2008年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案-江苏卷

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2008 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数学
本试卷分第 I 卷(填空题)和第 II 卷(解答题)两部分.考生作答时,将答案答在答题 卡上,在本试卷上答题无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的 准考证号、姓名,并将条形码粘贴在指定位置上. 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选择 题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或炭素笔书写,字体工整,笔迹清楚. 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损. 5.作选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标 号涂黑. 参考公式: 样本数据 x1 , x2 , , xn 的标准差 锥体体积公式
2 ? xn ? x ? ? ?

s?

2 2 1? x1 ? x ? x2 ? x ? ? n?

?

? ?

?

?

?

1 Sh 3 其中 S 为底面积, h 为高 V?

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式 球的表面积、体积公式

V ? Sh 其中 S 为底面积, h 为高

4 S ? 4? R2 , V ? ? R 3 3
其中 R 为球的半径

一、填空题:本大题共 1 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. f ? x ? ? cos ? ? x ?

? ?

??

? ? 的最小正周期为 5 ,其中 ? ? 0 ,则 ? = 6?
▲ .





2.一个骰子连续投 2 次,点数和为 4 的概率

3.

1? i 表示为 a ? bi ? a, b ? R ? ,则 a ? b ? = 1? i
2





4.A= ? x ? x ? 1? ? 3x ? 7? ,则 A

Z 的元素的个数





5. a , b 的夹角为 120? , a ? 1 , b ? 3 则 5a ? b ?





6.在平面直角坐标系 xoy 中,设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区域, E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域, 向 D 中随机投一点, 则落入 E 中的概率 ▲ . 7.算法与统计的题目 8.直线 y ?

1 x ? b 是曲线 y ? ln x ? x ? 0? 的一条切线,则实数 b= ▲ . 2

9 在平面直角坐标系中,设三角形 ABC 的顶点分别为 A(0,a),B(b,0),C (c,0) ,点 P(0,p) 在线段 AO 上(异于端点) ,设 a,b,c, p 均为非零实数,直线 BP,CP 分别交 AC , AB 于点 E ,F ,一同学已正确算的 OE 的方程: ?

?1 1? ? 1 1? ? ? x ? ? ? ? y ? 0 ,请你求 OF 的方程: ?c b? ? p a?

( ▲ ) x??

? 1 1? ? ? y ? 0. ? p a?

10.将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . . . . . . 按照以上排列的规律,第 n 行(n ≥3)从左向右的第 3 个数为





11.已知 x, y, z ? R ? , x ? 2 y ? 3z ? 0 ,则

y2 的最小值 xz





12.在平面直角坐标系中,椭圆

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0)的焦距为 2,以 O 为圆心, a 为半径 a 2 b2
▲ .

? a2 ? 的圆,过点 ? , 0 ? 作圆的两切线互相垂直,则离心率 e = ? c ?
13.若 AB=2, AC= 2 BC ,则 S?ABC 的最大值





14. f ? x ? ? ax ? 3x ? 1 对于 x ?? ?1,1? 总有 f ? x ? ≥0 成立,则 a =
3





二、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤. 15.如图,在平面直角坐标系 xoy 中,以 ox 轴为始 边做两个锐角 ? , ? , 它们的终边分别与单位圆相交

于 A,B 两点, 已知 A,B 的横坐标分别为 (Ⅰ)求 tan( ? ? ? )的值; (Ⅱ)求 ? ? 2 ? 的值.

2 2 5 . , 10 5

16.在四面体 ABCD 中,CB= CD, AD⊥BD,且 E ,F 分别是 AB,BD 的中点, 求证: (Ⅰ)直线 EF ∥面 ACD ; (Ⅱ)面 EFC⊥面 BCD . 17. 某地有三家工厂, 分别位于矩形 ABCD 的顶点 A,B 及 CD 的中点 P 处,已知 AB=20km, CB =10km ,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形 ABCD 的区域上 (含边界) ,且 A,B 与 等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂,并铺设排 污管道 AO,BO,OP ,设排污管道的总长为 y km.

