2009年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)

绝密★启用前

试卷类型:A

2009 年深圳市高三年级第一次调研考试 数学(理科)
本试卷共 6 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损,监考教师分发的考生信息条形码是否正确;之后 务必用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号,同时,将 监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区,请保持条形码整洁、不污损。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上。不按要求填涂的,答案无效。 3.非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位 置上,请注意每题答题空间,预先合理安排;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答 案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答。漏涂、错涂、多涂的答 案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回。 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P ( A + B ) = P ( A) + P ( B ) ; 如果事件 A、B 相互独立,那么 P ( AB ) = P ( A) P ( B ) ; 椭圆

2009.3

x2 y2 a2 2 2 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的准线方程为 x = ± ,其中 c = a ? b ; 2 c a b 4 3 2 若球的半径为 R ,则球的表面积为 S = 4πR ,体积为 V = πR . 3

一、选择题:本大题共 8 个小题;每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项是符合题目要求的.
1.如果复数 ( 2 + ai )i ( a ∈ R ) 的实部与虚部互为相反数,则 a 的值等于 A. ? 1 B. 1 C. ? 2 D. 2 数据,可得该

2.右图是一个几何体的三视图,根据图中 几何体的表面积是 A. 32π B. 16π C. 12π D. 8π
俯视图

2 4
正(主)视图

4
侧(左)视图

y

1 ?1 o
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1 ?1

x

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3.若函数 f ( x) = log a ( x + b) 的图象如右图,其中 a, b 为常数.则函数 g ( x ) = a + b 的大致图象是
x

y

y

y

y

1 ?1 o
A.

1 ?1

x
B.
2

?1

1

o ?1

1
x
C.

?1

1

o ?1

1
x
D.

1 ?1 ?1
o

1

x

4.设平面区域 D 是由双曲线 y ?

x2 x2 = 1 的两条渐近线和椭圆 + y 2 = 1 的右准线所围成三角形的边界 4 2 及内部.若点 ( x, y ) ∈ D ,则目标函数 z = x + y 的最大值为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 6

a1
5.定义行列式运算:

a2 a4

a3

= a1 a 4 ? a 2 a3 , 将函数 f ( x) =

3 1

cos x sinx
5 6

的图象向左平移 m 个单位

(m > 0) ,若所得图象对应的函数为偶函数,则 m 的最小值是 2π π π A. B. C. 3 3 8
6.利用计算机在区间 (0, 1) 上产生两个随机数 a 和 b ,则方程 x = ?2a ? A.

D. π

1 2

B.

1 3

C.

1 6

b 有实根的概率为 x 2 D. 3

7.在右图的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行成等差数列,每一纵列 成等比数列,那么 x + y + z 的值为 A. 1 C. 3 B. 2 D. 4

2
1

4 2

x
y
z

8.用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为 1, 2, L , 9 的 9 个小正方形(如右 图) 使得任意相邻 , (有公共边的) 小正方形所涂颜色都不相同, 且标号为 1 、 “

1 4 7

2 5 8

3 6 9

5 、 9 ”的小正方形涂相同的颜色,则符合条件的所有涂法共有
A. 108 种 C. 48 种 B. 60 种 D. 36 种

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.本大题分为必做题和选做题两部分. (一)必做题:第 9、10、11、12 题为必做题,每道试题考生都必须做答

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9.某大型超市销售的乳类商品有四种:纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉,且纯奶、酸奶、婴幼儿奶 粉、成人奶粉分别有 30 种、10 种、 35 种、 25 种不同的品牌.现 采用分层抽样的方法从中抽取一个 容量为 n 的样本进行三聚氰胺安全检测,若抽取的婴幼儿奶粉的品牌数是 7 ,则 n = 10 . 已 知 n 为 正 偶 数 , 且 ( x ?
2



1 n ) 的展开式中第 4 项的二项式系数最大,则第 4 项的系数 2x



. (用数字作答)
2

11.已知命题 p : ?x ∈ R , x + 2ax + a ≤ 0 .若命题 p 是假命题,则实数 a 的取值范围是 12.已知 AD 是 ?ABC 的中线, AD = λ AB + ? AC (λ ,



? ∈ R) ,那么 λ + ? =

;若 ∠A = 120° ,

uuu uuur r uuur AB ? AC = ?2 ,则 AD 的最小值是



(二)选做题:第 13、14、15 题为选做题,考生只能选做两题,三题全答的,只计算前两题 的得分.
13. (坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系中,曲线 C1 的参数方程为 ? 的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C 2 在极坐标系中的方程为 ρ = 两个不同的交点,则实数 b 的取值范围是 .

