绝对值不等式专题复习课件


绝对值不等式专题复习

执教人:大方三中 靳 修

一、绝对值不等式的解法 1、含绝对值的不等式 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解法
不等式 |x|<a a>0 {x|-a<x<a} a=0 ? a<0 ?

|x|>a

{x|x>a或x<-a}

{x|x∈R且x≠0}

R

(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式 的解法 ①|ax+b|≤c?-c≤ax+b≤c; ②|ax+b|≥c?ax+b≥c或ax+b≤-c.

(3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型 不等式的解法 法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了 数形结合的思想; 法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论 的思想; 法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现 了函数与方程的思想.

2.绝对值的三角不等式
(1)定理1:若a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当

且仅当ab≥0时,等号成立.
(2)定理2:设a,b,c是实数,则|a-c|≤|a-b|+ |b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立. 推论1:||a|-|b||≤|a+b|. 推论2:||a|-|b||≤|a-b|.

实例

剖析
(1)当 a ? ?3 时,求不等式 f ( x) ? 3的解集; (2)若 f ( x) ? x ? 4 的解集包含[1,2],求a的取值范围。

例1、(2012年全国新课标卷)选修4--5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 2

【解析】(1)当 a

? ?3 时,f ( x) ? 3 ? x ? 3 ? x ? 2 ? 3

方法一:由数轴及绝对值的几何意义知:

0

1

2

3

4

5

? x ? (??,1] ? [4,??)
x?2 ? ? f ( x) ? 3 ? x ? 3 ? x ? 2 ? 3 ? 方法二: ?3 ? x ? 2 ? x ? 3 ? 2? x?3 x?3 ? 或 ?? ? ? ?3 ? x ? x ? 2 ? 3 ?x ? 3 ? x ? 2 ? 3


? x ?1 或 x ? 4

所以 x ? (??,1] ? [4,??)

例1、(2012年全国新课标卷)选修4--5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 2 (1)当 a ? ?3 时,求不等式 f ( x) ? 3的解集; (2)若 f ( x) ? x ? 4 的解集包含[1,2],求a的取值范围。 方法三:令 f ( x) ? x ? 3 ? x ? 2 (2)原命题 ? f ( x) ? x ? 4 在 [1, 2] 上恒成立 所以
? 2 x ? 5, x ? 2 1,2 ? x ? 3 2 x ? 5, x ? 3

? x ?a ?2? x ? 4? x
在 [1, 2] 上恒成立

f(x) =

f(x)的图像如下: y
3 2 1 0 1 2 3 4 5

? ?2 ? x ? a ? 2 ? x
在 [1, 2]上恒成立

x

? ?3 ? a ? 0

由图可知
f ( x) ? 3的 解 集 为 x ? (??,1] ? [4,??)

变式训练1:已知函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 1, a ? R
(1)当 a ? 2 时,解不等式f ( x) ? 3; (2)当 x ? (?3,1)时,f ( x) ? a ? 1 ,求a 的取值范围。

解:(1)当a=2时,不等式为 x ? 2 ? x ?1 ? 3
由绝对值的几何意义知,不等式的意义可解释为数轴上的点x到1、2 的距离之和小于或等于3.

?0 ? x ? 3
所以不等式的解集为

?x 0 ? x ? 3?

(2) ? f ( x) ? x ? a ? x ? 1 ? x ? a ? 1 ? x ? x ? a ? 1 ? x ? 1 ? a ? a ? 1
当且仅当( x ? a)(1 ? x) ? 0 时,即 f ( x) ? a ? 1 记不等式( x ? a)(1 ? x) ? 0 的解集为A,则
(?3,1) ? A故a ? ?3

? a ? (??,?3]

例2、已知关于x的不等式2x ? 1 ? x ? 1 ? log2 a (其中a ? 0 ) (1)当 a ? 4时,求不等式的解集; (2)若不等式有解,求实数a 的取值范围。 解:(1)令 f ( x) ? 2x ? 1 ? x ? 1 ,当a ? 4时, f ( x) ? 2 1 1 当 x ? ? 时, ? x ? 2 ? 2 ,得 ? 4 ? x ? ? ; 2 2 1 当 ? ? x ? 1 时, 3 x ? 2 ,得 ? 4 ? x ? 2 ; 2 3 当 x ? 1 时, x ? 0 ,此时的x不存在。
2? ? 3?
? x ? 2, x ? ? 2 x ? 2, x ? 1 1 2

? 综上所述:不等式的解集为? x ? 4 ? x ? ?

