北京市丰台区2016~2017学年度第二学期一模练习高三数学文科试题含答案


丰台区 2017 年高三年级第二学期综合练习(一)

(C)5

(D)6

4. 设命题 p: ?x ? [0,??) , e x ? 1 ,则 ? p 是 (A) ? x0 ?[0,??) , e x ? 1
0



学(文科)
2017. 03

(B) ? x ? [0,??) , e x ? 1 (C) ? x0 ?[0,??) , e x ? 1
0

注意事项:

(本试卷满分共 150 分,考试时间 120 分钟)

(D) ? x ? [0,??) , e x ? 1
1 5. 如果 a ? 21.2 ,b ? ( )0.3 ,c ? 2log2 3 ,那么 2

号用黑色字迹签字笔填写 清楚 ,并认真核对条形码 上的准考证号 、姓名 ,在答题卡 的“条形码粘贴区”贴好条形码。

1. 答题前 ,考生务必先将答题卡 上的学校、年级、班级、姓名、准考证

(A) c ? b ? a (C) a ? b ? c

(B) c ? a ? b (D) a ? c ? b

方式将各小题对应选项涂黑 ,如需改动 ,用橡皮擦除干净后再选涂其它选项 。非选 择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写,要求字体工整、字迹清楚。 效,在试卷、草稿纸上答题无效。

2. 本次考试所有答题均在答题卡 上完成。选择题必须使用 2B 铅笔以正确填涂

6. 由一个正方体截去一个三棱锥所得的几何体的直观图如图所示,则该几何体的三 视图正确的是

3. 请严格按照答题卡 上 题号在相应答题区内作答 , 超出答题区域书写的答案无
A. 正视图 侧视图

4. 请保持答题卡卡面清洁,不要装订、不要折叠、不要破损。

B. 正视图 侧视图

第一部分

(选择题

共 40 分)
C.

(A)

(B)

D.
俯视图 侧视图

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选
俯视图

出符合题目要求的一项.
1? ,那么 A ? B = 1. 如果集合 A ? ?x ? Z ? 2 ? x ? 1?, B ? ??1,0, 1? (A) ??2,?1,0, 1? (B) ??1,0, 1? (C) ?0,

(C)

侧视图 (D)

π 7. 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ) ,点 A(m,n) , B(m ? π,n) (| n |? 1) 都在曲线 y ? f ( x) 上, 3

且线段 AB 与曲线 y ? f ( x) 有五个公共点,则 ? 的值是 (D) ??1,0? (A)4 (B)2 (C)
1 2

(D)

1 4

2. 在平面直角坐标系 xOy 中,与原点位于直线 3 x + 2 y ? 5 ? 0 同一侧的点是 (A) ( ? 3,4) (B) ( ? 3, ? 2) (C) ( ? 3, ? 4) (D) (0,? 3)

8. 某校举行了以“重温时代经典,唱响回声嘹亮”为主题的“红歌”歌咏比赛. 该校 高一年级有 1,2,3,4 四个班参加了比赛,其中有两个班获奖. 比赛结果揭晓之 前,甲同学说: “两个获奖班级在 2 班、3 班、4 班中” ,乙同学说: “2 班没有获奖, 3 班获奖了” ,丙同学说: “1 班、4 班中有且只有一个班获奖” ,丁同学说: “乙说
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3. 执行如图所示的程序框图,则输出的 i 值是 (A)3 (B)4
高三数学(文科)第 1 页(共 6 页)

得对”. 已知这四人中有且只有两人的说法是正确的,则这两人是 (A)乙,丁 (B)甲,丙 (C)甲,丁 (D)乙,丙

在 △ ABC 中,角 A,B,C 对应的边长分别是 a,b,c,且 C ? (Ⅰ)若 sin A ?
3 ,求 a ; 4

? ,c ? 4. 3

(Ⅱ)若 △ ABC 的面积等于 4 3 ,求 a , b .

