河北省邢台市高二下学期第三次月考数学(理)试题+Word版含答案

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邢台市 2017~2018 学年高二(下)第三次月考 数学(理科) 第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.

1.“ x ? 0 ”是“复数 z ? x2 ? x ? (x ?1)i(x ? R) 为纯虚数”的( )

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2.圆 ? ? 8sin? 的圆心的直角坐标为( )

A. (0, 4)

B. (0, ?4)

C. (4, 0)

D. (?4,0)

3.已知集合 A ? {1, 2,3, 4,5}, B ? {5,8,9},现从这两个集合中各取出一个元素组成一个新的

双元素集合,则可以组成这样的新集合的个数为( )

A. 8

B.12

C.14

4. (2x ? y)4 的展开式的中间项为( )

D.15

A. ?8

B. ?8xy3

C. 24

D. 24x2 y2

5.某地区一次联考的数学成绩 X 近似地服从正态分布 N (85,? 2 ) ,已知 P(X ? 122) ? 0.96 ,

现随机从这次考试的成绩中抽取100 个样本,则成绩小于 48 分的样本个数大约为( )

A. 4

B. 6

C. 94

D. 96

6.已知复数 z ? a ? (a ?1)i(a ? R) ,若 z ? 5 ,则 z 在复平面内对应的点位于( )

A.第一或第二象限 C.第一或第三象限

B.第二或第三象限 D.第二或第四象限

7.参数方程

? ?? ? ?

x y

? ?

? 1

1 t

t

2

?1



t

为参数)所表示的曲线是(



?? t

A.

B.

C.

D.

8.在极坐标系中, O 为极点,曲线 ? 2 cos? ? 1与射线? ? ? 的交点为 A ,则 OA ? ( ) 3

A. 2

B. 2

C. 1 2

D. 2 2

9.设 z 是复数 z 的共轭复数,若 z ? z ?10i ? 5z ,则 z ? ( ) 2?i

A. 2

B. 4 ? 3 i 55

C. 2 或 4 ? 3 i 55

D. 2 或 3 ? 4 i 55

10.已知函数 f (x) ? ? ? x3 ? 1 x2 ? ax ? b 的图象在 x ? 0 处的切线方程为 2x ? y ? a ? 0 ,若 32

关于 x 的方程 f (x2 ) ? m 有四个不同的实数解,则 m 的取值范围为( )

A. (?2, ? 5) 6

B.[?2, ? 5) 6

C. (? 32 , ? 5) 36

D.[? 32 , ? 5) 36

11.随机变量

X

的概率分布为 P( X

?

n)

?

a n2 ? n (n

? 1, 2,3) ,其中 a

是常数,则 D(aX )

?

()

A. 38 81

B. 608 729

C. 152 243

D. 52 27

12.已知定义在 R 上的奇函数 f (x) 满足 2 f (x) ? xf '(x) ? 0(x ? 0) ,则( )

A. 6 f (?1) ? 3 f (? 2) ? 2 f (? 3)

B. 3 f (? 2) ? 2 f (? 3) ? 6 f (?1)

C. 6 f (?1) ? 2 f (? 3) ? 3 f (? 2)

D. 2 f (? 3) ? 3 f (? 2) ? 6 f (?1)

第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.在直角坐标系

xOy

中,若直线

l



? ? ?

x y

? ?

t t

?

a



t

为参数)过椭圆

C



? ? ?

x y

? ?

4 cos? 5sin?

(为参

数)的左顶点,则 a ?



14.设复数 z 满足 z(1? i) ? i ? 3 ,则 z 的虚部为



15.某商品的售价 x 和销售量 y 之间的一组数据如下表所示:

价格 x (元)

9

9.5

10

10.5

11

销售量 y

11

10

8

6

5

(件)

销售量 y 与价格 x 之间有较好的线性相关关系,且回归直线方程是 y ? (a ? 4)x ? 50a ,则

a?



16.若函数 f (x) ? (x2 ? ax ? 2)ex 在 R 上单调递增,则 a 的取值范围是



17.在如图所示的坐标系中,阴影部分由曲线 y ? 2 与矩形围成.从图中的矩形区域内随机依次 x

选取两点,则这两点中至少有一点落在阴影部分的概率为

(取 ln 2 ? 0.7 ).

18.现有 3 个大人,3 个小孩站一排进行合影.若每个小孩旁边不能没有大人,则不同的合影方

法有

种.(用数字作答)

三、解答题:本大题共 5 小题,共 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.在直角坐标系

xOy

中,曲线 C

的参数方程为

?x

? ?

y

? 2 ? 2cos? ? 1? 2sin?

(?

为参数),直线 l

的参数

方程为

? ?? ?

x

?

1 2

t

( t 为参数),且直线 l 与曲线 C 交于 A , B 两点,以直角坐标系的原

? ??

y

?

?1

?

3t 2

点为极点,以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线 C 的极坐标方程;

(2) 已知点 P 的极坐标为 (1, 3? ) ,求 1 ? 1 的值.

