2013各地析分类汇编直线圆、圆锥曲线

各地解析分类汇编:直线圆、圆锥曲线
1 【山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试文】已知两条直线 y ? ax ? 2 和

3x ? (a ? 2) y ?1 ? 0 互相平行,则 a 等于(



A.1 或-3 【答案】A

B.-1 或 3

C.1 或 3

D.-1 或 3

【 解 析 】 因 为 直 线 y ? ax ? 2 的 斜 率 存 在 且 为 a , 所 以 ?(a ? 2) ? 0 , 所 以

3x ? (a ? 2) y ?1 ? 0 的斜截式方程为 y ? 3 x ? 1 ,因为两直线平行,所以 3 ? a

a?2 a?2

a?2

且 1 ? ?2 ,解得 a ? ?1或 a ? 3,选 A. a?2

2 【山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试文】在平面直角坐标系 xOy 中,直线

3x ? 4y ? 5 ? 0 与圆 x2 ? y2 ? 4 相交于 A、B 两点,则弦 AB 的长等于

A. 3 3

B. 2 3

C. 3

D.1

【答案】B

【 解 析 】 圆 心 到 直 线 的 距 离 d ? ?5 ? 1 , 所 以 R2 ? d 2 ? ( AB )2 , 即

32 ? 42

2

A B2 ? 4 ( R2 ? d2 ) ? 4 ( ?4 1?),所1以2AB ? 12 ? 2 3 ,选 B.

3 【山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试 文】已知倾斜角为? 的直线 l 与直线 x

-2y 十 2=0 平行,则 tan 2? 的值

A. 4 5
【答案】B

B. 4 3

C. 3 4

D. 2 3

【 解 析 】 直 线 的 斜 率 为 1 , 即 直 线 l 的 斜 率 为 k ? t a ?n ? 1 , 所 以

2

2

tan 2?

?

1

2 ?

tan ? tan2 ?

2? 1 ?2
1? (1)2

?

1 3

?

4 ,选 B. 3

24

4 【山东省兖州市 2013 届高三 9 月入学诊断检测 文】直线 x ? y ?1 ? 0 被圆 x2 ? y2 ? 1

所截得的弦长为 ( )

A. 1 2

B.1

C. 2 2

D. 2

1

【答案】D

【 解 析 】 圆 心 到 直 线 的 距 离 为 d? 1 ? 2 , 则 弦 长 为 22

2 r2 ? d 2 ? 2 1? ( 2 )2 ? 2? 2 ? 2 ,选 D.

2

2

5 【天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考文】 直线 ax ? y ? 3 ? 0 与圆

(x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 相交于 A 、 B 两点且 AB ? 2 3 ,则 a ? __________________
【答案】0
【解析】圆的圆心为 M (1, 2) ,半径 r ? 2 。因为 AB ? 2 3 ,所以圆心到直线的距离

d ? r2 ? ( AB )2 ? 4 ? ( 3)2 ? 1 , 即 a ? 2 ? 3 ? 1 , 所以 a ?1 ? a2 ?1 , 平 方得

2

a2 ?1

a2 ? 2a ?1 ? a2 ?1,解得 a ? 0 。

6【山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试文】椭圆 x2 ? y2 ? 1的焦距为 16 9

A.10

B.5

C. 7

D. 2 7

【答案】D

【 解 析 】 由 题 意 知 a2 ? 16, b2 ? 9 , 所 以 c2 ? a2 ? b2 ?7 , 所 以 c ? 7 , 即 焦 距 为

2c ? 2 7 ,选 D.

7 【 云 南 省 玉 溪 一 中 2013 届 高 三 第 三 次 月 考 文 】 已 知 点 F1 , F2 分 别 是 双 曲 线

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

? 0,b

?

0) 的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x

轴的直线与双曲线交于 A ,B 两

点,若 ?ABF2 是钝角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是( )

A. ( 2 ?1, ??) B. ( 3 ?1, ??) C. (1? 2, ??) D. (1,1? 2)
【答案】C
【解析】 由题设条件可知△ABC 为等腰三角形,只要∠AF2B 为钝角即可,所以有 b2 ? 2c , a

2

即 b2 ? 2ac ,所以 c2 ? a2 ? 2ac ,解得 e ? 1? 2 ,选 C.

