2012年高考江苏卷第19题剖析与启示_图文

2012 年 8 月

试题赏析

考试 研究

2012年高考江苏卷第19题剖析与启示
筅江苏省灌南县高级中学
姚国强
2012年高考江苏数学试卷保持了新课程高考方案的基本思 想, 试卷结构稳定, 突出双基, 重视能力, 知识点广, 容易上手, 难 度递增但也区分明显, 利于选拔, 各种层次考生可以充分展现自 学生口中和 己的真实能力.可就在高考第二科数学考试结束后, “ 比较变态 ” 网上却对江苏卷的第 19 题第二问的评价为 . 这道题 和江苏省2010、 2011年的第18题解析几何题出题背景同出一辙, 都是以直线和椭圆为背景来命题的, 是一个 “常见问题” , 究竟是 “常见问题” 变得 “比较变态” 呢?笔者考后与学生共 什么原因让 同剖析这道解析几何题, 得到一些教学启示, 与同行共享.

评 析 : 由 题 意 知 道 e=

c c 那么点 , (1 ,e ) 就 是 点 1 , ,代 入 a a

椭圆化简就可以得到 b2=1 , 由点 e , 姨 3



%

2

姨 姨 姨 姨ca 姨23 姨
%

就是点



代入椭圆化简就可以得到 a2=2 , 从而得到椭圆的离心率 , 属于容 易题 .

第2问是学生评论最多的, 学生的解法主要有以下几种:
解 法 1: 由 (1 ) 得 F1 (-1, ) , ) , 因为直线 AF1 与直线 0 F2 (1, 0

BF2平行. 所以设 AF1、 (x1, ) , BF2的方程分别为 my=x+ 1 , my=x - 1 , A y1 (x2, ) , B y2 y1>0, y2>0.

一 、 试题及解析
题目

如图1, 在平面直角坐标系xOy中, 椭圆

x y (a> + =1 a 2 b2

2

2

将 my=x+ 1 代入椭圆方程得 (m2 + 2) 解得 y= y2 - 2my - 1 = 0 , m+ 姨2m2+2 m± 姨2m2+2 , 即y1= .由两点间距离公式得 2 m +2 m2+2
2 2 2 (x1+1 ) (y1-0 ) (my1 ) + +y12 AF1= 姨 =姨 % % % %

) 的左、右焦点分别为F1 (-c, ) , ) ) 和 b>0 0 F2 (c, 0 . 已知 (1, e 3 都在椭圆上,其中 e 为 e,姨 姨 姨 2
%

y A P F1 O F2 B x

椭圆的离心率. (1 ) 求椭圆的方程的离心率; ) 设A , (2 B是椭圆上位于x轴 上方的两点,且直线 AF1 与直线 BF2平行, AF2与BF1交于点P. (i ) 若AF1-BF2= 姨 6 , 求直线AF1的斜率; 2 (ii ) 求证: PF1+PF2是定值.
%

) % m+ 2m2+2 姨 2(m2+1 +m 姨m2+1 = 姨m2+1· 姨2 = . 2 m +2 m +2 ) 2(m2+1 -m 姨m2+1 同理可得, BF2= 姨 . 2 m +2 (i ) 由①②得, AF1-BF2=
% % % %

%

%

%

① ②

图1

2m 姨m2+1 . m2+2

%



2m 姨m2+1 姨 6 , 得m2=2. = m2+2 2
%

c 解析 : (1 ) 根据椭圆中a, b, c关系得到a2=b2+c2, e= ,由点 a (1, ) 在椭圆上, 得 e c2 1 化简得 b2 =1, 从而 c2 =a2 -1. 由点 + 2 2 = 1, 2 a ab
2 4

注意到m>0, 所以m= 姨 2 . 所以直线AF1的斜率为 1 姨2 . = m 2
%

评析 : 本 小 题 要 求 直 线 的 斜 率 , 要 利 用 好 两 点 间 距 离 公 式 , 由于题目提到直线 AF1与直线 BF2平行 , 并且点 F1,F2知道 , 那么点

c 3 在椭圆上, 得 + e,姨 姨 姨 a 2
%

姨3 姨 姨 2
% 2

1

化简得 a2=2, 所以椭 =1,

A ,B 是解决问题的关键 , 只 要 设 直 线 AF1,BF2的 方 程 就 可 以 了 ,
与椭圆联立方 程组就可以解决问题 . 该小题能力要求中等 , 一般 的学生也能做出来 .

