2015-2016学年高中数学 第四章 定积分章末归纳总结课件 北师大版选修2-2_图文

第四章
定 积 分

第四章
章末归纳总结

1

知 识 梳 理

3

专 题 研 究

2

知 识 结 构

4

限 时 训 练

知识梳理

1.曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 y=f(x),x 轴与直线 x=a,x= b(a<b)所围成的,如图所示. 计算时可分为四步: ①分割;②近似代替;③求和;④取 极限.

2.定积分概念的注意事项 (1)关于定积分应注意 ①积分值仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量的 字母无关.
b ?b ?b 即? f ( x )d x = f ( t )d t = f(μ)dμ. ? ? ? ? ? ?
?a ?a ?a

②定义中区间的分法和取法都是任意的.

(2)定积分概念的引申 定积分的几何意义:
b ①f(x)>0,? f(x)dx=A>0,表示曲边梯形在 x 轴上方. ? ?
?a

b ②f(x)<0,? f(x)dx=A<0,表示曲边梯形在 x 轴下方. ? ?
?a

③如图所示,当 f(x)在区间[ a,b] 上一部分大于 0,另一部 分小于 0 时,且各部分面积分别为 A1,A2,A3,A4,则
?b ? ? ?

f(x)dx=A1-A2+A3-A4.

a

3.定积分的性质 由定积分的定义,可以得到定积分的如下性质:
b ?b ?b (1)? f ( x )d x ± ? [ f (x)± g(x)] dx=? ? g(x)dx; ? ? ?
?

a

?

a

?

a

b ?b (2)? f(x)dx(k 为常数); ? kf(x)dx=k? ? ?
?a ?a

b ?c ?b (3)? f ( x )d x = f(x)dx≥0. ? ? f(x)dx+? ? ? ?
?a ?a ?c

b (4)若在区间[ a,b] 上,f(x)≥0,则? f(x)dx≥0. ? ?
?a

b ?b 推论 1: 若在区间[ a, b] 上, f(x)≤g(x), 则? f ( x )d x ≤ ? ? g(x)dx. ? ?
?a ?a

b ?b 推论 2:|? f ( x )d x | ≤ ? ? |f(x)|dx. ? ?
?a ?a

4.计算平面图形的面积 (1)由直线 x=a,x=b(a<b),x 轴及曲线 y=f(x)所围成的曲
b 边梯形的面积 S=? ? |f(x)|dx. ?
?a

b 若[ a,b] 上,f(x)≥0,则 S=? f(x)dx,如图所示. ? ?
?a

b 若在[ a,b] 上,f(x)≤0,则 S=-? f(x)dx,如图所示. ? ?
?a

若在[ a,c] 上,f(x)≤0,在[ c,b] 上,f(x)≥0,则 S=
?b ? ? ?

c

c f(x)dx-? f(x)dx,如图所示. ? ?
?

a

(2)由直线 x=a,x=b(a<b),x 轴及曲线 y=f(x),y=g(x)
b ?b 所围成的曲边梯形的面积 S=? f ( x )d x - ? ? g(x)dx,如图所示. ? ?
?a ?a

5.简单几何体的体积 设由曲线 y=f(x),直线 x=a,x=b 与 x 轴围成的平面图形 (如图所示)绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V.

在区间[ a, b] 内插入 n-1 个分点, 使 a=x0<x1<x2<?<xn-1<xn =1,把曲线 y=f(x),a≤x≤b 分割成 n 个垂直于 x 轴的“小长 条”,如图所示.设第 i 个“小长条”的宽是 Δxi=xi-xi-1,i =1,2,?,n.这个“小长条”绕 x 轴旋转一周就得到一个厚度 是 Δxi 的小圆片,如图所示.当 Δxi 很小时,第 i 个小圆片近似 于底面半径为 yi=f(xi)的小圆柱,因此,第 i 个小圆台的体积 Vi 近似为 Vi=πf2(xi)Δxi. 该几何体的体积 V 等于所有小圆柱的体积和 V≈π[ f 2(x1)Δx1+f 2(x2)Δx2+…+f 2(xi )Δxi +…+f 2(xn)Δxn] . 这个问题是积分问题,则有
2 b 2 ?b V=? f (x)dx. ? πf (x)dx=π? ? ?
?

a

?

a

知识结构

专题研究

定积分的概念 已知某运动物体做变速直线运动,它的速度 v

是时间 t 的函数 v(t) ,求物体在t = 0 到t =t0 这段时间内所经过的
路程s.
[ 解析] (1)分割: 将时间区间[0,t0] 分成 n 等份: i-1 i [ n t0,nt0](i=1,2,?,n), t0 每个小区间所表示的时间为 Δt= n , 各区间物体运动的距离记作 Δsi(i=1,2,?,n).