8【山东省兖州市 2013 届高三 9 月入学诊断检测 文】若 m 是 2 和 8 的等比中项,则圆锥曲

线 x2 ? y2 ? 1的离心率是 m

()

A. 3 2
【答案】C

B. 5

C. 3 或 5 2

D. 3 或 5 22

【解析】因为 m 是 2 和 8 的等比中项,所以 m2 ? 16 ,所以 m ? ?4 ,当 m ? 4 时,圆锥曲

线为椭圆 x2 ? y2 ? 1,离心率为 3 ,当 m ? ?4 时,圆锥曲线为双曲线 x2 ? y2 ? 1,

4

2

4

离心率为 5 ,所以综上选 C.

9【山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试

文】已知双曲线 x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

? 0,b ? 0)

的两条渐近线均与 C : x2 ? y2 ? 6x ? 5 ? 0 相切,则该双曲线离心率等于

A. 3 5 5
【答案】A

B. 6 2

C. 3 2

D. 5 5

【解析】圆的标准方程为 (x ? 3)2 ? y2 ? 4 ,所以圆心坐标为 C(3, 0) ,半径 r ? 2 ,双曲线

的渐近线为 y ? ? b x ,不妨取 y ? b x ,即 bx ? ay ? 0 ,因为渐近线与圆相切,所以

a

a

圆 心 到 直 线 的 距 离 d ? 3b ? 2 , 即 9b2 ? 4 (a2 ? b2 ), 所 以 5b2 ? 4a2 , a2 ? b2

b2 ? 4 a2 ? c2 ? a2 ,即 9 a2 ? c2 ,所以 e2 ? 9 , e ? 3 5 ,选 A.

5

5

5

5

10 【云南省玉溪一中 2013 届高三第四次月考文】直线 l 过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点,

且交抛物线于 A, B 两点,交其准线于 C 点,已知| AF |? 4,CB ? 3BF ,则 p ? ( )

A. 2
【答案】C

B. 4 3

C. 8 3

D. 4

3

【 解 析 】 过 A,B 分 别 作 准 线 的 垂 线 交 准 线 于 E,D. 因 为 | AF |? 4,CB ? 3BF , 所 以

AE ? 4, CB ? 3 BF ,且 BF ? BD ,设 BF ? BD ? a,则 BC ? 3a ,根据三角形的

相似性可得

BD ?

CB

,即 a=

3a

GF CF

,解得 a?2 ,所以

?

,即

AE AC

4 3a ? a ? 4

AE AC

p = 3a ? a ? 4a ,所以 p ? 4a ? 8 ,选 C.

4 3a ? a ? 4 4a ? 4

a ?1 3

11 【山东省聊城市东阿一中 2013 届高三上学期期初考试

】过椭圆 x2 a2

?

y2 b2

?1(a ?b ? 0)

的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P , F2 为右焦点,若 ?F1PF2 ? 60 ,则椭圆的离心
率为 ( )

A. 2 2
【答案】B

B. 3 3

C. 1 2

D. 1 3

【解析】由题意知点

P

的坐标为(-c, b2 a

),或(-c,- b2 a

),因为 ?F1PF2

? 60

,那么

2c b2

?

3 ?2ac ?

3b2 ,这样根据 a,b,c 的关系式化简得到结论为 3 ,选 B 3

a

12 【云南省玉溪一中 2013 届高三上学期期中考试文】已知抛物线方程为 y2 ? 4x ,直线 l 的

方程为 x ? y ? 4 ? 0 ,在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离为 d1 ,P 到直线 l 的距离为

d2 ,则 d1 ? d2 的最小( )

A. 5 2 ? 2 2

B. 5 2 ? 1 2

C. 5 2 ? 2 2
4

D. 5 2 ?1 2

【答案】D
【解析】因为抛物线的方程为 y2 ? 4x ,所以焦点坐标 F(1, 0) ,准线方程为 x ? ?1 。因为点

P 到 y 轴 的 距 离 为 d1 , 所 以 到 准 线 的 距 离 为 d1 ? 1 , 又 d1 ?1 ? PF , 所 以

d1 ? d2 ? d1 ?1

? d2 1?

?P F

? d2 1,?焦点到直线的距离 d ? 1? 0 ? 4 ? 2

5 ? 5 2 ,而 22

PF

? d2

?

d

?

52 2

,所以 d1

?

d2

?

PF

? d2

?1?

52 2

? 1 ,选

D.

13 【山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试文】已知椭圆:x2 4

?

y2 b2

? 1(0 ? b ?

