吉林省长春市外国语学校2010高二下学期第一次月考(数学)


长春外国语学校 2009—2010 学年第二学期三月月考高二年级数学科试卷
考试时间:100 分钟 总分:120 分

一、选择题(每小题 4 分,共 48 分。请将答案填在答题卡的相应位置) 1.若 i 为虚数单位,则 (1 ? i)i ? ( A. 1 ? i B. 1 ? i 2. (理)下列值等于 1 的积分是( ) A. ) C. ? 1 ? i D. ? 1 ? i

? xdx
0
3

1

B.

?

1

0

( x ? 1)dx

C. 1dx
0

?

1

D.

?

1 dx 0 2
1

(文)曲线 y=x +x-2 (x>0)在点 P0 处的切线平行于直线 y=4x-1,则点 P0 点的坐标是( ) A.(0,1) B.(1,0) C.(-1,0) D.(1,4)

3.设 a, b, c, d ? R ,则复数 (a ? bi)(c ? di) 为实数的充要条件是( ) A. ad ? bc ? 0 4. y ? ? B. ac ? bd ? 0 C. ac ? bd ? 0 ) C . y=4x+4 D.y=2x-4 D. ad ? bc ? 0

1 1 在( ,-2)处的切线方程是( x 2
B .y=4x-4
2

A .y=4x

5.(理)设 P 为曲线 C: y ? x ? 2 x ? 3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围是

? ?? ?0, 4 ? ,则 P 点横坐标的取值范围为( ? ?
A. ? ? 1,? ? 2



? ?

1? ?

B. ?? 1,0?

C. ?0,1?

D. ? ,1? ?2 ?

?1 ?

(文) f ( x ) 与 g ( x) 是定义在 R 上的两个可导函数, f ( x ) 与 g ( x) 满足 f ?( x) ? g ?( x) , 若 则 f ( x ) 与 g ( x) 满足( ) A. f ( x) ? g ( x) C. f ( x) ? g ( x) ? 0 B. f ( x) ? g ( x) 为常数函数 D. f ( x) ? g ( x) 为常数函数 )

6.若函数 f(x)= x 3 -3bx+3b 在(0,1)内有极小值,则( ? A.0<b<1
2 2

B.b<1

C.b>0

D.b< 1

2

7.若复数(m -3m-4)+(m -5m-6) i 是虚数,则实数 m 满足( ) A.m≠-1 B.m≠6 C. m≠-1 或 m≠6 D. m≠-1 且 m≠6 8. 函数 f ( x) ? x ? 3x ? 1是减函数的区间为(
3 2



A. (2,??)

B. (??,2)

C. (??,0)

D. (0,2) ) D. a ? 0 且

9. (理) 函数 f ( x) ? ax2 ? b 在区间 (??, 0) 内是减函数,则 a , b 应满足( A. a ? 0 且 b ? 0 B. a ? 0 且 b ? R C. a ? 0 且 b ? 0

b? R
(文)下列求导运算正确的是( ) A.(x+ ) ? ? 1 ?
x x

1 x

1 x2

B.(log2x)′=
2

1 x ln 2
) D2

C.(3 )′=3 log3e 10. (理) 曲线 y ? cos x (0 ? x ? A.4 B.

D.(x cosx)′=-2xsinx

3? ) 与坐标轴围成的面积是( 2
C.3

5 2

(文)曲线 y ? x 3 在点(1,1)处的切线与 x 轴、直线 x ? 2 所围成的三角形的 面积为( ) A.3/8 B8/3 C.3/4 D.2/3 11.(理) i 表示虚数单位,则 i 1 ? i 2 ? i 3 ? ? ? i 2008 的值是( A.0 B.1 C. i D. ? i )

(文)设 O 是原点,向量 OA, OB 对应的复数分别为 2 ? 3i , ? 3 ? 2i ,那么向量 BA 对应的 复( ) A. 5 ? 5i B. ? 5 ? 5i C. 5 ? 5i D. ? 5 ? 5i

12. (理)函数 y=f(x)的图象过原点且它的导函数 g= f ?(x) 的图象是如图所示的一条

直线,则 y=f(x)图象的顶点( ) A.第一象限 B.第二象限? C.第三象限 D.第四象限?
(文) .函数 y= x ? 3x ? 2 在[0,3]上的最大值与最小值分别是(
2



A. ?

1 ,2 4

B.0 , 4

C. 0, 2

D.1 , 3

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分。请将答案填在答题卡的相应位置) 13.若 z ? C 且 | z |? 1 ,则 | z ? i | 的最小值是 14.若 f ( x) ? x , f ( x0 ) ? 3 ,则 x0 的值为_________________;
3 '

15. 曲线 y=2x3-3x2 共有____个极值. 16.实数 x、y 满足(1–i)x+(1+i)y=2,则 xy 的值是 .

三、解答题: (满分 56 分,请写出详细的解答或证明过程,请将答案填在答题卡的相应 位置。 ) 17、(10 分)已知函数 f ?x? ? ax3 ? bx2 ? 2 x 在 x ? ?2, x ? 1处取得极值. ①求函数 f (x) 的解析式; ②求函数 f (x) 的单调区间.

18.(10 分)已知复数 Z ?