第二部分

(非选择题

共 110 分)

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 在复平面内,复数 z ? 1 ? 2i 对应的点到原点的距离是 10. 抛物线 y 2 ? 2x 的准线方程是 . .

16.(本小题共 13 分) 已知 ?an ? 是各项均为正数的等比数列, a11 ? 8 ,设 bn ? log2 an ,且 b4 ? 17 . (Ⅰ)求证:数列 ?bn ? 是以-2 为公差的等差数列; (Ⅱ)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,求 Sn 的最大值.
C B P D A

11. 设 a ? b ? M (a ? 0,b ? 0) , M 为常数,且 ab 的最大值为 2, 则 M 等于 .

12. 如图,在直角梯形 ABCD 中, AD ∥ BC , ?ADC =90? , uuu r uu u r 则 DPgAB = . AD=2 ,BC =CD =1 ,P 是 AB 的中点,

13. 已知点 A(1,0) , B(3,0) ,若直线 y ? kx ? 1 上存在点 P,满足 PA ? PB ,则 k 的取值 范围是 .

17.(本小题共 14 分) 如图 1,平行四边形 ABCD 中, AC ? BC ,BC ? AC ? 1 ,现将△ DAC 沿 AC 折起, 得到三棱锥 D ? ABC (如图 2),且 DA ^ BC ,点 E 为侧棱 DC 的中点. (Ⅰ)求证:平面 ABE ? 平面 DBC ; (Ⅱ)求三棱锥 E ? ABC 的体积; (Ⅲ)在 ?ACB 的角平分线上是否存在点 F ,使得 DF ∥平面 ABE ?若存在, 求 DF 的长;若不存在,请说明理由.

? ?( x ? 2a)(a ? x), x ? 1, 14. 已知函数 f ( x) ? ? ? ? x ? a ? 1, x ? 1.

(1)若 a ? 0 ,x ? [0,4] ,则 f ( x) 的值域是________; (2)若 f ( x) 恰有三个零点,则实数 a 的取值范围是_________. 三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题共 13 分)
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(Ⅲ)请从统计角度,对 A、B 两家公司做出评价.

图1

图2

18.(本小题共 13 分) 某校学生营养餐由 A 和 B 两家配餐公司配送. 学校为了解学生对这两家配餐公司 的满意度,采用问卷的形式,随机抽取了 40 名学生对两家公司分别评分. 根据收集 的 80 份问卷的评分,得到 A 公司满意度评分的频率分布直方图和 B 公司满意度评分 的频数分布表: 满意度 评分分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] A 公司 B 公司 20.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ?
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x ?1 ,A ( x1 ,m) ,B ( x2 ,m) 是曲线 y ? f ( x) 上两个不同的点 . ex

19.(本小题共 14 分)

x2 y 2 1) 是椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上一点,点 P 到椭圆 C 的两个焦点 已知 P(0, a b
的距离之和为 2 2 .

频数 2 8 14 14 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 A,B 是椭圆 C 上异于点 P 的两点,直线 PA 与直线 x ? 4 交于点 M, 是否存在点 A,使得 S ?ABP ? 理由 .

1 S ?ABM ?若存在,求出点 A 的坐标;若不存在,请说明 2

(Ⅰ)根据 A 公司的频率分布直方图,估计该公司满意度评分的中位数; (Ⅱ) 从满意度高于 90 分的问卷中随机抽取两份,求这两份问卷都是给 A 公司评 分的概率;

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(Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间,并写出实数 m 的取值范围; (Ⅱ)证明: x1 ? x2 ? 0 .