2) ,

左右焦点分别为 F1,F2 ,过 F1 的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,若| BF2 | ? | AF2 | 的最大值为

5,则 b 的值是

A.1

B. 2

C. 3

2

【答案】D

D. 3

【解析】由题意知 a ? 2 ,所以|BF2 | ? | AF2 | ? AB ? 4a ? 8 因为|BF2 | ? | AF2 | 的最大值

为 5 , 所 以 AB 的 最 小 值 为 3 , 当 且 仅 当 AB ? x 轴 时 , 取 得 最 小 值 , 此 时

A(?c, 3), B(?c, ? 3) , 代 入 椭 圆 方 程 得

2

2

c2 4

?

9 4b2

? 1 , 又 c2

?

a2 ? b2

?4

? b2, 所 以

4 ? b2 4

?

9 4b2

? 1,即1? b2 4

?

9 4b2

? 1,所以 b2 4

?

9 4b2

,解得 b2

? 3 ,所以 b

?

3 ,选 D.

14 【山东省兖州市 2013 届高三 9 月入学诊断检测 文】抛物线 y 2 ? 16 x 的准线


【答案】 ?4 【解析】在抛物线中 2 p ? 16, p ? 8 ,所以准线方程为 x ? ? p ? ?4 。
2 15【天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考文】以抛物线 y 2 ? 8x 的顶点为中心,

焦点为右焦点,且以 y ? ? 3x 为渐近线的双曲线方程是___________________

【答案】 x2 ? y2 ? 1 3

5

【解析】抛物线的焦点为 (2, 0) ,即双曲线的的焦点在 x 轴,且 c ? 2 ,所以双曲线的方程

可设为

x2 a2

?

y2 b2

? 1,双曲线的渐近线为

y

??b a

x

??

3x ,得 b ? a

3 ,所以 b ?

3a ,

b2 ? 3a2 ? c2 ? a2 ,即 4a2 ? c2 ? 4 ,所以 a2 ? 1, b2 ? 3 ,所以双曲线的方程为 x2 ? y2 ? 1。 3

16 【云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷(三)文】如图 4,椭圆的中心在坐标原

点, F 为左焦点, A 、 B 分别为长轴和短轴上的一个顶点,当 FB ? AB 时,此类椭圆称

为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推出“黄金双曲线”的离心率为



【答案】 1 ? 5 2
【解析】由图知, (a ? c)2 ? (b2 ? c2 ) ? c2 ,整理得 c2 ? ac ? a2 ? 0 ,即 e2 ? e ? 1 ? 0 ,解得

e ? 1 ? 5 ,故 e ? 1 ? 5 .

2

2

17 【山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试 文】已知点 P 是抛物线 y2 ? 4x 上的

动点,点 P 在 y 轴上的射影是 M,点 A 的坐标是(4,a),则当| a |? 4 时,| PA | ? | PM |

的最小值是



【答案】 a2 ? 9 ?1 【解析】当 x ? 4 时, y2 ? 4 ? 4 ? 16 ,所以 y ? ?4 ,即 y ? 4 ,因为| a |? 4 ,所以点 A

6

在抛物线的外侧,延长 PM 交直线 x ? ?1 ,

由抛物线

的定义可知 PN ? PM ?1 ? PF ,当,三点 A, P, F 共线时, | PA | ? | PF | 最小,此

时 为 | P A?| |?P F | , A又F 焦 点 坐 标 为 F( 1 , , 0所) 以

A F? ( 4 ?2 1 ?)2a ? ,92即a? P M ?1? P A的 最 小 值 为 a2 ? 9 , 所 以

P M ? P A的最小值为 a2 ? 9 ?1。

18 【山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试文】(本小题满分 12 分)设 F1,F2 分

别是椭圆: x2 a2

?

y2 b2

(a

?

b

?

0)

的左、右焦点,过

F1 倾斜角为 45?

的直线 l

与该椭圆相交于

P, Q 两点,且| PQ |? 4 a . 3
(Ⅰ)求该椭圆的离心率;

(Ⅱ)设点 M (0,?1) 满足| MP |?| MQ| ,求该椭圆的方程。

【 答 案 】 解 :( Ⅰ ) 直 线 PQ 斜 率 为 1 , 设 直 线 l 的 方 程 为 y ? x ? c , 其 中

c ? a2 ? b2 .…………2 分

设 P(x1, y1), Q(x2, y2 ) ,则 P,Q 两点坐标满足方程组

?y ? x?c

? ?

x

2

?? a 2

?

y2 b2

化简得 (a2 ?1

? b2)x2

? 2a2cx ?

a2 (c2

? b2 )

?