2

PA PB

20.某电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100 名
观众进行调查,如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图,
将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为体育迷.

(1)以频率为概率,若从这100 名观众中随机抽取 2 名进行调查,求这 2 名观众中体育迷人 数 X 的分布列; (2)若抽取100人中有女性 55 人,其中女体育迷有10 人,完成答题卡中的列联表并判断能 否在犯错概率不超过 0.05的前提下认为是体育迷与性别有关系吗?
附表及公式:

P(K 2 ? k0 )

0.050

0.010

0.001

k0

3.841

6.635

K2 ?

n(ad ? bc)2

,n?a?b?c?d .

(a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

10.828

21.(1)在 ?ABC 中,内角 A , B ,C 的对边分别为 a ,b ,c ,且 sin( A ? C) ? 3 cos B ,

证明: c(b ? c) ? a(a ? b) ? (a ? b)(b ? c) ; (2)已知结论:在直角三角形中,若两直角边长分别为 a , b ,斜边长为 c ,则斜边上的高 h ? ab .若把该结论推广到空间:在侧棱互相垂直的四面体 A ? BCD 中,若三个侧面的面积
c 分别为 S1 , S2 , S3 ,底面面积为 S ,则该四面体的高 H 与 S , S1 , S2 , S3 之间的关系是
什么?(用 S , S1 , S2 , S3 表示 H )
22.元旦期间,某轿车销售商为了促销,给出了两种优惠方案,顾客只能选择其中的一种.方

案一:每满 6 万元,可减 6 千元;方案二:金额超过 6 万元(含 6 万元),可摇号三次,其规 则是依次从装有 2 个幸运号、2 个吉祥号的一号摇号机,装有 2 个幸运号、2 个吉祥号的二号 摇号机,装有1个幸运号、 3 个吉祥号的三号摇号机各摇号一次,其优惠情况为:若摇出 3 个 幸运号则打 6 折,若摇出 2 个幸运号则打 7 折;若摇出1个幸运号则打 8 折;若没摇出幸运号
则不打折.
(1)若某型号的车正好 6 万元,两个顾客都选择第二种方案,求至少有一名顾客比选择方案
一更优惠的概率;
(2)若你朋友看中了一款价格为10 万的便型轿车,请用所学知识帮助你朋友分析一下应选择
哪种付款方案.
23.已知函数 f (x) ? x ? 2a ln x ? 1 ?1 . x
(1)讨论函数 f (x) 的单调性;
(2)当 a ?1时,正数 x1 , x2 满足 f (x1) ? f (x2 ) ? 2 ,证明: x1 ? x2 ? 2 .

一、选择题 1-5: CACDA 二、填空题

邢台市 2017~2018 学年高二(下)第三次月考 数学参考答案(理科)
6-10: CBBCA 11、12:BD

13. ?4

14. 2

15. 0.8

16. [?2, 2]

17. 0.91

18.

360
三、解答题
19.解:(1) C 的普通方程为 (x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 4 ,

整理得 x2 ? y2 ? 4x ? 2 y ?1 ? 0 ,

所以曲线 C 的极坐标方程为 ? 2 ? 4? cos? ? 2? sin? ?1 ? 0 .

(2)点 P 的直角坐标为 (0, ?1) ,设 A , B 两点对应的参数为 t1 , t2 ,

将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程中得 (1 t ? 2)2 ? (?1? 3 t ?1)2 ? 4 ,

2

2

整理得 t2 ? (2 ? 2 3)t ? 4 ? 0 .

所以 ???t1 ? t2 ? 2 ? 2 ??t1t2 ? 4

3 ,且易知 t1 ? 0 , t2 ? 0 ,

由参数 t 的几何意义可知, PA ? t1 , PB ? t2 ,

所以 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? t1 ? t2 ? 1? 3 .

PA PB t1 t2 t1 t2 t1t2

2

20.解:(1)由图可得,观众为体育迷的概率为 1 , 4

X 的可能取值为 0 ,1, 2 ,

P( X ? 0) ? ( 3)2 ? 9 . 4 16

P( X

? 1)

? C21 ?

1? 4

3 4

?

3. 8

P( X ? 2) ? (1)2 ? 1 . 4 16

故 X 的分布为

X

0

1

2

9

3

1

P

16

8

16

(2)由题意得如下 2?2 列联表:

非体育迷

体育迷

合计



30

15

45



45

10

55

合计

75

25

100

K 2 的观测值 k ? 100(30?10 ? 45?15)2 ? 100 ? 3.841,

75? 25? 45?55

33

故不能在犯错概率不超过 0.05的前提下认为是体育迷与性别有关系. 21.(1)证明:由 sin( A ? C) ? 3 cos B ,得 tan B ? 3 ,则 B ? ? .
3 要证 c(b ? c) ? a(a ? b) ? (a ? b)(b ? c) ,

只需证 c2 ? bc ? a2 ? ab ? ab ? ac ? b2 ? bc ,

即证 c2 ? a2 ? b2 ? ac ,

只需证 c2 ? a2 ? b2 ? 1 ,即证 cos B ? 1 .

