高中数学必修1知识点总结并习题集


必修 1 数学知识点 第一章、集合与函数概念 § 1.1.1、集合 1、 把研究的对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素:确定性、互异性、无序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个集合相等。 3、 常见集合:正整数集合: N * 或 N ? ,整数集合: Z ,有理数集合: Q ,实数集合: R . 4、集合的表示方法:列举法、描述法. § 1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地,对于两个集合 A、B,如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素,则称集合 A 是集合 B 的子集。记作 A ? B . 2、 如果集合 A ? B ,但存在元素 x ? B ,且 x ? A ,则称集合 A 是集合 B 的真子集.记作:A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作: ? .并规定:空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合 A 中含有 n 个元素,则集合 A 有 2 个子集. § 1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地,由所有属于集合 A 或集合 B 的元素组成的集合,称为集合 A 与 B 的并集.记作: A ? B . 2、 一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合,称为 A 与 B 的交集.记作: A ? B . 3、全集、补集? CU A ? {x | x ?U , 且x ?U } § 1.2.1、函数的概念 1、 设 A、B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f ,使对于集合 A 中的任意一个数 x ,在集合 B 中都有惟一确定的数 f ?x ? 和它对应,那么就称 f : A ? B 为集合 A 到集合 B 的一个函数,记作:
n

y ? f ?x ?, x ? A .
2、 一个函数的构成要素为:定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一 致,则称这两个函数相等. § 1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法:解析法、图象法、列表法. § 1.3.1、单调性与最大(小)值 1、 注意函数单调性证明的一般格式:
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解:设 x1 , x2 ? ?a, b? 且 x1 ? x 2 ,则: f ?x1 ? ? f ?x2 ? =… § 1.3.2、奇偶性 1、 一般地,如果对于函数 f ?x ? 的定义域内任意一个 x ,都有 f ?? x ? ? f ?x ? ,那么就称函数 f ?x ? 为偶 函数.偶函数图象关于 y 轴对称. 2、 一般地,如果对于函数 f ?x ? 的定义域内任意一个 x ,都有 f ?? x ? ? ? f ?x ? ,那么就称函数 f ?x ? 为奇 函数.奇函数图象关于原点对称. 第二章、基本初等函数(Ⅰ) § 2.1.1、指数与指数幂的运算 1、 一般地,如果 x ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根。其中 n ? 1, n ? N ? .
n

2、 当 n 为奇数时, n a n ? a ; 当 n 为偶数时, a ? a .
n n

3、 我们规定:
n

⑴am ? ⑵a
?n

m

a n a ? 0, m, n ? N * , m ? 1 ;

?

?

?

1 ?n ? 0? ; an

4、 运算性质: ⑴a a ? a
r s r ?s

?a ? 0, r, s ? Q? ;

⑵ ar

? ?

s

? a rs ?a ? 0, r , s ? Q? ;

⑶ ?ab? ? a r b r ?a ? 0, b ? 0, r ? Q? .
r

§ 2.1.2、指数函数及其性质

1、 记住图象: y ? a ?a ? 0, a ? 1?
x

§ 2.2.1、对数与对数运算 1、 a x ? N ? loga N ? x ; 2、 a
loga N

? a.
2/6

3、 loga 1 ? 0 , loga a ? 1 . 4、当 a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0 时: ⑴ loga ?MN ? ? loga M ? loga N ; ⑵ loga ?

?M ? ? ? loga M ? loga N ; ?N?

⑶ loga M n ? n loga M . 5、换底公式: loga b ?

logc b ?a ? 0, a ? 1, c ? 0, c ? 1, b ? 0? . logc a

6、 loga b ?

1 ?a ? 0, a ? 1, b ? 0, b ? 1? . logb a

§ 2..2.2、对数函数及其性质

1、 记住图象: y ? loga x?a ? 0, a ? 1? § 2.3、幂函数 1、几种幂函数的图象:

一、

选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 ) ) 。 B.

1.下列四组函数,表示同一函数的是( A. f ( x) ? ( x )2 , g ( x) ? x2 C. f ( x) ? x ? 2 ? x ? 2 , g ( x) ? x2 ? 4 2.已知 lg 2 ? a , lg 3 ? b ,则 lg12 ? ( A. . 2a ? b B. a ? b

f ( x) ? lg x2 , g ( x) ? 2 lg x

D. f ( x) ? x, g ( x) ? 3 x3

) 。 C. 2 ab D. 2a ? b

3.设集合 A=B= {( x, y) x ? R, y ? R} ,从 A 到 B 的映射 f : ( x, y) ? ( x ? 2 y, 2 x ? y) ,
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则在映射 f 下 B 中的元素(1,1)对应的 A 中元素为( A.(1,3) B.(1,1)
3 1 C .( , ) 5 5

