高中数学高考高三理科一轮复习资料第8章 8.3 圆的方程

高中数学 8.3 圆的方程 考纲点击 1.掌握确定圆的几何要素. 2.掌握圆的标准方程与一般方程. 说基础 课前预习读教材 考点梳理 一、圆的方程的两种形式 1.圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2,方程表示圆心为①__________,半 径为②______的圆. 2.圆的一般方程 对于方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 (1)当 D2+E2-4F>0 时, 表示圆心为③____________, 半 径为④________________的圆; (2)当 D2+E2-4F=0 时,表示一个点⑤____________; (3)当 D2+E2-4F<0 时,它不表示任何图形. 二、点与圆的位置关系 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心 A(a,b),半径 r, 若点 M(x0,y0)在圆上,则(x0-a)2+(y0-b)2=⑥______; 若点 M(x0,y0)在圆外,则(x0-a)2+(y0-b)2⑦______; 若点 M(x0,y0)在圆内,则(x0-a)2+(y0-b)2⑧______. 答案: ①(a ,b) ? D E? ⑤?- 2 ,- 2 ? ? ? ②r ⑦>r2 ? D E? ③ ?- 2 ,- 2 ? ? ? 1 2 ④2 D +E2-4F ⑥r2 ⑧<r2 考点自测 1.圆 x2+y2-4x+6y=0 的圆心坐标是( A.(2,3) B.(-2,3) C.(-2,-3) D.(2,-3) ) 解析: 原式化为(x-2)2+(y+3)2=13, 可知圆心坐标为(2, -3). 答案:D 2.点 P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1 的内部,则实数 a 的取值范围是( ) 1 A.{a||a|<1} B.{a||a|<5} 1 1 C.{a||a|<12} D.{a||a|<13} 解析: 当点 P 在圆的内部时, 点 P 到圆心的距离小于该圆 1 1 2 2 2 的半径,即有(5a) +(12a) <1?a <132?|a|<13. 答案:D ( 3.以线段 AB:x+y-2=0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为 ) A.(x+1)2+(y+1)2=2 B.(x-1)2+(y-1)2=2 C.(x+1)2+(y+1)2=8 D.(x-1)2+(y-1)2=8 解析: 线段 AB: x+y-2=0(0≤x≤2)的两端点分别为(2,0)、 (0,2),所以圆心为(1,1), 1 2 又因为圆半径为 2 +22= 2, 2 所以圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2. 答案:B ( 4.方程 x2+y2+4mx-2y+5m=0 表示圆的充要条件是 ) 1 1 A.4<m<1 B.m<4或 m>1 1 C.m< D.m>1 4 解析:由 D2+E2-4F=16m2+4-20m>0, 1 解得:m>1 或 m<4,故选 B. 答案:B 5.圆心在 y 轴上,半径为 5 且过点 A(3,-4)的圆的方程 为__________________________. 解析:设圆心为(0,b),则 ?0-3?2+?b+4?2=5, 即 b2+8b=0,则 b=0 或 b=-8. 故圆的方程为:x2+y2=25 或 x2+(y+8)2=25. 答案:x2+y2=25 或 x2+(y+8)2=25 说考点 拓展延伸串知识 疑点清源 1.确定圆的方程的主要方法是待定系数法.如果选择标准 方程,一般步骤为: (1)根据题意, 设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2; (2)根据已知条件,建立关于 a、b、r 的方程组; (3)解方程组,并把它们代入所设的方程中,整理后,就得 到所求. 求圆的标准方程时,尽量利用圆的几何性质,可以大大地 减少计算量. 2.如果已知条件中圆心的位置不能确定,可考虑选择圆 的一般方程,圆的一般方程也含有三个独立的参数,因此,必 须具备三个独立的条件,才能确定圆的一般方程,其方法仍采 用待定系数法.设所求圆的方程为:x2+y2+Dx+Ey+F=0, 由三个条件得到关于 D、E、F 的一个三元一次方程组,解方 程组,求出参数 D、E、F 的值即可. 题型探究 题型一 求圆的方程 例 1 根据下列条件求圆的方程: (1)经过点 P(1,1)和坐标原点,并且圆心在直线 2x+3y+1 =0 上; (2)圆心在直线 y=-4x 上,且与直线 l:x+y-1=0 相切 于点 P(3,-2); (3)过三点 A(1,12),B(7,10),C(-9,2). 解析:(1)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 由题意列出方程组 ?a2+b2=r2, ? 2 2 2 ??a-1? +?b-1? =r , ?2a+3b+1=0, ? ?a=4, ? 解之得?b=-3, ?r2=25. ? ∴圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25 (2)方法一:设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, ? ?b=-4a, ??3-a?2+?-2-b?2=r2, 则有? ?|a+b-1| =r. ? 2 ? 解得 a=1,b=-4,r=2 2. ∴圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8. 方法二: 过切点且与 x+y-1=0 垂直的直线为 y+2=x- 3,与 y=-4x 联立可求得圆心为(1,-4). ∴半径 r=2 2, ∴所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8. (3)方法一:设圆的一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0, ?1+144+D+12E+F=0, ? 则?49+100+7D+10E+F=0, ?81+4-9D+2E+F=0. ? 解得:D=-2,E=-4,F=-95. ∴所求圆的方程为 x2+y2-2x-4y-95=0. 方法二:由 A(1,12),B(7,10), 1 得 A、B 的中点坐标为(4,11),kA

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