2013-2014学年 高中数学北师大版选修2-3【配套备课资源】第一章 1.(一)


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§1(一)

学习要求 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.
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2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题. 学法指导 两个计数原理是推导排列数、组合数计算公式的依据,其 基本思想贯穿本章始终,理解两个原理的关键是分清分类 与分步.

填一填· 知识要点、记下疑难点

§1(一)

1.分类加法计数原理:完成一件事,可以有 n 类办法,在第
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一类办法中有 m1 种方法,在第二类办法中有 m2 种方 法,??,在第 n 类办法中有 mn 种方法.那么,完成这 m1+m2+?+mn 件事共有 N=________________种方法.(也称加法原理) 2.分步乘法计数原理:完成一件事需要经过 n 个步骤,缺一 不可,做第一步有 m1 种方法,做第二步有 m2 种方 法,??,做第 n 步有 mn 种方法,那么完成这件事共有 m1×m2×?×mn N=________________种方法.(也称乘法原理)

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§1(一)

探究点一
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分类加法计数原理

问题 1

用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里

的座位编号,总共能编出多少种不同的号码?
答 因为英文字母共有 26 个,阿拉伯数字共 10 个,

所以总共可以编出 26+10=36(种)不同的号码.

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§1(一)

问题 2
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由问题 1 你能归纳出一般结论吗?

答 分类加法计数原理:完成一件事,可以有 n 类办法,
在第一类办法中有 m1 种方法,
在第二类办法中有 m2 种方法,??,
在第 n 类办法中有 mn 种方法. 那么,完成这件事共有 N=m1+m2+?+mn 种方法.(也称加 法原理)

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§1(一)

问题 3 分类加法计数原理中的“各种方法”与“完成这件
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事”有什么关系?
答 分类加法计数原理中的“各种方法”都能独立“完

成这件事”,与“其他方法”没关系.

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§1(一)

例 1

在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到 A、B A 大学 生物学 B 大学 数学 会计学 信息技术学 法学

两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业, 具体情况如下:

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化学 医学 物理学 工程学

(1)如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种选择 呢? (2)若还有 C 大学,其中强项专业为:新闻学、金融学、人力 资源学,那么,这名同学可能的专业选择共有多少种?

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§1(一)



(1)这名同学可以选择 A、B 两所大学中的一所.

在 A 大学中有 5 种专业选择方法, 在 B 大学中有 4 种专业选择方法. 又由于两所大学没有共同的强项专业,
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因此根据分类加法计数原理,这名同学可能的专业选择种数 为 5+4=9. (2)这名同学可以选择 A、B、C 三所大学中的一所. 在 A 大学中有 5 种专业选择方法, 在 B 大学中有 4 种专业选择方法, 在 C 大学中有 3 种专业选择方法. 又由于三所大学没有共同的强项专业, 因此根据分类加法计数原理,这名同学可能的专业选择种数 为 5+4+3=12.

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§1(一)

小结 如果完成一件事有 n 类不同方案,在第 1 类方案中有
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m1 种不同的方法, 在第 2 类方案中有 m2 种不同的方法, ??, 在第 n 类方案中有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 m1+m2+m3+?+mn 种不同的方法.

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§1(一)

跟踪训练 1 某校高三共有三个班,其各班人数如下表: 班级 高三(1)
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男生数 30 30 35

女生数 20 30 20

总数 50 60 55

高三(2) 高三(3)

(1)从三个班中选一名学生会主席,有多少种不同的选法? (2)从(1)班、(2)班男生中或从(3)班女生中选一名学生任学生 会生活部部长,有多少种不同的选法?

解 (1)从三个班中任选一名学生,可分三类:
第 1 类,从高三(1)班任选一名学生,有 50 种不同选法; 第 2 类,从高三(2)班任选一名学生,有 60 种不同选法;

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§1(一)

第 3 类,从高三(3)班任选一名学生,有 55 种不同选法.
由分类加法计数原理知,不同的选法共有 N=50+60+55=
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165(种). (2)由题设知共有三类: 第 1 类,从(1)班男生中任选一名学生,有 30 种不同选法; 第 2 类,从(2)班男生中任选一名学生,有 30 种不同选法; 第 3 类,从(3)班女生中任选一名学生,有 20 种不同选法. 由分类加法计数原理知,不同的选法共有 N=30+30+20= 80(种).

