b2016 ? 2)

(A) ?

1 2016 ? 2 2015 1 2015 (D) ? 2 2016

1 2017 ? 2 2016

(C) ?

1 2015 ? 2 2016

(E)以上都不对

第二节 比和比例 题型 11 等比定理与合比定理的应用
1.若 a ? b ? c ? 0 , (A) 2

2a ? b 2b ? c 2c ? a ? ? ? k ,则 k 的值为() c a b (B) 3 (C) ? 2 (D) ? 3 (E) 1
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2.若

a ?b?c a ?b?c ?a ?b?c ? ? k ,则 k 的值为( ? c b a
( B ) 1 或- 2 ( C )- 1 或 2 ( D )- 2

) ( E)以上都不正确

( A) 1 3.

(a ? b)(c ? b)(a ? c) ?8 abc a ?b?c a ?b?c ?a ?b?c (1) abc ? 0 ,且 ; ? ? c b a a b c (2) abc ? 0 , ? ? 。 2 3 4 a b c d 4. 若非零实数 a,b,c,d 满足等式 则 n 的值 ? ? ? ? n, b?c?d a?c?d a?b?d a?b?c
为( ) (A) ? 1 或

1 4

(B)

1 3

(C)

1 4

(D) ? 1

(E) ? 1 或

1 3

5. 已知 a, b, c, d 均为正数,且

a c a2 ? b2 的值为( ? ,则 b d c2 ? d 2



a2 (A ) d2

(B)

c2 b2

(C)

a?b c?d

(D)

d b

(E)

c a

第三节 绝对值 题型 13 非负性问题
1. 实数 x, y, z 满足条件 x ? 4 xy ? 5 y ?
2 2

z? 2 6

1 ? ?2 y ? 1 ,则 (4 x ? 10 y ) z =( 2
(E)



(A)

6 2

(B) ?

6 2

(C)

2 6

(D) ?

6 6

2. 已 知 实 数

a , b, x , y 满 足 y ?


x ? 2 ? 1 ? a 2 ? b 2 和 x ? 2 ? y ? 2 ? 2a , 则

log x ? y (a ? b) 的值为(
(A) log 3 2

(B) log 2 3
2

(C) 0
2 2

(D) 1

(E) 2 )

3.已知整数 a, b, c 满足不等式 a ? b ? c ? 43 ? ab ? 9b ? 8c ,则 a 的值等于( (A)10
2

(B)8
2

(C)6

(D)4

(E)3 )

4.已知 m ? n ? mn ? m ? n ? 1 ? 0 ,则

1 1 ? ( m n
12

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(A)-2

(B)-1

(C)0

(D)1

(E)2

5. 设 x 、 x、y、z 满足 3 x ? y ? z ? 2 ? 2 x ? y ? z ? 则 x ? y ? z =( (A)4000 ) (B)4002 (C)4004 (D)4006
5 2

x ? y ? 2002 ? 2002 ? x ? y ,

(E)4008

6. 若 实 数 x, y 满 足

? x y ? 2011 ? ( x ? 5) ? ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3)( x ? 4) ? 24 , 则

( y ? 2012) x ? (
(A)-2

) (C)0 (D)1 (E)2

(B)-1

题型 14 自比性问题
1.

x ?1

1? x

?

x?2 x?2

的值为 ? 2 (2) 2 ? x ? 3

(1) 1 ? x ? 2 2.若 0 ? a ? 1,?2 ? b ? ?1 ,则 (A) -3 3.(2008-1) (B) -2 (C) -1

a ?1 a ?1

?

b?2 b?2

?

a?b a?b

=(



(D) 0

(E) 1

b?c c?a a?b ? ? ?1 a b c
(2)实数 a, b, c 满足 abc ? 0 。

(1)实数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 0

4.代数式

a a

?

b b

?

c c

?

abc abc

可能得取值有( (C)2 个

)个 (D)1 个 (E)5 个

(A)4 个

(B)3 个

5.实数 A,B,C 中至少有一个大于零 (1) x, y , z ? R, A ? x 2 ? 2 y ?

?
2

, B ? y 2 ? 2z ?
2

?
3

, C ? z 2 ? 2x ?

?
6

(2) x ? R 且 x ? 1, A ? x ? 1, B ? x ? 1, C ? x ? 1

题型 15 绝对值的最值问题
1.不等式 1 ? x ? 1 ? x ? a 对于任意的 x 成立。
13

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(1) a ? ( ??,2) (2) a ? 2 2. 已知 2 x ? a ? 1, 2 x ? y ? 1 ,则 y ? a 的最大值为( (A)1 (B)3 (C)2 (D)4 )

(E)5

3.方程的整数解有 5 个 (1)方程为 x ? 1 ? x ? 3 ? 4 (2) x ? 1 ? x ? 3 ? 4 )

4.函数 y ? x ? 1 ? x ? x ? 1 ? x ? 2 ? x ? 3 的最小值为( (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2 (E)6

其中 0 ? a ? 20 , 则对于满足 a ? x ? 20 5. (2009-10)设 y ? x ? a ? x ? 20 ? x ? a ? 20 , 的 x 值, y 的最小值是( ) 。 (A) 10 6. 已知 (B) 15 (C) 20 (D) 25 (E) 30

8x ? 1 x ?1 ,关于 x ? 1 ? x ? 3 的最值,下列说法正确的是( ) ?1 ? x ? 2 12
(B)最大值为 2,最小值为-1 (D)最大值为 1,最小值为-2

(A)最大值为 1,最小值为-1 (C)最大值为 2,最小值为-2 (E)无最大值和最小值

题型 16 求解绝对值方程和不等式
1.(2010-10) x ? x ? 5 ? 1 ? 2 x 。
2

(1) x ? 4 (2) x ? ?1 2.(2007-1) 如果方程 x ? ax ? 1 有一个负根,那么 a 的取值范围是( (A) a ? 1 (B) a ? 1 (C) a ? ?1 (D) a ? ?1 ) (C) x ? 3或x ? ? )

(E)以上结论都不正确

3.(2009-1)方程 x ? 2 x ? 1 ? 4 的根是( (A) x ? ?5或x ? 1 (D) x ? ?3或x ? (B) x ? 5或x ? ?1 (E)不存在

5 3

5 3

14

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题型 17 证明绝对值等式或不等式
1.(2004-1) x, y 是实数, x ? y ? x ? y (1) x ? 0, y ? 0 (2) x ? 0, y ? 0 2.(2013-1) 已知 a , b 是实数,则 a ? 1, b ? 1 (1) a ? b ? 1 (2) a ? b ? 1

