北京市丰台区2016~2017学年度第二学期一模练习高三数学文科试题含答案

丰台区 2017 年高三年级第二学期综合练习(一)
数 学(文科)
2017. 03 (本试卷满分共 150 分,考试时间 120 分钟) 注意事项: 1. 答题前,考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字 迹签字笔填写清楚,并认真核对条形码上的准考证号、姓名,在答题卡的“条形码粘贴区” 贴好条形码。 2. 本次考试所有答题均在答题卡上完成。选择题必须使用 2B 铅笔以正确填涂方式 将各小题对应选项涂黑,如需改动,用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。非选择题必须 使用标准黑色字迹签字笔书写,要求字体工整、字迹清楚。 3. 请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答,超出答题区域书写的答案无效, 在试卷、草稿纸上答题无效。 4. 请保持答题卡卡面清洁,不要装订、不要折叠、不要破损。

(D) ? x ?[0,??) , ex ?1

5.

如果

a

?

21.2

,b

?

(

1 2

)0.3

,c

?

2

log2

3 ,那么

(A) c ? b ? a

(B) c ? a ? b

(C) a ? b ? c

(D) a ? c ? b

6. 由一个正方体截去一个三棱锥所得的几何体的直观图如图所示,则该几何体的三

视图正确的是

A.

B.

正视图

侧视图

(A)

正视图

侧视图

(B)

C.

D.

第一部分 (选择题 共 40 分)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符

合题目要求的一项.
1. 如果集合 A ? ?x ? Z ? 2 ? x ? 1?, B ? ??1,0,1? ,那么 A B =

(A)??2,?1,0,1? (B)??1,0,1?

(C) ?0,1?

(D) ??1,0?

2. 在平面直角坐标系 xOy 中,与原点位于直线 3x +2y ? 5 ? 0 同一侧的点是

(A) (? 3,4)

(B) (? 3,? 2)

(C) (? 3,? 4) (D) (0,? 3)

3. 执行如图所示的程序框图,则输出的 i 值是

(A)3

(B)4

(C)5

(D)6

4. 设命题 p: ?x ?[0,??) , ex ?1 ,则 ? p 是

(A) ?x0 ?[0,??) , ex0 ? 1 (B) ? x ?[0,??) , ex ?1

(C) ?x0 ?[0,??) , ex0 ? 1

高三数学(文科)第 1 页(共 6 页)

俯视图

侧视图

(C)

俯视图

侧视图

(D)

7. 已知函数 f (x) ? sin(?x ? π) ,点 A(m,n) , B(m ? π,n) (| n |? 1) 都在曲线 y ? f (x) 上, 3
且线段 AB 与曲线 y ? f (x) 有五个公共点,则? 的值是

(A)4

(B)2

(C) 1 2

(D) 1 4

8. 某校举行了以“重温时代经典,唱响回声嘹亮”为主题的“红歌”歌咏比赛. 该校

高一年级有 1,2,3,4 四个班参加了比赛,其中有两个班获奖. 比赛结果揭晓之

前,甲同学说:“两个获奖班级在 2 班、3 班、4 班中”,乙同学说:“2 班没有获奖,

3 班获奖了”,丙同学说:“1 班、4 班中有且只有一个班获奖”,丁同学说:“乙说

得对”. 已知这四人中有且只有两人的说法是正确的,则这两人是

(A)乙,丁

(B)甲,丙

(C)甲,丁 (D)乙,丙

高三数学(文科)第 2 页(共 6 页)

第二部分 (非选择题 共 110 分)

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

9. 在复平面内,复数 z ?1? 2i 对应的点到原点的距离是



10. 抛物线 y2 ? 2x 的准线方程是



11. 设 a ? b ? M (a ? 0,b ? 0) , M 为常数,且 ab 的最大值为 2,

则 M 等于

.

