最新-上海市杨浦区2018届高三数学上学期期末质量调研 文 精品

上海市杨浦区 2018 届高三上学期期末质量调研(数学文)
考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸写上姓名、考号. 2.本试卷共有 23 道题,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每 个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.若复数 z 满足 z ? i ? 1? ? 2 ,则 z ? __________. 2.抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点到准线的距离是 3.函数 f ? x ? ? log 2 ? .

? x ? ? 的定义域为 ? x ?1 ?

.

4.已知等差数列 {an } 首项为 1,公差为 2.若 ak ? 7 时,则项数 k ? 5.若 f ? x ? ?



1 ? a 是奇函数,则实数 a ? 2 ?1
x
2

. .

6.函数 f ? x ? ? ? sin x ? cos x ? 的最小正周期是

3 7.在 ( x ? ) 的二项展开式中, x 的系数是____________(用数字作答) .

2 x

5

8.计算: lim

n2 ? n ?? 1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n

.

9.设 △ ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c .若 b ? 3 ,c ? 1,B ? 60 , 则角 C ? .

2 2 10.若经过点 P(0 , 2) 且以 d ? ?1, a ? 为方向向量的直线 l 与双曲线 3x ? y ? 1相交于不同两点 A 、 B ,

则实数 a 的取值范围是

.

x 2 11.若全集 U ? R ,不等式 x x3

0 0 x 1 >0 的解集为 A ,则 2 1
3 ,则 cos 2? ? 5
.

A?

.

12.若 ? 为第二象限的角, sin ? ?

13.若直线 m 被两平行线 l1 : x ? y ? 1 ? 0 与 l2 : x ? y ? 3 ? 0 所截得线段的长为 2 2 ,则直线 m 的倾斜角 是 . P

14.如图,已知 ?OAP 的面积为 S , OA ? AP ? 1 . 如果

1 ? S ? 2 ,那么向量 OA 与 AP 的夹角 ? 的取值 2
. o A

范围是

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答案纸的相应 编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.函数 f ( x) ? x3 ? sin x ? 1 ( x ? R) ,若 f (a) ? 2 ,则 f (?a) 的值为 ( ).

? A ??2

.

? B ? ?1

.

?C ?0

.

? D?1

. ( ).

16. “ a ? 2 ”是“函数 f ? x ? ? x ? a 在 ? 2 , ? ?? 上是增函数”的

? A ? 充分非必要条件. ? C ? 充要条件.

? B ? 必要非充分条件. ? D ? 即非充分也非必要条件.

17. 已知点 A 的坐标为 ? 3 ,2 ? , F 为抛物线 y 2 ? 2 x 的焦点.若点 P 在抛物线上移动,当 PA ? PF 取 得最小值时,则点 P 的坐标是

? A?

?1 , 2 ? .

(

? B ? ? 2 , 2 ? . ? C ? ?2 , ? 2? .

?D?

?3 , 6 ?.
12 . 13
). (

).

18.已知 △ ABC 的面积是 30 ,内角 A 、B 、C 所对边分别为 a 、b 、c , cos A ? 若 c ? b ? 1 ,则 a 的值是

? A?

3 .

?B?

4 .

?C?

5 .

?D?

不确定 .

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出 必要的步骤 . 19. (本题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? a
x ?1

? 2 ( a ? 0 且 a ? 1 )的反函数 y ? f ?1 ( x) 定义域为集合 A ,
1 ? , x ? R ? .若 A B ? ? ,求实数 t 的取值范围. 2 ?

集合 B ? ? x | | x ? t |?

? ?

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . 设函数 f ? x ? ? ?x ? 2x ? a
2

? 0 ? x ? 3 ? 的最大值为 m ,最小值为 n ,

其中 a ? 0 , a ? R .

n 的值(用 a 表示) (1)求 m 、 ;
(2)已知角 ? 的顶点与平面直角坐标系 xOy 中的原点 O 重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经过

点 A? m ?1, n ? 3? . 求 tan ? ? ?

? ?

??

? 的值. 3?

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足条件 2Sn ? 3(an ? 1) ,其中 n ? N . (1)求证:数列 ?an ? 成等比数列; (2)设数列 ?bn ? 满足 bn ? log3 an .若 tn ?
?