3.(2007-10) a ? ?1 ? 1 ? ? a。

( 1)a为实数,a ? 1 ? 0
4.(2010-1) (1) 实数 a ? 0 (2) 实数 a , b 满足 a ? b

(2)a为实数, a ?1

a a ? b ? a ( a ? b)

5. (2005-1) 实数 a、b 满足: a ( a ? b) ? a a ? b (1) a ? 0 (2) b ? ?a

题型 18 含绝对值的式子求值
1. 设 a, b, c 为整数,且 a ? b (A) 2 或 4 (B) 2
20

? c?a

41

? 2 ,则 a ? b ? a ? c ? b ? c ? (
(D)0 或 2 (E) 0



(C) 4

2. a ? b ? a ? c ? b ? c ? 2 (1) a, b, c 为整数,且 a ? b (2) a, b, c 为整数,且 a ? b
20

? c?a ? c?a

41

?1 ?2

20

41

3.若 x ? ?2 ,则 1 ? 1 ? x 的值等于( (A) ? x (B) x

) (D) ? 2 ? x (E)0

(C) 2 ? x

4. ( 2011-10 ) 已知 g ? x ? ? ?

? 1, x ? 0 , f ? x ? ? x ? 1 ? g ? x ? x ? 1 ? x ? 2 ? x ? 2 ,则 ??1, x ? 0

f ? x ? 是与 x 无关的常数
15

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(1) ?1 ? x ? 0 (2) 1 ? x ? 2 5.已知 a ? 1 ? 3 , b ? 4 , b ? ab ,则 a ? 1 ? b ? ( (A)1 (B)5 (C)7 (D)8 ) (E)16

第四节 平均值和方差 题型 19 平均值和方差的定义
1. (2006-1)如果 x1 , x2 , x3 三个数的算术平均值为 5,则 x1 ? 2, x2 ? 3, x3 ? 6 与 8 的算术平 均值为( (A) 3 ) (B) 6

1 4

1 2

(C)7

(D) 7

1 2

(E) 9

1 5


2.(2013-10)如果 a,b,c 的算术平均值等于 13,且 a : b : c ? (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 12 (E) 18

1 1 1 : : ,那么 c ? ( 2 3 4

1 1 3.设 x ? 0, y ? 0, x, y 的算数平均值为 6, , 的算数平均值为 2,则 x, y 的等比中项为
x y
( ) (B) ? 3 (C)12 (D)24 (E) 28

(A) 3

4. 已知样本 x1 , x 2 ,...x n 的方差是 2, 则样本 2 x1 ,2 x 2 ,...,2 x n 和 x1 ? 2, x2 ? 2,..., xn ? 2 样本的 方差分别是( ) (A)8,2 (B) 4,2 (C)2,4 (D)8,0 (E)4,4

5.一组数据有 10 个,数据与它们的平均数的差依次为 ? 2,4,?4,5,?1,?2,0,2,3 ? 5 ,则这组 数据的方差为( ) (A)1 (B)10.4

(C)4.8

(D)3.2

(E)8.4

题型 20 均值不等式
1.当 x ? 0 时,则 y ? 4 x ? (A) 6 (B) 6

9 的最小值为( x2
(C) 3 6

) (E)以上都不对

(D) 33 6

16

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2.函数 y ? x ?

1 ( x ? 1) 的最小值为( 2( x ? 1) 2
(B)1 (C) 2 3
x



(A)

5 2

(D) 2
y

(E)3

3.已知 x, y ? R 且 x ? y ? 4 ,则 3 ? 3 的最小值为( (A) 2 2 4. (B) 3 2 (C) 6 (D) 9 (E)18



1 1 1 ? ? ? a? b? c。 a b c

(1) abc ? 1 (2) a , b , c 为不全相等的正数 5. (2004-1) 矩形周长为 2, 将它绕其一边旋转一周, 所得圆柱体积最大时的矩形面积为 ( (A) )

4? 27

(B)

2 3

(C)

2 9

(D)

27 4

(E)以上都不对

6.

1 2 ? 的最小值为 3 ? 2 2 m n
x ?1

(1)函数 y ? a (2) m, n ? 0

? 2(a ? 0, a ? 1) 的图像恒过定点 A,点 A 在直线 mx ? ny ? 1 ? 0 上;

第二章 整式与分式
第一节 整式

题型 21 因式分解问题
1.将 x ? 6 x ? 7 因式分解为(
3

) (B) ( x ? 1)( x ? x ? 7)
2

(A) ( x ? 1)( x ? x ? 7)
2

(C) ( x ? 1)( x ? x ? 7)
2

(D) ( x ? 1)( x ? x ? 7)
2

(E) ( x ? 1)( x ? x ? 7)
2

17

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2.将 x ? x ? 1 因式分解为(
5 4

) (B) ( x ? x ? 1)( x ? x ? 1)
2 3

(A) ( x ? x ? 1)( x ? x ? 1)
2 3

(C) ( x ? x ? 1)( x ? x ? 1)
2 2 3 3

(D) ( x ? x ? 1)( x ? x ? 1)
2 3

(E) ( x ? x ? 1)( x ? x ? 1) 3.将多项式 2 x ? x ? 6 x ? x ? 2 因式分解为 ( 2 x ? 1) q ( x) ,则 q ( x) 等于(
4 3 2



(A) ( x ? 2)(2 x ? 1) (D) ( 2 x ? 1)( x ? 2)

2

(B) ( x ? 2)( x ? 1)
2

2

(C) ( 2 x ? 1)( x ? 2)
2

2

(E) ( 2 x ? 1) ( x ? 2)

题型 22 双十字相乘法
1.已知 x ? ax ? 8 x ? 3 x ? b 的展开式中不含 x , x 项,求 a 、 b 的值为(
2 2 2 3

?

??

?



(A) ?
2

?a ? 2 ?b ? 1
2

(B) ?

?a ? 3 ?b ? 2

(C) ?

?a?3 ?b ? ?1

(D) ?

?a ? 1 ?b ? 3

(E) ?

?a ? 3 ?b ? 1

2. x ? kxy ? y ? 2 y ? 3 ? 0 的图像是两条直线,则 k ? ( (C) ?1
2



(A)1
2

(B)-1

(D)

4 3 3

(E) ?

