【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第7篇 第7节 立体几何中的向量方法课时训练 理
【导与练】（新课标）2016 届高三数学一轮复习 第 7 篇 第 7 节 立 体几何中的向量方法课时训练 理
【选题明细表】 知识点、方法 利用向量证明空间线面位置关系 利用空间向量求空间角 利用空间向量求距离 利用空间向量解决综合性问题 题号 1、3、5、7、13 2、4、6、8 9 10、11、12、14、15
基础过关 一、选择题 1.若直线 l 的方向向量为 a,平面α 的法向量为 n,有可能使 l∥α 的是( D ) (A)a=(1,0,0),n=(-2,0,0) (B)a=(1,3,5),n=(1,0,1) (C)a=(0,2,1),n=(-1,0,-1) (D)a=(1,-1,3),n=(0,3,1) 解析:若 l∥α ,则 a·n=0. 而选项 A 中 a·n=-2. 选项 B 中 a·n=1+5=6. 选项 C 中 a·n=-1, 选项 D 中 a·n=-3+3=0, 故选 D.
2.(2014 海南海口模拟)在空间中,已知 角θ 的大小为
=(2,4,0),
=(-1,3,0),则异面直线 AB 与 DC 所成
(
A )
1
(A)45° (B)90° (C)120°
(D)135°
解析:
=(2,4,0),
=(-1,3,0),
cos<
,
>=
=
= .
∴<
,
>=45°.
即 AB 与 DC 所成的角为 45°. 3.(2014 陕西西安模拟)如图所示,正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 a,M、N 分别为 A1B 和 AC 上 的点,A1M=AN= a,则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是( B )
(A)相交 (B)平行 (C)垂直 (D)不能确定 解析:分别以 C1B1、C1D1、C1C 所在直线为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示.
∵A1M=AN= a,
∴M(a, a, ),N( a, a,a),
∴
=(- ,0, a).
又 C1(0,0,0),D1(0,a,0),
2
∴
=(0,a,0),
∴
·
=0,
∴
⊥
.
∵
是平面 BB1C1C 的法向量,且 MN?平面 BB1C1C,
∴MN∥平面 BB1C1C. 4.(2014 山东潍坊模拟)正三棱柱 ABC A1B1C1 中,AB=AA1,则 AC1 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值 为( (A) C ) (B) (C) (D)
解析:建立如图所示的空间直角坐标系,
设 AB=2,则 C1(
,1,0),A(0,0,2),
=(
,1,-2),
平面 BB1C1C 的一个法向量为 n=(1,0,0), 所以 AC1 与平面 BB1C1C 所成的角的正弦值为 = = .
5.如图所示,在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,O 是底面正方形 ABCD 的中心,M 是 D1D 的中点,N 是 A1B1 的中点,则直线 NO、AM 的位置关系是( C )
(A)平行
3
(B)相交 (C)异面垂直 (D)异面不垂直 解析:建立坐标系如图,设正方体的棱长为 2,则
A(2,0,0),M(0,0,1),O(1,1,0),N(2,1,2), 线 NO、AM 的位置关系是异面垂直.
=(-1,0,-2),
=(-2,0,1),
·
=0,则直
6.(2014 大连模拟)在四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥平面 ABCD,AB=PD=a. 点 E 为侧棱 PC 的中点,又作 DF⊥PB 交 PB 于点 F.则 PB 与平面 EFD 所成角为( D (A)30° (B)45° (C)60° (D)90° 解析:建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz,D 为坐标原点. )
则 P(0,0,a),B(a,a,0),
=(a,a,-a),
又
=(0, , ),
·
=0+ - =0,
所以 PB⊥DE, 由已知 DF⊥PB,且 DF∩DE=D, 所以 PB⊥平面 EFD,
4
所以 PB 与平面 EFD 所成角为 90°. 二、填空题 7.(2014 大庆模拟)已知平面α 和平面β 的法向量分别为 a=(1,1,2),b=(x,-2,3),且α ⊥β , 则 x= .
解析:由题意得 a·b=x-2+6=0, ∴x=-4. 答案:-4 8.等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 有一公共边 AB,二面角 C AB D 的余弦值为 ,M、N 分别是 AC、BC 的中点,则 EM、AN 所成角的余弦值等于 .
解析:过 C 点作 CO⊥平面 ABDE,垂足为 O,取 AB 中点 F,连接 CF、 OF,则∠CFO 为二面角 C AB D 的平面角, 设 AB=1,则 CF= ,
OF=CF·cos∠CFO= ,
OC= , 则 O 为正方形 ABDE 的中心, 如图所示建立直角坐标系 Oxyz, 则E ,
M
,
A
,N
,
5
=
,
=
,
cos<
,
>=
= .