C

12. 如图,在直角梯形 ABCD 中, AD ∥ BC , ?ADC=90? ,

uuur uuur AD=2 ,BC=CD=1,P 是 AB 的中点,则 DPgAB =

.D

B P A

13. 已知点 A(1,0) , B(3,0) ,若直线 y ? kx ?1上存在点 P,满足 PA ? PB ,则 k 的取值

范围是



14.

已知函数

f

(

x)

?

??( ? ??

x ? 2a)(a ? x ? a ?1,

x), x?

x 1.

?

1,

(1)若 a ? 0 ,x ?[0,4] ,则 f (x) 的值域是________;

(2)若 f (x) 恰有三个零点,则实数 a 的取值范围是_________.

16.(本小题共 13 分)
已知?an? 是各项均为正数的等比数列, a11 ? 8 ,设 bn ? log2an ,且 b4 ? 17 . (Ⅰ)求证:数列?bn? 是以-2 为公差的等差数列; (Ⅱ)设数列?bn? 的前 n 项和为 Sn ,求 Sn 的最大值.
17.(本小题共 14 分) 如图 1,平行四边形 ABCD中,AC ? BC ,BC ? AC ?1,现将△ DAC 沿 AC 折起,
得到三棱锥 D ? ABC (如图 2),且 DA ^ BC ,点 E 为侧棱 DC 的中点. (Ⅰ)求证:平面 ABE ? 平面 DBC ; (Ⅱ)求三棱锥 E ? ABC 的体积; (Ⅲ)在 ?ACB 的角平分线上是否存在点 F ,使得 DF ∥平面 ABE ?若存在,
求 DF 的长;若不存在,请说明理由.

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.

15.(本小题共 13 分)

在 △ABC 中,角 A,B,C 对应的边长分别是 a,b,c,且 C ? ? , c ? 4 . 3

(Ⅰ)若 sin A ? 3 ,求 a ; 4

图1

图2

(Ⅱ)若 △ABC 的面积等于 4 3 ,求 a , b .

高三数学(文科)第 3 页(共 6 页)

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18.(本小题共 13 分)

某校学生营养餐由 A 和 B 两家配餐公司配送. 学校为了解学生对这两家配餐公司

的满意度,采用问卷的形式,随机抽取了 40 名学生对两家公司分别评分. 根据收集

的 80 份问卷的评分,得到 A 公司满意度评分的频率分布直方图和 B 公司满意度评分

的频数分布表:

满意度 评分分组

频数

[50,60)

2

[60,70)

8

[70,80)

14

[80,90)

14

[90,100]

2

A 公司

B 公司

(Ⅰ)根据 A 公司的频率分布直方图,估计该公司满意度评分的中位数;

(Ⅱ)从满意度高于 90 分的问卷中随机抽取两份,求这两份问卷都是给 A 公司评

分的概率;

(Ⅲ)请从统计角度,对 A、B 两家公司做出评价.

19.(本小题共 14 分)

已知 P(0,1) 是椭圆

C:

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

?

0) 上一点,点

P

到椭圆

C

的两个焦点

的距离之和为 2 2 .

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ)设 A,B 是椭圆 C 上异于点 P 的两点,直线 PA 与直线 x ? 4 交于点 M,

是否存在点

A,使得 S?ABP

?

1 2

S?ABM

?若存在,求出点

A

的坐标;若不存在,请说明

理由 .

20.(本小题共 13 分)

已知函数

f

(x)

?

x? ex

1

,A

(

x1

,m)

,B

(

x2

,m)

是曲线

y

?

f

(x)

上两个不同的点 .

(Ⅰ)求 f (x) 的单调区间,并写出实数 m 的取值范围;

(Ⅱ)证明: x1 ? x2 ? 0 .

高三数学(文科)第 5 页(共 6 页)

(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)
高三数学(文科)第 6 页(共 6 页)

丰台区 2016~2017 学年度第二学期一模练习
高三数学(文科)参考答案及评分参考

2017.03

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

D

A

B

C

D

D

A

B

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

9. 5

10. x ? ? 1 2

11. 2 2

12. ?1

13.[? 4 ,0] 3

14.[?1,1] ; (??,0) .

