安徽省江南十校2014届高三最后2套热身卷(一)数学理试题 Word版含答案


“江南十校”2014 年高三学生最后 2 套热身卷 理科数学(一)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.设 i 是虚数单位,复数 z ? A. ?i 2.双曲线

1 ? ai (a ? R ) 为纯虚数,则复数 z 的虚部为 1? i B. ? 2i C. ?1 D. ?2

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 2,则该双曲线的渐近线方程为 a 2 b2 A. x ? 2 y ? 0 B. 2 x ? y ? 0

C. 3x ? y ? 0 D. x ? 3 y ? 0 3.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是 A.128 B.127 C.64 D.63 4. “ a ? 3 ”是 “函数 f ( x) ?| 3x ? a | 在 [1, ??) 上为单调递增函数的” A 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 5.直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 的倾斜角为 ? ,曲线 y ? ln x 在 ( x0 ,ln x0 ) 处的切线的倾斜角为 2? ,则 x0 的值是 A.

4 3

B.

6.在极坐标系中,直线 ? ? A. 4 2

?
6

3 4

C.

3 5

D.

5 3

( ? ? R ) 与曲线 ? 2 ? 8? cos? ? 4 ? 0 交于 A, B 两点,则线段 AB 的长为
C. 2 2

B. 4 3

7.若函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) 满足 f ( x) ? f ( ) ,则函数 f ( x ) 的单调递增区间是 A. [2k? ? C. [k? ?

?

D. 2 3

?
6

, 2k? ?

?
3

3

](k ? Z )

B. [2k? ? D. [k? ?

?
3

, 2k? ?

?

, k? ? ](k ? Z ) 6 3

?

?

3

, k? ?

5? ]( k ? Z ) 6

5? ](k ? Z ) 6

8.一个几何体是由圆柱和正三棱锥组合而成,其正视图和俯视图如图所示,则该几 何体的表面积是

9 3 4 9 3 D. 2? ? 4 4 2n?4 4 n?2 ? ( ) ,则数列 {an } 9.数列 {an } 的通项公式为 an ? ( ) 5 5
A. 4? ? B. 4? ? A.有最大项,无最小项 C.既有最大项又有最小项 B.有最小项,无最大项 D.既无最大项又无最小项 10. 设 A, B, C 为圆 O 上三点 , 且满足 | AB |? 1,| AC |?

3 3 2 3 3 C. 2? ? 2

2, AO ? x AB? y AC,则

点集 {( x, y) || AO ? 1 且 | 2 x ? 4 | ? | y |? 4} 所表示的区域的面积是 A. 2 2 B.2 C. 4 2 D.4 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,请把答案填在答题卡的相应位置. 11.某品牌生产企业的三个车间在三月份共生产了 4800 件产品,企业质检部门要对这批产品进行质检, 他们用分层抽样的方法,从一,二,三车间分别抽取的产品数为 a, b, c ,若 a, b, c 构成等差数列,则第二车

间生产的产品数为 12.若函数 f ( x ) 是 R 上的奇函数,且 f ( x ) 在 [0, ??) 上单调递减,则集合

A ? {x | f (log2 x ?1) ? 0} ? 2 6 2 3 13.二项式 ( x ? ) 的展开式中不含 x 项的系数之和为 x 14.若关于 x 的不等式 a( x2 ? x ? 4) ?| x | 对任意实数 x 都成立,则实数 a 的取值范围是
15.将函数 f ( x) ? cos 2x ? 3x 的所有正的极大值点从小到大依次排成数列 {xn } , (写出你认为正确的所有命题的序号) ? xn ,则下列命题正确的是 ? ①函数 f ( x) ? cos 2x ? 3x 在 x ? 处取得极大值; 3 ②数列 {xn } 是等差数列; ③ sin ?n ? sin ?n?1 对于任意正整数 n 恒成立; ④存在正整数 T ,使得对于任意正整数 n ,都有 sin ?n ? sin ?n?T 成立; ⑤ n 取所有的正整数, sin ? n 的最大值为

?n ? x1 ? x2 ?