D
(Ⅰ)按下列要求写出函数关系式: ①设∠BAO= ? (rad),将 y 表示成 ? 的函数关系式; ②设 OP ? x (km) ,将 y 表示成 x x 的函数关系式. (Ⅱ)请你选用(Ⅰ)中的一个函数关系式,确定 污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度最短.
2

P

C

O B

A

18.设平面直角坐标系 xoy 中,设二次函数 f ? x ? ? x ? 2x ? b ? x ? R ? 的图象与两坐标轴 有三个交点,经过这三个交点的圆记为 C.求: (Ⅰ)求实数 b 的取值范围; (Ⅱ)求圆 C 的方程; (Ⅲ)问圆 C 是否经过某定点(其坐标与 b 无关)?请证明你的结论.

19.(Ⅰ)设 a1 , a2 ,

,且公差 d ? 0 ,若将此数 , an 是各项均不为零的等差数列( n ? 4 )

列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列: ①当 n =4 时,求

a1 的数值;②求 n 的所有可能值; d

(Ⅱ)求证:对于一个给定的正整数 n(n≥4),存在一个各项及公差都不为零的等差数列

b1 , b2 ,

, bn ,其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列.

20.若 f1 ? x ? ? 3 且 f ? x? ? ?

x ? p1

, f2 ? x ? ? 2 3

x ? p2

, x ? R, p1 , p2 为常数,

? ? f1 ? x ? , f1 ? x ? ? f 2 ? x ? ? ? f 2 ? x ? , f1 ? x ? ? f 2 ? x ?

(Ⅰ)求 f ? x ? ? f1 ? x ? 对所有实数成立的充要条件(用 p1 , p2 表示) ; (Ⅱ)设 a , b 为两实数, a ? b 且 p1 , p2 ? a, b ? ,若 f ? a ? ? f ?b ? 求证: f ? x ? 在区间 ? a, b? 上的单调增区间的长度和为 . n ? m)

b?a (闭区间 ?m, n? 的长度定义为 2

2008 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数学参考答案
一、填空题:本大题共 1 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. 【答案】10 【解析】本小题考查三角函数的周期公式. T ? 2. 【答案】

2?

?

?

?
5

? ? ? 10

1 12 3 1 ? 6 ? 6 12
2

【解析】本小题考查古典概型.基本事件共 6×6 个,点数和为 4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1) 共 3 个,故 P ? 3. 【答案】1

1 ? i ?1 ? i ? b =1, 【解析】 本小题考查复数的除法运算. ∵ ∴ a =0, 因此 a ? b ? 1 ? ?i , 1? i 2
4. 【答案】0 【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式.由

? x ? 1?

2

? 3x ? 7? 得

x 2 ? 5 x ? 8 ? 0 ,∵Δ <0,∴集合 A 为 ? ,因此 A
5. 【答案】7
2

Z 的元素不存在.

【解析】本小题考查向量的线性运算. 5a ? b ? 5a ? b = 25 ?1 ? 10 ?1? 3 ? ? ?
2

?

?

2

? 25a ? 10a b ? b

2

2

? 1? 2 ? ? 3 ? 49 , 5a ? b ? 7 ? 2?

6. 【答案】

? 16

【解析】本小题考查古典概型.如图:区域 D 表示边长为 4 的正方形的内部(含边界) , 区域 E 表示单位圆及其内部,因此. P ? 7.算法与统计的题目 8. 【答案】ln2-1 【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法. y ?
'

? ?12
4? 4

?

?
16

1 1 1 ,令 ? 得 x ? 2 ,故切点 x x 2

(2,ln2) ,代入直线方程,得,所以 b=ln2-1. 9【答案】

1 1 ? b c

【解析】本小题考查直线方程的求法.画草图,由对称性可猜想填 式可得直线 AB: ?

