高中数学312不等式的性质教案新人教B版必修5(数学教案)

3.1.2 不等式的性质 整体设计 教学分析 本节将在初中学习的不等式的三条基本性质的基础上,系统归纳整理不等式的其他性 质,这是进一步学习不等式的基础.要求学生掌握不等式的基本性质与推论,并能用这些基 本性质证明简单不等式,进而更深层地从理性角度建立不等观念.对不等式的基本性质,教 师应指导学生用数学的观点与等式的基本性质作类比、 归纳逻辑分析, 并鼓励学生从理性角 度去分析量与量之间的比较过程. 基本性质 2、3、4 在初中是由实例验证,在高中里要进行逻辑证明.教学中教师一定要 认识到对学生进行逻辑训练的必要性,注意启发学生要求证明的欲望. 在中学数学中,不等式的地位不仅特殊,而且重要,它与中学数学几乎所有章节都有联 系,因此,不等式才自然而然地成为高考中经久不衰的热点、重点,有时也是难点.为此, 在进行本节教学时,教材中基本性质的推论可由学生自己证明,课后的练习 A、B 要求学生 全做. 三维目标 1.通过对初中三条基本性质的回忆,以及上节学习的知识,证明不等式的基本性质和 推论. 2.在了解不等式的基本性质的基础上,利用它们来证明一些简单的不等式. 3.通过本节的学习,激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度.体会数学的结 构美和系统美,激发学生学习数学更大的热情. 重点难点 教学重点: 理解并证明不等式的基本性质与推论, 并能用基本性质证明一些简单的不等 式. 教学难点:不等式基本性质的灵活应用. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.(复习导入)让学生回忆并叙述初中所学的不等式的三条基本性质,即不等式的 1 两边都加上(或减去)同一个数, 不等号的方向不变; 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正 数,不等号的方向不变;不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.让 学生根据上一节的学习将上面的文字语言用不等式表示出来, 并进一步探究, 由此而展开新 课. 思路 2.(类比导入)等式具有许多性质,其中有:在等式的两边都加上,或都减去,或 都乘以,或都除以(除数不为零)同一个数,所得的仍是等式.我们自然会联想到,不等式是 否也会有此同样的性质呢?学生会进一步探究验证这个联想,由此而展开新课. 推进新课 新知探究 提出问题 怎样比较两个实数或代数式的大小? 初中都学过不等式的哪些基本性质?你能给出证明吗? 不等式有哪些基本性质和推论?这些性质有哪些作用? 活动:教师引导学生一起回忆等式的性质:等式的两边都加上,或都减去,或都乘以, 或都除以(除数不为零)同一个数,所得到的仍是等式.利用这些性质,我们可以对等式进行 化简、变形或证明.那么不等式会不会也有类似的性质呢?也就是说,如果在不等式的两边 都加上,或都减去,或都乘以,或都除以(除数不为零)同一个数,结果会不会不变呢?为此 教师引导学生回忆上节课学过的实数的基本性质(或用多媒体展示),即 a-b> -b< <b;a-b= =b. >b;a 根据实数的基本性质,要比较两个实数的大小,可以考察这两个实数的差.这是我们研 究不等关系的一个出发点. 从实数的基本性质,我们可以证明下列常用的不等式性质: 性质 1,如果 a>b,那么 b<a;如果 b<a,那么 a>b,即 a> 不等式的对称性. 性质 2,如果 a>b,b>c,那么 a>c,即 a>b,b> 递性. 性质 3,如果 a>b,那么 a+c>b+c, 即不等式的两边都加上同一个实数,所得不等式与原不等式同向. 由此得到推论 1,不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后,从不等式 的一边移到另一边.这个推论称为不等式的移项法则. 2 <a.这种性质称为 >c.这种性质称为不等式的传 推论 2,如果 a>b,c>d,则 a+c>b+d. 这类不等号方向相同的不等式,叫做同向不等式,同向不等式可以相加,这个推论可以 推广为更一般的结论. 性质 4,如果 a>b,c>0,则 ac>bc;如果 a>b,c<0,则 ac<bc. 推论 1,如果 a>b>0,c>d>0,那么 ac>bd. 推论 2,如果 a>b>0,那么 a >b (n∈N+,n>1). n n 推论 3,如果 a>b>0,那么 a> b(n∈N+,n>1). 以上这些不等式的性质是解决不等式问题的基本依据.其中性质 1 是不等式的对称性; 性质 2 是不等式的传递性; 性质 3 表明不等式的两边都加上同一个实数, 所得不等式与原不 等式同向,由此可得不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边;性质 4 表明, 不等式两边允许用非零数(或式)去乘, 相乘后的不等式的方向取决于乘式的符号, 这点与等 式的性质不同;性质 4 的推论 1 说明两边都是正数的同向不等式可以相乘;性质 4 的推论 2 说明两边都是正数的不等式可以乘方; 性质 4 的推论 3 说明两边都是正数的不等式可以开方. 对以上性质的逻辑证明,教师可与学生一起完成.5 个推论可由学生自己完成,教师给 予适当点拨.这是训练学生逻辑推理能力的极佳机会,不可错过. 讨论结果: (1)(2)略. (3)4 条性质,5 个推论. 应用示例 例 1(教材本节例题) 活动:本节教材上共安排了这一个例题,含 3 个小题,都是不等式性质的简单应用,教 师不可忽视本例的训练,过高估计了学生逻辑推理的书写能力.实践证明,学生往往推理不 严密. 教学时应指导学生根据不等式的性质的条件和结论, 强调推理要有理有据, 严谨细致, 条理清晰. 点评:应用不等式性质对已知不等式进行变形,从而得出要证的不等式,是证明不等式 的常用方法之一. 变式训练 c c 已知 a>b>0,c<0,求证: > . a b n n 3 1 证明:∵a>b>0,∴ab>0, >0. ab 1 1 1 1 于是 a· >b· ,即 > . ab ab b a c c 由 c<0,得 > . a b π π α +β α -β 例 2 已知- ≤α <β ≤ ,

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