3 2
5? ? 1 cos( ? A) ? cos A ? . 3 3 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c 且 2 cos (Ⅰ)求角 A 的值; (Ⅱ)若 a ? 13 , ?ABC 的面积为 3 3 ,求 sin B ? sin C 的值.

17(本小题满分 12 分) 如图, AB, CD 为圆 O 的两条直径, P 为圆 O 所在平面外的一点,且 PA ? PB ? PC. (Ⅰ)求证:平面 PAB ? 圆 O 所在平面; (Ⅱ)若 AP ? BP, ?BAC ?

?

6

,求二面角 A ? PB ? C 的余弦值.

18(本小题满分 12 分)

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F ( 5,0) ,以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆 a 2 b2 与直线 3x ? y ? 4 ? 0 相切, A, B 分别是椭圆短轴的两个端点, P 为椭圆 C 上的动点,且不与 A, B 重
已知椭圆 C : 合. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若 P 均不与 A, B 重合,设直线 PA 与 PB 的斜率分别为 k AP , kBP , 试问 k AP ? kBP 的值是否为定值,若 是,求出这个定值,若不是请说明理由.

19(本小题满分 13 分) 假设某 10 张奖券中有一等奖券 1 张,可获价值 50 元的奖品,有二等奖券 3 张,每张可获价值 10 元的奖 品,其余 6 张无奖,从此 10 张奖券中任抽 3 张,求: (Ⅰ)中奖的概率 P ; (Ⅱ)获得的奖品总价值 X 不少于期望 E ( X ) 的概率.

20(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? mx ? ln x, m ? R. (Ⅰ)求 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)求证: f ( x)极大值 ? 2 2 ? m ? 3 .

21(本小题满分 13 分)

1 1 (n ? N * ), 0 ? a1 ? . a ?2 2 1 * (Ⅰ)求证: | an ? 2 ? an ?1 |? | an ?1 ? an | (n ? N ) 4 1 n ?1 * (Ⅱ)求证: | an ?1 ? an |? ( ) ( n ? N ) 4
设数列 {an } 满足 an ?1 ?
2 n

* (Ⅲ)对任意 n, m, k ? N 且 n ? m ? k ,求证: | am ? an |?

4 1 k ?( ) . 3 4

“江南十校”2014 年高三学生最后 2 套热身卷 理科数学(一)(参考答案)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.

1 ? ai (a ? R ) 为纯虚数,则复数 z 的虚部为 1? i A. ?i B. ? 2i C. ?1 D. ?2 2 1 ? ai (1 ? ai)(1 ? i) 1 ? ai ? (a ? 1)i 1 ? a a ? 1 【解析:】 z ? ? ? ? ? i, 1? i (1 ? i)(1 ? i) 1? i2 2 2 1? a 1? a ? 0 ? a ? 1 ,故虚部为 ? ? ?1 ,故答案为 C 由题意 2 2
1.设 i 是虚数单位,复数 z ? 【答案:】C 2.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 2,则该双曲线的渐近线方程为 a 2 b2 A. x ? 2 y ? 0 B. 2 x ? y ? 0
C. 3x ? y ? 0 D. x ? 3 y ? 0

【解析:】由已知, 【答案:】C

a 2 ? b2 b ? 2 ? b2 ? 3a 2 ? ? 3 ,故答案为 C a a

3.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是 A.128 B.127 C.64 D.63 【解析:】由题意:即递推数列 an ? 2an?1 ? 1, a1 ? 3 ,求 a6 由 an ? 2an?1 ?1 ? an ?1 ? 2(an?1 ? 1) ? an ? 1 ? (a1 ? 1) ? 2n?1 ? an ? 2n?1 ?1 ? a6 ? 27 ?1 ? 127 或逐步计算 3,7,15,31,63,127,注意每次计算后的 n 值的变化,故答案为 B 【答案:】B 4. “ a ? 3 ”是 “函数 f ( x) ?| 3x ? a | 在 [1, ??) 上为单调递增函数的” A 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【解析 : 】画出函数 f ( x) ?| 3x ? a | 的图象知函数 f ( x) ?| 3x ? a | 的单调递增区间是 [ , ??) , 故

a 3 a ? 3 时 f ( x) ?| 3x ? a | 在在 [1, ?? ) 上为单调递增函数,但 a ? 3 时, f ( x) ?| 3x ? a | 在在 [1, ?? ) 上