1 1 ? .事实上,由截距 c b

x b

y x y ?1 1? ? 1 1? ?1, 直线 CP: ? ? 1 , 两式相减得 ? ? ? x ? ? ? ? y ? 0 , a c p ?b c? ? p a?

显然直线 AB 与 CP 的交点 F 满足此方程,又原点 O 也满足此方程,故为所求直线 OF 的 方程. 10. 【答案】

n2 ? n ? 6 2

【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式.前 n-1 行共有正整数 1+2+?+(n - 1 )个,即

n2 ? n n2 ? n 个,因此第 n 行第 3 个数是全体正整数中第 + 3 个,即为 2 2

n2 ? n ? 6 . 2
11. 【答案】3

x ? 3z y2 【解析】本小题考查二元基本不等式的运用.由 x ? 2 y ? 3z ? 0 得 y ? ,代入 得 2 xz

x 2 ? 9 z 2 ? 6 xz 6 xz ? 6 xz ? ? 3 ,当且仅当 x =3 z 时取“=” . 4 xz 4 xz
12. 【答案】

2 2

【解析】设切线 PA、PB 互相垂直,又半径 OA 垂直于 PA,所以△OAP 是等腰直角三角 形,故

a2 c 2 ? 2a ,解得 e ? ? . c a 2

13. 【答案】 2 2 【解析】 本小题考查三角形面积公式、 余弦定理以及函数思想. 设 BC= x , 则 AC= 2 x , 根据面积公式得 S?ABC =

1 AB BC sin B ? x 1 ? cos 2 B ,根据余弦定理得 2

cos B ?

AB 2 ? BC 2 ? AC 2 4 ? x 2 ? 2 x 2 4 ? x 2 ? ? ,代入上式得 2 AB BC 4x 4x
2

128 ? ? x 2 ? 12 ? ? 4 ? x2 ? S?ABC = x 1 ? ? ? ? 16 ? 4x ?

由三角形三边关系有 ?

? ? 2x ? x ? 2 ? ?x ? 2 ? 2x

解得 2 2 ? 2 ? x ? 2 2 ? 2 ,

故当 x ? 2 2 时取得 S?ABC 最大值 2 2 14. 【答案】4 【解析】本小题考查函数单调性的综合运用.若 x=0,则不论 a 取何值, f ? x ? ≥0 显然成 立;当 x>0 即 x ?? ?1,1? 时, f ? x ? ? ax3 ? 3x ? 1 ≥0 可化为, a ? 设 g ? x? ?

3 1 ? x 2 x3

3 ?1 ? 2 x ? 3 1 ? 1? ? 3 ,则 g ' ? x ? ? , 所以 g ? x ? 在区间 ? 0, ? 上单调递增,在区 2 4 x x x ? 2?

间 ? ,1? 上单调递减,因此 g ? x ?max ? g ? ? ? 4 ,从而 a ≥4;
3 当 x<0 即 ? ?1,0? 时,f ? x ? ? ax ? 3x ? 1 ≥0 可化为 a ?

?1 ? ?2 ?

?1? ?2?

3 ?1 ? 2 x ? 3 1 ?0 ? 3 ,g ' ? x ? ? 2 x x x4

g ? x ? 在区间 ? ?1,0? 上单调递增,因此 g ? x ?ma n ? g ? ?1? ? 4 ,从而 a ≤4,综上 a =4
二、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. 【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式. 解: 由条件的 cos ? ?

2 2 5 7 2 5 ,cos ? ? ,sin ? ? , 因为 ? , ? 为锐角, 所以 sin ? = 10 5 10 5
1 2

因此 tan ? ? 7, tan ? ? (Ⅰ)tan( ? ? ? )=

tan ? ? tan ? ? ?3 1 ? tan ? tan ?

(Ⅱ) tan 2 ? ?