? x = cos θ , θ ∈ [0, π ] ,以 x 轴 ? y = sin θ

b . 若曲线 C1 与 C 2 有 sin θ ? cos θ
A
D

C

14. (几何证明选讲选做题)如图, PT 切⊙ O 于点 T , PA 交⊙ O 于 A 、

B 两点,且与直径 CT 交于点 D , CD = 2 , AD = 3 , BD = 6 ,
则 PB = .

O?

B

T

P

15. (不等式选讲选做题)若不等式 a ? 1 ≥ x + 2 y + 2 z ,对满足 x 2 + y 2 + z 2 = 1 的一切实数 x 、 y 、 z 恒成立,则实数 a 的取值范围是 .

三、解答题:本大题 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) =

3 (sin 2 x ? cos 2 x) ? 2 sin x cos x .

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)设 x ∈ [ ?

π π

, ] ,求 f ( x) 的值域和单调递增区间. 3 3

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17. (本小题满分 12 分) 如 图 , AB 为 圆 O 的 直 径 , 点 E 、 F 在 圆 O 上 , 形 ABCD 所 在平 面和圆 O 所 在的平 面互相垂 直.已 知

C

AB // EF , 矩
D B

AB = 2
E



EF = 1 .
(Ⅰ)求证:平面 DAF ⊥ 平面 CBF ; (Ⅱ)求直线 AB 与平面 CBF 所成角的大小; (Ⅲ)当 AD 的长为何值时,二面角 D ? FE ? B 的大小为 60 ?
o

.
A

O F

18. (本小题满分 14 分) 开始 甲乙两人进行围棋比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分(无平局) , 比赛进行到有一人比对方多 2 分或打满 6 局时停止.设甲在每局中获胜的概 率为 p ( p > 概率为

n = 0, S = 0, T = 0
输入 a, b

1 ) ,且各局胜负相互独立.已知第二局比赛结束时比赛停止的 2

5 . 9
序框图.其中如果甲获胜,输入 a = 1 , b = 0 ;如果乙获胜,则 输入 a = 0, b = 1 .请问在第一、第二两个判断框中应分别填写什

(Ⅰ)若右图为统计这次比赛的局数 n 和甲、乙的总得分数 S 、 T 的程

S = S + a, T = T + b

M = S ?T
n = n +1

么条件? (Ⅱ)求 p 的值; (Ⅲ)设 ξ 表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量 ξ 的分布列和数 学期望 Eξ . 注: n = 0 ” “ ,即为“ n ← 0 ”或为“ n := 0 ” .

?
N N

Y

?
Y
输出 n, S , T

结束 19. (本题满分 14 分)

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已知函数 f ( x) = a ln(1 + 2 x) ? x 2 ( a > 0 , x ∈ (0, 1] ) . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅱ)若不等式 1 + n λ ≥ n ln(1 +
2 2

2 ) 对一切正整数 n 恒成立,求实数 λ 的取值范围. n

20. (本题满分 14 分) 在四边形 ABCD 中,已知 A(0, 0), D (0, 4) ,点 B 在 x 轴上, BC // AD ,且对角线 AC ⊥ BD . (Ⅰ)求点 C 的轨迹方程; (Ⅱ)若点 P 是直线 y = 2 x ? 5 上任意一点,过点 P 作点 C 的轨迹的两切线 PE 、 PF , E 、 F 为切 点, M 为 EF 的中点.求证: PM ⊥ x 轴; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,直线 EF 是否恒过一定点?若是,请求出这个定点的坐标;若不是,请说明 理由.

21. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) = x ?
2

1 1 x + , f ′( x) 为函数 f ( x) 的导函数. 2 4
? ?

(Ⅰ)若数列 {an } 满足: a1 = 1 , an +1 = f ′( an ) + f ′( n) ( n ∈ N ) ,求数列 {an } 的通项 an ; (Ⅱ)若数列 {bn } 满足: b1 = b , bn +1 = 2 f (bn ) ( n ∈ N ) . (ⅰ)当 b =

1 时,数列 {bn } 是否为等差数列?若是,请求出数列 {bn } 的通项 bn ;若不是,请 2

说明理由; (ⅱ)当
n 1 1 2 < b < 1 时,求证: ∑ < . 2 2b ? 1 i =1 bi

2009 年深圳市高三年级第一次调研考试 数学(理科) 数学(理科)答案及评分标准
说明: 说明: 本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同, 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比 照评分标准制订相应的评分细则. 照评分标准制订相应的评分细则. 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时 如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度, 在某一步出现错误时, 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影 响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误, 响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误, 就不再给分. 就不再给分. 解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
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四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数. 只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数.

