高中数学必修2立体几何专题-线面垂直专题典型例题精选精讲

习题精选精讲

线面垂直的证明中的找线技巧
? 1 通过计算,运用勾股定理寻求线线垂直

M 为 CC1 的中点,AC 交 BD 于点 O,求证: 如图 1,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,

AO ? 平面 MBD. 1

A1M ,∵DB⊥ A1 A ,DB⊥AC, A1 A ? AC ? A , ∴DB⊥平面 A ? 平面 A1 ACC1 ∴DB⊥ AO 1 ACC1 ,而 AO 1 . 1 3 2 3 2 2 2 设正方体棱长为 a ,则 A1O ? a , MO ? a . 2 4 9 2 2 2 a .∵ AO 在 Rt△ A ? MO2 ? A1M 2 ,∴ 1M ? 1C1M 中, A 1 4 . ∵ OM ∩ DB = O ,∴ AO ? OM AO 1 1 ⊥平面 MBD.
证明:连结 MO, 评注:在证明垂直关系时,有时可以利用棱长、角度大小等数据,通过计算来证明.

? 2

利用面面垂直寻求线面垂直 如图 2, P 是△ABC 所在平面外的一点,且 PA⊥平面 ABC,平面 PAC⊥平面 PBC.求证:BC⊥平面 PAC. 证明:在平面 PAC 内作 AD⊥PC 交 PC 于 D.

因为平面 PAC⊥平面 PBC,且两平面交于 PC,

AD ? 平面 PAC, 且 AD⊥PC,由面面垂直的性质, 得 AD⊥平面 PBC. 又∵ BC 平面 PBC,∴AD⊥BC.

?

∵PA⊥平面 ABC, BC ? 平面 ABC,∴PA⊥BC. ∵AD∩PA=A,∴BC⊥平面 PAC. (另外还可证 BC 分别与相交直线 AD,AC 垂直,从而得到 BC⊥平面 PAC). 评注:已知条件是线面垂直和面面垂直,要证明两条直线垂直,应将两条直线中的一 条纳入一个平面中,使另一条直线与该平面垂直,即从线面垂直得到线线垂直.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着 低一级的垂直关系,通过本题可以看到,面面垂直 ? 线面垂直 ? 线线垂直.

??? ? 线面垂直 ??? ??? ? 面面 一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直 ??? ? ?
判定 性质 判定 性质

垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面是判定定理,而从后面推出前面是性质定理.同学们 应当学会灵活应用这些定理证明问题.下面举例说明.

3

如图1所示,ABCD 为正方形, SA ⊥平面 ABCD,过

A 且垂直于 SC 的平面分别交 SB,SC,SD 于 E,F,G .

求证:

AE ? SB , AG ? SD .

? 平面 ABCD, BC .∵ AB ? BC ,∴ BC ? 平面 SAB.又∵ AE ? 平面 SAB,∴ BC ? AE .∵ SC ? 平面 AEFG,∴ SC ? AE .∴ AE ? 平面 SBC.∴ AE ? SB .同 理可证 AG ? SD .
证明:∵ SA ∴ SA ?

习题精选精讲 评注:本题欲证线线垂直,可转化为证线面垂直,在线线垂直与线面垂直的转化中,平面起到了关键作用,同学们应多 注意考虑线和线所在平面的特征,从而顺利实现证明所需要的转化. 4 如图2,在三棱锥A-BCD 中,BC=AC,AD=BD,作 BE⊥CD,E为垂足,作 AH⊥BE 于H.求证:AH⊥平面 BCD.

证明:取 AB 的中点F,连结 CF,DF.

? BC ,∴ CF ? AB . ∵ AD ? BD ,∴ DF ? AB . 又 CF ? DF ? F ,∴ AB ? 平面 CDF. ∵ CD ? 平面 CDF,∴ CD ? AB . 又 CD ? BE , BE ? AB ? B , ∴ CD ? 平面 ABE, CD ? AH . ∵ AH ? CD , AH ? BE , CD ? BE ? E ,
∵ AC ∴ AH ? 平面 BCD. 评注: 本题在运用判定定理证明线面垂直时, 将问题转化为证明线线垂直; 而证明线线垂直时, 又转化为证明线面垂直. 如 此反复,直到证得结论. 5 如图3, AB 是圆O的直径,C是圆周上一点, PA 求证:平面 AEF⊥平面 PBC.