为单调递增函数,,故答案为 A 【答案:】A 5.直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 的倾斜角为 ? ,曲线 y ? ln x 在 ( x0 ,ln x0 ) 处的切线的倾斜角为 2? ,则 x0 的值是

3 3 C. 4 5 1 2 tan ? 3 ? ,由 tan 2? ? y ' 【解析:】由题意: tan ? ? ? tan 2? ? 2 3 1 ? tan ? 4
A. B. 【答案:】A

4 3

D.

5 3

x ? x0

?

1 3 4 ? ? x0 ? x0 4 3

6.在极坐标系中,直线 ? ? A. 4 2

?
6

( ? ? R ) 与曲线 ? 2 ? 8? cos? ? 4 ? 0 交于 A, B 两点,则线段 AB 的长为
C. 2 2 D. 2 3

B. 4 3

【解析:】把极坐标方程化为直角坐标方程可得直线 y ? 心为(4,0),半径为 2 3 ,圆心(4,0)到直线 y ? 【答案:】A

3 x 与圆 x2 ? y 2 ? 8x ? 4 ? 0 交于 A, B ,圆 3

3 x 的距离 d ? 2, ?| AB |? 2 r 2 ? d 2 ? 4 2 3

7.若函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) 满足 f ( x) ? f ( ) ,则函数 f ( x ) 的单调递增区间是 A. [2k? ? C. [k? ?

?

?
6

, 2k? ?

?
3

3

](k ? Z )

B. [2k? ? D. [k? ?

?
3

, 2k? ?

5? ]( k ? Z ) 3 6 ? 5? ? 5? ? ? 2 k? ? 【解析:】有题意: x ? 时, f ( x ) 取最小值,故取 ? ? ,可得 2k? ? ? 2 x ? 3 6 2 6 2 2? ? ? x ? k? ? , k ? Z 易得等价于 D 得 k? ? 3 6 7? 或取 ? ? ? 直接解得 6

?

, k? ? ](k ? Z ) 6 3

?

?

5? ](k ? Z ) 6

, k? ?

【答案:】D 8.一个几何体是由圆柱和正三棱锥组合而成,其正视图和俯视图如图所示,则该几 何体的表面积是

9 3 4 9 3 D. 2? ? 4 【解析:】设圆柱底面圆的半径为 R ,由俯视图,该圆的内接正三角形的边长为
A. 4? ? B. 4? ?

3 3 2 3 3 C. 2? ? 2

3 ,由正弦定理得

3 ? 2 R ? R ? 1,故该几何体的表面积是 sin 60
2

圆柱的表面积与三棱锥的侧面积的和减去三棱锥的底面积 圆柱的表面积是 2? R ? 2? R ?1 ? 4? ,三棱锥的侧面三角形的高为

1 3 9 1 3 3 ( 2)2 ? ( )2 ? ,故侧面积为 3 ? ? 3 ? ? 2 2 4 2 2 1 3 3 ? 3 ,故答案为 A 三角形的底面积为 ? 3 ? 3 ? 2 2 4
【答案:】A 9.数列 {an } 的通项公式为 an ? ( ) A.有最大项,无最小项 C.既有最大项又有最小项

4 5

2n?4

4 ? ( ) n ? 2 ,则数列 {an } 5
B.有最小项,无最大项 D.既无最大项又无最小项

【解析:】由于 0 ? ( )