2ac

2

2

而 B ? ? , cos B ? 1 显然成立,故 c(b ? c) ? a(a ? b) ? (a ? b)(b ? c) .

3

2

(2)解:记该四面体 A ? BCD 的三条侧棱长分别为 a , b , c ,

不妨设

S1

?

1 2

ab



S2

?

1 2

bc



S3

?

1 2

ac





1 3

SH

?

1 3

S1c ,

得 H ? S1c , S

于是 H ?

S12c2 ?

1 a2b2c2

4

?

2(1 ab)(1 bc)(1 ac) 2 22,

S

S

S

即 H ? 2S1S2S3 . S
22.解:(1)选择方案二比方案一更优惠,则需要至少摸出一个幸运球,设顾客不打折即三次

没摸出幸运珠为事件 A ,则 P( A) ? 2? 2?3 ? 3 ,故所求概率 4? 4? 4 16
P ? 1? P(A)P(A) ? 1? ( 3 )2 ? 247 . 16 256
(2)若选择方案一,则需付款10 ? 0.6 ? 9.4 (万元).

若选择方案二,设付款金额为 X 万元,则 X 可能的取值为 6 , 7 , 8 ,10 ,

P(X ? 6) ? 2? 2?1 ? 1 ; 4? 4? 4 16

P(X ? 7) ? 2? 2?3 ? 2? 2?1? 2? 2?1 ? 5 ;

4?4?4

16

P(X ? 8) ? 2? 2?3 ? 2? 2?3 ? 2? 2?1 ? 7 ;

4?4?4

16

P( X ? 10) ? 3 . 16

故 X 的分布列为

X

6

7

8

10

1

5

7

3

P

16

16

16

16

所以 E( X ) ? 6? 1 ? 7 ? 5 ? 8? 7 ?10? 3 ? 7.9375 (万元) ? 9.4 (万元),

16 16 16

16

所以选择第二种方案更划算.

23.(1)解: y ? f (x) 的定义域为 (0, ??) ,

f

'( x)

?1?

2a x

?

1 x2

?

x2

? 2ax ?1 , x2

令 h(x) ? x2 ? 2ax ?1, ? ? 4a2 ? 4 ? 4(a ?1)(a ?1) .

①当 ?1? a ?1时, ? ? 0 , 所以 f '(x) ? 0 对 ?x ?(0, ??) 恒成立,则 f (x) 在区间 (0, ??) 上单调递增.

②当 a ? ?1 或 a ?1时, ? ? 0 ,令 f '(x) ? 0 ,得 x1 ? a ? a2 ?1 , x2 ? a ? a2 ?1 . (i)当 a ? ?1 时, x1 ? x2 ? 0 , 所以 f '(x) ? 0 对 ?x ?(0, ??) 恒成立,则 f (x) 在区间 (0, ??) 上单调递增.

(ii)当 a ?1时, 0 ? x1 ? x2 . 若 x ? (0, x1) , f '(x) ? 0 ,函数 f (x) 单调递增;

若 x ? (x1, x2 ) , f '(x) ? 0 ,函数 f (x) 单调递减; 若 x ? (x2 , ??) , f '(x) ? 0 ,函数 f (x) 单调递增. 综上所述:当 a ?1时, f (x) 在区间 (0, ??) 上单调递增.当 a ?1时,在 (0, a ? a2 ?1) 和

(a ? a2 ?1, ??) 上 f (x) 单调递增;在 (a ? a2 ?1, a ? a2 ?1) 上 f (x) 单调递减. (2)证明:当 a ?1时, f (x) ? x ? 2 ln x ? 1 ?1,由(1)可知 f (x) 在区间 (0, ??) 上单调
x
递增.

又易知 f (1) ? 1,且 f (x1) ? f (x2 ) ? 2 ,不妨设 0 ? x1 ? 1 ? x2 ,

要证 x1 ? x2 ? 2 ,只需证 x2 ? 2 ? x1 ,

只需证 f (x2 ) ? f (2 ? x1) ,即证 2 ? f (x1) ? f (2 ? x1) ,

即证 f (2 ? x1) ? f (x1) ? 2 ? 0 .

构造函数 g(x) ? f (2 ? x) ? f (x) ? 2 , x ? (0,1].

所以 g(x) ? 2 ? 2 ln(2 ? x) ? 1 ?2 ln x ? 1 , x ? (0,1],

2?x

x

g '(x) ? 2 ? 1 2 ? x (2 ? x)2

?2? x

1 x2

?

?4(x3 ? 3x2 ? 3x ?1) (2 ? x)2 x2

?

?4(x ?1)3 (2 ? x)2 x2

.

当 x ? (0,1]时, g '(x) ? 0 ,所以函数 g(x) 在区间 (0,1] 上单调递增,

则 g(x) ? g(1) ? 0 .

所以 f (2 ? x1) ? f (x1) ? 2 ? 0 得证,从而 x1 ? x2 ? 2 .


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