? 平面 ABC.若 AE⊥PC

,E为垂足,F是 PB 上任意一点,

证明:∵AB 是圆O的直径,∴ AC ∵ PA ∴ PA ?

? 平面 ABC, BC ? 平面 ABC,

? BC .

∵ BC ? 平面 PBC, ∴平面 APC⊥平面 PBC. ∵AE⊥PC,平面 APC∩平面 PBC=PC, ∴AE⊥平面 PBC. ∵ AE ? 平面 AEF,∴平面 AEF⊥平面 PBC. 评注:证明两个平面垂直时,一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线,即证线面垂直,而证线面垂直则需从已知条件 出发寻找线线垂直的关系. 6. 空间四边形 ABCD 中,若 AB⊥CD,BC⊥AD,求证:AC⊥BD

BC .∴ BC ? 平面 APC.

A

D B O C

证明:过 A 作 AO⊥平面 BCD 于 O。? AB?CD, ? CD?BO 同理 BC⊥DO

∴O 为△ABC 的垂心

于是BD?CO ? BD?AC
7. 证明:在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,A1C⊥平面 BC1D

习题精选精讲

D1 A1 B1

C1

D A
证明:连结 AC

C B

? BD? AC
AC 为 A1C 在平面 AC 上的射影

? BD?A1C

? ? ? A1C?平面BC1 D 同理可证A1C?BC1 ?
MN? AB
P N D A C

8. 如图, PA ? 平面 ABCD,ABCD 是矩形,M、N 分别是 AB、PC 的中点,求证:

M

B

.

1 EN // DC 2 证:取 PD 中点 E,则
P E D A N C

M

B

? AE / / MN

? EN // AM
CD?AE ? 又 ? CD?AD? ? ? ? CD?平面PAD ? ? CD / / AB ? ? MN?AB PA?平面AC ? ? AE ? 平面PAD? AE / / MN ? ?

9 如图在Δ ABC 中, AD⊥BC, ED=2AE, 过 E 作 FG∥BC, A'BC

且将Δ AFG 沿 FG 折起,使∠A'ED=60°,求证:A'E⊥平面

习题精选精讲 分析:弄清折叠前后,图形中各元素之间的数量关系和位置关系。 解: ∵FG∥BC,AD⊥BC ∴A'E⊥FG ∴A'E⊥BC 设 A'E=a,则 ED=2a 由余弦定理得: 2 2 2 2 A'D =A'E +ED -2?A'E?EDcos60°=3a 2 2 2 ∴ED =A'D +A'E ∴A'D⊥A'E ∴A'E⊥平面 A'BC

A' G A E F

C D B

10 如图, 在空间四边形 SABC 中, SA?平面 ABC, ?ABC = 90?, AN?SB 于 N, AM?SC 于 M。 求证: ①AN?BC; ②SC?平面 ANM 分析:

①要证 AN?BC, 转证, BC?平面 SAB。 ②要证 SC?平面 ANM, 转证, SC 垂直于平面 ANM 内的两条相交直线, 即证 SC?AM, SC?AN。要证 SC?AN, 转证 AN?平面 SBC, 就可以了。 证明: ①∵SA?平面 ABC ∴SA?BC 又∵BC?AB, 且 AB ? SA = A ∴BC?平面 SAB ∵AN ? 平面 SAB ∴AN?BC ②∵AN?BC, AN?SB, 且 SB ? BC = B ∴AN?平面 SBC ∵SCC 平面 SBC ∴AN?SC 又∵AM?SC, 且 AM ? AN = A ∴SC?平面 ANM 11 已知如图,P ? 平面 ABC,PA=PB=PC,∠APB=∠APC=60°,∠BPC=90 °求证:平面 ABC⊥平面 PBC

分析:要证明面面垂直,只要在其呈平面内找一条线,然后证明直线与另一平面垂直即可。显然 BC 中点 D,证明 AD 垂直 平 PBC 即可 证明:取 BC 中点 D 连结 AD、PD ∵PA=PB;∠APB=60° ∴Δ PAB 为正三角形 同理Δ PAC 为正三角形 设 PA=a 在 RTΔ BPC 中,PB=PC=a BC=

2a
2 2

∴PD=
2

2 2

a

在Δ ABC 中
2

AD=

AB2 ? BD2

=

2 2

? 2 ? ? 2 ? ? ? ? a∵AD +PD = ? ? 2 a? ? ? 2 a? ? ? ? ?
AB // ?