4 3 3

3.已知 6 x ? 7 xy ? 3 y ? 8 x ? 10 y ? c 是两个关于 x, y 的一次多项式的乘积,则常数 c ? ( ) (B)8
4 3 2

(A) ? 8

(C)6

(D)-6

(E)10 )

4.已知 x ? 6 x ? ax ? bx ? 4 是一个二次三项式的完全平方式,则 ab =( (A)-156 (B) ? 60 ( C) ? 156 (D) ? 156或60

(E)60

题型 23 求展开式的系数
1.若 mx ? kx ? 9 ? ?2 x ? 3? ,则 m, k 的值分别是(
2 2



(A) m ? 2, k ? 6

(B) m ? 2, k ? 12

(C) m ? ?4, k ? ?12

(D) m ? 4, k ? ?12

(E)以上各项都不正确
18

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2.多项式 f ( x) ? 2 x ? 7 与 g ( x) ? a ( x ? 1) ? b( x ? 2) ? c( x ? x ? 2) 相等,则 a、b、c 分
2 2

别等于( (A) a ?

) (B) a ? ?11, b ? 15, c ? 11 (D) a ? 11, b ? ?15, c ? ?11

11 5 11 ,b ? ,c ? ? 3 3 3 11 5 11 (C) a ? , b ? ? , c ? ? 9 3 9 11 5 11 (E) a ? ? , b ? ? , c ? 9 3 9
n 7 6

3. (1 ? 2 x) ? a7 x ? a6 x ? ? a1 x ? a0 ,则 a0 ? a 2 ? a 4 ? a6 的值为( (A)-1 (B)2187
2



(C)2186
n

(D)1093

(E)-1093
2
n

4.(2009-1) (1 ? x) ? (1 ? x) ? ? ? (1 ? x) ? a1 ( x ? 1) ? 2a2 ( x ? 1) ? ? ? nan ( x ? 1) ,



a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ? (
(A)

) (C)

3n ? 1 2

(B)

3n -1 ? 1 2

3n ?1 ? 3 2

(D)

3n ? 3 2

(E)

3n ? 3 4

题型 24 代数式的最值问题
1. (2010-10)若实数 a, b, c 满足:a ? b ? c ? 9 ,则代数式 ? a ? b ? ? ? b ? c ? ? ? c ? a ?
2 2 2
2 2 2

的最大值是( (A)21

) (C)29 (D)32
2

(B)27

(E)39
2

2. (2012-10)设实数 x, y 满足 x ? 2 y ? 3, 则 x ? y ? 2 y 的最小值为( (A) 4 (B)5 (C)6
2



(D) 5 ? 1
2

(E) 5 ? 1

3.(1998-1)设实数 x、y 满足等式 x ? 4 xy ? 4 y ? 3 x ? 3 y ? 6 ? 0 ,则 x+y 的最大值 为( ) (B) 3 (C) 2 3 (D) 3 2 (E) 3 3

(A) 2

题型 25 三角形的形状判断问题
1.(2013-1) ?ABC 的边长分别为 a, b, c ,则 ?ABC 为直角三角形

19

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(1) (c ? a ? b )( a ? b ) ? 0
2 2 2 2 2

(2) ?ABC 的面积为

2 . (2000-10) 已 知 a, b, c 是 ?ABC 的 三 条 边 长 , 并 且 a ? c ? 1, 若

1 ab 2

(b ? x) 2 ? 4(a ? x)(c ? x) ? 0 有两个相同实根,则 ?ABC 为(
(A)等边三角形 (D)钝角三角形 (B)等腰三角形 (E)锐角三角形 (C)直角三角形



3.(2011-1)已知三角形 ABC 的三条边分别为 a, b, c ,则三角形 ABC 是等腰直角三角形 (1)

? a ? b ? ? c2 ? a 2 ? b2 ? ? 0
2b
2

(2) c ?

4.(2008-10)方程 3 x ? ? ? 2b ? 4 ? a ? c ? ? ? x ? 4ac ? b (1) a, b, c 是等边三角形的三条边 (2) a, b, c 是等腰三角形的三条边

?

2

? ? 0 有相等的实根。

题型 26 整式除法与余式定理
1.设 ax ? bx ? cx ? d 能被 x ? h ( h ? 0) 整除,则 a , b , c , d 间的关系为()
3 2 2 2

(A) ab ? cd

(B) ac ? bd (C) ad ? bc

(D) a ? b ? cd (E)以上都不正确 2.已知 ax ? bx ? 1 能被 ( x ? 1) 整除,则 a 、 b 的值分别为(
4 3 2



(A) a ? ?3, b ? 4 (D) a ? ?1, b ? ?3
3 2

(B) a ? ?1, b ? 4 (D) a ? 1, b ? 3
2

(C) a ? 3, b ? ?4

3. (2012-1)若 x ? x ? ax ? b 能被 x ? 3 x ? 2 整除,则( (A) (C) (E)



a ? 4, b ? 4 a ? 10, b ? ?8 a ? ?2, b ? 0
3 2

(B) a ? ?4, b ? ?4 (D) a ? ?10, b ? 8

4.已知 f ? x ? ? x ? 2 x ? ax ? b 除以 x ? x ? 2 的余式为 2 x ? 1 ,则 a, b 的值是(
2



20

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(A) a ? 1, b ? 3 (D) a ? 1, b ? ?3

(B) a ? ?3, b ? ?1 (E) a ? ?3, b ? 1

(C) a ? ?2, b ? 3

5. f ( x ) 被 ( x ? 1)( x ? 2) 除的余式为 2 x ? 3 (1)多项式 f ( x) 被 x ? 1 除的余式为 5 (2)多项式 f ( x) 被 x ? 2 除的余式为 7 6. 多项式 f ( x ) 除以 x ? x ? 1 所得的余式为 x ? 3
2

(1)多项式 f ( x) 除以 x ? x ? 1 所得的余式为 x ? 2 x ? 3 x ? 4
4 2 3 2

(2)多项式 f ( x) 除以 x ? x ? 1 所得的余式为 x ? x ? 2
4 2 3

7. f ( x ) 为二次多项式, 且 f (2004) ? 1 , f ( 2005) ? 2 , f ( 2006) ? 7 , 则 f ( 2008) ?( (A)29 (B)26 (C)28
2



(D)27

(E)39
2

8.设多项式 f ( x ) 有因式 x , f ( x) 被 x ? 1 除后的余式为 3 x ? 4 ,若 f ( x ) 被 x( x ? 1) 除后 的余式为 ax ? bx ? c ,则 a ? b ? c ? (
2 2 2 2

) (D)25 (E)36 )

(A)1

(B)13

(C)16

9.若三次多项式 f ( x) 满足 f ( 2) ? f ( ?1) ? f (1) ? 0, f (0) ? ?9 ,则 f ( ?2) ? ( (A)0 (B)1 (C)-1 (D)24 (E)-24

10.多项式 f ( x) 被 x ? 3 除后的余数为-19 (1)多式项 f ( x) 被 x ? 2 除后所得商式为 Q ( x) ,余数为 1; (2) Q ( x) 被 x ? 3 除后的余数为 4