5 4 n?2 ? t , (n, an ) 对应的点为二次函数 y ? t 2 ? t 的图象中 ,设 ( ) 4 5 4 n?2 1 ( ) ? t (n ? N * ) 的那些离散的点,二次函数的对称轴为 t ? 由 t 的有界性,画图知 n ? 1 ,即 5 2 5 4 16 1 4 256 1 1 t ? 时 an 最大 , n ? 4 时 t ? ( ) 2 ? ? , n ? 6 时 t ? ( )4 ? ? ,越靠近 时 ,总有最小值 , 4 5 25 2 5 625 2 2
n?2

4 5

?

故答案为 C

9 4 n ? 2 16 4 n ( ) [ ? ( ) ] ,当 n ? 4 时, an?1 ? an ,,当 n ? 5 时, an?1 ? an 16 5 45 5 所以, n ? 4 时, {an } 单调递减,当 n ? 5 时 {an } 单调递增,所以 {an } 有最小项, 4 5 n ? 1 时, ( ) n ? 2 ? 最大, a1 最大,故得 5 4
或 an ?1 ? an ? 【答案:】C 10. 设 A, B, C 为 圆 O 上 三 点 , 且 满 足 | AB |? 1,| AC |? 2, AO ? xAB ? yAC , 则 点 集

{( x, y) || AO |? 1 且 | 2 x ? 4 | ? | y |? 4} 所表示的区域的面积是
A. 2 2 B.2 C. 4 2 D.4
2 1 1 【解析:】设 AB 的中点为 D ,则 AO ? AB ? ( AD ? DO) ? AB ? AB ? 2 2 2 2 1 同理 AO ? AC ? AC ? 1 ,故由 AO ? xAB ? y AC ? AO ? xAO ? AB ? y AO ? AC 2 1 因为 | AO |? 1 ,所以 x ? y ? 1 ,又 | 2 x ? 4 | ? | y |? 4 ,画图,即得所求面积为 2 2

【答案:】B 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,请把答案填在答题卡的相应位置. 11.某品牌生产企业的三个车间在三月份共生产了 4800 件产品,企业质检部门要对这批产品进行质检, 他们用分层抽样的方法,从一,二,三车间分别抽取的产品数为 a, b, c ,若 a, b, c 构成等差数列,则第二车 间生产的产品数为 【解析:】由于 a, b, c 构成等差数列,所以 2b ? a ? c ,即第二车间生产的产品是总产品数量的 【答案:】1600 12.若函数 f ( x ) 是 R 上的奇函数,且 f ( x ) 在 [0, ??) 上单调递减,则集合

1 3

A ? {x | f (log2 x ?1) ? 0} ? 【解析:】因为函数 f ( x ) 是 R 上的奇函数,且 f ( x ) 在 [0, ??) 上单调递减,故 f ( x ) 在 R 上单调递减 所以 f (log2 x ?1) ? 0 ? f (0) ? log2 x ?1 ? 0 ? x ? 2 【答案:】 (2, ??)
13.二项式 ( x ?
2

2 6 ) 的展开式中不含 x3 项的系数之和为 x
2

【解析:】由排列组合的知识或通项公式得二项式 ( x ?

2 6 ) 的展开式中含 x3 项的系数为 x 3 C6 ? 23 ? 160 ,而所有系数和为 36 ? 729,729 ?160 ? 569

【答案:】569

14.若关于 x 的不等式 a( x2 ? x ? 4) ?| x | 对任意实数 x 都成立,则实数 a 的取值范围是 【解析:】因为 x ? x ? 4 ? ( x ? ) ?
2 2