=a =AP ∴Δ APD 为直角三角形即 AD⊥DP 又∵AD⊥BC

2

2

∴AD⊥平面 PBC ∴平面 ABC⊥平面 PBC 12. 如图,直角 BAC 在 ? 外, ,

AC ? ? ? C ,求证: ?BAC

在 ? 内射影 ?CA?B ? 为直角。

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A

B

A' C

B' α

证:如图所示,

AA? ? ? 、 BB ? ? ? , ?B ?A?C 为射影。 AA? // BB ? 确定平面 ?
? ? ? ? ? ? AB ? 面AA?C ? ? ? ?

? ? ? ? ? A?B ?? ? ? AB ? ? ? ? AB // AB ?? ? ? AB ? AA? ? AB // ? ? ? AA? ? A?B ? ? ? AB ? AC

? A?B? ? 面CA?A ? A?B? ? CA? ? ?CA?B? 为直角 13 以 AB 为直径的圆在平面 ? 内, PA ? ? 于 A,C 在圆上,连 PB、PC 过 A 作 AE⊥PB 于 E,AF⊥PC 于 F,试判断图
中还有几组线面垂直。

P E F A C
? ? ? PA ? ? ? ? ? ? ? PA ? BC ? BC ? ? ? ? ? BC ? 面PAC? ? ? AF ? BC ? AF ? 面PAC ? AB为直径 ? AC ? BC? ? ? AF ? PC ? ? ? AF ? PB? ? ? ? AF ? 面PBC ? ? ? PB ? ? AE ? PB? ? 面 AEF

B

解:

两个平面垂直例题解析 1.在三棱锥 A—BCD 中,若 AD⊥BC,BD⊥AD,△BCD 是锐角三角形,那么必有( A.平面 ABD⊥平面 ADC B.平面 ABD⊥平面 ABC C.平面 ADC⊥平面 BCD D.平面 ABC⊥平面 BCD



【解析】由 AD⊥BC,BD⊥AD ?AD⊥平面 BCD,面 AD ? 平面 ADC∴平面 ADC⊥平面 BCD.【答案】C 2.直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,∠ACB=90°,AC=AA1=a,则点 A 到平面 A1BC 的距离是( )

A.a

B.

2a

C.

2 2

a

D.

3a

【解析】取 A1C 的中点 O,连结 AO,∵AC=AA1,∴AO⊥A1C,又该三棱柱是直三棱柱.∴平面 A1C⊥平面 ABC.又

∵BC⊥AC∴BC⊥AO,因 AO⊥平面 A1BC,即 A1O 等于 A 到平面 ABC 的距离.解得:A1O=

2 2

a【答案】C

习题精选精讲 3.三个平面两两垂直,它们的三条交线交于一点 O,P 到三个面的距离分别是 3,4,5,则 OP 的长为( A.5 )

3

B.5

2

C.3

5

D.2

5

【解析】构造一个长方体,OP 为对角线.【答案】B 4.在两个互相垂直的平面的交线上,有两点 A、B,AC 和 BD 分别是这两个平面内垂直于 AB 的线段,AC=6,AB=8, BD=24,则 C、D 间距离为_____.

【解析】如图,CD=

CA2 ? AD2

=

CA2 ? AB2 ? BD2

=

62 ? 82 ? 242

=

676 =26

5.设两个平面α 、β ,直线 l,下列三个条件:①l⊥α ,②l∥β ,③ α ⊥β .若以其中两个作为前提,另一个作为 结论,则可构成三个命题,这三个命题中正确的命题个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.0

【解析】①② ?③,其余都错【答案】C 【典型例题精讲】 [例 1] 如图 9—39,过 S 引三条长度相等但不共面的线段 SA、SB、SC,且∠ASB=∠ASC=60°,∠BSC=90°,求 证:平面 ABC⊥平面 BSC.

图 9—39

【证明】∵SB=SA=SC,∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC 取 BC 的中点 O,连 AO、SO,则 AO⊥BC,SO⊥BC,

∴∠AOS 为二面角的平面角,设 SA=SB=SC=a,又∠BSC=90°,∴BC=

2 a,SO=

2 2

a,

1 AO =AC -OC =a - 2
2 2 2 2

a2,∴SA2=AO2+OS2,∴∠AOS=90°,从而平面 ABC⊥平面 BSC. 【评述】要证两平面垂直,证其二面角的平面角为直角.这也是证两平面垂直的常用方法. [例 2]如图 9—40,在三棱锥 S—ABC 中,SA⊥平面 ABC,平面 SAB⊥平面 SBC.