题型 27 其他整式化简求值问题
1. 已 知

a ? 1999 x ? 2000, b ? 1999 x ? 2001, c ? 1999 x ? 2002 , 则 多 项 式
) (D)3 (E)0

a 2 ? b 2 ? c 2 ? ac ? bc ? ab 的值为(
(A)1 (B)2 (C)4

21

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2.当 x ? 1 时, ax ? bx ? 1 的值是 3,则 ?a ? b ? 1??1 ? a ? b ? ? (
2



(A)
2

1

(B) -1
2

(C)

2

(D)-2

(E) ? 2 5 ) (E)7 ) (E)1
5 3

3.若 x ? xy ? y ? 14, y ? xy ? x ? 28 ,则 x ? y 的值为( (A)6 或 7
2

(B)6 或-7
2

(C)-6 或-7
2 2

(D)6

4.已知 a ? bc ? 14, b ? 2bc ? ?6 ,则 3a ? 4b ? 5bc ? ( (A)13 (B)14 (C)18 (D)20

5.已知实数 a、b、c 满足 a ? b ? c ? ?2 ,则当 x ? ?1 时,多项式 ax ? bx ? cx ? 1 的值是 ( ) (B)-1
2

(A)1
3

(C)2
?27

(D)-2

(E)0 )

6.若 x ? x ? x ? 1 ? 0 ,则 x (A)0 (B)-1

? x ?26 ? ... ? x ?1 ? 1 ? x ? ... ? x 26 ? x 27 值是(
(D)-2 (E)2

(C)1

第二节 分式 题型 28 齐次分式求值
1.(2013-1) 设 x, y , z 为非零实数,则 (1) 3 x ? 2 y ? 0

2x ? 3y ? 4z ? 1. ?x ? y ? 2z

(2) 2 y ? z ? 0

2.已知 4 x ? 3 y ? 6 z ? 0 , x ? 2 y ? 7 z ? 0 ,则 (A) ? 1

2x 2 ? 3y 2 ? 6z 2 ?( x2 ? 5y 2 ? 7z 2 2 3
(E) 1



(B) 2

(C)

1 2

(D)

3.

2 x 2 ? 3 yz ? y 2 19 ? 24 x 2 ? 2 xy ? z 2
(2) x : y : z ? 2 : 3 : 4

(1) x : y : z ? 3 : 4 : 5

4.已知 2 x ? 3 xy ? 2 y ? 0, ( x ? 0, y ? 0) ,则

x 2 ? 4 xy ? 16 y 2 ?( 2 x 2 ? xy ? 9 y 2



22

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(A) ? 1

(B)

2 3

(C)

4 9

(D)

16 25

(E)

16 27

题型 29 已知 x ? 1 ? a 或者 x 2 ? ax ? 1 ? 0 ,求代数的值
x
1.(2014-1)设 X 是非零实数,则

1 ? x 3 ? 18 3 x

(1)

1 ?x?3 x 1 ? x2 ? 7 x2
2

(2)

2. (2009-1) 2a ? 5a ?
2

3 ? ?1 a ?1
2

(1) a 是方程 x ? 3 x ? 1 ? 0 的根
5 4 3 2

(2) a ? 1

3.代数式 x ? 3 x ? 2 x ? 3 x ? x ? 2 的值为 2 (1) x ?
2

1 ?3 x

(2) x ?

1 ?3 x
2

4.已知 x ? 2 x ? 1 ? 0 ,则 2001x ? 6003 x ? 2001x ? 7 ? ( )
3

(A)0

(B)1

(C)2008

(D)-2008

(E)2009

5.若

1 1 ? x ? ?3 ,那么 x 5 ? 5 等于( x x
(B)-123

) (D)-246 (E)1

(A)123

(C)246

题型 30 关于 1 ? 1 ? 1 ? 0 的问题
a b c
定理:若

1 1 1 2 ? ? ? 0,则(a ? b ? c) ? a2 ? b2 ? c2 a b c

1.

x2 y 2 z 2 ? ? ? 1 成立 a 2 b2 c2
x y z ? ? ?1 a b c

(1)

(2)

a b c ? ? ?0 x y z
23

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2.已知

x2 y 2 z 2 x y z a b c ? ? ? 3 , ? ? ? 0 ,那么 2 ? 2 ? 2 ? ( ) a b c a b c x y z
(B)1 (C)3 (D)9 (E)2

(A)0

3.已知 a ? b ? c ? ?3 ,且 ( ) (B)16

1 1 1 ? ? ? 0 ,则 (a ? 1) 2 ? (b ? 2) 2 ? (c ? 3) 2 的值为 a ?1 b ? 2 c ? 3
(C)4 (D)25 (E)36

(A)9

题型 31 其他分式的化简求值问题
1.已知 a, b, c 均是非零实数,有 a ( ? ) ? b( (1) a ? b ? c ? 0

1 b

1 c

1 1 1 1 ? ) ? c ( ? ) ? ?3 a c a b

(2) a ? b ? c ? 1

2.已知 x, y , z 为两两不相等的三个实数,且 x ? (A) ?1 (B)1 (C) 0 或 1

1 1 1 ? y ? ? z ? ,则 x 2 y 2 z 2 的值为( y z x
(E)2



(D)1

3.若 x, y , z 为非零实数,那么有 z ? (1) x ?

1 ?1 x

1 ?1 y

(2) y ?

1 ?1 z

4.若 abc ? 1 ,那么 (A)-1

a b c ? ? ?( ) ab ? a ? 1 bc ? b ? 1 ca ? c ? 1
(C)1 (D)0 或 1 (E) ? 1

(B)0

5.已知 x, y, z 都是实数,有 x ? y ? z ? 0

x y z x y z (2) ? ? ? ? a?b b?c c?a a ?b b?c c?a 1? b 1 1 1 6.已知 a, b 是实数,且 ,则 ? ? ?( 1? a 1? a 1? b b ? a
(1) (A) 7.已知



1? 5 2

(B)

?1 ? 5 2

(C)

?3 ? 5 2

(D)

3? 5 2

(E)1

1 bc 1 ac 1 ab abc ? , ? , ? ,则 ?( a?b 3 b?c 4 a?c 5 ab ? ac ? bc
(B)



(A)1

1 2

(C)

1 6

(D)

1 12

(E) ?

