【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案:学案52 双曲线


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学案 52

双曲线

导学目标: 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它们的简单几何性质.2. 理解数形结合的思想.

自主梳理 1.双曲线的概念 平面内动点 P 与两个定点 F1、F2(|F1F2|=2c>0)的距离之差的绝对值为常数 2a(2a<2c), 则点 P 的轨迹叫________.这两个定点叫双曲线的________,两焦点间的距离叫________. 集合 P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中 a、c 为常数且 a>0,c>0; (1)当________时,P 点的轨迹是________; (2)当________时,P 点的轨迹是________; (3)当________时,P 点不存在. 2.双曲线的标准方程和几何性质 x2 y2 y2 x2 标准方程 - =1(a>0,b>0) 2- 2=1(a>0,b>0) a b a2 b2

图形

x≥a 或 x≤-a,y∈R x∈R,y≤-a 或 y≥a 对称轴:坐标轴 对称轴:坐标轴 对称性 对称中心:原点 对称中心:原点 顶点坐标: 顶点坐标: 顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) b a 性质 渐近线 y=± x y=± x a b c 2 2 离心率 e= ,e∈(1,+∞),其中 c= a +b a 线段 A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段 B1B2 叫 实虚轴 做双曲线的虚轴, 它的长|B1B2|=2b; a 叫做双曲线的实半轴长, b 叫做双曲线的虚半轴长 a、b、c 的关系 c2=a2+b2 (c>a>0,c>b>0) 3.实轴长和虚轴长相等的双曲线为________________,其渐近线方程为________,离心 率为________. 自我检测 1.(2011· 安徽)双曲线 2x2-y2=8 的实轴长是( ) A.2 B.2 2 C.4 D.4 2 x2 y2 2.已知双曲线 - 2=1 (b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,其中一条渐近线方程为 y 2 b → → =x,点 P( 3,y0)在该双曲线上,则PF1· PF2等于( ) A.-12 B.-2 C.0 D.4
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范围

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3.(2011· 课标全国)设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.2 D.3 4 . (2011· 武汉调研 ) 已知点 (m , n) 在双曲线 8x2 - 3y2 = 24 上,则 2m + 4 的范围是 __________________. x2 y2 5. 已知 A(1,4), F 是双曲线 - =1 的左焦点, P 是双曲线右支上的动点, 求|PF|+|PA| 4 12 的最小值.

探究点一 双曲线的定义及应用 例 1 已知定点 A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以 C 为一个焦点作过 A,B 的椭圆,求 另一焦点 F 的轨迹方程.

变式迁移 1 已知动圆 M 与圆 C1:(x+4)2+y2=2 外切,与圆 C2:(x-4)2+y2=2 内切, 求动圆圆心 M 的轨迹方程.

探究点二 求双曲线的标准方程 例 2 已知双曲线的一条渐近线方程是 x-2y=0,且过点 P(4,3),求双曲线的标准方 程.

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变式迁移 2

x2 y2 (2011· 安庆模拟)已知双曲线与椭圆 + =1 的焦点相同,且它们的离心 9 25

14 率之和等于 ,则双曲线的方程为____________. 5 探究点三 双曲线几何性质的应用 例 3 已知双曲线的方程是 16x2-9y2=144. (1)求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程; (2)设 F1 和 F2 是双曲线的左、右焦点,点 P 在双曲线上,且|PF1|· |PF2|=32,求∠F1PF2 的大小.

x2 2 变式迁移 3 已知双曲线 C: -y =1. 2 (1)求双曲线 C 的渐近线方程; (2)已知 M 点坐标为(0,1),设 P 是双曲线 C 上的点,Q 是点 P 关于原点的对称点.记 λ → → =MP· MQ,求 λ 的取值范围.