1 a=2
2

图 9—40 (1)求证:AB⊥BC;(2)若设二面角 S—BC—A 为 45°,SA=BC,求二面角 A—SC—B 的大小.

习题精选精讲 (1)【证明】作 AH⊥SB 于 H,∵平面 SAB⊥平面 SBC.平面 SAB∩平面 SBC=SB,∴AH⊥平面 SBC, 又 SA⊥平面 ABC,∴SA⊥BC,而 SA 在平面 SBC 上的射影为 SB,∴BC⊥SB,又 SA∩SB=S, ∴BC⊥平面 SAB.∴BC⊥AB. (2)【解】∵SA⊥平面 ABC,∴平面 SAB⊥平面 ABC,又平面 SAB⊥平面 SBC,∴∠SBA 为二面角 S—BC—A 的 平面角, ∴∠SBA=45°.设 SA=AB=BC=a,

作 AE⊥SC 于 E, 连 EH, 则 EH⊥SC, ∴∠AEH 为二面角 A—SC—B 的平面角, 而 AH=

2 2

a, AC=

2 a,SC= 3 a,

AE=

6 3

a

∴sin∠AEH= 【注】三垂线法是作二面角的平面角的常用方法. [例 3]如图 9—41,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是矩形,PA=AD=a,M、N 分别是 AB、PC 的中点.

3 2 ,二面角 A—SC—B 为 60°.

(1)求平面 PCD 与平面 ABCD 所成的二面角的大小;(2)求证:平面 MND⊥平面 PCD

(1)【解】PA⊥平面 ABCD,CD⊥AD, ∴PD⊥CD,故∠PDA 为平面 ABCD 与平面 PCD 所成二面角的平面角,在 Rt△PAD 中,PA=AD, ∴∠PDA=45°

(2) 【证明】取 PD 中点 E,连结 EN,EA,则 EN CD AM,∴四边形 ENMA 是平行四边形,∴EA∥MN. ∵AE⊥PD,AE⊥CD,∴AE⊥平面 PCD,从而 MN⊥平面 PCD,∵MN ? 平面 MND,∴平面 MND⊥平面 PCD. 【注】 证明面面垂直通常是先证明线面垂直,本题中要证 MN⊥平面 PCD 较困难,转化为证明 AE⊥平面 PCD 就较简 单了.另外,在本题中,当 AB 的长度变化时,可求异面直线 PC 与 AD 所成角的范围. [例 4]如图 9—42,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F、M、N 分别是 A1B1、BC、C1D1、B1C1 的中点.

1 2

图 9—42 (1)求证:平面 MNF⊥平面 ENF.(2)求二面角 M—EF—N 的平面角的正切值.

习题精选精讲 (1)【证明】∵M、N、E 是中点,∴ EB1 ? B1 N ? NC1 ? C1 M ∴ ?ENB1 ? ?MNC1 ? 45? ∴ ?MNE ? 90? 即 MN⊥EN,又 NF⊥平面 A1C1, MN ? 平面A1C1 ∴MN⊥NF,从而 MN⊥平面 ENF.∵MN 平面 MNF, ∴平面 MNF⊥平面 ENF. (2)【解】过 N 作 NH⊥EF 于 H,连结 MH.∵MN⊥平面 ENF,NH 为 MH 在平面 ENF 内的射影,

?

∴由三垂线定理得 MH⊥EF, ∴∠MHN 是二面角 M—EF—N 的平面角. 在 Rt△MNH 中, 求得 MN=

2 2

a, NH=

3 3 a,

MN 6 ? 2 ∴tan∠MHN= NH

6 ,即二面角 M—EF—N 的平面角的正切值为 2 .

[例 5]在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是边长为 的中点,求证:平面 D1EF⊥平面 AB1C.

2 的正方形,侧棱长为 3 ,E、F 分别是 AB1、CB1

【证明】如图 9—43,∵E、F 分别是 AB1、CB1 的中点,

图 9—43∴EF∥AC.∵AB1=CB1,O 为 AC 的中点.∴B1O⊥AC.故 B1O⊥EF.在 Rt△B1BO 中,∵BB1=

3 ,BO=1.