1 2

15 ? 0 由 a( x2 ? x ? 4) ?| x | 得 4

| x| | x| ?a?( 2 ) max x ?x?4 x ?x?4 4 | x| 1 1 1 因为 2 知 x ? 0 且 | x |? ? x ? ?2 时, ? ? ? x | x | x ? x?4 | x|? 4 ? x 4 x 4? 2 | x|? ? | x| | x| | x| | x| | x| a?
2

| x| 1 ) max ? x ? x?4 3 1 【答案:】 [ , ??) 3 (
2

15.将函数 f ( x) ? cos 2x ? 3x 的所有正的极大值点从小到大依次排成数列 {xn } , (写出你认为正确的所有命题的序号) ? xn ,则下列命题正确的是 ? ①函数 f ( x) ? cos 2x ? 3x 在 x ? 处取得极大值; 3 ②数列 {xn } 是等差数列; ③ sin ?n ? sin ?n?1 对于任意正整数 n 恒成立; ④存在正整数 T ,使得对于任意正整数 n ,都有 sin ?n ? sin ?n?T 成立; ⑤ n 取所有的正整数, sin ? n 的最大值为

?n ? x1 ? x2 ?

3 2
? xn ? n? n(n ? 1) ? ? ,n? N* , 6 2

【解析:】因为 f '( x) ? ?2sin 2x ? 3 ,画出函数 y ? ?2sin 2x ? 3 的图象,知 f ( x ) 的所有正极大值 点为 xn ?

?
6

? (n ? 1)? , n ? N * ,故①错误,②正确,又 ? n ? x1 ? x2 ?

从图象易判断②④⑤正确 【答案:】②④⑤ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c 且 2 cos (Ⅰ)求角 A 的值; (Ⅱ)若 a ? 13 , ?ABC 的面积为 3 3 ,求 sin B ? sin C 的值.

5? ? 1 cos( ? A) ? cos A ? . 3 3 2

5? ? 1 cos( ? A) ? cos A ? . 得 3 3 2 ? 1 3 1 1 sin A ? cos A ? ,所以 sin( A ? ) ? 6 2 2 2 2 ? ? 5? ? ? ),? A ? ? , 又 A ? (0, ? ),? A ? ? (? , 6 6 6 6 6
【解析:】(Ⅰ)由 2 cos 所以, A ?

?

3

(Ⅱ)因为 a ? 13 , A ?

?
3

,由余弦定理得 13 ? b ? c ? 2bc cos
2 2

?
3

? b 2 ? c 2 ? bc

1 ? 又 ?ABC 的面积为 3 3 ,所以 bc sin ? 3 3,? bc ? 12 2 3 2 2 2 (b ? c) ? b ? c ? bc ? 3bc ? 49 ? b ? c ? 7

b c a 13 2 39 ? ? ? ? sin B sin C sin A sin ? 3 3 3(b ? c) 7 39 所以, sin B ? sin C ? ? 26 2 39
由正弦定理 17(本小题满分 12 分) 如图, AB, CD 为圆 O 的两条直径, P 为圆 O 所在平面外的一点,且 PA ? PB ? PC. (Ⅰ)求证:平面 PAB ? 圆 O 所在平面; (Ⅱ)若 AP ? BP, ?BAC ? ,求二面角 A ? PB ? C 的余弦值. 6 PA ? PB ? PC ? ? 【解析:】(Ⅰ)由 OA ? OB ? OC ? ? ?OPA ? ?OPB ? ?OPC OP ? OP ? OP ? ?

?

? ?POA ? ?POB ? ?POC 又 ?POA ? ?POB ? ?
所以 ?POA ? ?POB ? ?POC ?

?
2

? ? PO ? CO ? ? 所以, AO CO ? O ? ? PO ? 圆O所在平面 AO ? 圆O所在平面 ? ? ? CO ? 圆O所在平面 ? (Ⅱ)【方法一:】 连接 AC , BC ,过 C 作 CE ? AB ,垂足为 E ,过 E 作 EF ? BP ,垂足为 F ,连接 CF PO ? CE ? ? 由(Ⅰ) PO ? 圆O所在平面 ,所以 又AB ? CE ? ? CE ? 平面PAB PO AB ? O ? ?
? BP ? CF ? ? ? 又EF ? BP ? ? BP ? 平面CEF ? ? ? ?EFC 是二面角 A ? BP ? C 的平面角 BP ? EF ? ? CE EF ? E ? AC ? BC ? ? 设 AB ? 2a, AB 为圆 O 直径, C 在圆 O 上? ? ? ? AC ? 3a, BC ? a 又?BAC ? ? 6?
又 CE ? AB, ?CBA ?

