第二章 第1节 函数概念及其表示-学生版

第二章 第 1 节 函数及其表示

1.函数的概念 一般地,设 A,B 是两个非空数集,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个 数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)与之对应;那么就称:f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函 数.记作 y=f(x),x∈A. 2.函数的三要素 函数由定义域、值域、对应关系三个要素构成,对函数 y=f(x),x∈A,其中 (1) 定义域:自变量 x 的取值范围. 类型 2n f?x?,n∈N* x 满足的条件 f(x)≥0 f(x)≠0 f(x)>0

1 与[f(x)]0 f?x? logaf(x) (2) 值域:函数值的集合{f(x)|x∈A}. 方法 配方法 性质法 单调性法 换元法 分离常数法 3.函数的表示方法 表示函数的常用方法有:解析式法、图象法、列表法. 方法 待定系数法 换元法 构造法 4.映射的概念 示例 已知函数的类型 示例 y=x2+x-2 y=ex y=x+ x-2 y=sin2 x+sin x+1 x y= x+1

示例答案 9 ? y∈? ?-4,+∞? y∈(0,+∞) y∈[2,+∞) 3 ? y∈? ?4,3? y∈(-∞,1)∪(1,+∞)

示例答案

f( x-1)=x ?1? f(x)与 f? x?或 f(-x) ? ?

设 A、B 是两个非空的集合,如果按照确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在 集合 B 中都有唯一确定的元素 y 和 x 对应, 那么就称对应 f: A→B 叫做从集合 A 到集合 B 的一个映射.

重要考点

考点一

求函数的定义域与值域

【例 1】 (1)(2013· 山东卷)函数 f(x)= 1-2x+ A.(-3,0] (2)函数 y= B.(-3,1]

1 的定义域为( x+3

).

C.(-∞,-3)∪(-3,0]

D.(-∞,-3)∪(-3,1]

x-3 的值域为________. x+1

1? ? 【训练 1】 (1)函数 y=ln?1+x?+ 1-x2的定义域为________. ? ? 1 ? ?log x,x≥1, (2)函数 f(x)=? 2 ? ?2x,x<1 的值域为________. 考点二 分段函数及其应用

?log2?4-x?,x≤0 【例 2】(1)(2014· 东北三校联考)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=? , ?f?x-1?-f?x-2?,x>0 则 f(3)的值为( ).

A.-1 B.-2 C.1 D.2 ?2x+a,x<1, (2)已知实数 a≠0, 函数 f(x)=? 若 f(1-a)=f(1+a), 则 a 的值为________. ?-x-2a,x≥1.

πx ? ?2cos ,x≤2 000, 3 【训练 2】 (2014· 烟台诊断)已知函数 f(x)=? - x 2 008 ? ,x>2 000, ?2 A. 3 B.- 3 C.1 D.-1

则 f[f(2 013)]=(

).

考点三

求函数的解析式

?2 ? 【例 3】 (1)已知 f?x+1?=lg x,求 f(x)的解析式. ? ? (2)f(x)为二次函数且 f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试求出 f(x)的解析式. (3)定义在(-1,1)内的函数 f(x)满足 2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求函数 f(x)的解析式.

【训练 3】 (1)若 f(x+1)=2x2+1,则 f(x)=________.

(2)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+1)=2f(x). 若当 0≤x≤1 时, f(x)=x(1-x), 则当-1≤x≤0 时,f(x)=________.

创新题型 ?-x2+2x,x≤0, 【典例】 (2013· 新课标全国Ⅰ卷)已知函数 f(x)=? ? 若 |f(x)|≥ax? ,则 ?ln?x+1?,x>0. a 的取值范围是( A.(-∞,0] ). D.[-2,0]

B.(-∞,1]C.[-2,1]

?lg x,x>0, 【训练】 (2014· 德州模拟)已知函数 f(x)=? 则 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值 ?x+3,x≤0, 等于( ). C.1 D.-3 或 1

A.-3 B.-1 或 3

巩固训练 一、选择题 1.下列各组函数表示相同函数的是( A.f(x)= x2,g(x)=( x)2 ?x,x≥0, C.f(x)=? g(t)=|t| ?-x,x<0, 2.(2013· 临沂一模)函数 f(x)=ln A.(0,+∞) B.(1,+∞) ). B.f(x)=1,g(x)=x2 x2-1 D.f(x)=x+1,g(x)= x-1
1 x + x 2 的定义域为( x-1

).

C.(0,1)

D.(0,1)∪(1,+∞)

3.(2013· 昆明调研)设 M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},函数 f(x)的定义域为 M,值域 为 N,则 f(x)的图象可以是( ).

x ?2 ,x<1, 4. (2014· 江西师大附中、 鹰潭一中联考)已知函数 f(x)=? 则 f(log27)=( ?f?x-1?,x≥1,

).

7 7 A.16 B.8

7 C.4

7 D.2

1 5.已知函数 y=f(x)的图象关于直线 x=-1 对称,且当 x∈(0,+∞)时,有 f(x)=x ,则当 x∈(-∞,-2)时,f(x)的解析式为( 1 A.f(x)=- x 二、填空题 6.(2014· 杭州质检)函数 f(x)=ln x-2 的定义域是________. x+1 B.f(x)=- ). D.f(x)=- 1 x+2

1 1 C.f(x)= x-2 x+2

?1-x? 1-x2 ?= 7.已知 f? 2,则 f(x)的解析式为________. ?1+x? 1+x 三、解答题 8.设二次函数 f(x)满足 f(2+x)=f(2-x),且 f(x)=0 的两个实根的平方和为 10,f(x)的图象 过点(0,3),求 f(x)的解析式.

1 9.若函数 f(x)=2x2-x+a 的定义域和值域均为[1,b](b>1),求 a,b 的值.


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