1 6

24

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吕建刚

第三章 函数、方程、不等式
第一节 简单方程与不等式
第二节 一元二次函数、方程、不等式 题型 34 一元二次函数、方程和不等式的基本题型
1.(2014-1)已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c.则能确定 a,b,c 的值. (1)曲线 y =f(x)经过点(0,0)和点(1,1). (2)曲线 y =f(x)与直线 y =a+b 相切. 2..(2000-10)已知 ? 2 x ? 5 x ? c ? 0 的解为-
2

1 ? x ? 3 ,则 C 为( 2



(A)

1 3

(B)3
2

(C)-

1 3
2

(D)-3

3.(2006-1)方程 x ? ax ? 2 ? 0 与 x ? 2 x ? a ? 0 有一个公共实数解 (1) a ? 3 (2)

a ? ?2
2

4(2013-1)已知抛物线 y ? x ? bx ? c 的对称轴为 x ? 1 ,且过点 ( ?1,1) ,则 ( A. b ? ?2, c ? ?2 B. b ? 2, c ? 2
2 2

)

C. b ? ?2, c ? 2
2 2

D. b ? ?1, c ? ?1

E. b ? 1, c ? 1

5. (2009-10) 关于 x 的方程 a x ? (3a ? 8a ) x ? 2a ? 13a ? 15 ? 0 至少有一个整数根。 (1) a ? 3 (2) a ? 5 6.函数 y ? ax ? bx ? c?a ? 0 ? 在 ?0,?? ? 上单调增的充分必要条件是(
2



(A) (D

a ? 0且b ? 0 a ? 0且b ? 0

(B) (E)
2

a ? 0且b ? 0
以上均不正确

(C)

a ? 0且b ? 0

7. 函数 y ? ax ? 1与y ? ax ? bx ? 1?a ? 0 ? 的图像可能是( (A) (B)



25

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(C)

(D)

(E)以上都不正确

题型 35 根的判别式问题
1. (2012-1)一元二次方程 x ? bx ? 1 ? 0 有两个不同实根
2

(1) b ? ?2 (2) b ? 2 2. (2011-10) 抛物线 y ? x ? ? a ? 2 ? x ? 2a 与 x 轴相切
2

(1) a ? 0 (2) a ? a ? 6 ? 0
2

3. (2002-1)已知关于 x 的方程 x ? 6 x ? ?a ? 2? x ? 3 ? 9 ? 2a ? 0 有两个不等的实根, 则
2

系数 a 的取值范围是( (A) a =2 或 a >0 (D) a =-2

) (C) a >0 或 a =-2

(B) a <0

(E)以上结论均不正确

26

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4.(2014-1)方程 x ? 2( a ? b) x ? c ? 0 有实根
2 2

(1) a, b, c 是一个三角形的三边长 (2)实数 a, c, b 成等差数列 5.一元二次方程 x ? 2(m ? 1) x ? (3m ? 4mn ? 4n ? 2) ? 0 有实根, 则 m, n 的值为 (
2 2 2



1 2 1 (D) m ? 1, n ? ? 2
(A) m ? ?1, n ?

(B) m ?

1 , n ? ?1 2

(C) m ? ?

1 ,n ?1 2

(E)以上结论均不正确

题型 36 韦达定理问题
1. (2009-1)3 x ? bx ? c ? 0(c ? 0)的两个根为?、?,如果又以? +? 、?? 为 根的一元
2

二次方程是 3 x ? bx ? c ? 0 ,则 b 和 c 分别为(
2



(A)2,6

(B)3,4

(C)-2,-6
3 2

(D)-3,-6 (E)以上结果都不正确

2. ( 2011-10 ) 若 三 次 方 程 ax ? bx ? cx ? d ? 0 的 三 个 不 同 实 根 x1 , x2 , x3 满 足 :

x1 ? x2 ? x3 ? 0 , x1 x2 x3 ? 0 ,则下列关系式中恒成立的是(
(A) ac ? 0
3 2

) 。 (E) a ? c ? 0 )

(B) ac ? 0

(C) ac ? 0

(D) a ? c ? 0

3.已知方程 x ? 2 x ? 2 x ? 1 ? 0 有三个根 x1 , x2 , x3 ,其中 x1 ? ?1 ,则 x2 ? x3 等于( (A) 5
2

(B)1
2

(C)2

(D)3

(E) 7

4.设 a ? 1 ? 3a , b ? 1 ? 3b ,且 a ? b ,则代数式 (A)3 (B)4 (C)5 (D)6

1 1 ? 2 的值为( 2 a b
(E)7



5. 若 m, n 分别满足 2m 2 ? 1999m ? 5 ? 0,5n 2 ? 1999 n ? 2 ? 0 , 且 mn ? 1 , 则 (A) ?

1999 5
2

(B)

1999 5

(C) ?

5 1999
4

(D)

5 1999

mn ? 1 = ( n 1999 (E) ? 2




6.已知 ? 与 ? 是方程 x ? x ? 1 ? 0 的两个根,则 ? ? 3? 的值为( (A)1 (B)2 (C)5
27

(D) 5 2

(E) 6 2

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7.已知 a、b 是方程 x ? 4 x ? m ? 0 的两个根, b、c 是方程 x ? 8 x ? 5m ? 0 的两个根, 则
2 2

m =(
(A)0

) (B)3
2

(C)0 或 3
2

(D)-3

(E)0 或-3
2

8.已知 x1 , x2 是方程 x ? m x ? n ? 0 的两实根, y1 , y 2 是方程 y ? 5my ? 7 ? 0 的两实根, 且则 x1 ? y1 ? 2 , x2 ? y 2 ? 2 ,则 m, n 的值为( (A)4,-29 (B)4,29 ) (D)-4,29

(C)-4,-29

(E)以上结论都不正确

题型 37 一元二次函数的最值
1.(2008-10)

? 2 ? ? 2 的最小值是 。
2

1 2

(1) ? 与 ? 是方程 x ? 2ax ? a ? 2a ? 1 ? 0 的两个实根
2

?

?

(2) ?? ?

1 4

2.设 x1、x2 是关于 x 的一元二次方程 x 2 ? ax ? a ? 2 的两个实数根,则 ( x1 ? 2 x2 )( x2 ? 2 x1 ) 的最大值为( (A) ) (B) ?
2

63 8

63 8

(C)

215 8

(D) ?
2

215 8
2

(E)

37 8


3.设 ? 、 ? 是方程 4 x ? 4mx ? m ? 2 ? 0 的两个实根,? ? ? 有最小值,最小值是( (A)0.5 (B)1 (C)1.5 (D)2 (E)以上结论均不正确

题型 38 根的分布问题
1. (2005-1) 方程 4 x ? ?a ? 2 ?x ? a ? 5 ? 0 有两个不等的负实根
2

(1) a <6
2

(2) a >5

2.一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 的两实根满足 x1 x2 ? 0 。 (1) a ? b ? c ? 0 ,且 a ? b
2

(2) a ? b ? c ? 0 ,且 b ? c

3.方程 ax ? bx ? c ? 0 有异号的两实数根,且正根的绝对值大

28

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(1) a ? 0, c ? 0
2

(2) b ? 0
2

4.要使 3 x ? (m ? 5) x ? m ? m ? 2 ? 0 的两根分别满足: 0 ? x1 ? 1 ? x2 ? 2 ,则 m 的取值 范围为( ) (B) ? 2 ? m ? ?1 (E) 1 ? m ? 2
2

(A) ? 2 ? m ? 0 (D) ? 1 ? m ? 2

(C) ? 2 ? m ? ?1

5. 一元二次方程 x ? (m ? 2) x ? m ? 0 的两实根均在开区间 ( ?1,1) 内,则 m 的取值范围为 ( (A) ) (B) ?