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方程思想的应用 x2 y2 例 (12 分)过双曲线 - =1 的右焦点 F2 且倾斜角为 30° 的直线交双曲线于 A、B 两 3 6 点,O 为坐标原点,F1 为左焦点. (1)求|AB|; (2)求△AOB 的面积; (3)求证:|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|. 多角度审题 (1)要求弦长|AB|需要 A、 B 两点坐标或设而不求利用弦长公式, 这就需要 先求直线 AB;(2)在(1)的基础上只要求点到直线的距离;(3)要充分联想到 A、B 两点在双曲 线上这个条件. 【答题模板】 (1)解 由双曲线的方程得 a= 3,b= 6, ∴c= a2+b2=3,F1(-3,0),F2(3,0). 3 直线 AB 的方程为 y= (x-3).设 A(x1,y1),B(x2,y2), 3

?y= 33?x-3? 由? x y ? 3 - 6 =1
2 2

,得 5x2+6x-27=0.[2 分]

6 27 ∴x1+x2=- ,x1x2=- , 5 5 ∴ |AB| = 1+k2 |x1 - x2| = 分] (2)解 直线 AB 的方程变形为 3x-3y-3 3=0. |-3 3| 3 ∴原点 O 到直线 AB 的距离为 d= = .[6 分] 2 2 ? 3? +?-3? 2 1 1 16 3 3 12 3 ∴S△AOB= |AB|· d= × × = .[8 分] 2 2 5 2 5 (3)证明 1+? 3?2 · ?x1+x2?2-4x1x2 = ?3? 4 · 3 36 108 16 3 + = .[4 25 5 5

如图,由双曲线的定义得 |AF2|-|AF1|=2 3, |BF1|-|BF2|=2 3,[10 分] ∴|AF2|-|AF1|=|BF1|-|BF2|, 即|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|.[12 分] 【突破思维障碍】 写出直线方程,联立直线方程、双曲线方程,消元得关于 x 的一元二次方程,利用弦长 公式求|AB|, 再求点 O 到直线 AB 的距离从而求面积, 最后利用双曲线的定义求证等式成立. 【易错点剖析】 在直线和双曲线相交的情况下解题时易忽视消元后的一元二次方程的判别式 Δ>0, 而导 致错解. 1.区分双曲线中的 a,b,c 大小关系与椭圆中 a,b,c 的大小关系,在椭圆中 a2=b2
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+c ,而在双曲线中 c =a +b ;双曲线的离心率大于 1,而椭圆的离心率 e∈(0,1). x2 y2 b y2 x2 2.双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的渐近线方程是 y=± x, 2- 2=1 (a>0,b>0)的渐近 a b a a b a 线方程是 y=± x. b 3.双曲线标准方程的求法:(1)定义法,根据题目的条件,判断是否满足双曲线的定义, 若满足,求出相应的 a、b、c,即可求得方程.(2)待定系数法,其步骤是:①定位:确 定双曲线的焦点在哪个坐标轴上;②设方程:根据焦点的位置设出相应的双曲线方程; ③定值:根据题目条件确定相关的系数.

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(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.已知 M(-2,0)、N(2,0),|PM|-|PN|=3,则动点 P 的轨迹是( ) A.双曲线 B.双曲线左边一支 C.双曲线右边一支 D.一条射线 x2 y2 2.设点 P 在双曲线 - =1 上,若 F1、F2 为双曲线的两个焦点,且|PF1|∶|PF2|=1∶ 9 16 3,则△F1PF2 的周长等于( ) A.22 B.16 C.14 D.12 x2 y2 3.(2011· 宁波高三调研)过双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的右焦点 F 作圆 x2+y2=a2 的切 a b 线 FM(切点为 M),交 y 轴于点 P.若 M 为线段 FP 的中点,则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.2 D. 5 x2 y2 4.双曲线 2- 2=1 的左焦点为 F1,左、右顶点分别为 A1、A2,P 是双曲线右支上的 a b 一点,则分别以 PF1 和 A1A2 为直径的两圆的位置关系是( ) A.相交 B.相离 C.相切 D.内含 x2 y2 5.(2011· 山东)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆 C:x2+y2-6x+5 a b =0 相切,且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为( ) x2 y2 x2 y2 A. - =1 B. - =1 5 4 4 5 2 2 x y x2 y2 C. - =1 D. - =1 3 6 6 3 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) y2 x2 6. (2011· 上海)设 m 是常数, 若点 F(0,5)是双曲线 - =1 的一个焦点, 则 m=________. m 9 2 2 x y 7.设圆过双曲线 - =1 的一个顶点和一个焦点,圆心在此双曲线上,则此圆心到双 9 16 曲线中心的距离为______. 8.(2011· 铜陵期末)已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中, 有一个内角为 60° ,则双曲线 C 的离心率为________. 三、解答题(共 38 分) 9.(12 分)根据下列条件,求双曲线方程: x2 y2 (1)与双曲线 - =1 有共同的渐近线,且经过点(-3,2 3); 9 16 x2 y2 (2)与双曲线 - =1 有公共焦点,且过点(3 2,2). 16 4
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10.(12 分)(2011· 广东)设圆 C 与两圆(x+ 5)2+y2=4,(x- 5)2+y2=4 中的一个内切, 另一个外切. (1)求圆 C 的圆心轨迹 L 的方程; 3 5 4 5 (2)已知点 M( , ),F( 5,0),且 P 为 L 上动点,求||MP|-|FP||的最大值及此时 5 5 点 P 的坐标. 1 11.(14 分)(2010· 四川)已知定点 A(-1,0),F(2,0),定直线 l:x= ,不在 x 轴上的动点 2 P 与点 F 的距离是它到直线 l 的距离的 2 倍.设点 P 的轨迹为 E,过点 F 的直线交 E 于 B、 C 两点,直线 AB、AC 分别交 l 于点 M、N. (1)求 E 的方程; (2)试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F,并说明理由.