1 , 求数列 ? tn ? 的前 n 项和. bn bn ?1

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 在上海世博会期间, 某工厂生产 A , B , C 三种世博纪念品,每种纪念品均有精品型和普通型两种.某一天产 量如下表(单位:个): 纪念品 A 精品型 普通型 100 300 纪念品 B 150 450 纪念品 C

n
600

现采用分层抽样的方法在这一天生产的纪念品中抽取 200 个,其中有 A 种纪念品 40 个. (1) 求 n 的值; (2) 从 B 种精品型纪念品中抽取 5 个,其某种指标的数据分别如下:

x , y , 10 , 11 , 9 .把这 5 个数据看作一个总体, 其均值为 10、方差为 2,求 x ? y 的值;
(3) 用分层抽样的方法在 C 种纪念品中抽取一个容量为 5 的样本.将该样本看成一个总体,从中任取 2 个纪念品,求至少有 1 个精品型纪念品的概率.

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 给定椭圆 C : 随圆” . (1)若椭圆 C 过点

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

? a ? b ? 0?

,称圆心在坐标原点 O ,半径为 a 2 ? b2 的圆是椭圆 C 的“伴

?

5 , 0 ,且焦距为 4 ,求“伴随圆”的方程;

?

(2)如果直线 x ? y ? 3 2 与椭圆 C 的“伴随圆”有且只有一个交 点,那么请你画出动点 Q ? a , b ? 轨迹的大致图形;

F2 (3)已知椭圆 C 的两个焦点分别是 F1 ? 2 , 0 、

?

?

?

2 ,0 ,

?

椭圆 C 上一动点 M 1 满足 M1 F1 ? M1F 2 ? 2 3 .设点 P 是椭圆 C 的“伴随圆”上的动点,过点 P 作 直线 l1 、 l2 使得 l1 、 l2 与椭圆 C 都各只有一个交点,且 l1 、 l2 分别交其“伴随圆”于点 M 、N . 当 P 为“伴随圆”与 y 轴正半轴的交点时,求 l1 与 l2 的方程,并求线段 MN 的长度.

参考答案及评分标准
说明: 1. 本解答列出试题的一种或几种解法, 如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精 神进行评分. 2. 评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅. 当考生 的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响 程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半,如果有较严重的概念性错误,就 不给分. 3. 第 19 题至第 23 题中右端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数. 4. 给分或扣分均以 1 分为单位. 一、填空题 1.1;2.2;3. ? ?? , 0? ? ?1, ? ?? ;4.4;5. ? 10. ? 15 , ? 3 ? ? 3 , 3 ?

?

? ?

? ?

1 0 ;6. ? ;7. 10;8. 2;9. 30 ; 2 7 7 0 0 3 , 15 ;11. ?0 , 2? ;12.文 理? ;13. 15 或 75 24 25

?

14. 文 ?

x2 y 2 ?? ? ? 1; , arc tan 4 ? , 理 ? 10 6 ?4 ?

二、 选择题

15. C ;16. A ;17. B ; 18. C ;
三、 解答题

19.解法1: 由题意得,函数 f ? x ? ? a 所以, y ? f
?1

x ?1

? 2 ( a ? 0 且 a ? 1 )值域为 ? ?2 , ? ??

. . . . . . . . . .6分 ( x) 的定义域为 A ? ? ?2 , ? ?? .

又由 B ? ? x | | x ? t |?

? ?

1 1 1 ? , x ? R? 得 t ? ? x ? t ? 2 2 2 ? 1 ? ?2 , 即 2 t?? 5 2

. . . .8 分

A B ??

,?t ?

. . . . . . .11分

所以,实数 t 的取值范围为 ? ? ? ,? ? . . . . . . . . . . . . . . . . .12分 2

? ?

5? ?

解法2:由函数 f ? x ? ? a

x ?1

? 2 得 y ? f ?1 ( x) ? loga ? x ? 2? ?1 ( a ? 0 且 a ? 1 )

所以, y ? f ?1 ( x) 的定义域为 A ? ? ?2 , ? ? ? (以下解法同上) 20.解(1) 由题可得 f ? x ? ? ? ? x ? 1? ? 1 ? a
2

. . . . . . . . . . . .6分

而 0? x?3 . . . . .3分

所以, m ? f ?1? ? 1 ? a , n ? f ?3? ? a ? 3 . . . . . . . .6分 (2)文科 角 ? 终边经过点 A ? a , a ? ,则 tan ? ?

a ?1. . . . . . .10分 a

所以, tan ? ? ?

? ?

??