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.

15.(本小题共 13 分)

解:(Ⅰ)由正弦定理

a sin A

?

c sin C

可知:

a 3

?

4, 3

42

从而求得 a ? 2 3


……………………6

(Ⅱ)由 ?ABC 的面积等于 4

3

,可知 S?ABC

?

1 2

ab sin C

?

3 ab ? 4 4

3,

从而 ab ?16 ①,

由余弦定理 c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C 可得,

16=a2 ? b2 ? ab ②,
联立①②得 a ? b ? 4 .
分 16.(本小题共 13 分)

……………………13

解:(Ⅰ)设等比数列?an? 的公比为 q ,则
高三数学(文科)第 7 页(共 6 页)

bn?1

? bn

?

log2an?1

? log2an

?

log2

an?1 an

?

log 2 q



因此数列?bn? 是等差数列.

又 b11 ? log2a11 ? 3 , b4 ? 17 ,

又等差数列?bn? 的公差 d

?

b11 ? b4 7

?

?2 ,

即 bn ? 25 ? 2n . 即数列?bn? 是以-2 为公差的等差数列.


(Ⅱ)设等差数列?bn? 的前 n 项和为 Sn ,则

Sn

?

(b1

? bn ) 2

?

(23 ? 25 ? 2n)n 2

? (24 ? n)n ? ?(n ?12)2 ?144 ,

……………………6

于是当 n ?12 时, Sn 有最大值,最大值为 144.


……………………13

17.(本小题共 14 分)

解:(Ⅰ)证明:在平行四边形 ABCD 中,有 AD ? BC ? AC ,又因为 E 为侧棱 DC 的中

点,

所以 AE ? CD;

又因为 AC ? BC , AD ? BC ,且 AC AD ? A ,所以 BC ? 平面 ACD .

又因为 AE ? 平面 ACD ,所以 AE ? BC ;

因为 BC CD ? C ,

所以 AE ? 平面 BCD ,

又因为 AE ? 平面 ABE ,

所以平面 ABE ? 平面 BCD .

……………………5



(Ⅱ)解:因为VE?ABC ? VB?ACE , BC ? 平面 ACD ,所以 BC 是三棱锥的高,

高三数学(文科)第 8 页(共 6 页)

故 VB? ACE

?

1 3 ? BC ? S?ACE



又 因 为 BC=1 ,

CD= 2

S?A ?C12 E ? A

1E=? 2

C1 D? 22, ?=1 ?

2

2

2

, AE ? 2 2
1 4

,所以

所以有

VB? ACE

?

1 3

?

BC

?

S?ACE

=

1 12

……………………9



(Ⅲ)解:取 AB 中点 O ,连接 CO 并延长至点 F ,使 CO ?OF ,连接 AF ,DF ,BF .

因为 BC ? AC ,所以射线 CO 是角 ?ACB 的角分线.

D

E

A

C

O

F

B

又因为点 E 是的 CD 中点,所以 OE ∥ DF , 因为 OE ? 平面 ABE , DF ? 平面 ABE , 所以 DF ∥平面 ABE . 因为 AB 、 FC 互相平分, 故四边形 ACBF 为平行四边形,有 BC ∥ AF . 又因为 DA ? BC ,所以有 AF ? AD,

又因为 AF ? AD ?1,故 DF ? 2 .



18.(本小题共 13 分) 解:(Ⅰ)设 A 公司调查的 40 份问卷的中位数为 x
则有 0.015?10+0.025?10+0.03?(x ? 70)=0.5 解得: x ? 73.3
所以, 估计该公司满意度得分的中位数为 73.3 分

……………………14 ……………………4

(Ⅱ)满意度高于 90 分的问卷共有 6 份,其中 4 份评价 A 公司,设为 a1,a2,a3,a4 ,2

份评价 B 公司,设为 b1,b2 .