2 tan ? 4 tan ? ? tan 2? ? ,所以 tan ?? ? 2? ? ? ? ?1 2 1 ? tan ? 3 1 ? tan ? tan 2?
3? 3? ,∴ ? ? 2 ? = 2 4

∵ ? , ? 为锐角,∴ 0 ? ? ? 2 ? ?

16. 【解析】本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定. 解: (Ⅰ)∵ E,F 分别是 AB,BD 的中点, ∴EF 是△ABD 的中位线,∴EF∥AD, ∵EF ? 面 ACD ,AD ? 面 ACD ,∴直线 EF∥面 ACD . (Ⅱ)∵ AD⊥BD ,EF∥AD,∴ EF⊥BD. ∵CB=CD, F 是 BD 的中点,∴CF⊥BD. 又 EF CF=F,∴BD⊥面 EFC.∵BD ? 面 BCD,∴面 EFC⊥面 BCD .

17. 【解析】本小题主要考查函数最值的应用. 解: (Ⅰ)①由条件知 PQ 垂直平分 AB,若∠BAO= ? (rad) ,则 OA ?

AQ 10 ? , 故 cos ? cos ?

10 ,又 OP= 10 ? 10 tan ? 10-10ta ? , cos ? 10 10 ? ? 10 ? 10 tan ? , 所以 y ? OA ? OB ? OP ? cos ? cos ? OB ?
所求函数关系式为 y ?

20 ? 10sin ? ?? ? ? 10 ? 0 ? ? ? ? cos ? 4? ?

②若 OP= x (km) ,则 OQ=10- x ,所以 OA =OB=
2

?10 ? x ?

2

? 102 ? x 2 ? 20 x ? 200

所求函数关系式为 y ? x ? 2 x ? 20 x ? 200 ? 0 ? x ? 10 ? (Ⅱ)选择函数模型①, y ?
'

?10cos ? cos ? ? ? 20 ? 10sin? ?? ? sin ? ? 10 ? 2sin ? ? 1? ? cos 2 ? cos 2 ?

' 令 y ? 0 得 sin ? ?

? ? 1 ,因为 0 ? ? ? ,所以 ? = , 4 6 2

当 ? ? ? 0,

? ?

??

?? ? ? ' ' ? 时, y ? 0 , y 是 ? 的减函数;当 ? ? ? , ? 时, y ? 0 , y 是 ? 的增函 6? ?6 4?

数, 所以当 ? =

? 时,ymin ? 10 ?10 3 。 这时点 P 位于线段 AB 的中垂线上, 且距离 AB 边 6

10 3 km 处。 3
18. 【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法. 解: (Ⅰ)令 x =0,得抛物线与 y 轴交点是(0,b) ; 令 f ? x ? ? x ? 2x ? b ? 0 ,由题意 b≠0 且Δ >0,解得 b<1 且 b≠0.
2

(Ⅱ)设所求圆的一般方程为 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2

2

令 y =0 得 x ? Dx ? F ? 0 这与 x ? 2 x ? b =0 是同一个方程,故 D=2,F= b .
2 2

令 x =0 得 y ? Ey =0,此方程有一个根为 b,代入得出 E=―b―1.
2

所以圆 C 的方程为 x ? y ? 2x ? (b ? 1) y ? b ? 0 .
2 2

(Ⅲ)圆 C 必过定点(0,1)和(-2,1) . 证明如下:将(0,1)代入圆 C 的方程,得左边=0 +1 +2×0-(b+1)+b=0,右边 =0, 所以圆 C 必过定点(0,1) .
2 2

同理可证圆 C 必过定点(-2,1) . 19.【解析】本小题主要考查等差数列与等比数列的综合运用. (Ⅰ)①当 n=4 时, a1 , a2 , a3 , a4 中不可能删去首项或末项,否则等差数列中连续三项成 等比数列,则推出 d=0. 若删去 a2 ,则有 a32 ? a1 a4 , 即 ? a1 ? 2d ? ? a1 ? a1 ? 3d ?
2