1 ∴∠BB1O=30°,从而∠OB1D1=60°,又 B1D1=2,B1O1= 2

OB1=1(O1 为 BO 与 EF 的交点) ∴△D1B1O1 是直角三角形,即 B1O⊥D1O1,∴B1O⊥平面 D1EF.又 B1O ? 平面 AB1C,∴平面 D1EF⊥平面 AB1C.

1.棱长都是 2 的直平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,∠BAD=60°,则对角线 A1C 与侧面 DCC1D1 所成角的正弦值为 _____.

【解】过 A1 作 A1G⊥C1D1 于 G,由于该平行六面体是直平行六面体,∴A1G⊥平面 D1C,连结 CG,∠A1CG 即为 A1C 与侧面 DCC1D1 所成的角.

习题精选精讲

∵A1G= A1 D1 ·sin∠A1 D1 G=2sin60°=2·

3 2 = 3而

AC= A1C=

AB ? BC ? 2 AB ? BC ? cos120? =
2 2

1 22 ? 22 ? 2 ? 2 ? 2 ? (? ) ? 2 3 2 ∴

A1 A2 ? AC 2 ? 4 ? 12 ? 4 ,

∴sin∠A1CG=

A1G 3 3 ? A1C 4 .【答案】 4

2.E、F 分别是正方形 ABCD 的边 AB 和 CD 的中点,EF、BD 相交于 O,以 EF 为棱将正方形折成直二面角,则∠ BOD=_____.

【解析】设正方形的边长为 2a. 则 DO2=a2+a2=2a2OB2=a2+a2=2a2DB2=DF2+FB2=a2+4a2+a2=6a2∴cos∠

2a 2 ? 2a 2 ? 6a 2 1 ?? 2 ,∴∠DOB=120° DOB= 2 ? 2a ? 2a

? 3.如图 9—44,已知斜三棱柱 ABC—A1B1C1 的各棱长均为 2,侧棱与底面成 3 的角,侧面 ABB1A1 垂直于底面,

图 9—44 (1)证明:B1C⊥C1A.(2)求四棱锥 B—ACC1A1 的体积.

(1)【证明】过 B1 作 B1O⊥AB 于 O,∵面 ABB1A1⊥底面 ABC,面 ABB1 A1 ? 面ABC ? AB ∴B1O⊥面 ABC,

? ∴∠B1BA 是侧棱与底面所成角, ∴∠B1BA= 3 , 又各棱长均为 2, ∴O 为 AB 的中点, 连 CO, 则 CO⊥AB, 而 OB1∩CO=O, ∴AB⊥平面 B1OC,又 B1C ? 平面 OB1C,∴B1C⊥AB,连 BC1,∵BCC1B1 为边长为 2 的菱形,∴B1C⊥BC1,而 AB
∩BC1=B, ∴B1C⊥面 ABC1∵A1C ? 面 ABC1∴B1C⊥AC1

(2)【解】在 Rt△BB1O 中,BB1=2,BO=1,B1O=

3 ,V



=Sh=

1 3 4 ·4· 3 =3,∴ VB? A1B1C1 = 3 V



=1,

- B? A1B1C1 =3-1=2 4.如图 9—45,四棱锥 P—ABCD 的底面是边长为 a 的正方形,PA⊥底面 ABCD,E 为 AB 的中点,且 PA=AB.


VB? AA1C1C =V

V

习题精选精讲

图 9—45 (1)求证:平面 PCE⊥平面 PCD;(2)求点 A 到平面 PCE 的距离.

(1)【证明】PA⊥平面 ABCD,AD 是 PD 在底面上的射影, 又∵四边形 ABCD 为矩形,∴CD⊥AD,∴CD⊥PD,∵AD∩PD=D∴CD⊥面 PAD,∴∠PDA 为二面角 P—CD—B 的 平面角,∵PA=PB=AD,PA⊥AD∴∠PDA=45°,取 Rt△PAD 斜边 PD 的中点 F,则 AF⊥PD,∵AF ? 面 PAD ∴CD

⊥AF,又 PD∩CD=D∴AF⊥平面 PCD,取 PC 的中点 G,连 GF、AG、EG,则 GF

1 2

CD 又 AE

1 2

CD,

∴GF AE∴四边形 AGEF 为平行四边形∴AF∥EG, ∴EG⊥平面 PDC 又 EG ? 平面 PEC, ∴平面 PEC⊥平面 PCD. (2)【解】由(1)知 AF∥平面 PEC,平面 PCD⊥平面 PEC,过 F 作 FH⊥PC 于 H,则 FH⊥平面 PEC ∴FH 为 F 到平面 PEC 的距离,即为 A 到平面 PEC 的距离.在△PFH 与 △PCD 中,∠P 为公共角,