一、选择题:本大题每小题 5 分,满分 40 分. 1 D 9. n = 20 . 13. 1 ≤ b < 2 C 3 D 4 C 5 A 6 B 7 B 8 A

二、填空题:本大题每小题 5 分(第 12 题前空 2 分,后空 3 分),满分 30 分. 10.

?5 2



11. 0 < a < 1 . 15. a ≥ 4或a ≤ ?2 .

12. 1 ; 1 .

2.

14. 15 .

三、解答题:本大题 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) =

3 (sin 2 x ? cos 2 x) ? 2 sin x cos x .学科网

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)设 x ∈ [ ?

π π

, ] ,求 f ( x) 的值域和单调递增区间.学科 3 3

网【解】 (Ⅰ)∵ 学科网 f ( x ) = ? 3 (cos 2 x ? sin 2 x ) ? 2 sin x cos x = ? 3 cos 2 x ? sin 2 x

= ?2 sin(2 x +

π
3

).

…………………… 3 分 ………………… 5 分

∴ f (x) 的最小正周期为 π .
(Ⅱ)∵ x ∈ [ ?

π π
3 3 ,

] , ∴?

π
3

≤ 2x +

π
3

≤π ,

∴?

3 π ≤ sin(2 x + ) ≤ 1 . 2 3
……………… 10 分

∴ f (x) 的值域为 [?2, 3 ] .
Q 当 y = sin(2 x +

π
3

) 递减时, f ( x) 递增.



π
2

≤ 2x +

π
3

≤ π ,即

π
12

≤x≤

π


3
……………………12 分

故 f ( x ) 的递增区间为 ?

?π π ? , ?. ?12 3 ?

17. (本小题满分 12 分) 如图, AB 为圆 O 的直径,点 E 、 F 在圆 O 上, AB // EF ,矩形 ABCD 和圆 O 所在的平面互相垂直.已 知 AB = 2 , EF = 1 . (Ⅰ)求证:平面 DAF ⊥ 平面 CBF ; C (Ⅱ)求直线 AB 与平面 CBF 所成角的大小; (Ⅲ)当 AD 的长为何值时,二面角 D ? FE ? B 的大小为 60 ?
o

【解】 (Ⅰ)证明:Q 平面 ABCD ⊥ 平面 ABEF , CB ⊥ AB , 平面 ABCD I 平面 ABEF = AB ,

D

B
H

∴CB ⊥ 平面 ABEF .
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.

E

O

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A

F M

Q AF ? 平面 ABEF ,∴ AF ⊥ CB , 又Q AB 为圆 O 的直径,∴ AF ⊥ BF , ∴ AF ⊥ 平面 CBF . Q AF ? 平面 ADF ,∴ 平面 DAF ⊥ 平面 CBF . …………4 分 (Ⅱ)根据(Ⅰ)的证明,有 AF ⊥ 平面 CBF ,∴ FB 为 AB 在 平面 CBF 上的射影, 因此, ∠ABF 为直线 AB 与平面 CBF 所成的角. ………………………5 分 Q AB // EF ,∴ 四边形 ABEF 为等腰梯形, 过点 F 作 FH ⊥ AB ,交 AB 于 H . AB ? EF 1 AB = 2 , EF = 1 ,则 AH = = . 2 2
在 Rt?AFB 中,根据射影定理 AF 2 = AH ? AB ,得 AF = 1 . …………7 分

sin ∠ABF =

AF 1 = ,∴ ∠ABF = 30 o . AB 2
…………8 分

∴ 直线 AB 与平面 CBF 所成角的大小为 30 o .

(Ⅲ)设 EF 中点为 G ,以 O 为坐标原点, OA 、 OG 、 AD 方向分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴方向建立空间直 角坐标系(如图)设 AD = t (t > 0) ,则点 D 的坐标为 (1, 0, t ) 设平面 DEF 的法向量为 n1 = ( x, y, z ) ,则 n1 ? DF = 0 , n1 ? DE = 0 .