(2)近似代替: 在每个小区间上以匀速直线运动的路程近似代替变速直线 运动的距离: i-1 i 在小区间[ n t0,nt0]上任取一时刻 ξi(i=1,2,?,n),用 时刻 ξi 的速度 v(ξi)近似代替第 i 个小区间上的速度.由匀速直 线运动的路程公式,每个小区间上物体运动所经过的距离可以 近似地表示为 Δsi≈v(ξi)Δt(i=1,2,?,n).

(3)求和: 因为每个小区间上物体运动的距离可以用这一区间上做匀 速直线运动的路程近似代替,所以在时间 [0,t0] 范围内物体运 动的距离 s,就可以用这一物体分别在 n 个小区间上做 n 个匀 速直线运动的路程和近似代替. 即 s=∑Δsi≈∑v(ξi)Δt.①
i=1 i=1 n n

(4)取极限: t0 当所分时间区间越短,即 Δt= n 越小时,和式①的值就越 t0 接近 s.因此,当 n→+∞,即 Δt= n →0 时,和式①的极限就是 所求的物体在时间区间[0,t0] 上所经过的路程. 由此得到 s=lim∑v(ξi)Δt.
n→∞i=1 n

[ 点评]

用分割、近似代替、求和、取极限这四个步骤求

曲边梯形的面积和变速运动物体在某段时间内的路程体现了无 限细分和无穷累积的思维方法.

定积分的计算.

求下列定积分:
2 2 ?π (1)? ? (x +2x+1)dx;(2)? (sinx-cosx)dx; ? ?
?1 ?0

? 1? 2 ?2? x-x +x ?dx;(4) (2)? ? ? ? ?
1

?0 ? ? ?-π

(cosx+ex)dx.

[ 分析] 茨公式求解.

先由定积分性质将其分解,然后由牛顿-莱布尼

[ 解析] 19 22 2 x 1+x1= . 3

3 x 2 2 2 ?2 2 ?2 ?2 (1) ? ? (x + 2x + 1)dx = ? x dx + ? 2xdx + ? 1dx = 1+ ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 1 1 1 1

π ?π ?π (2)? ? (sinx-cosx)dx=? sinxdx-? cosxdx ? ? ?
?0 ?0 ?0

π =(-cosx)π - sin x 0 0=2.

1? 1 ?2 ?2 2 ?2 ? x - x + (3) xdx-? x dx+? dx x ?dx=? ? ? ? x ? ? ?
?2? ? ? ? ?1

?

2

1

1

1

x22 x32 3 7 5 2 = 2 1- 3 1+lnx1=2-3+ln2=ln2-6.
x (4)? 0-π(cosx+e )dx= ?
?0 ? ? ?- π

cosxdx+

?0 ? ? ?- π

exdx

?0 =sinx? ? ?-π

?0 +ex? ? ?-π

1 =1-eπ.

利用定积分求平面图形的面积
如图所示,求由两条曲线 y=-x2,4y=-x2以及

直线y=-1所围成的平面图形的面积为(
3 A.2 4 B.3 1 C.2 D.2

)

[ 解析]

所围成的平面图形的面积(记为 S)由两部分组成:

一部分是 y 轴右边的图形的面积(记为 S1);另一部分是 y 轴左 边的图形的面积(记为 S2).
2 2 x x 2 1 ?1 ?2 ?2 S1=-? )d x + [ - )dx]= ? ( - x )dx + ? ( - ? ( - 1)dx + ? ( - ? ? ? ? 4 4 ? ? ? ? 0 0 1 1

?2 x3?1 x3 ?2 x3 ?2 2 ? - ? +x? - ? = . 3 ?0 12?1 12?1 3 ?1

因为 y 轴左、右两边图形关于 y 轴对称,所以 S1=S2. 4 所以,所求平面图形的面积为 S=S1+S2=3. [ 答案] B

利用定积分求旋转体的体积

x2 y2 试证明椭圆a2+b2=1 绕 x 轴旋转而成的几何体 4 的体积是3πab2.

[ 解析]

2 y2 x2 b 因为b2=1-a2,所以 y2=b2-a2x2.

依椭圆的对称性可知:
2 a V=2? ? πy dx = 2π ?
?0

? 2 b2 2 ? ?a ? b -a2x ? ? ? ? ? ?
0

dx =

2? ? x a 2πb2 ? ? ?1- 2? a? ? ? ? 0

dx =

2πb

2

? ?a ? 1 1 3?a? 1 3? 2 ?x?0- 2·x ?0?=2πb ?a- 2· a? a 3 3 a ? ? ? ? ? ?

=2πb

2

? a? 2a 4 ?a- ?=2πb2 = πab2. 3? 3 3 ?

[点评] 利用图形的对称性求解,可以使运算量减少.

定积分的综合应用 直线 y = kx 分抛物线 y = x - x2 与 x 轴所围成的图 形为面积相等的两部分,求k的值及直线的方程.