FH PF ? PC 而∠FHP=∠CDP=90°,∴△PFH∽△PCD.∴ CD
PC=
2 2

,设 AD=2,∴PF=

2,
6 3


2 6 ?2 ? 3 PD ? CD ? 8 ? 4 ? 2 3 ,∴FH= 2 3

∴A 到平面 PEC 的距离为

5.已知直四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 的底面是菱形,对角线 AC=2,BD=2 满足 EC=BC=2FB.

3 ,E、F 分别为棱 CC1、BB1 上的点,且

图 9—46 (1)求证:平面 AEF⊥平面 A1ACC1;(2)求异面直线 EF、A1C1 所成角的余弦值.

(1)【证明】∵菱形对角线 AC=2,BD=2

3 ∴BC=2,EC=2,FB=1,取 AE 中点 M,连结 MF,设 BD 与 AC 交于

点 O,MO

1 2

EC

FB ?

平面 AEF⊥平面 ACC1A1

习题精选精讲 (2)在 AA1 上取点 N,使 AN=2,连结 NE,则 NE AC A1C1

故∠NEF 为异面直线 A1C1 与 EF 所成的角,连结 NF,在直角梯形 NABF 中易求得 NF=

5 ,同理求得 EF= 5 .

3? 4 ?5 5 5 ? 5 在△ENF 中,cos∠NEF= 2 ? 2 ? 5 ,即 EF 与 A1C1 所成角的余弦值为 5 .
【解题指导】在证明两平面垂直时,一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线;若没有这样的直线,则可通过作辅 助线来解决,而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明,不能随意添加.在有平面垂直时,一般要用性质定理,在一个 平面内作交线的垂线,使之转化为线面垂直.解决这类问题的关键是熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”间的 转化条件和转化应用. 【拓展练习】 一、备选题 1.如图,AB 是圆 O 的直径,C 是圆周上一点,PA⊥平面 ABC. (1)求证:平面 PAC⊥平面 PBC; (2)若 D 也是圆周上一点,且与 C 分居直径 AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.

(1)【证明】∵C 是 AB 为直径的圆 O 的圆周上一点,AB 是圆 O 的直径 ∴BC⊥AC; 又 PA⊥平面 ABC,BC ? 平面 ABC, ∴BC⊥PA,从而 BC⊥平面 PAC. ∵BC ? 平面 PBC, ∴平面 PAC⊥平面 PBC. (2) 【解】平面 PAC⊥平面 ABCD; 平面 PAC⊥平面 PBC; 平面 PAD⊥平面 PBD; 平面 PAB⊥平面 ABCD; 平面 PAD ⊥平面 ABCD.

1 2.ABC—A′B′C′是正三棱柱,底面边长为 a,D,E 分别是 BB′,CC′上的一点,BD= 2
(1)求证:平面 ADE⊥平面 ACC′A′; (2)求截面△ADE 的面积.

a,EC=a.

习题精选精讲 (1)【证明】分别取 A′C′、AC 的中点 M、N,连结 MN, 则 MN∥A′A∥B′B, ∴B′、M、N、B 共面,∵M 为 A′C′中点,B′C′=B′A′,∴B′M⊥A′C′,又 B′M⊥AA′且 AA′∩A′ C′=A′ ∴B′M⊥平面 A′ACC′. 设 MN 交 AE 于 P,

a ∵CE=AC,∴PN=NA= 2 . 1 又 DB= 2 a,∴PN=BD.
∵PN∥BD, ∴PNBD 是矩形,于是 PD∥BN,BN∥B′M, ∴PD∥B′M. ∵B′M⊥平面 ACC′A′, ∴PD⊥平面 ACC′A′,而 PD ? 平面 ADE, ∴平面 ADE⊥平面 ACC′A′. (2)【解】∵PD⊥平面 ACC′A′,

∴PD⊥AE,而 PD=B′M= AE=

3 2 a,

∴S△

2 a. 1 ADE= 2 ×AE×PD
2a ?
×

1 =2

3 6 2 a? a 2 4 .


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