化简得 a1d ? 4d 2 =0,因为 d ≠0,所以

a1 =4 ; d
2

若删去 a3 ,则有 a2 ? a1 a4 ,即 ? a1 ? d ? ? a1 ? a1 ? 3d ? ,故得 综上

a1 =1. d

a1 =1 或-4. d

②当 n=5 时, a1 , a2 , a3 , a4 , a5 中同样不可能删去首项或末项. 若删去 a2 ,则有 a1 a5 = a3 a4 ,即 a1 ? a1 ? 4d ? ? ? a1 ? 2d ? ? a1 ? 3d ? .故得 若删去 a3 ,则 a1 a5 = a2 a4 ,即 a1 ? a1 ? 4d ? ? ? a1 ? d ? ? a1 ? 3d ? . 化简得 3 d =0,因为 d≠0,所以也不能删去 a3 ; 若删去 a4 ,则有 a1 a5 = a2 a3 ,即 a1 ? a1 ? 4d ? ? ? a1 ? d ? ? a1 ? 2d ? .故得
2

a1 =6 ; d

a1 =2 . d

当 n≥6 时,不存在这样的等差数列.事实上,在数列 a1 , a2 , a3 ,?, an?2 , an ?1 , an 中, 由于不能删去首项或末项,若删去 a2 ,则必有 a1 an = a3 an ?2 ,这与 d≠0 矛盾;同样若删 去 an?2 也有 a1 an = a3 an ?2 ,这与 d≠0 矛盾;若删去 a3 ,?, an?2 中任意一个,则必有

a1 an = a2 an?1 ,这与 d≠0 矛盾.
综上所述,n∈{4,5}. (Ⅱ)略 20.【解析】本小题考查充要条件、指数函数与绝对值函数、不等式的综合运用. (Ⅰ) f ? x ? ? f1 ? x ? 恒成立 ? f1 ? x ? ? f 2 ? x ? ? 3
x ? p1

?2 3

x ? p2

?3

x ? p1 ? x ? p2

? 3log3 2

? x ? p1 ? x ? p2 ? log3 2 (*)
因为 x ? p1 ? x ? p2 ? ? x ? p1 ? ? ? x ? p2 ? ? p1 ? p2 所以,故只需 p1 ? p2 ? log3 2 (*)恒成立 综上所述, f ? x ? ? f1 ? x ? 对所有实数成立的充要条件是: p1 ? p2 ? log3 2

(Ⅱ)1° 如果 p1 ? p2 ? log3 2 ,则的图象关于直线 x ? p1 对称.因为 f ? a ? ? f ?b ? ,所以 区间 ? a, b? 关于直线 x ? p1 对称. 因为减区间为 ? a, p1 ? ,增区间为 ? p1 , b? ,所以单调增区间的长度和为 2° 如果 p1 ? p2 ? log3 2 . (1)当 p1 ? p2 ? log3 2 时. f1 ? x ? ? ? 当 x ?? p1 , b? ,
x ? p ? log 2 x? p ? ? ?3 1 , x ? ? p1 , b ? ? 3 2 3 , x ? ? p2 , b ? f x ? , ? ? ? p 2 ? x ? log3 2 2 p1 ? x , x ? ? a , p2 ? ? ? ?3 , x ? ? a, p1 ? ?3

b?a 2

f1 ? x ? ? 3 p2 ? p1 ?log3 2 ? 30 ? 1, 因 为 f1 ? x ? ? 0, f2 ? x ? ? 0 , 所 以 f2 ? x ?

f1 ? x ? ? f2 ? x ? ,
故 f ? x ? ? f1 ? x ? = 3 当 x ?? a, p2 ? ,
x ? p1

f1 ? x ? ? 3 p1 ? p2 ?log3 2 ? 30 ? 1, 因 为 f1 ? x ? ? 0, f2 ? x ? ? 0 , 所 以 f2 ? x ?