) 。
1 1 D. ( , ) 2 2

4.已知函数 f (x) 是 R 上的奇函数.当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 x ? 2x ? b(b为常数) ,则 f (?1) 的值是 ( A.3 5.已知 f ( x) ? lg( A.y 轴 ) 。 B. -3 C.-1 )对称。 D.直线 y=x ) 。 D. b ? c ? a . D. 1

2 ? 1) 的图像关于( 1? x
B. x 轴 C. 原点

6.三个数 a ? 0.32 , b ? log2 0.3, c ? 20.3 之间的大小关系是( A. a ? c ? b B. a ? b ? c C. b ? a ? c

7.如果函数 f ( x) ? x2 ? 2(a ?1) x ? 2 在区间 ? ??,4? 上是单调减函数,那么实数 a 的取值范围是 ( ) 。 A . a ? ?3 B. a ? ?3 C .a ?5 D .a ? 5

9.如图下面的四个容器高度都相同,将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,注满 为止。用下面对应的图象显示该容器中水面的高度 h 和时间 t 之间的关系,其中不正确的有 ( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
o (1) t o (2) t o (3) t o (4) t h h h h



?? x ? 1, x ? 0 , 则不等式x ? ( x ? 1) f ( x ? 1) ? 1的解集是( 10.已知函数 f ( x) ? ? ? x ? 1, x ? 0
A. [?1, 2 ? 1] C. ? ?, 2 ? 1 B. ?? ?,1?

) 。

?

?

D. [? 2 ? 1, 2 ? 1] 第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)

二、

填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 ) 。
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11.函数 y= ? x 2 ? 5x ? 6 的定义域是

12.幂函数 f (x) 的图象过点 ? 3, 3 ? ,则 f (x) 的解析式是



13.函数 f ? x ? ? a x ? loga ? x ?1? ,在 ?0,1? 上的最大值与最小值之和为 a ,则 a 的值为________ __。
?1 ? 14.已知函数 f ? x ? 满足对任意的 x ? R 都有 f ? ? x ? ? ?2 ?
?1? f ? ?? ?8? ? 2? f ? ? ? ... ? ?8? ?7? f ? ?= ?8?

?1 ? f ? ? x ? ? 2 成立,则 ?2 ?



15.已知函数 f (x) 为奇函数,且 f (2 ? x) ? f (2 ? x) ,当 ?2 ? x ? 0 时, f ( x) ? 2 x , 则 f (2 ? log2 3) ? 。

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分。 ) 16. (本小题满分 12 分)已知集合 A={x|a≤x≤a+3},B={x|x<-1 或 x>5}。 (1) 若 A∩B=Φ,求 a 的取值范围; (2) 若 A∪B=B,求 a 的取值范围。

17. (本小题满分 12 分)设 f (x) 是定义在(-∞,+∞)上的函数,对一切 x ? R 均有
f ( x) ? f ( x ? 3) ? 0 ,且当 ? 1 ? x ? 1 时, f ( x) ? 2 x ? 3 ,求当 2 ? x ? 4 时, f (x) 的解析式。

18. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? x m ? (1)求 m 的值; (2)判定 f ? x ? 的奇偶性;

2 7 ,且 f ? 4 ? ? 。 x 2

(3)判断 f ? x ? 在 ? 0,??? 上的单调性,并给予证明。

19. (本小题满分12分)某商品在近30天内每件的销售价格 p (元)与时间 t (天)

?t ? 20, 的函数关系是 p ? ? ??t ? 100,

0 ? t ? 25, t ? N , 该商品的日销售量 Q (件)与 25 ? t ? 30, t ? N .

时间 t (天)的函数关系是 Q ? ?t ? 40 (0 ? t ? 30, t ? N ) ,求这种商品的日销售金额的最大值,
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并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天?

20. (本小题满分 13 分)设 f ( x) ?

? 2x ? a ( a , b 为实常数) 。 2 x ?1 ? b

(1) 当 a ? b ? 1 时,证明: f (x) 不是奇函数; (2)设 f (x) 是奇函数,求 a 与 b 的值; (3)求(2)中函数 f (x) 的值域。

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f (x) 对任意实数 x 均有 f ( x) ? kf ( x ? 2) ,其中常数 k 为负 数,且 f (x) 在区间 ?0,2? 上有表达式 f ( x) ? x( x ? 2) 。 (1)求 f (?1),f (2.5) 的值;
3? 3? (2)写出 f (x) 在 ?? 3, 上的表达式,并讨论函数 f (x) 在 ?? 3, 上的单调性; 3? (3)求出 f (x) 在 ?? 3, 上的最小值和最大值,并求出相应的自变量的取值。

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