答案: 9.如图所示,正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1,E 是 A1B1 上的点,则点 E 到平面 ABC1D1 的距离 是 .
解析:法一 以点 D 为坐标原点,DA,DC,DD1 所在直线为 x,y,z 轴,建立如图所示空间直角坐标 系, 设点 E(1,a,1)(0≤a≤1), 连接 D1E,
则
=(1,a,0).
连接 A1D,易知 A1D⊥平面 ABC1D1,
则
=(1,0,1)为平面 ABC1D1 的一个法向量.
∴点 E 到平面 ABC1D1 的距离是 d= 法二 点 E 到平面 ABC1D1 的距离,
= .
6
即 B1 到 BC1 的距离, 易得点 B1 到 BC1 的距离为 .
答案: 三、解答题 10.(2014 高考辽宁卷)如图,△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直,且 AB=BC=BD=2,∠ABC=∠ DBC=120°,E、F 分别为 AC、DC 的中点.
(1)求证:EF⊥BC; (2)求二面角 E BF C 的正弦值. (1)证明:法一 过 E 作 EO⊥BC,垂足为 O,连 OF.
由△ABC≌△DBC 可证出△EOC≌△FOC. 所以∠EOC=∠FOC= , 即 FO⊥BC. 又 EO⊥BC, 因此 BC⊥平面 EFO, 又 EF? 平面 EFO, 所以 EF⊥BC. 法二 由题意,以 B 为坐标原点,在平面 DBC 内过 B 作垂直 BC 的直线为 x 轴,BC 所在直线为 y 轴,在平面 ABC 内过 B 作垂直 BC 的直线为 z 轴,建立如图 2 所示空间直角坐标系.
7
易得 B(0,0,0),A(0,-1, D( ,-1,0),C(0,2,0).
),
因而 E(0, , ),F( , ,0),
所以
=( ,0,- ),
=(0,2,0),
因此
·
=0.
从而
⊥
,
所以 EF⊥BC. (2)解:法一 在图 1 中,过 O 作 OG⊥BF,垂足为 G,连 EG. 由平面 ABC⊥平面 BDC, 从而 EO⊥平面 BDC, 又 OG⊥BF, 由三垂线定理知 EG⊥BF. 因此∠EGO 为二面角 E BF C 的平面角. 在△EOC 中,EO= EC= BC·cos 30°= ,
由△BGO∽△BFC 知,OG= ·FC= ,
因此 tan∠EGO= =2,
从而 sin∠EGO=
,
8
即二面角 E BF C 的正弦值为
.
法二 在图 2 中,平面 BFC 的一个法向量为 n1=(0,0,1). 设平面 BEF 的法向量为 n2=(x,y,z), 又 =( , ,0), =(0, , ).
由
得其中一个 n2=(1,-
,1).
设二面角 E BF C 的大小为θ , 且由题意知θ 为锐角, 则 cos θ =|cos<n1,n2>=| |= ,
因此 sin θ = =
,
即所求二面角的正弦值为
.
11.(2014 河北石家庄二模)如图,在三棱锥 P ABC 中,PA⊥底面 ABC,AC⊥BC,H 为 PC 的中点,M 为 AH 的中点,PA=AC=2,BC=1.
(1)求证:AH⊥平面 PBC; (2)求 PM 与平面 AHB 成角的正弦值; (3)设点 N 在线段 PB 上,且 =λ ,MN∥平面 ABC,求实数λ 的值. (1)证明:因为 PA⊥底面 ABC,BD? 底面 ABC, 所以 PA⊥BC, 又因为 AC⊥BC,PA∩AC=A,
9
所以 BC⊥平面 PAC, 又因为 AH? 平面 PAC, 所以 BC⊥AH. 因为 PA=AC,H 是 PC 中点, 所以 AH⊥PC, 又因为 PC∩BC=C, 所以 AH⊥平面 PBC. (2)解:在平面 ABC 中,过点 A 作 AD∥BC, 因为 BC⊥平面 PAC, 所以 AD⊥平面 PAC, 又 PA⊥底面 ABC,得 PA,AC,AD 两两垂直, 所以以 A 为原点,AD,AC,AP 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系 则 A(0,0,0),P(0,0,2),B(1,2,0),C(0,2,0),H(0,1,1),M(0, , ). 设平面 AHB 的法向量为 n=(x,y,z),
=(0,1,1),
=(1,2,0),
由
得 令 z=1,得 n=(2,-1,1). 设 PM 与平面 AHB 所成角为θ , 因为 =(0, ,- ),
所以 sin θ =|cos<
,n>|
=|
|
10
=|
|
即 sin θ =
.