f1 ? x ? ? f2 ? x ?
故 f ? x ? ? f2 ? x ? = 3
p2 ? x ? log3 2

因为 f ? a ? ? f ?b ? ,所以 3

b ? p1

? 3 p2 ?a ?log3 2 ,所以 b ? p1 ? p2 ? a ? log3 2, 即

a ? b ? p1 ? p2 ? log3 2
当 x ?? p2 , p1 ? 时,令 f1 ? x ? ? f 2 ? x ? ,则 3 当 x ? ? p2 ,
p1 ? x

? 3x ? p2 ?log3 2 ,所以 x ?

p1 ? p2 ? log 3 2 , 2

? ?

p1 ? p2 ? log3 2 ? x ? p2 ? log3 2 ? 时, f1 ? x ? ? f2 ? x ? ,所以 f ? x ? ? f2 ? x ? = 3 2 ?

? p ? p2 ? log3 2 ? x?? 1 , p1 ? 时, f1 ? x ? ? f2 ? x ? ,所以 f ? x ? ? f1 ? x ? = 3 p1 ? x 2 ? ?

f ? x ? 在区间 ? a, b? 上的单调增区间的长度和 b ? p1 ?
=b ?

p1 ? p2 ? log 3 2 a?b b?a ?b? ? 2 2 2

p1 ? p2 ? log 3 2 ? p2 2

? 3x ? p2 ? log3 2 , x ? ? p2 , b ? ?3x ? p1 , x ? ? p1 , b ? ? ? (2)当 p2 ? p1 ? log3 2 时. f1 ? x ? ? ? p ? x , f 2 ? x ? ? ? p ? x ? log 2 2 3 1 , x ? ? a , p2 ? ? ? ?3 , x ? ? a, p1 ? ?3

当 x ?? p2 , b? ,

f1 ? x ? ? 3 p2 ? p1 ?log3 2 ? 30 ? 1, 因 为 f1 ? x ? ? 0, f2 ? x ? ? 0 , 所 以 f2 ? x ?

f1 ? x ? ? f2 ? x ? ,
故 f ? x ? ? f2 ? x ? = 3 当 x ?? a, p1 ? ,
x ? p2 ? log3 2

f1 ? x ? 所以 f1 ? x ? ? f 2 ? x ? ? 3 p1 ? p2 ?log3 2 ? 30 ? 1, 因为 f1 ? x ? ? 0, f2 ? x ? ? 0 , f2 ? x ?
p1 ? x

故 f ? x ? ? f1 ? x ? = 3

因为 f ? a ? ? f ?b ? ,所以 3

p1 ? a

? 3b? p2 ?log3 2 ,所以 a ? b ? p1 ? p2 ? log3 2
x ? p1

当 x ?? p1, p2 ? 时,令 f1 ? x ? ? f 2 ? x ? ,则 3 当 x ? ? p1 ,

? 3 p2 ? x ?log3 2 ,所以 x ?

p1 ? p2 ? log 3 2 , 2

? ?

p1 ? p2 ? log3 2 ? x? p 时, f1 ? x ? ? f 2 ? x ? ,所以 f ? x ? ? f1 ? x ? = 3 1 ? 2 ?

? p ? p2 ? log3 2 ? x?? 1 , p1 ? 时, f1 ? x ? ? f2 ? x ? ,所以 f ? x ? ? f2 ? x ? = 3 p2 ? x ? log3 2 2 ? ?

f ? x ? 在区间 ? a, b? 上的单调增区间的长度和 b ? p2 ?
=b ?

p1 ? p2 ? log 3 2 a?b b?a ?b? ? 2 2 2

p1 ? p2 ? log 3 2 ? p1 2

综上得 f ? x ? 在区间 ? a, b? 上的单调增区间的长度和为

b?a 2


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