学案 52
自主梳理 1.双曲线 焦点 焦距 y=± x e= 2 自我检测

双曲线

(1)a<c 双曲线 (2)a=c 两条射线 (3)a>c 3.等轴双曲线

x2 y2 1.C [∵2x2-y2=8,∴ - =1, 4 8 ∴a=2,∴2a=4.] 2.C

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x y 3.B [设双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0),由于直线 l 过双曲线的焦点且与 a b x2 y2 c2 b4 对称轴垂直,因此直线 l 的方程为 l:x=c 或 x=-c,代入 2- 2=1 得 y2=b2( 2-1)= 2, a b a a b2 2b2 2b2 ∴y=± ,故|AB|= ,依题意 =4a, a a a 2 2 2 c -a b ∴ 2=2,∴ 2 =e2-1=2,∴e= 3.] a a 4.(-∞,4-2 3]∪[4+2 3,+∞) 5.解 设双曲线的右焦点为 F1,则由双曲线的定义可知 |PF|=2a+|PF1|=4+|PF1|, ∴|PF|+|PA|=4+|PF1|+|PA|. ∴当满足|PF1|+|PA|最小时,|PF|+|PA|最小. 由双曲线的图象可知当点 A、P、F1 共线时,满足|PF1|+|PA|最小,易求得最小值为|AF1| =5, 故所求最小值为 9. 课堂活动区 例 1 解题导引 求曲线的轨迹方程时,应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型, 从而再用待定系数法求出轨迹的方程,这样可以减少运算量,提高解题速度与质量.在运用 双曲线的定义时,应特别注意定义中的条件“差的绝对值”,弄清所求轨迹是整条双曲线, 还是双曲线的一支,若是一支,是哪一支,以确保轨迹的纯粹性和完备性. 解 设 F(x,y)为轨迹上的任意一点, 因为 A,B 两点在以 C,F 为焦点的椭圆上, 所以|FA|+|CA|=2a,|FB|+|CB|=2a (其中 a 表示椭圆的长半轴). 所以|FA|+|CA|=|FB|+|CB|. 所以|FA|-|FB|=|CB|-|CA|= 122+92- 122+52=2. 所以|FA|-|FB|=2. 由双曲线的定义知,F 点在以 A,B 为焦点,2 为实轴长的双曲线的下半支上. x2 所以点 F 的轨迹方程是 y2- =1 (y≤-1). 48 变式迁移 1 解