从这 6 份问卷中随机取 2 份,所有可能的结果有: (a1,a2 ) , (a1,a3 ) , (a1,a4 ) ,

(a1,b1) ,(a1,b2 ) ,(a2,a3 ) ,(a2,a4 ) ,(a2,b1) ,(a2,b2 ) ,(a3,a4 ) ,(a3,b1) ,(a3,b2 ) ,

(a4,b1) , (a4,b2 ) , (b1,b2 ) ,共有 15 种.

其中 2 份问卷都评价 A 公司的有以下 6 种:(a1,a2 ) ,(a1,a3 ) ,(a1,a4 ) ,(a2,a3 ) ,

(a2,a4 ) , (a3,a4 ) . 设两份问卷均是评价 A 公司为事件 C,则有 P(C) ? 6 ? 2 .
15 5 分
(Ⅲ)由所给两个公司的调查满意度得分知:

……………………9

? A 公司得分的中位数低于 B 公司得分的中位数,A 公司得分集中在 70,80? 这

组,

而 B 公司得分集中在?70,80? 和?80,90? 两个组,A 公司得分的平均数数低于

B 公司得分的平均数,A 公司得分比较分散,而 B 公司得分相对集中,即 A 公

司得分的方差高于 B 公司得分的方

差.

……………………13 分

(注:考生利用其他统计量进行分析,结论合理的同样给分.)

19.(本小题共 14 分)

解:(Ⅰ)由椭圆

C:

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 过点 P(0,1)可得 b=1,

又点 P 到两焦点距离和为 2 2 ,可得 a ? 2 ,
所以椭圆 C 的方程 x2 ? y2 ? 1. 2
(Ⅱ)设 A(m,n),依题意得:直线 PA 的斜率存在,

……………………4 分

高三数学(文科)第 9 页(共 6 页)

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则直线 PA 的方程为: y ? n ?1 x ?1 , m



x=4,

y

?

4n ? m

4

?

1,即

M

? ??

4,4n ? m

4

?

1???



又 S?ABP

?

1 2

S?ABM

等价于

PA PM

1 ? 且点 A 在 y 轴的右侧,
3

从而 xA ? xP ? m ? 1 , xM ? xP 4 3
因为点 A 在 y 轴的右侧,

所以 m ? 1 , 43

解得 m ? 4 , 3

由点 A 在椭圆上,解得: n ? ? 1 , 3

于是存在点

A( 4 3



?

1 3

),使得

S?ABP

?

1 2 S?ABM .

……………………14



20.(本小题共 13 分) 解: f (x) 的定义域为 R .

(Ⅰ)

f

?(

x)

?

?

x ex



由 f ?(x) ? 0 得, x ? 0 ,

由 f ?(x) ? 0 得, x ? 0 ,

由 f ?(x) ? 0 得, x ? 0 ,

所以 f (x) 的单调增区间为(-∞,0),单调减区间为(0,+∞).

m 的取值范围是 (0,1) .

……………………6



(Ⅱ) 由(Ⅰ)知, x1 ?(?1,0) ,要证 x2 ? ?x1 ? 0 ,只需证 f (x2 ) ? f (?x1)

因为 f (x1) ? f (x2 ) ? m ,所以只需证 f (x1) ? f (?x1) ,

高三数学(文科)第 11 页(共 6 页)

只需证

x1 ?1 ex1

?

?x1 e?

?
x1

1

,只需证

(x1

? 1)e2 x1

?

x1

?1?

0(

x1 ? (?1,0)

)

令 h(x) ? (x ?1)e2x ? x ? 1 ? 0 ,则 h?(x) ? (2x ?1)e2x ?1,

因为 (h?(x))? ? 4xe2x ? 0 ,

所以 h?(x) 在 (?1,0) 上单调递减,所以 h?(x) ? h?(0) ? 0 , 所以 h(x) 在 (?1,0) 上单调递增,所以 h(x) ? h(0) ? 0 ,

所以 e2x

?

x x

?1 ?1

?

0 ,故

x1

?

x2

?

0



……………………13

(若用其他方法解题,请酌情给分)

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