分 (Ⅱ)由 ?ABC 的面积等于 4 3 ,可知 S?ABC ? 从而 ab ? 16 ①, 由余弦定理 c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C 可得,

1 3 ab sin C ? ab ? 4 3 , 2 4

16=a 2 ? b2 ? ab ②,
联立①②得 a ? b ? 4 . ……………………13

(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)

分 16. (本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)设等比数列 ?an ? 的公比为 q ,则

丰台区 2016~2017 学年度第二学期一模练习

高三数学(文科)参考答案及评分参考
2017.03 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 D 2 A 3 B 4 C 5 D 6 D 7 A 8 B

bn?1 ? bn ? log2an?1 ? log2an ? log 2
因此数列 ?bn ? 是等差数列. 又 b11 ? log2 a11 ? 3 , b4 ? 17 , 又等差数列 ?bn ? 的公差 d ?

an?1 ? log2q , an

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 5 12. ?1 10. x ? ?

1 2

11. 2 2
1] ; (??,0) . 14. [?1,

b11 ? b4 ? ?2 , 7
……………………6

4 13. [? ,0] 3

即 bn ? 25 ? 2n . 即数列 ?bn ? 是以-2 为公差的等差数列. 分 (Ⅱ)设等差数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,则

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)由正弦定理

a 4 a c ? 可知: ? , 3 sin A sin C 3 4 2
……………………6

Sn ?

(b1 ? bn ) (23 ? 25 ? 2n) n ? 2 2

从而求得 a ? 2 3

? (24 ? n)n ? ?(n ? 12)2 ? 144 ,

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于是当 n ? 12 时, Sn 有最大值,最大值为 144. 分 17. (本小题共 14 分)

……………………13

因为 OE ? 平面 ABE , DF ? 平面 ABE , 所以 DF ∥平面 ABE . 因为 AB 、 FC 互相平分, 故四边形 ACBF 为平行四边形,有 BC ∥ AF . 又因为 DA ? BC ,所以有 AF ? AD , 又因为 AF ? AD ? 1 ,故 DF ? 2 . 分 18. (本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)设 A 公司调查的 40 份问卷的中位数为 x ……………………14

解: (Ⅰ)证明:在平行四边形 ABCD 中,有 AD ? BC ? AC ,又因为 E 为侧棱 DC 的中 点, 所以 AE ? CD ; 又因为 AC ? BC , AD ? BC ,且 AC ? AD ? A ,所以 BC ? 平面 ACD . 又因为 AE ? 平面 ACD ,所以 AE ? BC ; 因为 BC ? CD ? C , 所以 AE ? 平面 BCD , 又因为 AE ? 平面 ABE , 所以平面 ABE ? 平面 BCD . 分 (Ⅱ)解:因为 VE ? ABC ? VB ? ACE , BC ? 平面 ACD ,所以 BC 是三棱锥的高,
1 故 VB ? ACE ? ? BC ? S?ACE , 3

(x ? 70) =0.5 则有 0.015 ?10+0.025 ?10+0.03 ?
解得: x ? 73.3 所以, 估计该公司满意度得分的中位数为 73.3 ……………………5 分 (Ⅱ)满意度高于 90 分的问卷共有 6 份,其中 4 份评价 A 公司,设为 a1 ,a2 ,a3 ,a4 ,2 份评价 B 公司,设为 b1 ,b2 . ……………………4


S ?A 1 ?C 2


?A


1 E= ? 2

BC =1



CD= 2

,
1 4

AE ?

2 2







从这 6 份问卷中随机取 2 份,所有可能的结果有: (a1 ,a2 ) , (a1 ,a3 ) , (a1 ,a4 ) ,

E

1 C 2

D?

2 1 2, ? = 2 2

?

(a1 ,b1 ) ,(a1 ,b2 ) ,(a2 ,a3 ) ,(a2 ,a4 ) ,(a2 ,b1 ) ,(a2 ,b2 ) ,(a3 ,a4 ) ,(a3 ,b1 ) ,(a3 ,b2 ) , (a4 ,b1 ) , (a4 ,b2 ) , (b1 ,b2 ) ,共有 15 种.