2

2

设动圆 M 的半径为 r,则由已知得,|MC1|=r+ 2, |MC2|=r- 2, ∴|MC1|-|MC2|=2 2, 又 C1(-4,0),C2(4,0), ∴|C1C2|=8.∴2 2<|C1C2|. 根据双曲线定义知,点 M 的轨迹是以 C1(-4,0)、C2(4,0)为焦点的双曲线的右支. ∵a= 2,c=4,∴b2=c2-a2=14. x2 y2 ∴点 M 的轨迹方程是 - =1 (x≥ 2). 2 14 例 2 解题导引 根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程,一般用待定系数法转化 为解方程(组),但要注意焦点的位置,从而正确选取方程的形式,当焦点不能定位时,则应
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分两种情况讨论.解决本题的方法有两种:一先定位,避免了讨论;二利用其渐近线的双曲 x2 y2 线系,同样避免了对双曲线方程类型的讨论.在共渐近线的双曲线系 2- 2=λ (参数 λ≠0) a b 中,当 λ>0 时,焦点在 x 轴上;当 λ<0 时,焦点在 y 轴上. 解 方法一 ∵双曲线的一条渐近线方程为 x-2y=0, 当 x=4 时,y=2<yp=3, ∴双曲线的焦点在 y 轴上. a 1 从而有 = ,∴b=2a. b 2 y2 x2 设双曲线方程为 2- 2=1, a 4a 由于点 P(4,3)在此双曲线上, 9 16 ∴ 2- 2=1,解得 a2=5. a 4a y2 x2 ∴双曲线方程为 - =1. 5 20 方法二 ∵双曲线的一条渐近线方程为 x-2y=0, x 即 -y=0, 2 x2 ∴双曲线的渐近线方程为 -y2=0. 4 2 x 设双曲线方程为 -y2=λ (λ≠0), 4 42 ∵双曲线过点 P(4,3),∴ -32=λ,即 λ=-5. 4 x2 2 y2 x2 ∴所求双曲线方程为 -y =-5,即 - =1. 4 5 20 y2 x2 变式迁移 2 - =1 4 12 x2 y2 解析 由于在椭圆 + =1 中,a2=25,b2=9,所以 c2=16,c=4,又椭圆的焦点在 9 25 4 y 轴上,所以其焦点坐标为(0,± 4),离心率 e= .根据题意知,双曲线的焦点也应在 y 轴上, 5 14 4 y2 x2 坐标为(0,± 4),且其离心率等于 - =2.故设双曲线的方程为 2- 2=1 (a>0,b>0),且 c 5 5 a b 1 y2 x2 =4,所以 a= c=2,a2=4,b2=c2-a2=12,于是双曲线的方程为 - =1. 2 4 12 例 3 解题导引 双曲线问题与椭圆问题类似,因而研究方法也有许多相似之处,如 利用“定义”“方程观点”“直接法或待定系数法求曲线方程”“数形结合”等. x2 y2 解 (1)由 16x2-9y2=144,得 - =1, 9 16 ∴a=3,b=4,c=5.焦点坐标 F1(-5,0), 5 F2(5,0),离心率 e= , 3 4 渐近线方程为 y=± x. 3 (2)||PF1|-|PF2||=6, |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 cos∠F1PF2= 2|PF1||PF2| ?|PF1|-|PF2|?2+2|PF1||PF2|-|F1F2|2 = 2|PF1||PF2|

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36+64-100 =0, 64 ∴∠F1PF2=90° . = 变式迁移 3 解 (1)因为 a= 2,b=1,且焦点在 x 轴上,所以渐近线方程为 y- =0,y+ 2 x=0. 2 (2)设 P 点坐标为(x0,y0),则 Q 的坐标为(-x0,-y0), → → λ=MP· MQ=(x0,y0-1)· (-x0,-y0-1) 3 2 2 2 =-x0-y0+1=- x0+2. 2 ∵|x0|≥ 2,∴λ 的取值范围是(-∞,-1]. 课后练习区 1.C 2.A 3.A 4.C x2 y2 b 5.A [∵双曲线 2- 2=1 的渐近线方程为 y=± x, a b a 圆 C 的标准方程为(x-3)2+y2=4,∴圆心为 C(3,0). 又渐近线方程与圆 C 相切, 即直线 bx-ay=0 与圆 C 相切, 3b ∴ 2 2=2,∴5b2=4a2.① a +b x2 y2 又∵ 2- 2=1 的右焦点 F2( a2+b2,0)为圆心 C(3,0), a b 2 ∴a +b2=9.② 由①②得 a2=5,b2=4. x2 y2 ∴双曲线的标准方程为 - =1.] 5 4 6.16 解析 由已知条件有 52=m+9,所以 m=16. 16 6 7. 8. 3 2 9.解 (1)方法一 由题意可知所求双曲线的焦点在 x 轴上, (2 分) x2 y2 设双曲线的方程为 2- 2=1, a b b 4 = , a 3 由题意,得 ?-3?2 ?2 3?2 - 2 =1, a2 b 9 解得 a2= ,b2=4.(4 分) 4 4 y2 所以双曲线的方程为 x2- =1.(6 分) 9 4 x2 y2 方法二 设所求双曲线方程 - =λ (λ≠0),(2 分) 9 16 1 将点(-3,2 3)代入得 λ= ,(4 分) 4 x2 y2 1 所以双曲线方程为 - = , 9 16 4 2 x 2

? ? ?