[分析]

利用图像分清直线所分割成的两部分图形,再分

别用定积分表示,利用代数关系列方程求出k的值.

[ 解析]

如图所示. ,

? ?y=kx 由方程组? 2 ? y = x - x ? ? ?x=0 解得? ? ?y=0

? ?x=1-k 或? 2 ? ?y=k-k

(0<k<1), 则

A(1-k,k-k2). 设直线 y=kx 与抛物线 y=x-x2 围成的图形的面积为 S1, 抛物线 y=x-x2 与 x 轴围成的图形的面积为 S.

2 2 ?1-k 1-k ?1 则 S1=? ( x - x )d x - kx d x , S = ? ? ? (x-x )dx. ? ? ?
?

0

?

0

?

0

1 1?1 2 2 ?1-k ?1-k ?1-k ∵S1=2S,∴? ( x - x )d x - kx d x = ? ? (x-x )dx,又? ? ? ? 2? ? ? ? ?
0 0 0 0

1 2 1 3 ?1-k 1 2?1-k ?1-k? 2 ?1-k ?0 - kx ?0 = ? x - x ? (x-x )dx-? kx d x = , 2 3 2 ? 6 ? ? ?
0

3

1 1 2 1 3 ?1 1 1?1 2 ?0= . ? x - x ? ? (x-x )dx= 2 2 3 2? 12 ? ?
0

1 4 ∴(1-k) =2,解得 k=1- 2 .
3

3

4 ∴直线的方程为 y=(1- 2 )x.
[ 点评] 解决平面图形面积问题时,要重视画图,结合图

3

形,将面积问题转化为定积分问题.本题中,如果不结合图形, 1 ?1 1-k 2 那么很难找到关于定积分的等式∫0 [(x-x )-kx] dx= ? (x- 2? ?
0

x2)dx.

限时训练

一、选择题
2 1 1.? 1 - ? x - 1 ? dx 等于( ? ?
?0

) π B.2 D.2π

π A.4 C.π

[答案] A

[ 解析]

设 y= 1-?x-1?2,

则(x-1)2+y2=1(y≥0),
2 2 2 1 因而? 1 - ? x - 1 ? d x 表示圆 ( x - 1) + y =1 在 x 轴上方 x∈ ? ?
?0

1 [0,1] 的面积,即圆面积的4, 即
?1 ? ? ?0

π 1-?x-1? dx=4.
2

2.由y=sinx及y=-sinx在x∈[0,π]时所围成的图形的面 积为( )

A.2
C.2π [答案] D

B.π
D.4

[ 解析]
?0

所围成图形的面积为
?0 ?0

π π ?π ?π S=? ? sinxdx-? (-sinx)dx=2? sinxdx=2(-cosx)|0 ? ? ?

=2(-cosπ+cos0)=4.

3.由曲线 y=ex,y=x,x=0,x=2 围成的平面图形的面 积 S 可以表示为(
2 x A.? ? e dx ?
?0

)
2 B.? ? xdx ?
?0

2 x C.? ? (e -x)dx ?
?0

2 x D.? ? (e +x)dx ?
?0

[答案] C

[ 解析]
?0

如图所示,阴影部分的面积为 S,则 S=S1-S2,

x 2 x 其中 S1=? ? e dx(即由曲线 y=e ,x=0,x=2 及 x 轴围成的平面 ? 2 图形的面积),S2=? ? xdx(即由直线 y=x,x=0,x=2 及 x 轴围 ?
?0

x 2 x ?2 ?2 成的平面图形的面积).所以 S=? ? e dx-? xdx=? (e -x)dx.故选 ? ? ?
?0 ?0 ?0

C.

二、填空题
4.求由y =ex,x=2 ,y=1围成的曲线梯形的面积时,若 选择x为积分变量,则积分区间是________. [答案] [0,2]

[ 解析] 间为[0,2] .

如图,阴影部分就是所求曲边梯形面积,积分区

三、解答题 5.利用定积分的几何意义,求:
?2 ? ? ?-2

?π ?2 f(x)dx+? πsinxcosxdx,其中 ?-2
?2 ? ? ?-2

? ?2x-1?x≥0? f(x)=? ? ?3x-1?x<0?.

[ 解析]
?0 ? ? ?- 2

?π ?2 f(x)dx+? πsinxcosxdx ?-2



?π ?2 ?2 (3x-1)dx+? (2x-1)dx+? πsinxcosxdx. ? ?-2 ?
0

∵y=sinxcosx 为奇函数.

?π ?2 ∴? πsinxcosxdx=0. ?-2

利用定积分的几何意义,如图. ∴
?0 ? ? ?- 2

7+1 (3x-1)dx=- 2 ×2=-8.

?0 ? ? ?2

3+1 (2x-1)dx= 2 ×1=2.
?2 ? ? ?-2



?π ?2 f(x)dx+? πsinxcosxdx=2-8+0=-6. ?-2


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