0

,则 x1

?

x2

?

? 2a2c a2 ? b2



x1x2

?

a2c2 ? b2 a2 ? b2

.

因为,所以| PQ |?

2 | x2 ? x1 |?

2[(x1

?

x2

)2

?

4x1x2

]

?

4 3

a

.………………6



7



4 3

a

?

4ab2 a2 ? b2

,故 a2

?

2b2 ,

所以椭圆的离心率 e ? c ? a2 ? b2 ? 2 . ……………………8 分

a

a

2

(Ⅱ)设 PQ 的中点为 N (x0 , y0 ) ,由(1)知 x0

?

x1 ? x2 2

?

? a2c a2 ? b2

?

?

2 3

c,

y0

?

x0

?c

?

c. 3

由| MP |?| MQ | 得 kMN ? ?1. ……………………10 分

即 y0 ?1 ? ?1 ,得 c ? 3,从而 a ? 3 2, b ? 3 .故椭圆的方程为 x2 ? y2 ? 1…………12 分

x0

18 9

19 【山东省济南外国语学校 2013 届高三上学期期中考试 文科】(本小题满分 12 分)

如图,直线 l :y=x+b 与抛物线 C :x2=4y 相切于点 A。 (1) 求实数 b 的值; (11) 求以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程.

【答案】(I)由

?y ? x?b

? ?

x2

?

4y



x2

?

4x

?

4b

?

0

(? )

因为直线 l 与抛物线 C 相切,所以 ? ? (?4)2 ? 4 ? (?4b) ? 0 ,解得 b ? ?1…………5 分

(II)由(I)可知 b ? ?1,故方程( ? )即为 x2 ? 4x ? 4 ? 0 ,解得 x ? 2 ,将其代入 x2 ? 4 y ,得

y=1,故点 A(2,1).因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切,所以圆心 A 到抛物线 C 的准线 y=-1 的距

离等于圆 A 的半径 r,即 r=|1-(-1)|=2,所以圆 A 的方程为 (x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 4 …….12 分

20 【山东省兖州市 2013 届高三 9 月入学诊断检测 文】(本小题满分 13 分)

已知椭圆 C: x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) .

8

(1)若椭圆的长轴长为 4,离心率为 3 ,求椭圆的标准方程; 2
(2)在(1)的条件下,设过定点 M(0,2)的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A、B, 且∠AOB 为锐角(其中 O 为坐标原点),求直线 l 的斜率 k 的取值范围;
【答案】(1)椭圆 C: x2 ? y2 ? 1………6 分 4

21 【山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试 文】(本小题满分 13 分)

已知椭圆 C :

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

? 0) 的离心率为

6 ,短轴一个端到右焦点的距离为 3

3。
(1)求椭圆 C 的方程:

(2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为 3 ,求△AOB 2
面积的最大值。 【答案】

9

22 【云南省玉溪一中 2013 届高三第三次月考文】(本小题满分 12 分)已知定点 A(1, 0) 和定 直线 x ? ?1上的两个动点 E 、 F ,满足 AE ? AF ,动点 P 满足 EP // OA, FO // OP (其中 o 为 坐标原点). (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 B(0,2) 的直线 l 与(1)中轨迹 C 相交于两个不同的点 M 、 N ,若 AM ? AN ? 0 ,求 直线 l 的斜率的取值范围.
【答案】解:(1)设 P(x, y), E(?1, y1), F(?1, y2 )( y1 、 y2 均不为 0)
10

由 EP// OA得y1 ? y,即E(?1, y) ………………………………2 分

由 FO // OP得y2

?

?

y x

, 即 F (?1,?

y ) ………………………………4 分 x

由 AE ? AF 得 AE? AF ? 0 ? (2,?y1) ? (2, y2 ) ? 0 ? y1 y2 ? ?4 ? y2 ? 4x(x ? 0) ∴动点 P 的轨迹 C 的方程为 y 2 ? 4x(x ? 0) ……………………6 分

(2)设直线

l

的方程

y

?

kx?

2(k

?

0),

M

(

y12 4

,

y1 ),

N(

y

2 2

4

,

y2

)

?y ? kx?

联立得

? ?

y

2

?

4x

2消去x得ky2

?