3 ? 1 ? 3 ? ?2 ? 3 . . . . .14分 ?? 3 ? 1 ? tan ? tan ? 1 ? 3 3

tan ? ? tan

?

理科 角 ? 终边经过点 A ? a , a ? . . . . . . . . . .7分 当 a ? 0 时, r ? a2 ? a2 ? 2a 则 sin ? ?

a 2 a 2 ? , cos ? ? ? 2 2 2a 2a

所以, sin ? ? ?

? ?

??

? ? sin ? cos ? cos ? sin ? 6? 6 6

?

?

2? 6 . . . . .10分 4

当 a ? 0 时, r ? a2 ? a2 ? ? 2a 则 sin ? ?

a 2 a 2 ?? , cos ? ? ?? 2 2 ? 2a ? 2a

所以, sin ? ? ?

? ?

??

? ? sin ? cos ? cos ? sin ? ? 6? 6 6

?

?

2? 6 . . . . .13分 4
. . . . . .14分

综上所述

2? 6 ?? 2? 6 ? 或 sin ? ? ? ? ? ? 4 6? 4 ?
3 (an ? an ?1 ) (n ? 2) 2

21. 解: (1)由题得 an ? S n ? S n ?1 ? 所以 an ? 3an?1 又 S1 ? 故有

. . . . . . .2分

an ? 3 ( n ? 2) . . . . . . . . . . .4分 an ?1

3 (a1 ? 1) ? a1 ,解得 a1 ? 3 , 2

所以 数列 { an } 成等比数列. . . . . . . . . . . . . . . . .6分 (2) 文科 由(1)得 an ? 3n ,则 bn ? log3 an ? log3 3n ? n . . . . . . . . . . . .8分

故有 tn ?

1 1 ? bnbn?1 n ? n ? 1? 1 1 1 1 . . . . . .10分 ? ? ??? ? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n ? n ? 1?

所以 t1 ? t2 ? t3 ? ??? ? tn ?

1 ? ?1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ?1 . . . . . .14分 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?. ?1 2 ? ? 2 3 ? ? 3 4 ? ? n n ?1 ?
? n . . . . . . . . . . . . . .16分 n ?1

理科

由(1)得 an ? 3n ,则 bn ? log3 an ? log3 3n ? n . . . . . . . . .8分 故有 cn ? anbn ? n 3n 设 Tn ? 1? 31 ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ????? ? n ?1? 3n?1 ? n ? 3n . . . . . .10分 3Tn ? 1? 32 ? 2 ? 33 ? 3? 34 ????? ? n ?1? 3n ? n ? 3n?1 .

则 ?2Tn ? (3 ? 3 ? 3 ? ??? ? 3 ) ? n ? 3
1 2 3 n

n ?1

?

3 ?1 ? 3n ? 1? 3

? n ? 3n?1

所以 Tn ?

? 2n ? 1? 3n?1 ? 3
4

. . . . . . . . . . . . . .14分

22. (1)解:设这一天生产的纪念品为 m ,

200 40 ? , ? m ? 2000 . . . . . . . . . . . . .2分 m 100 ? 300 所以 n ? 2000 ? 100 ? 300 ? 150 ? 450 ? 600 ? 400 . . . . . . . . . . .4分 1 (2)由题得 . . . . . .6分 ? x ? y ? 10 ? 11 ? 9 ? ? 10 则 x ? y ? 20 . 5 1 2 2 2 2 2 2 2 2 由于 ? x ? y ? 10 ? 11 ? 9 ? 5 ?10 ? ? 2 得 x ? y ? 208 .8分 5
由题意得,
2 2 从而 ? x ? y ? ? x ? y ? 2 xy , ? 2 xy ? 192 2

即 x? y ?

? x ? y?

2

. . . . .10分 ? x 2 ? y 2 ? 2xy ? 208 ? 192 ? 4 .

(3)设所抽样本中有 p 个精品型纪念品,则

400 p ? , 1000 5

? p ? 2 也就是抽取了2个精品型纪念品,3个普通型纪念品. . . .13分
所以,至少有 1 个精品型纪念品的概率为 (其他解法,参照给分)

C52 ? C32 7 . . . . . .16分 ? . C52 10

23. (1)解 由题意得:

? 5?
a2

2

02 ? 2 ? 1 ,则 a 2 ? 5 . . . . . . . . . .1分 b
2 2 2

又由焦距为 2c ? 4 ,所以 焦距为 b ? a ? c ? 1 . . . . . . .2分 故所求的“伴随圆”的方程为 x2 ? y 2 ? 6 . . . . . . . . . . . . .4分 (2)由于椭圆 C 的“伴随圆” x2 ? y 2 ? a2 ? b2 与直线 x ? y ? 3 2 有且只有一个交点, 则圆心到直线的距离等于半径, 即

0?0?3 2 1 ?1
2 2

? a 2 ? b2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .7分

故动点 Q ? a , b ? 轨迹方程为 a2 ? b2 ? 9

? a ? b ? 0?