?? 1 x + 23 y ? tz = 0, ? 2 即? 3 y ? tz = 0. ?? 3 x + 2 ? 2 ∴ n1 = (0, 2t , 3 )

令z =

3 ,解得 x = 0, y = 2t

………………10 分
o

取平面 BEF 的一个法向量为 n 2 = (0, 0, 1) ,依题意 n1 与 n 2 的夹角为 60

∴ cos 60 o =

n1 ? n 2 n1 ? n 2
,即

1 0+0+ 3 3 = , 解得 t = ± (负值舍去) 2 2 4t 2 + 3 ? 1
开始

因此,当 AD 的长为

3 o 时,二面角 D ? FE ? B 的大小为 60 .………12 分 2

18. (本小题满分 14 分) 甲乙两人进行围棋比赛,约定每局胜者得 1 分, 负者得 0 分,比赛进行到有一人比对方多 2 分或打满

n = 0, S = 0, T = 0
输入 a, b

1 6 局时停止.设甲在每局中获胜的概率为 p ( p > ) , 2
且各局胜负相互独立.已知第二局比赛结束时比赛 停止的概率为

S = S + a, T = T + b

5 . 9

M = S ?T
n = n +1
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若右图为统计这次比赛的局数 n 和甲、乙的总得
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?

Y

分数 S 、 T 的程序框图.其中如果甲获胜,输入 a = 1 ,

b = 0 ;如果乙获胜,则输入 a = 0, b = 1 .
(Ⅰ)在右图中,第一、第二两个判断框应分别填 写什么条件? (Ⅱ)求 p 的值; (Ⅲ) ξ 表示比赛停止 设 变量

ξ
P

2

4

6 时已比赛的局数, 求随机

ξ 的分布列和数学期望

5 9

20 81

16 81

Eξ .

18.【解】 (Ⅰ)程序框图中的第一个条件框应填 M = 2 ,第二个应填 n = 6 . 注意:答案不唯一.

……… 4 分

如:第一个条件框填 M > 1 ,第二个条件框填 n > 5 ,或者第一、第二条件互换.都可以. (Ⅱ)依题意,当甲连胜 2 局或乙连胜 2 局时,第二局比赛结束时比赛结束.

∴ 有 p 2 + (1 ? p ) 2 =
解得 p =

5 . 9
………………………6 分

2 1 或p= . 3 3 ∴p= 2 . 3

Qp>

(Ⅲ)依题意知,依题意知, ξ 的所有可能值为 2,4,6. 设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为

1 , 2

………… 7 分 ………… 8 分

5 . 9

若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止 没有影响. 从而有 P (ξ = 2) = 5 , 9

5 5 20 5 5 16 P (ξ = 4) = (1 ? )( ) = , P (ξ = 6) = (1 ? )(1 ? ) ? 1 = . 9 9 81 9 9 81
………… 12 分

∴ 随机变量 ξ 的分布列为:

5 20 16 266 故 Eξ = 2 × + 4 × + 6 × = . 9 81 81 81
19. (本题满分 14 分)
2 . 已知函数 f ( x) = ln(1 + ax) ? x ( a > 0 , x ∈ (0, 1] )

……………… 14 分

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(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若不等式

1 2 + λ ≥ ln(1 + ) 对一切正整数 n 恒成立,求实数 λ 的取值范围. 2 n n a 【解】 (Ⅰ) f ′( x ) = ? 2x ………………… 2 分 1 + ax

=

? 2ax 2 ? 2 x + a , 1 + ax
2

? 1 ± 2a 2 + 1 由 ? 2ax ? 2 x + a = 0 ,得 x = . 2a
Q a > 0 ,∴

? 1 ? 2a 2 + 1 ? 1 + 2a 2 + 1 < 0, > 0. 2a 2a
a 2a + 1 + 1
2

? 1 + 2a 2 + 1 = 又Q 2a

< 1.