4y

?8

?

0

? y1

?

y2

?

4 k , y1 y2

?

8 , ………………………………8 k



且 ? ? 16 ? 32k ? 0即k ? 1 . 2

? AM

?

AN

?

( y12 4

? 1,

y1

)

?

(

y22 4

?1, y2 )

?

( y12 4

? 1)(

y

2 2

4

?1) ?

y1 y2

?

y12 y22 16

?

1 4

(

y12

?

y

2 2

)

?

y1 y2 ? 1

?

4 k2

?

1 16 4 (k 2

? 16) ? k

8 k

?1?

k

? 12 k

…………………………10 分

? AM ? AN ? 0,? ?12 ? k ? 0.

………………………………12 分

23

【天津市新华中学

2012

届高三上学期第二次月考文】椭圆

C

:

x a

2 2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0)

的 右 焦 点 为 F , 椭 圆 C 与 x 轴 正 半 轴 交 于 A 点 , 与 y 轴 正 半 轴 交 于 B(0,2) , 且

BF ? BA ? 4 2 ? 4 ,过点 D(4,0) 作直线 l 交椭圆于不同两点 P,Q (1)求椭圆 C 的方程; (2)求直线 l 的斜率的取值范围; (3)若在 x 轴上的点 M (m,0) ,使 MP ? MQ ,求 m 的取值范围。
【答案】解:?b ? 2 A(a,0) F (0,0) B(0,2)

? BF ? BA ? 4 2 ? 4 ,? ac ? 4 2

11

a 2 ? c2 ? 4 ?a4 ? 4a2 ? 32 ? 0 ,

(a 2 ? 8)(a 2 ? 4) ? 0

? a 2 ? 8 c2 ? 4 ,? x 2 ? y 2 ? 1 84

(2)

?? ? ??

y?k x2 ? 8

(x ? 4) y2 ?1 4



(1

?

2k 2 )x2

? 16 k

2x

?

32k 2

?8

?

0

?? ? 0 ,? (16k 2 )2 ? 4(1 ? 2k 2 )(32k 2 ? 8) ? 0

8k 4 ? 4k 2 ? 8k 4 ?1 ? 2k 2 ? 0, 2k 2 ? 1 , ? 2 ? k ? 2

2

2

(3)?

MP

?

MQ

,?M



P

Q

中垂线上,

P

Q

中点

N

( 1

8k 2 ? 2k

2

? 4k

,

)

1 ? 2k 2

PQ 中垂线

24 【云南省玉溪一中 2013 届高三第四次月考文】(本题 12 分)如图所示,已知椭圆 C1 和 抛物线 C2 有公共焦点 F(1,0) , C1 的中心和 C2 的顶点都在坐标原点,过点 M (4,0) 的直
12

线 l 与抛物线 C2 分别相交于 A, B 两点

(Ⅰ)写出抛物线 C2

的标准方程;(Ⅱ)若

AM

?

1 2

MB

,求直线 l

的方程;

(Ⅲ)若坐标原点 O 关于直线 l 的对称点 P 在抛物线 C2 上,直线 l 与椭圆 C1 有公共点,求 椭圆 C1 的长轴长的最小值。

【答案】解:(1)
(2)设

(3) 13

椭圆设为 消元整理

25 【云南省玉溪一中 2013 届高三上学期期中考试文】 (本题满分 12 分)已知椭圆的中心在

原点,焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M(2,1),平行于 OM 的直线 l 在 y

轴上的截距为 m(m≠0), l 交椭圆于 A、B 两个不同点。

(1)求椭圆的方程;

(2)求 m 的取值范围;

(3)求证直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形.

x2 【答案】解:(1)设椭圆方程为 a 2

? y2 b2

? 1(a ? b ? 0)

?a ? 2b

?

则? 4 ?? a 2

?

1 b2

? 1解得?????ba22

?8 ?2

x2 y2 ∴椭圆方程为 ? ? 1
82

(2)∵直线 l 平行于 OM,且在 y 轴上的截距为 m ; 又 KOM= 1 2

?l的方程为:y ? 1 x ? m 2



? ?? ? ? ??

y?1 2
x2 ? 8

x?m ?
y2 ?1 2

x2

?

2mx

?

2m 2

?

4

?