1 ? m ? 4?2 3 2 1 (D) ? m ? 4 ? 2 3 2
2

1 ? m ? 4?2 3 2 1 (E) ? ? m ? 0 2

(C) ?

1 ? m ? 4?2 3 2

6.关于 x 的方程 kx ? (k ? 1) x ? 1 ? 0 有有理根,求整数 k 的值( ) (A)0 或 3 (B)1 或 5
2

(C)0 或 5

(D)1 或 2

(E)0 或 6 )

7.已知关于 x 的方程 x ? ( n ? 1) x ? 2n ? 1 ? 0 的两根为整数,则整数 n 是( (A)1 或 3 (B)1 或 5 (C)3 或 5 (D)1 或 2 (E)2 或 5

题型 39 一元二次不等式的恒成立问题
1.(2003-10)不等式 (k ? 3) x ? 2(k ? 3) x ? k ? 1 ? 0 ,对 x 的任意数值都成立
2

(1) k ? 0 (2) k ? ?3

2.(2014-1)不等式

的解集为空集.

(1) (2)

3. x ? R ,不等式 (A) 1 ? k ? 2

3x 2 ? 2 x ? 2 ? k 恒成立,则正数 k 的取值范围为( x2 ? x ?1
(B) k ? 2 (C) k ? 2



29

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(D) k ? 2或k ? 2
2

(E) 0 ? k ? 2 )

4.若不等式 x ? ax ? 2 ? 0 对任何实数 x ? (0,1) 都成立,则实数 a 的取值范围为( (A) [?3,??)
2

(B) (0, ??)
2

(C) [?2, 0)

(D) ( ?3,2)

(E) [?2,??) )

5.不等式 2 x ? a x ? 1 ? 3 ? 0 对任何实数都成立,则实数 a 的取值范围为( (A) a ? 1 (B) a ? 1 (C) a ? 1 (D) a ? 3 (E) a ? 3

第三节 特殊函数、方程、不等式 题型 40 指数与对数
1. (2000-1)解方程 4
x?

1 2

? 2 x ? 1 ,则(

) (C)方程只有一个负实根

(A)方程有两个正实根

(B)方程只有一个正实根 (E)方程有两个负实根 )

(D)方程有一正一负两个实根
x x

2.方程 ( 2 ? 1) ? ( 2 ? 1) ? 6 的所有实根之积为( (A)2 (B)4 (C)-2 (D)-4

(E) ? 4

?2 x ?3 ? 99?1 ? 35 ? 3.已知 x,y 满足 ? x ,则 xy 的值是( ) 2 y?2 3 ? ?5 ?8 ? 3
(A) ?

3 4

(B)

3 4

(C) 1

(D) ?

4 3

(E) ? 1

4.若使函数 f ( x) ? (A)0
25

lg(2 x 2 ? 5 x ? 12)
x2 ? 3

有意义,则 x 的取值范围包括( )个正整数 (D)3 (E)无数个

(B)1
x
5

(C)2
x

5.方程 log x ? 3 log 25 ? log

? 1 ? 0 的所有实根之积( )
3

1 (A) 25

(B) 5

3

(C)

5 5

(D)

3

1 5

(E) 53 5

30

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题型 41 分式方程及其增根
1. 关 于 x 的 方 程

x2 ? 9x ? m 1? x x ?1 3 与 有相同的增根,则函数 ?3? ? 2? 2? x x?2 x? n n ?x
) (C)有最小值 12

y ? x?m ? x?n ? x?n (
(A)有最小值 17 (D)有最大值 12 2.已知关于 x 的方程 (A) 3或6 3.使得

(B)有最大值 17

(E)没有最小值,随 m,n 变化而变化

1 k ?5 k ?1 无解,那么 k ? ( ? 2 ? 2 x ? x x ? x x ?1
2

) (E) 1或3 )

(B) 6或9

(C) 3或9

(D) 3、 6或9

2 2 2 不存在的 x 是方程 ( x ? 4 x ? 4) ? a ( x ? 2) ? b 的一个根, 则a?b ? ( x ? 2 ?1
(B)0 (C)1 (D)2 (E)3

(A)-1 4. k ? 0 (1)

2k x kx ? 1 只有一个实数根(注:相等的根算作一个) ? 2 ? x ?1 x ? x x

(2) k 是整数

题型 42 穿线法解分式、高次不等式
1.不等式 ( x ? 2)( x ? 1) ( x ? 1) ( x ? 2) ? 0 的解集为(
2 3



(A) ( ??,?2] ? [1,2] (C) ( ??,?2] ? ?? 1?? (1,2) (E)以上结论均不正确 2.不等式

(B) ( ??,?2] ? ?? 1?? [1,2] (D) ( ??,?2) ? ?? 1?? [1,2]

3x ? 5 ? 2 的解集为( x ? 2x ? 3
2

) (B) ?? 3,?1? ? ? ,1? 2 (D) ?? 3,?1? ? ? ,1? 2

(A) ?? ?,?3? ? ?? 1, ? ? ?1,?? ? 2

? ?

1? ?

?1 ? ? ?

(C) ?? ?,?3? ? ?? 1, ? ? ?1,?? ? 2

? ?

1? ?

?1 ? ? ?

(E)以上结论均不正确
31

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题型 43 无理方程和无理不等式
1.方程 3 x ? 15 x ? 2 x ? 5 x ? 1 ? 2 的根为(
2 2



(A)0 或 5 (D)0 或-1 2.不等式

(B)1 或 5 (E)0 或-5

(C)0 或 1

x ? 2 ? 3 ? 1 的解集为(

) (C) 1 ? x ? 7

(A) 6 ? x ? 18 (D) ? 2 ? x ? 3

(B) ? 6 ? x ? 18 (E)以上结论均不正确

第四章 数列

? a ( 1) n ?1 ? q,q ? 0 ? an ? ? (2)an ? a1q n ?1 ? ? ?n ? a1 , (q ? 1时) ? ? n ?1.等比数列基本问题 ?(3)S n ? ? a1 (1 ? q ) ,(q ? 1时) ? 1? q ? ? ? (二)等比数列 ? (4)若m ? n ? p ? q,则: ? am ? an ? a p ? aq ? ? ? a1 ? 2.无穷等比数列 ? S ? 1 ? q , q ? 1 ? ? ? ?3.等长片段和n ? S m,S2 m - Sm,S3m ? S2 m成等比,公比为q m ?