圆的方程为

x2 2 椭圆的离心率为 姨 2 . +y =1, 2 2

%

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(ii ) 由于AF1∥BF2, 所以 得到 PF1=

PB BF2 PB+PF1 BF2+AF1 , 从而 = = . PF1 AF1 PF1 AF1

PF2=

1 1 (a-ex1 ) , AF2= λ +1 λ +1
%

% AF1 得 BF1 . 由点 B 在椭圆上知, BF1+BF2= 2 姨 2 , AF1+BF2 % % AF1 BF2 到 PF1= (2 姨 2 -BF) · (2 姨 2 - PF2= 2 .同理可得, AF1+BF2 AF1+BF2 % % AF1 BF2 ) , 所以 PF1+PF2= (2 姨 2 -BF2 ) · (2 姨 2 - AF1 + AF1+BF2 AF1+BF2 · % 2AF BF2 ) AF1 =2 姨 2 - . AF1+BF2

x +x % 所以PF1+PF2= 姨 2 + 姨 2 x2- 1 2 . λ +1 2 当x1=-1时, 结论成立. x2=1, λ=1,
%

1

1

当x1≠-1时, λ=

AF1 姨1+kAF12 x1+1 = % . BF2 姨 1+kAF12 x2-1 x1+1 . x2-1 x2- x1+x2 3 2 = 姨 . x1+1 2 +1 x2-1

当x1>-1时, x2>1; 当x1<-1时, x2<1,所以λ=
% 即PF1+PF2= 姨 2 + 姨 2 2 %

) m +1 2 2(m +1 由 ①② 得, , · AF1+BF2= 姨 2 AF1 BF2= 2 ,所以 m +2 m +2
2 2 % 2 3 2 PF1+PF2=2 姨 2 - 姨 = 姨 . 2 2 % %

%

1

1

%

即PF1+PF2是定值.
评析 : 解 决 本 小 题 简 单 的 方 法 是 利 用 平 面 几 何 知 识 和 解 析 几何知识相结合来做 , 利用直线 AF1与直线 BF2平行 , 得到对应线 段成比例

评析 : 这种方法主要利用焦半径表示出 A ,B 的横坐标之间 的 关 系 , 利 用 直 线 AF1 与 直 线 BF2 平 行 , 把 A ,B 联 系 起 来 , 从 而 得 到 A 点 横 坐 标 , 问 题 (i ) 得 到 解 决 . 问 题 (ii ) 巧 用 相 似 比 与 焦 半 径 表 示 出 PF1,PF2, 利 用 弦 长 公 式 表 示 相 似 比 , 使 得 问 题 得 到 解 决 . 学生说 , 对焦半径的应用 , 他们在奥赛辅导时 , 经常训练到 .

PB BF2 或其他的对应比例式 注意到 , = PB+PF1=BF1, 对 PF1 AF1

比例式进行处理 ,利用椭圆定义 , 得到 PF1; 同样的方法 , 得到 PF2 .

利用韦达定理, 最后化简出结果, 笔者在考试完与考生谈到 得 这一问时, 学生认为较难的地方就是直线AF1与直线BF2平行, PB BF2 到对应线段成比例 或其他的对应比例式以后, 学生下 = PF1 AF1 来不知道怎么写了, 但是有感觉这一小问自己能做出来, 在学生 心里感觉到出题教师有可能考到自己陌生的知识点了,加上教 师根据江苏省 2008、 2009、 2010、 2011 这四年解析几何题的某些 规律时, 备考前经常说江苏省高考题里解析几何这道题如何做, 如何重要, 部分学生平时解决解析几何题是他的强项, 而考场上 在解决这一问时遇到了障碍, 由此较难的感觉也就出来了. 笔者在考试完与考生谈到第 (2 ) 小问时, 有几个学生说他们 主要利用设而不求和教材里解析几何这一章的一个例题的变式 (焦半径公式 ) 作出了答案.
解法 2: (i ) 设A (x1, ) , (x2, ) , 则 y1 B y2

笔者在考试完与考生谈到第 (2 ) 小问时, 还有部分学生说他 们在做这道题目时把AF1或BF2延长与椭圆另一个交点找到后, 利用韦达定理和弦长公式做的,极少数学生说他们因记不得公 式而没有做出来.
解法 3: (i ) ①延长AF1交椭圆于

根据对称性BF2=B′F1, 设A (x1, B′点, ) , (x2, ) , y1 B′ y2 x2<-1 <x1,由题意知 直线AF1的斜率存在,设AF1的方程 为y=k (x+1 ) , 代入椭圆方程得 (1+2k2 ) x2+4k2x+2k2-2=0. 因为Δ>0恒成立, 所以x1+x2=-
%