∴ 函数 f ( x) 的单调递增区间为 (0,

2a 2 + 1 ? 1 2a 2 + 1 ? 1 ) ,递减区间为 ( , 1) . ………… 6 分 2a 2a

(Ⅱ) 【法一】不等式

1 2 2 1 + λ ≥ ln(1 + ) ,即为 λ ≥ ln(1 + ) ? 2 .……………(※) 2 n n n n



1 = x ,当 n ∈ N ? 时, x ∈ (0, 1] . n
…………………9 分

则不等式(※)即为 λ ≥ ln(1 + 2 x ) ? x 2 . 令 g ( x ) = ln(1 + 2 x ) ? x 2 , x ∈ (0,1] ,

Q 在 f (x) 的表达式中,当 a = 2 时, f (x) = g (x) ,

? 1 + 2a 2 + 1 1 又Q a = 2 时, = , 2a 2
1 1 ∴ g (x) 在 (0, ) 单调递增,在 ( , 1) 单调递减. 2 2 1 1 1 g (x) 在 x = 时,取得最大,最大值为 g ( ) = ln 2 ? . …………………12 分 2 2 4 2 1 1 因此,对一切正整数 n ,当 n = 2 时, ln(1 + ) ? 2 取得最大值 ln 2 ? . n n 4 1 ∴ 实数 λ 的取值范围是 λ ≥ ln 2 ? . ………………………… 14 分 4 1 2 2 1 【法二】不等式 2 + λ ≥ ln(1 + ) ,即为 λ ≥ ln(1 + ) ? 2 .………………(※) n n n n 2 1 设 g ( x ) = ln(1 + ) ? 2 ( x ≥ 1) , x x

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2 2 2 ? 2x 2 + 2x + 4 g ′( x) = x 2 + 3 = , 1+ x x x 3 ( x + 2) ?
令 g ′( x ) = 0 ,得 x = ?1 或 x = 2 . ………………………… 10 分

Q 当 x ∈ (1, 2) 时, g ′( x) > 0 ,当 x ∈ (2, + ∞ ) 时, g ′( x) < 0 . ∴ 当 x = 2 时, g (x) 取得最大值 ln 2 ?

1 . 4 1 因此,实数 λ 的取值范围是 λ ≥ ln 2 ? . 4

………………………… 14 分

20. (本题满分 14 分) 在四边形 ABCD 中,已知 A(0, 0), D (0, 4) ,点 B 在 x 轴上, BC // AD ,且对角线 AC ⊥ BD . (Ⅰ) 求点 C 的轨迹 T 的方程; (Ⅱ)若点 P 是直线 y = 2 x ? 5 上任意一点,过点 P 作点 C 的轨迹 T 的两切线 PA 、 PB , A 、 B 为切点,

M 为 AB 的中点.求证: PM // y 轴或 PM 与 y 轴重合; (Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,直线 AB 是否恒过一定点?若是,请求出这个定点的坐标;若不是,请说明理由.
【解】 (Ⅰ)如图,设点 C 的坐标为 ( x, y ) ( x ≠ 0, y ≠ 0) , 则 B ( x, 0), AC = ( x, y ), BD = ( ? x, 4) , O

y
D

uuur

uuu r

uuur uuu r 1 Q AC ⊥ BD ,∴ x ? (? x) + y ? 4 = 0 ,即 y = x 2 (x ≠ 0). 4 O ∴所求的轨迹 T 是除去顶点的抛物线 ……………… 3 分 x B A 1 2 1 (解法一)(Ⅱ)对函数 y = x 求导得, y′ = x . 4 2 1 2 1 1 2 1 设切点坐标为 ( x0 , x0 ) ,则过该切点的切线的斜率是 x0 ,该切线方程是 y ? x0 = x0 ( x ? x0 ) . 4 2 4 2 又设点 P 的坐标为 (t , 2t ? 5) , 1 2 1 Q 切线过点 P ,∴ 有 2t ? 5 ? x 0 = x0 (t ? x0 ) , 4 2 2 化简,得 x0 ? 2tx0 + 8t ? 20 = 0 . …………………………6 分 1 2 1 2 2 设 A 、 B 两点的坐标分别为 ( x1 , x1 ) 、 ( x2 , x2 ) ,则 x1 、 x2 为方程 x ? 2tx + 8t ? 20 = 0 的两根, 4 4 x1 + x 2 = 2t , x1 x 2 = 8t ? 20 . x +x ∴ xM = 1 2 = t 2
新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源th源/:w w kj.x源gty源m /w cx/ 源 源源 o.c源源 p 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王kc@ 1王o.c王 王 新新 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源/:w w kj.x源gty源m /w cx/ 源 源源 o.c源源 p 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 x t 2 .6 m 王 w @ 1 o 王kc新王c王 新

C

因此,当 t = 0 时,直线 PM 与 y 轴重合,当 t ≠ 0 时,直线 PM 与 y 轴平行 (Ⅲ) Q yM =

…………9 分

1 1 2 1 2 1 1 1 ( x1 + x2 ) = [( x1 + x 2 ) 2 ? 2 x1 x 2 ] = [4t 2 ? 2(8t ? 20)] = t 2 ? 2t + 5 . 2 4 4 8 8 2 1 2 ∴ 点 M 的坐标为 (t , t ? 2t + 5) . 2