32

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第一节 等差数列 题型 44 等差数列基本问题
1. (2009-10)等差数列 ?an ? 的前 18 项和 S18 ?

19 。 2

1 1 , a6 ? 6 3 1 1 (2) a3 ? , a6 ? 4 2
(1) a3 ? 2. (2012-10)在等差数列 ?a n ? 中, a 2 ? 4,a 4 ? 8 ,若 (A) 16 (B) 17 (C)19 (D) 20

?a a
k ?1 k

n

1
k ?1

?

5 ,则 n ? ( 21



(E) 21

3.等差数列 ?an ?的前 13 项和 S13 ? 52 . (1) a4 ? a10 ? 8 (2) a2 ? 2a8 ? a4 ? 8 )

4.已知等差数列 ?an ?中, a7 ? a9 ? 16, a4 ? 1 ,则 a12 的值是( (A)15 (B)30 (C)31 (D)64

(E)以上答案均不正确

5.已知等差数列 ?a n ? 中 a m ? a m ?10 ? a m ?50 ? a m ? 60 ? b?a ? b ? m 为常数,且 m ? N ,则

am ?100 ? am ?110 =(
(A)1 (B)

) (C)

b?a 2

5b ? 3a 2
(D)16

(D) 3b ? 2a

(E) 2b ? a )

6.等差数列前 n 项和为 210,其中前 4 项和为 40,后 4 项的和为 80,则 n 的值为( (A)10 (B)12 (C)14 (E)18 ) -220 (E)0

7. 已知等差数列 ?a n ? 中, S10 ? 100, S100 ? 10 ,求 S110 ? ( (A)110 (B) -110 (C) 220 (D)

题型 45 连续等长片段和
1.等差数列 ?an ? 的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和为( (A)130 (B) 170 (C) 210 (D) 260 (E) 320 )

33

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2.设 S n 是等差数列 ?an ?的前 n 项和,若

S3 1 S ? ,则 6 ? ( ) S6 3 S12
(D)

(A)

3 10

(B)

1 3

(C)

1 8

1 9

(E)

1 6

题型 46 奇数项、偶数项的关系
1. ?an ?为等差数列,共有 2n ? 1 项,且 an ?1 ? 0 ,其奇数项之和 S 奇 与偶数项之和 S 偶 之比为 ( )

(A)

S奇 n ? 2 ? S偶 n S奇 ?n S偶

(B)

S奇 n ? 1 ? S偶 n S奇 ? n ?1 S偶

(C)

S奇 ?1 S偶

(D)

(E)

2. 在等差数列 ?an ? 中, 已知公差 d ? 1 , 且 a1 ? a3 ? ? ? ? ? a99 ? 120 , 则 a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a100 的值为( (A) 170 ) (B) 290 (C) 370 (D) ?270 (E) ?370

3.一个等差数列的前 12 项的和为 354,前 12 项中偶数项之和与奇数项之和的比是 32:27, 求 公差 d=( (A) 3 ) (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7

且此数列中奇数项之和为 99, 偶数项之和为 99,a1 ? 1 , 4. 在等差数列 ?an ? 一共有奇数项, 则其项数为( (A) 11 ) (B) 13 (C) 17 (D) 19 (E) 21

题型 47 两等差数列相同的奇数项和之比
1. (2009-1) ?an ? 的前 n 项和 Sn 与 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 满足 S19 : T19 ? 3 : 2 (1) ?an ? 和 ?bn ? 是等差数列 2.在等差数列 ?an ?和 ?bn ?中, b11 ? 11
a

(2) a10 : b10 ? 3 : 2

4 . 3

(1) ?an ?和 ?bn ?前 n 项的和之比为 (7 n ? 1) : ( 4n ? 27)
34

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(2) ?an ?和 ?bn ?前 21 项的和之比为 5 : 3 3.已知两个等差数列 ?an ?和 ?bn ?的前 n 项和分别为 An 和 Bn ,且 为整数的正整数 n 的个数是( (A)2 (B)3 ) (D)5 (E)6

An 7 n ? 45 a ,则使得 n ? Bn n?3 bn

(C)4

题型 48.
2

等差数列前 n 项和的最值


1.设 an ? ?n ? 12n ? 13 ,则数列的前 n 项和 S n 最大值时 n 的值是( (A)12 (B)13 (C)10 或 11 (D)12 或 13

(E)11 )

2.在等差数列 ?an ?中, S n 表示前 n 项和,若 a1 ? 13, S3 ? S11 ,则 S n 的最大值是( (A)42 (B)49 (C)59 (D)133 (E)不存在

3.设数列 ?an ?是等差数列,且 a2 ? ?8, a15 ? 5 , S n 是数列 ?an ?的前 n 项和,则( (A) S10 ? S11 (D) S 9 ? S10 (B) S10 ? S11 (C) S 9 ? S10



(E)以上答案均不正确

4.设等差数列 ?an ?的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? ?11, a4 ? a6 ? ?6 ,则当 S n 取最小值时, n 等 于( (A)6 ) (B)7 (C)8 (D)9 (E)10

第二节 等比数列 题型 49 等比数列基本问题
1.已知等比数列 ?an ?的公比为正数,且 a3 ? a9 ? 2a5 , a2 ? 1 ,则 a1 ? (
2



(A)

1 2

(B)

2 2

(C) 2

(D)2

(E)1

2. 已知数列 ?a n ? 为等比数列,则 a9 的值可唯一确定

35

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(1) a1a7 ? 64 ;

(2) a2 ? a6 ? 20 )

3.在等比数列 ?a n ? 中,公比 q ? 2, a1 ? a3 ? a5 ? ... ? a99 ? 10 ,则 S100 ? ( (A) 20 (B)25 (C) 30 (D) 35 (E) 40

4.设 ?a n ? 是等比数列,则 S100 的值可唯一确定。 (1) 2am an ? am ? an ? 18
2 2

(2) a5 ? a 6 ? a 7 ? a5 ? 48

题型 50 无穷等比数列
1.已知首项为 1 的无穷递缩等比数列的所有项之和为 5, q 为公比,则 q =( (A) )

2 3

(B) ?

2 3

(C)

4 5

(D) ?