(3)解:因为
=(1,2,-2),
=λ
,
所以
=(λ ,2λ ,-2λ ),
又因为
=(0, ,- ),
所以
=
-
=(λ ,2λ - , -2λ ).
因为 MN∥平面 ABC,平面 ABC 的一个法向量
=(0,0,2),
所以
·
=3-4λ =0,
解得λ = . 能力提升 12.(2014 吉林长春模拟)将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 A BD C,则下面结论错误 的为( C ) (A)AC⊥BD (B)△ACD 是等边三角形 (C)AB 与平面 BCD 所成的角为 60°
11
(D)AB 与 CD 所成的角为 60° 解析:取 BD 中点 O,连接 AO、CO,
则 AO⊥BD,CO⊥BD, ∴BD⊥平面 AOC, ∴AC⊥BD, 又 AC= AO=AD=CD,
∴△ACD 是等边三角形, 而∠ABD 是 AB 与平面 BCD 所成的角,应为 45°.
又
=
+
+
(设 AB=a),
则 a =a +2a +a +2·a·
2
2
2
2
a·(- )+2a·
a·(- )+2a cos<
2
,
>,
∴cos<
,
>= ,
∴AB 与 CD 所成的角为 60°. 13.空间中两个有一条公共边 AD 的正方形 ABCD 与 ADEF,设 M,N 分别是 BD,AE 的中点,给出如 下命题:①AD⊥MN;②MN∥平面 CDE;③MN∥CE;④MN,CE 异面. 则所有的正确命题为 .
12
解析:如图,设
=a、
=b、
=c,则
a·b=c·b=0.
=
-
= (b+c)- (a+b)= (c-a),
·
= (c-a)·b= (c·b-a·b)=0,
故 AD⊥MN; 答案:①②③
=c-a=2
,故 MN∥CE,故 MN∥平面 CDE,故②③正确;③正确时④一定不正确.
14.如图,在长方体 ABCD A1B1C1D1 中,AD=AA1=1,AB=2,点 E 在棱 AB 上.
(1)求异面直线 D1E 与 A1D 所成的角; (2)若二面角 D1 EC D 的大小为 45°,求点 B 到平面 D1EC 的距离. 解:建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)由 A1(1,0,1),得
=(1,0,1),
设 E(1,a,0),又 D1(0,0,1),则
=(1,a,-1).
∵
·
=1+0-1=0,
∴
⊥
,
则异面直线 D1E 与 A1D 所成的角为 90°. (2)m=(0,0,1)为平面 DEC 的一个法向量, 设 n=(x,y,z)为平面 CED1 的法向量,则
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cos<m,n>=
=
=cos 45° = , ∴z =x +y ,①
2 2 2
由 C(0,2,0),得
=(0,2,-1),
则 n⊥
,
即 n·
=0,
∴2y-z=0,② 由①、②,可取 n=( ,1,2),
又
=(1,0,0),
所以点 B 到平面 D1EC 的距离 d= = = . 探究创新 15.(2014 高考江西卷)如图,四棱锥 P ABCD 中,ABCD 为矩形,平面 PAD⊥平面 ABCD.
(1)求证:AB⊥PD; (2)若∠BPC=90°,PB= ,PC=2,问 AB 为何值时,四棱锥 P ABCD 的体积最大?并求此时平面
BPC 与平面 DPC 夹角的余弦值.
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(1)证明:ABCD 为矩形,故 AB⊥AD; 又平面 PAD⊥平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD, 所以 AB⊥平面 PAD,故 AB⊥PD.
(2)解:过 P 作 AD 的垂线,垂足为 O,过 O 作 BC 的垂线,垂足为 G, 连接 PG. 故 PO⊥平面 ABCD,BC⊥平面 POG,BC⊥PG, 在 Rt△BPC 中,PG= 设 AB=m, 则 OP= = , ,GC= ,BG= .
故四棱锥 P ABCD 的体积为 V= · ·m· = .
因为 m
=
=
,
故当 m= ,
即 AB= 时,四棱锥 P ABCD 的体积最大. 此时,建立如图所示的坐标系,各点的坐标为 O(0,0,0), B( ,- ,0),
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C( ,
,0),D(0,
,0),P(0,0, ).
故
=( ,
,- ),
=(0,
,0),
=(- ,0,0),
设平面 BPC 的一个法向量 n1=(x,y,1),
则由 n1⊥
,n1⊥
得
解得 x=1,y=0,n1=(1,0,1). 同理可求出平面 DPC 的一个法向量 n2=(0, ,1). 从而平面 BPC 与平面 DPC 夹角θ 的余弦值为 cos θ =
=
=
.
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