y A P F1 B′ 图2
%

B F2 x

O

4k2 . 1+2k2
%

所以AF1= 姨1+k2 xA-xF1 = (x1+1 )姨1+k2 , x12 2 x2 +y1 =1, 2 +y22=1. 2 2
%

① ②

(-1-x1 )姨1+k2 . B′F2= 姨1+k xB′-xF1 =
2 % %

%

6 得到 由焦半径公式AF1-BF2=a+ex1- (a-ex2 ) =姨 , 2 x2= 姨 3 -x1 . ① x12 x22 1- 1- y y 2 2 因为AF1∥BF2, 所以kAF1= 1 = 2 , 即 = . 2 2 (x1+1 ) (x2-1 ) x1+1 x2-1 化简得2x1x2+3 (x2-x1 ) -4=0. 将①代入得2x12+ (6-2 姨 3 ) x1+4-3 姨 3 =0, 3 -1 3 -5 解得x1= 姨 或姨 (舍去 ) . 2 2 x2 1- 1 % 2 2 1 所以kAF1= 所以kAF1= 姨 2 . = , 2 (x1+1 ) 2 2 (ii ) 设△APF与△F2PB的相似比为λ, 则 PF1= 1 λ (a+ex2 ) , BF1= 1- λ +1 λ +1
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% % % % %

% 2 1+k2 由①②得, (x1+x2+2 )姨1+k2 = 姨 2 = 姨 6 , 解 AF1-BF2= 1+2k 2 % 1 得k2= , 所以直线所以直线AF1的斜率为k= 姨 2 . 2 2 λ 11 11 11 (ii ) 由于AF1∥BF2, 设F1B=λF1P, (x, ) , 则11 F2A= F2P, P y λ -1 (xB+1, ) (x+1, ) , yB =λ y λ 即( ) (x-1, ) , xA-1, yA = y λ -1 λ λ (x-1 ) +1, y , 得到 A (λ (x+1 ) ) , 代入椭圆 B - 1, λy λ -1 λ -1 方程得

1

1

1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 (λ (x-1 ) (λ-1 ) ) + 2 2 (λy ) (λ-1 ) , + = 2 2 (λ (x+1 ) ) -1 2 (λy ) + = 1, 2

① ②

1

1

(2λx+λ-2 ) (-λ ) 6 (λ-2 ) , 解得λ= , 代入② ① -② 得 =λ 2 2x+3

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2 6 (x+1 ) -1 2 6 x2 y2 2x+3 y = 1, 得到 化简得 + + =1, 2x+3 2 9 1 8 8

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道常态问题.