4 5

(E)

1 2


2.一个无穷等比数列所有奇数项之和为 45,所有偶数项之和为-30,则其首项等于( (A)24 (B)25 (C)26 (D)27 (E)28

3.无穷等比数列{an}中, lim (a1 ? a 2 ? ?? ? a n ) ?
n ??

1 ,则 a1 的范围为( 2

) 。

(A) 0 ? a1 ? 1 且 a1 ? (D) a1 ? 1

1 2

(B) 0 ? a1 ? 1 (E) a1 ?
1 2

(C) a1 ?

1 2

题型 51 连续等长片段和
1.在等比数列 ?an ? 中,已知 S n ? 36,  S 2 n ? 54,  则S3n 等于(  ) (A)63 (B)68 (C)76 (D)89 (E)92 )

2.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若

S S6 1 ? ,则 9 ? ( S3 S3 2
(D)

(A)

1 2

(B)

2 3

(C)

3 4

1 3

(E)1

3.各项均为正整数的等比数列 ?an ?的前 n 项和为 S n ,则 S 4 n ? 30 . (1) S n ? 2 (2) S 3n ? 14

36

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第三节

数列综合题

题型 52 等差数列和等比数列的判定
1.数列 ?a n ? 前 n 项和 S n 满足 log 2 ?S n ? 1? ? n ,则 ?a n ? 是( (A) (D) 等差数列 (B )等比数列 (E) (C) )

既是等差数列又是等比数列

既非等差数列亦非等比数列

以上都不对

2.数列 a, b, c 是等差数列不是等比数列。 (1) a, b, c 满足关系式 3 ? 4,3 ? 8,3 ? 16 ;
a b c

(2) a ? b ? c 成立。 3.已知数列 ?an ?的前 n 项和 S n ? n ? 2n ,而 a2 , a4 , a6 , a8 ? ? ? 组成一新数列 ?cn ?,其通项公
2

式为(



(A) cn ? 4n ? 3 (B)cn ? 8n ? 1 (C)cn ? 4n ? 5 (D)cn ? 8n ? 9 (E)cn ? 4n ? 1 4.一个等比数列前 n 项和 S n ? ab ? c, a ? 0, b ? 0, 且b ? 1 ,a、b、c 为常数,那么 a, b, c
n

必须满足(

) (B) c ? b ? 0 (C) a ? c ? 0 (D) a ? b ? c ? 0 (E)b ? c ? 0

(A) a ? b ? 0

5. 设等差数列 ?an ?的前 n 项和为 S n ,如果 a3 ? 11, S 3 ? 27 ,数列 则c ? ( (A)4 ) (B)9 (C)4 或 9 (D)8

?S

n

? c 为等差数列,

?

(E)4 或 8

题型 53 等差与等比数列综合题
1.公差不为零的等差数列 ?an ?的前 n 项和为 S n 。若 a4 是 a3 与 a7 的等比中项, S8 ? 32 , 则 S10 等于( (A)18 ) (B)24 (C)60 (D)90 (E)110 )

2.等比数列 ?an ?的前 n 项和为 S n ,且 4a1 ,2a2 , a3 成等差数列。若 a1 ? 1 ,则 S 5 ? ( (A)7 (B)8 (C)15 (D)16
37

(E)31

老吕数学-母题精练

吕建刚

3.在数列 ?a n ? 中,

a1 ? a3 ? a9 的值为唯一确定。 a 2 ? a 4 ? a10

(1) ?a n ? 是公差为 2 的等差数列; (2) ?a n ? 是公比为 2 的等比数列。 4.已知数列 ?an ?中, a1 ? a3 ? 10 ,则 a4 的值一定是 1 . (1) ?an ?是等差数列,且 a4 ? a6 ? 2 (2) ?an ?是等比数列,且 a4 ? a6 ?

5 4

5.等差数列 ?an ?的公差不为 0,首项 a1 ? 1 , a2 是 a1 和 a5 的等比中项,则数列的前 10 项之 和为( (A)90 ) (B)100 (C)145 (D)190 (E)210

题型 54 数列与函数、方程的综合题
1. a, b, c 成等比数列 (1)方程

a 2 x ? bx ? c ? 0 ,有两个相等实根,且 b ? 0, c ? 0 ; 4
2

(2)正整数 a, c 互质,且最小公倍数为 b

2.等差数列 ?an ?的前 n 项和为 S n ,已知 am ?1 ? am ?1 ? am ? 0 , S 2 m ?1 ? 38 ,则 m ? (
2



(A)38

(B)20

(C)10
2

(D)9

(E)8

3.数列 ?an ?中,a1 ? 1, an , an ?1 是方程 x ? ( 2n ? 1) x ? 和 Sn ? ( (A)

1 则数列 ?bn ?的前 n 项 ? 0 的两个根, bn

) (B)
2 2

1 2n ? 1
2

1 n ?1
2 2

(C)

n 2n ? 1

(D)

n n ?1

(E)

1 n

4.方程 (a ? c ) x ? 2c(a ? b) x ? b ? c ? 0 有实根 (1) a, b, c 成等差数列; (2) a, b, c 成等比数列

38

老吕数学-母题精练

吕建刚

题型 55 递推公式问题
1. (2011-10)已知数列 ?an ? 满足 an ?1 ? (1) a1 ?

an ? 2 an ? 1

? n ? 1, 2,?? ,则 a2 ? a3 ? a4

2

(2) a1 ? ? 2 2. (2008-1) 如果数列 ?an ? 的前 n 项的和 sn ? ( A ) an ? 2( n 2 ? n ? 1) (D) an ? 2 ? 3n 4. (2010-10) xn ? 1 ? (1) x1 ?

3 ( an ? 3 ,那么这个数列的通项公式是 2



( B ) an ? 3 ? 2 n (E) 以上都不是

( C ) an ? 3n ? 1

1 ? n ? 1, 2,3...? 2n
(2) x1 ?

1 1 , xn ?1 ? ?1 ? xn ?? n ? 1, 2,3...? 2 2

1 1 , xn ?1 ? ?1 ? xn ?? n ? 1, 2,3...? 2 2


5.(2013-10)设数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an ?1 ? an ? (A)1650 (B)1651 (C)

n (n ? 1) ,则 a100 ? ( 3
(E)3301

5050 3

(D)3300

6.(2013-1)设 a1 ? 1, a2 ? k, ?,an ?1 ? an ? an ?1 , (n ? 2) ,则 a100 ? a101 ? a102 ? 2 . (1) k ? 2 (2) k 是小于 20 的正整数

7.已知数列 ?an ?满足 a1 ? 0, an ?1 ?

an ? 3 ? ( n ? N ),则 a20 ? ( 3an ? 1
(D)



(A)0

(B) ? 3

(C) 3

3 2

(E)1

39


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