PO ? AO

CE ? BP

?

3

,所以 BE ?

1 a 2

因为 AP ? BP, AP ? BP ,所以 ?APB 为等腰直角三角形, ?PBA ?

?
4

3 a 1 ? 2 CE 7 ? EF ? a sin ? a ? tan ?EFC ? ? 2 ? 6 ? cos ?EFC ? 2 4 4 EF 7 2 a 4 7 所以,二面角 A ? PB ? C 的余弦值是 7 【方法二:】建立如图所示的直角坐标系 C ? xyz
设 AB ? 2a ,则 A, B, P 点的坐标分别为 (0, 3a, 0), (a, 0, 0), ( , 所以, OP ? (0,0, a), AB ? (a, 3a,0) 设平面 APB 的法向量为 n1 ? ( x, y, z ) 由

a 2

3a , a) 2

n1 ? AB ? ? n1 ? AB ? 0 ? ? ?? ? n1 ? OP ? ? n1 ? OP ? 0 ? ?
xa ? 3ay ? 0 ? ? ? 取 x ? 3 ,则 y ? ?1, z ? 0 az ? 0 ? ?

?

所以 n1 ? ( 3, ?1,0)

a 3 a, a ) 2 2 设平面 APB 的法向量为 n2 ? ( x0 , y0 , z0 )
又 CB ? (a, 0, 0), CP ? ( ,

n2 ? CB ? ? n1 ? CB ? 0 ? ? ?? ? n2 ? CP ? ? n1 ? CP ? 0 ? ? x0 a ? 0 ? ? ?a ? 取 y0 ? ?2 ,则 x0 ? 0, z0 ? 3 3a x0 ? y0 ? az0 ? 0? 2 2 ? 所以 n2 ? (0, ?2, 3)
由 故 cos n1 , n2 ?

n1 ? n2 3 ? 0 ? (?1)(?2) ? 0 ? 3 7 ? ? 2 2 2 2 2 2 | n1 || n2 | 7 ( 3) ? 1 ? 0 0 ? (?2) ? ( 3)

所以,二面角 A ? PB ? C 的余弦值是 18(本小题满分 12 分)

7 7

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F ( 5,0) ,以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆 a 2 b2 与直线 3x ? y ? 4 ? 0 相切, A, B 分别是椭圆短轴的两个端点, P 为椭圆 C 上的动点,且不与 A, B 重
已知椭圆 C : 合. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若 P 均不与 A, B 重合,设直线 PA 与 PB 的斜率分别为 k AP , kBP , 试问 k AP ? kBP 的值是否为定值,若

是,求出这个定值,若不是请说明理由. 【解析:】(Ⅰ)由题意: c ? 5 其中 c ? a ? b
2 2 2

(1) (2)

又原点到直线 3x ? y ? 4 ? 0 的距离为 b ?

| 3?0 ?0 ? 4| ( 3) 2 ? 1

?2

故 a ? 9 ,所以,所求椭圆方程为
2

x2 y 2 ? ?1 9 4

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, A, B 点坐标分别是 (0, 2), (0, ?2) ,设 P 点坐标为 ( x0 , y0 ) ,则
2 2 x0 y2 4 ? y0 9 4 2 2 ? 0 ? 1 ? x0 ? (4 ? y0 )? ? 2 9 4 4 x0 9

所以 kPA ? kPB ?