0

∵直线 l 与椭圆交于 A、B 两个不同点,

14

?? ? (2m)2 ? 4(2m2 ? 4) ? 0, 解得 ? 2 ? m ? 2,且m ? 0
(3)设直线 MA、MB 的斜率分别为 k1,k2,只需证明 k1+k2=0 即可

设 A(x1, y1), B(x2 , y2 )

则 k1

?

y1 x1

? ?

1 2

,

k

2

?

y2 ?1 x2 ? 2

由 x2 ? 2mx ? 2m2 ? 4 ? 0 可得 x1 ? x2 ? ?2m, x1x2 ? 2m2 ? 4

而 k1

?

k2

?

y1 ? 1 x1 ? 2

?

y2 ?1 x2 ? 2

?

( y1

?1)( x2 ? 2) ? ( y2 ?1)( x1 (x1 ? 2)( x2 ? 2)

? 2)

?

(1 2

x1

?

m

? 1)(x2

?

2)

?

(1 2

x2

?

m

? 1)(x1

?

2)

(x1 ? 2)(x2 ? 2)

? x1x2 ? (m ? 2)(x1 ? x2 ) ? 4(m ?1) (x1 ? 2)(x2 ? 2)

? 2m2 ? 4 ? (m ? 2)(?2m) ? 4(m ?1) (x1 ? 2)(x2 ? 2)

? 2m2 ? 4 ? 2m2 ? 4m ? 4m ? 4 ? 0 (x1 ? 2)(x2 ? 2)
? k1 ? k2 ? 0

故直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形.

26 【云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷(三)文】(本小题满分 12 分)已知直线

y

?

?x

?

1

与椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

? 0) 相交于

A 、 B 两点.

(1)若椭圆的离心率为 2 ,焦距为 2,求线段 AB 的长; 2

(2)若向量

OA

与向量

OB

互相垂直(其中

O

为坐标原点),当椭圆的离心率

e

?

?
? ?

1 2

,

2?

2

? ?

时,求椭圆长轴长的最大值.

【答案】解:(Ⅰ) e ? 2 ,2c ? 2 ,?a ? 2 ,c ? 1, 2

则b ? a2 ? c2 ? 1,

?椭圆的方程为 x2 ? y=1 , 2

15

? x2

联立

? ?

2

? y=1,消去y得:3x2

? 4x ? 0 ,设A(x1,y1 ),

B(x2,y2 ) ,

?? y ? ?x ? 1,



A

? ??

4 3

,

?

1 3

? ??

,

B(0,

1),

?

AB

?4 3

2.

分)

……………………………………………(6

(Ⅱ)设 A(x1 ,y1 ) ,B(x2 ,y2 ) .

OA ? OB ,?OA OB =0 ,即x1x2 ? y1 y2 ? 0 ,

? x2



? ?

a

2

?

y2 b2

? 1,消去y得(a2

? b2 )x2

? 2a2 x ? a2 (1 ? b2 ) ? 0 ,

?? y ? ?x ? 1,

由?=(?2a2 )2 ? 4a2 (a2 ? b2 )(1 ? b2 ) ? 0 ,整理得 a2 ? b2 ?1 ,

又x1

?

x2

?

2a2 a2 ? b2

,x1 x2

?

a2 (1 ? b2 ) a2 ? b2



?y 1

y2

?

(? x1

? 1)(?x2

? 1)

?

x1 x2

?

(x1 +x2 )+1 ,

由x1x2 ? y1 y2 ? 0 得2x1x2 ? (x1 ? x2 ) ? 1 ? 0 ,

? 2a2 (1 ? b2 ) ? 2a2 ? 1 ? 0 ,

a2 ? b2

a2 ? b2

整理得:a2 ? b2 ? 2a2b2 ? 0 ,

b2 ? a2 ? c2 ? a2 ? a2e2 ,代入上式得

2a2

?1?

1 1 ? e2

,? a 2

?

1 2

???1 ?

1 1 ? e2

? ??



1 ≤ e ≤ 2 ,? 1 ≤ e2 ≤ 1 ,

2

24

2

? 1 ≤1 ? e2 ≤ 3 ,? 4 ≤ 1 ≤ 2,

2

4 3 1 ? e2

? 7 ≤1 ? 1 ≤3,

3

1 ? e2

? 7 ≤ a2 ≤ 3,适合条件a2 ? b2 ? 1,

6

2

由此得 42 ≤ a ≤ 6 ,? 42 ≤ 2a ≤ 6 ,

6

2

3

故长轴长的最大值为 6 . …………………………………………………………(12

分)
16

17


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