1 1 所以有 VB ? ACE ? ? BC ? S?ACE = 3 12

……………………9

其中 2 份问卷都评价 A 公司的有以下 6 种:(a1 ,a2 ) ,(a1 ,a3 ) ,(a1 ,a4 ) ,(a2 ,a3 ) ,

分 (Ⅲ)解:取 AB 中点 O ,连接 CO 并延长至点 F ,使 CO ?OF ,连接 AF ,DF ,BF . 因为 BC ? AC ,所以射线 CO 是角 ?ACB 的角分线.
D

(a2 ,a4 ) , (a3 ,a4 ) .
设两份问卷均是评价 A 公司为事件 C,则有 P(C) ? 分

6 2 ? . 15 5

……………………9

E

(Ⅲ)由所给两个公司的调查满意度得分知:
C

A O F B

A 公司得分的中位数低于 B 公司得分的中位数, A 公司得分集中在 ?70,80? 这 组, 而 B 公司得分集中在 ?70,80? 和 ?80,90? 两个组,A 公司得分的平均数数低于 高三数学(文科)第 10 页(共 6 页)

又因为点 E 是的 CD 中点,所以 OE ∥ DF , 高三数学(文科)第 9 页(共 6 页)

B 公司得分的平均数,A 公司得分比较分散,而 B 公司得分相对集中,即 A 公 司得分的方差高于 B 公司得分的方 差. ……………………13 分

20. (本小题共 13 分) 解: f ( x) 的定义域为 R . (Ⅰ) f ?( x) ? ?
x , ex

(注:考生利用其他统计量进行分析,结论合理的同样给分.) 19. (本小题共 14 分) 解: (Ⅰ)由椭圆 C:
x a
2 2

由 f ?( x) ? 0 得, x ? 0 , 由 f ?( x) ? 0 得, x ? 0 , 由 f ?( x) ? 0 得, x ? 0 , 所以 f ( x) 的单调增区间为(-∞,0) ,单调减区间为(0,+∞).

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0) 过点 P(0,1)可得 b=1,

又点 P 到两焦点距离和为 2 2 ,可得 a ? 所以椭圆 C 的方程
x
2

2,
分 ……………………4 分

m 的取值范围是 (0,1) .

……………………6

2

? y ? 1.

2

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知, x1 ? (?1,0) ,要证 x2 ? ? x1 ? 0 ,只需证 f ( x2 ) ? f (? x1 ) 因为 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? m ,所以只需证 f ( x1 ) ? f (? x1 ) , 只需证
x1 ? 1 ? x1 ? 1 2x ? ? x1 ,只需证 (x1 ? 1)e 1 ? x1 ? 1 ? 0 ( x1 ? (?1,0) ) e x1 e

(Ⅱ)设 A(m,n) ,依题意得:直线 PA 的斜率存在, 则直线 PA 的方程为: y ?
n ?1 m x ?1 ,

4n ? 4 ? 4n ? 4 ? 令 x=4, y ? ? 1 ,即 M ? 4, ? 1? , m m ? ?
又 S ?ABP ?
1 2

令 h( x) ? (x ? 1)e2 x ? x ? 1 ? 0 ,则 h?( x) ? (2 x ? 1)e2 x ? 1 , 因为 (h?( x))? ? 4 xe2 x ? 0 , 所以 h?( x) 在 (?1,0) 上单调递减,所以 h?( x) ? h?(0) ? 0 , 所以 h( x) 在 (?1,0) 上单调递增,所以 h( x) ? h(0) ? 0 , 所以 e2 x ? 分
x ?1 ? 0 ,故 x1 ? x2 ? 0 x ?1

PA
S ?ABM 等价于

PM

?

1 3

且点 A 在 y 轴的右侧,

从而

1 ? ? , xM ? xP 4 3
m 4 1 3 4 3

xA ? xP

m

……………………13

因为点 A 在 y 轴的右侧, 所以
?



解得 m ?

,

(若用其他方法解题,请酌情给分)
,

由点 A 在椭圆上,解得: n ? ?

1 3

于是存在点 A( 分

4 3

,?

1 3

) ,使得 S ?ABP ?

1 2

S ?ABM .

……………………14

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