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4 y 即 x2- =1.(6 分) 9 4 x2 y2 (2)设双曲线方程为 2- 2=1.由题意 c=2 5.(8 分) a b ?3 2?2 4 又双曲线过点(3 2,2),∴ 2 - 2=1. a b 2 2 2 又∵a +b =(2 5) , ∴a2=12,b2=8.(10 分) x2 y2 故所求双曲线的方程为 - =1.(12 分) 12 8 10.解 (1)设圆 C 的圆心坐标为(x,y),半径为 r. 圆(x+ 5)2+y2=4 的圆心为 F1(- 5,0),半径为 2, 圆(x- 5)2+y2=4 的圆心为 F( 5,0),半径为 2. ?|CF1|=r+2, ?|CF1|=r-2, ? ? 由题意得? 或? ? ? ?|CF|=r-2 ?|CF|=r+2, ∴||CF1|-|CF||=4.(4 分) ∵|F1F|=2 5>4.

2

x2 ∴圆 C 的圆心轨迹是以 F1(- 5,0),F( 5,0)为焦点的双曲线,其方程为 -y2=1.(6 4 分) (2)由图知,||MP|-|FP||≤|MF|,

∴当 M,P,F 三点共线,且点 P 在 MF 延长线上时,|MP|-|FP|取得最大值|MF|,(8 分) 3 5 4 5 ? - 5?2+? -0?2=2.(9 分) 5 5 直线 MF 的方程为 y=-2x+2 5,与双曲线方程联立得 且|MF|=

? ?y=-2x+2 5, ?x2 2 整理得 15x2-32 5x+84=0. - y = 1 , ? ?4
14 5 6 5 解得 x1= (舍去),x2= . 15 5 2 5 此时 y=- .(11 分) 5 6 5 2 5 ∴当||MP|-|FP||取得最大值 2 时,点 P 的坐标为( ,- ).(12 分) 5 5 11.解 (1)设 P(x,y), 1? 则 ?x-2?2+y2=2? ?x-2?, y2 化简得 x2- =1(y≠0).(5 分) 3 (2)①当直线 BC 与 x 轴不垂直时,设 BC 的方程为 y=k(x-2) (k≠0),与双曲线方程 x2

y2 - =1 联立消去 y, 3 得(3-k2)x2+4k2x-(4k2+3)=0.
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由题意知,3-k ≠0 且 Δ>0.(7 分) 设 B(x1,y1),C(x2,y2), 4k2+3 4k2 则 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 , k -3 k -3 y1y2=k2(x1-2)(x2-2)=k2[x1x2-2?x1+x2?+4] 2 2 8k2 ? -9k 2?4k +3 - 2 +4?= 2 . =k ? 2 ? k -3 k -3 ? k -3 因为 x1,x2≠-1, y1 所以直线 AB 的方程为 y= (x+1). x1+1 1 3y1 因此 M 点的坐标为?2,2?x +1??, ? ? 1 3 3 y 1 → FM=?-2,2?x +1??. ? ? 1 3 3y2 → 同理可得FN=?-2,2?x +1??. ? ? 2 9y1y2 → → ? 3? ? 3? 因此FM· FN=?-2?×?-2?+ 4?x1+1??x2+1? -81k2 k2-3 9 = + =0.(11 分) 4 ?4k2+3 4k2 ? + +1? 4? 2 ? k -3 k2-3 ? ②当直线 BC 与 x 轴垂直时,其方程为 x=2,则 B(2,3),C(2,-3). AB 的方程为 y=x+1, 1 3? → ? 3 3? 因此 M 点的坐标为? ?2,2?,FM=?-2,2?. 3 3? → 同理可得FN=? ?-2,-2?. → → ? 3? ? 3? 3 ? 3? 因此FM· FN=?-2?×?-2?+ ×?-2?=0.(13 分) 2 → → 综上,FM· FN=0,故 FM⊥FN. 故以线段 MN 为直径的圆过点 F.(14 分)

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