(2)设 f ( x) ? 2x ? 1 ? x ?1 ? 3x,? 1 ? x ? 1
? 3 3 故 f ( x) ? ?? ,??),即f(x)的最小值为 ? ? 2

2
3

所以 f ( x) ? log2 a 有解,则 log 2 a ? ? 2 解得 a ?
2 4

即 a 的取值范围是 [

2 ,??) 4

变式训练2、设函数 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 4 ? a

(1)当 a

? 1 时,求函数 f ( x) 的最小值
4 成立,求实数a的取值范围。 a

(2)若存在x使得 f ( x) ?

解:(1)当a=1时,f ( x) ? x ?1 ? x ? 4 ?1

? f ( x) ? x ?1? 4 ? x ? 5

4 (2)由 存 在 实 数 x使 得 f ( x) ? 成 立 , a 4
即 存 在 实 数 x使 得 x ?1 ? x ? 4 ? a ?
? g ( x) ? 5
令g ( x) ? x ?1 ? x ? 4

? f ( x)的 最 小 值 为 5

a

4 a 2 ? 5a ? 4 由a ? ? 5 ? ? 0成 立 a a ? 0 ? a ? 1或a ? 4 ? a ? (0,1] ? [4,??)

例3、已知关于x的不等式 ax ? 2 ? ax ? a ? 2(a ? 0) (1)当a ? 1时,求此不等式的解集; (2)若此不等式的解集为R,求实数a的取值范围。 解:(1)当a=1时,不等式为 x ? 2 ? x ? 1 ? 2 由绝对值的几何意义知,不等式的意义可解释为数轴上的点x到1、2的距离

之和大于或等于2.

?x ?

5 1 或? 2 2

所以不等式的解集为 ?x x ? 或x ? ?
?

?

1 2

5? 2?

注:也可用零点分段法求解,用图像法求解
(2)? ax ? 2 ? ax ? a ? a ? 2 所以原不等式的解集为R等价于

a?2 ? 2
所以

? a ? 4或a ? 0, 又a ? 0,

a?4

巩固

提高
(1)若不等式 f ( x) ? g ( x) ? 3 ,求x的取值范围; (2)若不等式 f ( x) ? g ( x) ? m ? 1的解集为R,求m的取值范围。
解:(1)由 f ( x) ? g( x) ? 3 ? x ? 3 ? 2 ? x ? 1 ? 4 ? 3 当x 即 x ? 3 ? x ?1 ? 1

变式训练3、已知函数 f ( x) ? x ? 3 ? 2, g ( x) ? ? x ? 1 ? 4

? ?1 时, 3 ? x ? x ? 1 ? 1 ,此时 x ? R,? x ? ?1 1 当 ? 1 ? x ? 3 时, 3 ? x ? x ? 1 ? 1 ? 2 x ? 1, 即x ? ,? ?1 ? x ? 1 2 2 当 x ? 3 时, x ? 3 ? x ? 1 ? 1 ? ?4 ? 1 ,此时 x ? ?,
综上所述: x ? (??,?3]

(2)由 f ( x) ? g ( x) ? m ? 1的解集为R,即

x ? 3 ? 2 ? x ? 1 ? 4 ? m ? 1 的解集为R,
即 x ? 3 ? x ? 1 ? m ? 7 对任意的x ? R 恒成立, 由 x ? 3 ? x ?1 ? x ?1? 3 ? x ? 4

? m ? 7 ? 4 ? m ? ?3

? m ? (??,?3]

【总一总★成竹在胸】
三、小结:
本节课我们复习了绝对值不等式的几何意义,进一步
了解了绝对值不等式的几种解法,几何意义及数轴上的意义 的解法,零点法,图像法,还复习了恒成立问题及存在性问 题的解答。

四、作业
资料书绝对值不等式一节


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