即动点的轨迹是:以原点为圆心半径为3的圆上八分之一弧(除去两端点)如图. . . .10分 (3)由题意得: 2a ? 2 3 得 a ? 3 ,半焦距 c ? 2

x2 则 b ? 1 椭圆 C 的方程为 ? y 2 ? 1 “伴随圆”的方程为 x2 ? y2 ? 4 3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 分 文科 因为“伴随圆”的方程为 x2 ? y 2 ? 4 与 y 轴正半轴的交点 P ? 0 , 2? ,设过点 P ? 0 , 2? ,且与椭圆

有一个交点的直线为 y ? kx ? 2 ,

? y ? kx ? 2 ? 则 ? x2 2 ? ? y ?1 ?3

2 2 整理得 1 ? 3k x ? 12kx ? 9 ? 0 . . . . . . .14 分

?

?

2 2 所以 ? ? 144k ? 4 ? 9 1 ? 3k ? 0 ,解得 k ? ?1

?

?

所以 l1 , l2 的方程为 y ? x ? 2 , y ? ? x ? 2 . . . . . . . . . .16分 由于 l1 , l2 垂直,线段 MN 的长度为4. . . . . . . . . . .18分 理科 ①当 l1 , l2 中有一条无斜率时,不妨设 l1 无斜率, 因为 l1 与椭圆只有一个交点,则其方程为 x ? 3 或 x ? ? 3 ,

当 l1 方程为 x ? 3 时,此时 l1 与“伴随圆”交于点 此时经过点

?

3 ,1 ,

? ?

3 , ?1 ,

?

?

3 ,1 (或

?

?

3 , ?1 ) 且与椭圆只有一个公点的直线 y ? 1 (或 y ? ?1 ) , 即 l2 为 y ? 1 (或

?

y ? ?1 )显然直线 l1 , l2 垂直;
同理可证 l1 方程为 x ? ? 3 时 ,直线 l1 , l2 垂直,所以 MN ? 4 . . . . . .13 分 ②当 l1 , l2 都有斜时,设点 P x0 , y0 ,其中 x02 ? y02 ? 4 。设经过点 P x0 , y0 与椭圆为只有一共点

?

?

?

?

? y ? tx ? ? y0 ? tx0 ? ? 的直线为 y ? t ? x ? x0 ? ? y0 ,则 ? x 2 消去 y , 2 ? y ? 1 ? ?3
得 x ? 3? ?tx ? ? y0 ? tx0 ? ? ? ?3 ? 0
2 2
2 2 即 1 ? 3t x ? 6t ? y0 ? tx0 ? x ? 3 ? y0 ? tx0 ? ? 3 ? 0 2

?

?

2 2 2 ? ? ??? 6 t y ? tx ? ? ? 0 0 ? ? ? 4 ?1 ? 3t ? ?3 ? y0 ? tx0 ? ? 3? ? 0
2 2 2 经过化简得到: 3 ? x0 t ? 2 x0 y0t ? 1 ? y0 ? 0 2 2 2 因为 x02 ? y02 ? 4 ,所以有 3 ? x0 t ? 2 x0 y0t ? x0 ? 3 ? 0 . . . . . .16分

?

?

?

?

设 l1 , l2 的斜率分为 t1 , t2 ,因为 l1 , l2 与椭圆都有只有一个交点,
2 2 2 所以 t1 , t2 满足方程 3 ? x0 t ? 2 x0 y0t ? x0 ? 3 ? 0

?

?

所以 t1 t2 ? ?1 ,即 l1 , l2 垂直. 综合①②知:因为 l1 , l2 经过点 P x0 , y0 ,又分别交其“伴随圆”于点 M 、N ,且 l1 , l2 垂直,所 以线段 MN 为“伴随圆” x2 ? y 2 ? 4 的直径,所以 MN ? 4 . . . . .18分
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