y0 ? 2 y0 ? 2 4 ? y2 4 ? ?? 2 0 ?? x0 x0 x0 9

19(本小题满分 13 分) 假设某 10 张奖券中有一等奖券 1 张,可获价值 50 元的奖品,有二等奖券 3 张,每张可获价值 10 元的奖 品,其余 6 张无奖,从此 10 张奖券中任抽 3 张,求: (Ⅰ)中奖的概率 P ; (Ⅱ)获得的奖品总价值 X 不少于期望 E ( X ) 的概率. (Ⅰ) P ? 1 ? (Ⅱ)
3 C6 5 ? 3 C10 6

X P

0

10

20

30

50

60

70

E( X ) ? 24

20 120

45 120

18 120

1 120

15 120

18 120

3 120

P( X ? 24) ? P( X ? 30) ? P( X ? 50) ? P( X ? 60) ? P( X ? 70) ?
20(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? mx ? ln x, m ? R. (Ⅰ)求 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)求证: f ( x)极大值 ? 2 2 ? m ? 3 . (Ⅰ) m ? 0 时,该函数无极值

37 120

m ? 0 时,函数在 x ? ?
(Ⅱ)(略) 21(本小题满分 13 分)

1 时函数取得极大值 ?1 ? ln(?m) ,极小值不存在 m

1 1 (n ? N * ), 0 ? a1 ? . a ?2 2 1 * (Ⅰ)求证: | an ? 2 ? an ?1 |? | an ?1 ? an | (n ? N ) 4 1 n ?1 * (Ⅱ)求证: | an ?1 ? an |? ( ) ( n ? N ) 4
设数列 {an } 满足 an ?1 ?
2 n

(Ⅲ)对任意 n, m, k ? N * 且 n ? m ? k ,求证: | am ? an |? 【证明:】 | an ? 2 ? an ?1 |?

4 1 k ?( ) . 3 4

| an?1 ? an | | a | ? | an | | an?1 ? an |? 2 n?1 | an?1 ? an | 2 2 (a ? 2)(an ? 2) (an?1 ? 2)(an ? 2)
2 n ?1

2 2 | an?1 | ? | an | (an 1 ?1 ? 2)(an ? 2) ? 4 | an ?1 | ?4 | an | 而 ? 2 ? 2 2 2 4 (an?1 ? 2)(an ? 2) 4(an ?1 ? 2)(an ? 2) 2 2 2 2 1 an ?1an ? 2(| an ?1 | ?1) ? 2(| an | ?1) ? 0 ,即 | an ? 2 ? an ?1 |? | an ?1 ? an | (n ? N * ) 2 2 4 4(an?1 ? 2)(an ? 2) 1 * (Ⅱ) | an ? 2 ? an ?1 |? | an ?1 ? an | (n ? N ) 4 1 1 1 1 ?| an ?1 ? an |? | an ? an ?1 |? ( ) 2 | an ?1 ? an ? 2 |? ? ( ) n ?1 | a2 ? a1 |? ( ) n ?1 (| a1 | ? | a2 |) 4 4 4 4

?

又 0 ? a1 ?

1 1 1 ,? 0 ? a2 ? 2 ? 2 a1 ? 2 2

? | a1 | ? | a2 |? 1,
所以, | an ?1 ? an |? ( )

1 4

n ?1

(n ? N * )

(Ⅲ) 对任意 n, m, k ? N 且 n ? m ? k ,所以 m ? 1 ? k
*

所以, | am ? an |?| (am ? am?1 ) ? (am?1 ? am?2 ) ?

? (an?1 ? an ) |

?| (am ? am?1 ) | ? | (am?1 ? am?2 ) | ?

? | (an?1 ? an ) |

1 1 ( )m?1[1 ? ( ) n?m 1 1 1 4 1 4 1 4 ? ( )m?1 ? ( )m ? ? ( ) n?2 ? 4 ? ( ) m?1 ? ( ) k 1 4 4 4 3 4 3 4 1? 4 4 1 k * 所以, 对任意 n, m, k ? N 且 n ? m ? k ,求证: | am ? an |? ? ( ) . 3 4


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