三 、 教学启示
这道题也给我们一线教师一些启示. 一是重视学生数学阅 首先要读清题 读能力和分析问题能力的培养.学生在做题之前, 目, 教学时要教会学生慢读题, 要让学生在读完题目后, 找到题 目中的关键语句与自己所学的知识联系在一起进行思考,从而 但它们的思路不 找到解决问题的思路.很多题是有多种方法的, 同, 实际计算效果也不一样 . 例如前面剖析的江苏卷的第 19 题, 如果学生阅读时分析到相似形与椭圆的定义就会得到解法 1的 思路,如果学生阅读时分析到相似形与圆锥曲线的焦半径就会 得到解法2的思路等等.因此, 教学时既要重思路的分析又要重 虽然 《普 视方法的分析.二是重视对学生基本运算能力的培养, 通高中数学课程标准》 和考试说明里对学生的运算能力的要求 有所降低, 但并不意味着可以忽视对学生化简问题意识的培养, 不能因为 《普通高中数学课程标准》 和考试说明里没有而放弃对 某些知识和能力的培养, 例如前面剖析的江苏卷的第19题, 解法 但运算量偏大, 学生不敢动笔.说明对学生运 1本是一种好方法, 算能力的培养是教学中的一个大问题, 在平时教学中, 如果过于 走捷径, 走技巧运算, 会造成学生眼高手低, 基础不牢, 使他们在 考场总想容易的方法, 那么就容易导致失败 . 因此, 笔者认为在 解析几何教学中,要重视基本方法的剖析,淡化技巧方法的讲 解, 淡化特技运算, 重视基础运算.而解法3中涉及的韦达定理和 弦长公式等一些有利于学生简化运算的知识, 应该讲一讲, 发现 运算的妙处, 以提高学生解题方法的优化和选择.三是改变拓展 教师会 解题能力的培养.在教学时为了让学生获得解题的通法, 对各类题目总结出许多的解题模式,在许多情况下这些解题模 式能够很好得到应用,但是这样很容易让学生忽视每个题目自 己的特征, 从而使得这些解题模式变为解题困扰, 长期教学会给 学生留下许多的负面的做题反应 .四是调整学生考试心态.考试 说明要求考生克服紧张情绪, 以平和的心态参加考试, 合理支配 考试时间, 以实事求是的科学态度解答试题, 树立战胜困难的信 心, 体现锲而不舍的精神 . 数学高考不仅是知识与能力的较量, 还是数学素养、 数学习惯 、 心理素质的比拼 . 每年都有一些拔尖 学生在高考中失误、一些成绩不错的考生在高考中落榜就是例 证.因此, 在数学复习中要注意调整好心态, 能清楚的让学生认 识到自己的能力水平, 确定与自己能力水平相适应的考试目标, 坚定自己的考试信心, 保持积极上进的心态, 从容面对各种压力 和紧张氛围, 无论是强化训练还是正式考试, 要心无杂念, 聚精 会神, 注意考试策略, 把握考试时间.同时, 要注意修正学生的一 些不良习惯, 如: 审题不细致, 一目十行, 题目看错, 条件看错, 结 果劳而无功; 计算不准确, 经常用口算、 心算, 计算时在思考其他 的问题, 一旦算错或写错, 结果枉费心机; 分析问题只看到正面 和一般情况, 该讨论的不讨论, 考虑不周, 解题不完整, 造成过程 失分; 表述不清, 过程不全, 书写潦草, 造成卷面失分和步骤失 分; 只会用直接法不会用间接法, 只会用代数法不会用数形结合 法, 方法烦琐, 费时乱心, 间接失分等. ■
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3 2 即点P的轨迹为椭圆, 焦点正好为F1与F2, 则PF1+PF2= 姨 . 2
评析 : 解法 3 里的第一问主要应用利用韦达定理和弦长公式 解 决 问 题.韦 达 定 理 这 个 知 识 点 在 苏 科 版 教 材 (九 年 级 )里 的 阅 读材料里提到 , 弦长公式这个知识点在学生用的教材 ( 无论初中 的苏科版还是高中 的 苏 教 版 ) 里 都 没 提 到 , 而 在 上 课 时 , 对 于 这 两个公式一般要么避开这种解题方法 , 要么大致的提一下 , 当学 生用这些知识点做出答案后 , 心里的感觉就是出题人在玩 “ 擦边 球 ”, 心里自然就感觉较难了 . 解法 2 里的第二问主要利用平面向 量的基本性质和设而不求思想方法来解决的 , 利用直线 AF1与直 线 BF2平 行 转 化 为 向 量 的 共 线 , 用 P 点 坐 标 表 示 出 A ,B , 化 简 出 P 点轨迹方程 , 则 PF1+PF2的求值问题也就迎刃而解 . 还有部分学生 利用 2010 年江苏高考第 18 题的方法 , 先把直线 AF1与直线 BF2垂 直 x 轴 , 求 出 直 线 AF2,BF1 的 方 程 , 联 立 求 P 的 坐 标 , 求 出 PF1+PF2 是定值 , 然后直线 AF1与直线 BF2不 垂 直 x 轴 时 , 先 求 A ,B 坐 标 , 求 出 直 线 AF2,BF1的 方 程 , 联 立 求 P 的 坐 标 时 , 发 现 结 果 很 繁 杂 , 花 了十几分钟化简出结果 , 造成学生没有时间做后面的题 , 学生也 认为此处比较难 .

%

这几种方法里, 相比较于解法1和利用2010年江苏高考第18 题的方法, 其他方法都需要学生具有敏锐的观察力和分析能力. 无论哪一种方法都突出对知识和方法的灵活运用,加大了分析 和解决问题的思考力度,考查解决新问题的能力,体现了对考 生的高层次数学思维能力的要求和高水平数学素质的要求, 难 度比较大, 解决问题时对学生的逻辑思维能力要求较高.将一个 困难的定值证明问题转化为易求椭圆交线有关问题,这种化难 为易, 化繁为简的转化思想是解决数学问题的一种重要手段, 也 是 《普通高中数学课程标准》 和考试说明里要求学生掌握的重要 但是从知识和方 思想方法.总体来说学生认为这一问他们会做, 法上来说, 让学生感到不舒服 . 这一问是压轴的, 是带有选拔功 能的, 一般只有极少学生做出来, 这也是正常反应.

二 、 试题评价
这道题主要考查椭圆的标准方程及几何性质, 直线方程, 两 点间的距离公式, 待定系数法, 考查基本的运算能力和推理论证 能力, 三个小问有明显的层次差别, 其中 (1 ) , (2 ) 中第1小问属于 基本题, (2 ) 中第2小问重点考查学生的运算能力和推理论证能 力, 切合考试说明, 符合中学数学的基本要求, 一道题目中能够 实现如此多知识点与基本能力的考查,可见该题是一道综合性 较强的试题.在 《普通高中数学课程标准》 评价建议中提出正确 评价学生的数学基础知识和基本技能, 指出: 评价要注重对数学 本质的理解和思想方法的把握, 避免片面强调机械记忆、 模仿以 及复杂技巧, 本题改变江苏前四年考试的模式, 在继承中进行创 新, 落实了考试说明的基本要求, 同时也展现了解析几何与其他 知识以及以后学习的密切关系. 从而表明这道解析几何题是一

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