2009 年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)试卷

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x12 ? 1 x2 2 1 1 1 4 = ( x1 + x2 ) = ? 2t = t . x1 ? x2 4 4 2 1 1 ∴ 直线 AB 的方程为: y ? ( t 2 ? 2t + 5) = t ( x ? t ) ,即 t ( x ? 4) + 10 ? 2 y = 0 .………( ? ) 2 2 Q 当 x = 4, y = 5 时,方程( ? )恒成立, ∴ 对任意实数 t ,直线 AB 恒过定点,定点坐标为 (4, 5) . …………………………14 分
又Q k AB =
1 4

(解法二)(Ⅱ)设点 P 的坐标为 (t , 2t ? 5) ,利用切点弦直线方程的结论可得出直线 AB 的方程为

y + (2t ? 5) 1 1 = tx ,即 y = tx ? 2t + 5 2 4 2

…………………………7 分

? y = 1 tx ? 2t + 5, 2 ? 2 由? 得 x ? 2tx + 8t ? 20 = 0 . 1 2 ?y = x . 4 ?

∴ x1 + x 2 = 2t , x1 x 2 = 8t ? 20 . x +x ∴ xM = 1 2 = t . 2
因此,当 t = 0 时,直线 PM 与 y 轴重合,当 t ≠ 0 时,直线 PM 与 y 轴平行. (Ⅲ) 由(Ⅱ)得知直线 AB 的方程为 y = 后面解法同解法一. ……………9 分

1 tx ? 2t + 5 ,即 t ( x ? 4) + 10 ? 2 y = 0 . 2

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21. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) = x ?
2

1 1 x + , f ′( x) 为函数 f ( x) 的导函数. 2 4
?

(Ⅰ)若数列 {an } 满足: a1 = 1 , an +1 = f ′( an ) + f ′( n) ( n ∈ N ) ,求数列 {an } 的通项 an ; (Ⅱ)若数列 {bn } 满足: b1 = b , bn +1 = 2 f (bn ) ( n ∈ N ) . (ⅰ)当 b =
?

1 时,数列 {bn } 是否为等差数列?若是,请求出数列 {bn } 的通项 bn ;若不是,请说明理由; 2

(ⅱ)当

n 1 1 2 < b < 1 时, 求证: ∑ < . 2 2b ? 1 i =1 bi

【解】 (Ⅰ)Q f ′( x) = 2 x ?

1 , 2

…………………………1 分

1 1 ∴ an +1 = (2an ? ) + (2n ? ) = 2an + 2n ? 1 , 2 2
即 an +1 + 2( n + 1) + 1 = 2( an + 2n + 1) . …………………………3 分

Q a1 = 1 ,

∴ 数列 {an + 2n + 1} 是首项为 4 ,公比为 2 的等比数列.
…………………………5 分

∴ an + 2n + 1 = 4 ? 2n ?1 ,即 an = 2n +1 ? 2n ? 1 .
(Ⅱ) (ⅰ)Q bn +1 = 2 f (bn ) = 2bn ? bn +
2

1 , 2

1 ∴ bn +1 ? bn = 2(bn ? ) 2 . 2 1 1 ∴ 当 b1 = 时, b2 = . 2 2 1 假设 bk = ,则 bk +1 = bk . 2
由数学归纳法,得出数列 {bn } 为常数数列,是等差数列,其通项为 bn =

1 . 2

…………8 分

1 1 2 , ∴ bn +1 ? bn = 2(bn ? ) . 2 2 1 1 ∴ 当 < b1 < 1 时, b2 > b1 > . 2 2 1 1 假设 bk > ,则 bk +1 > bk > . 2 2 1 由数学归纳法,得出数列 bn > (n = 1, 2, 3, L ) . 2 1 1 又Q bn +1 ? = 2bn (bn ? ) , 2 2
(ⅱ)Q bn +1 = 2bn ? bn +
2

…………………………10 分



1 1 1 = ? , bn +1 ? 1 bn ? 1 bn 2 2

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1 1 1 = ? . 1 bn bn ? 2 bn +1 ? 1 2
n n 1 1 1 1 1 = ∑( ? )= ? . 1 1 1 bi i =1 bi ? 2 bi +1 ? 2 b1 ? 2 bn +1 ? 1 2

…………………………12 分

∴∑
i =1

Q bn +1 >

1 , 2
…………………………14 分

∴∑
i =1

n

1 1 2 < = . bi b1 ? 1 2b ? 1 2

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