?1 ? i ?2 ? 3(1 ? i)
2?i

, 若 Z 2 ? aZ ? b ? 1 ? i, 求实数 a , b 的值

19.(12 分)有一边长分别为 8 与 5 的长方形,在各角剪去相同的小正方形,把四边折起作成 一个无盖小盒,要使纸盒的容积最大,问剪去的小正方形的边长应为多少? 20.(12 分)已知函数 f ( x) ? 4x 3 ? ax2 ? bx ? 5 的图像在 x ? 1 处的切线方程为 y ? ?12x , 且 f (1) ? ?12 , ①求函数 f ( x ) 的解析式; ②求函数 f ( x ) 在[-3,1]上的最值.

21.(12 分) (文)设函数 f ( x) ? 2x ? 3(a ? 1) x ? 6ax ? 8 ,其中 a ? R .
3 2

①若 f ( x ) 在 x ? 3 处取得极值,求常数 a 的值; ②若 f ( x ) 在 (??, 0) 上为增函数,求 a 的取值范围 (理)设函数 f ?x ? ? x ? 6 x ? 5, x ? R
3

①求函数 f (x) 的单调区间和极值; ②已知当 x ? ?1,??? 时, f ( x) ? k ?x ? 1? 恒成立,求实数 k 的取值范围.

长春外国语学校 2009—20010 学年第二学期 3 月月考高二年级数学科试卷


1 答 案 2 3 4 5


6


7 8

一. 选择题(每小题 4 分,本题 48 分)

总分
9 10 11 12

二. 填空题(每小题 4 分,本题 16 分)

学号

13.

14。

15.

16。

三.解答题(本题 56 分) 17. (本小题 10 分)

18. (本小题 10 分) .

19. (本小题 12 分)

20. (本小题 12 分) .

21. (本小题 12 分) .

3 月月考高二数学试卷参考答案
一、选择题 1.C 2.(理)C (文)B 3.D 4.B 5. (理) A. (文)B 6.A 7.D 8.D 9. (理)B (文)B 10. (理)C (文) B 11. (理)A (文)A 12. (理)A (文)A 二、填空题 13. 1 14. 1,—1 15. 2 16. 1 三、解答题 17.解: (1) f ?x? ? ax ? bx ? 2 x
3 2

f ' ?x? ? 3ax2 ? 2bx ? 2 由题意知 f ' ?? 2? ? 0
所以 f ? x ? ?

f ' ?1? ? 0

则a ?

1 1 ,b ? 3 2

1 3 1 2 x ? x ? 2x 3 2
单调增区间 ?? 2,1?

(2)单调减区间 ?? ?,?2?, ?1,??? 18. 解: Z ?

? 2i ? 3 ? 3i 3 ? i ? ? 1? i 2?i 2?i

2 则得 (1 ? i) ? a(1 ? i) ? b ? 1 ? i; 即 a ? b ? (2 ? a)i ? 1 ? i

解得 a ? ?3; b ? 4 19. 解:设剪去的小正方形边长为 x,根据题意得

V ? ?8 ? 2 x ??5 ? 2 x ?x

5? ? ?0 ? x ? ? 2? ?

令 V ' ?x ? ? 0

解得 x ? 1

20.解: (1) f ?x? ? 4x 3 ? ax2 ? bx ? 5

f ' ?x? ? 12x 2 ? 2ax ? b 由 f ' ?1? ? ?12 f ?1? ? ?12得 a ? ?3, b ? ?18
所以 f ?x ? ? 4 x 3 ? 3x 2 ? 18x ? 5 (2)最大值 f ?? 1? ? 16 最小值 f ?? 3? ? ?76

21.(文)解: (Ⅰ) f ?( x) ? 6x 2 ? 6(a ? 1) x ? 6a ? 6( x ? a)(x ? 1). 因 f ( x)在x ? 3 取得极值, 所以 f ?(3) ? 6(3 ? a)(3 ? 1) ? 0. 解得 a ? 3.

经检验知当 a ? 3时, x ? 3为f ( x) 为极值点. 数学驿站 www.maths168.com (Ⅱ)令 f ?( x) ? 6( x ? a)(x ? 1) ? 0得x1 ? a, x2 ? 1.

时 当 a ? 1 , 若x ? (??, a) ? (1,??),则f ?( x) ? 0, 所以f ( x)在(??, a) 和 (1,??) 上
为增

时 函数,故当 0 ? a ? 1 , f ( x)在(??,0) 上为增函数. 时 当 a ? 1 , 若x ? (??,1) ? (a,??),则f ?( x) ? 0, 所以f ( x)在(??,1)和(a,??) 上为
增函 数,从而 f ( x)在(??,0] 上也为增函数. 综上所述,当 a ? [0,??)时, f ( x)在(??,0) 上为增函数. (理)解: (1) f ' ?x ? ? 3x 2 ? 6 单调增区间 ? ?,? 2 , 令 f ' ?x ? ? 0 解得 x1 ? ? 2, x2 ?

2

?

??

2 ,??

?
?

单调减区间 ? 2 , 2

?

?

极大值 f ? 2 ? 5 ? 4 2

?

?

极小值 f

? 2? ? 5 ? 4
?

2

2 (2) f ( x) ? k ( x ? 1) ,即 ?x ? 1? x ? x ? 5 ? k ?x ? 1?
2 因为 x ? 1 ,所以 k ? x ? x ? 5 在 ?1,??? 上恒成立。

则 k 的取值范围是 k ? ?3


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