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§1(一)

探究点二 问题 1
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分步乘法计数原理

如图,从丽水经杭州到上海的途径有________种.

答 所有途径为 6×10=60(种).

§1(一) 问题 2 用前 6 个大写英文字母和 1~9 九个阿拉伯数字, 以
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A1,A2,?,B1,B2,?的方式给教室里的座位编号,总 共能编出多少个不同的号码? 答 编写一个号码要先确定一个英文字母, 后确定一个阿
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拉伯数字, 我们可以用树形图列出所有可能的号码. 如图:

由于前 6 个英文字母中的任意一个都能与 9 个数字中的任 何一个组成一个号码, 而且它们各不相同, 因此共有 6×9 =54(个)不同的号码.

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§1(一)

问题 3
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由上述问题 1,2,你能归纳猜想出一般结论吗?



分步乘法计数原理:完成一件事需要两个步骤,

做第 1 步有 m 种不同的方法,
做第 2 步有 n 种不同的方法, 那么完成这件事共有 N=m×n 种不同的方法.

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§1(一)

问题 4
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分步乘法计数原理中的“各步方法”与“完成这件

事”有什么关系?

答 要完成这件事,“各步”中的方法必须依次都完成, 步与步之间是连续的,且相互依存.

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§1(一)

问题 5
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如果完成一件事需要三个步骤, 做第 1 步有 m1 种不

同的方法,做第 2 步有 m2 种不同的方法,做第 3 步有 m3 种不同的方法,那么完成这件事共有多少种不同的方法? 如果完成一件事需要 n 个步骤,做每一步中都有若干种不 同的方法,那么应当如何计数呢?
答 m1×m2×m3,m1×m2×?×mn.

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§1(一)

例 2 某商店现有甲种型号电视机 10 台,乙种型号电视机 8 台,丙种型号电视机 12 台,从这三种型号的电视机中各 选一台检验,有多少种不同的选法?
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解 完成从这三种型号的电视机中各选一台检验可分三步 完成:
第一步:从甲种型号中选一台,有 10 种不同的方法; 第二步:从乙种型号中选一台,有 8 种不同的方法; 第三步:从丙种型号中选一台,有 12 种不同的方法; 根据分步乘法计数原理,得 10×8×12=960(种). 因此共有 960 种不同的方法.

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§1(一)

小结
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利用分步乘法计数原理解决问题时,一定要正确设计

“分步”的程序,即完成这件事共分几步,每一步的具体内 容是什么,各步的方法、种数是多少,最后用分步乘法计数 原理求解.

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§1(一)

跟踪训练 2 已知 a∈{3,4,6},b∈{1,2,7,8},r∈{8,9},则方 程(x-a)2+(y-b)2=r2 可表示不同的圆的个数是多少?
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圆的方程由三个量 a、b、r 确定,a、b、r 分别有 3 种、

4 种、2 种选法, 由分步乘法计数原理得, 可表示不同的圆的个数为 3×4×2=24.

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§1(一)

探究点三

两个计数原理的综合应用

问题 比较分类加法计数原理和分步乘法计数原理,你能找 出它们的区别与联系吗? 答 (1)相同点: 都是回答有关完成一件事的不同方法种数
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的问题. (2)不同点:分类加法计数原理针对的是“分类”问题,完
成一件事可分为若干类,各类的方法相互独立,各类中的 各种方法也相互独立,用任何一类中的任何一种方法都可 以单独完成这件事,是独立完成; 而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,完成一件事

分为若干步,各个步骤相互依存,只完成任何其中的一步 都不能完成该件事,只有当各个步骤都完成后,才算完成 这件事,是合作完成.

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§1(一)

例3

书架的第 1 层放有 4 本不同的计算机书,第 2 层放有 3

本不同的文艺书,第 3 层放有 2 本不同的体育书. (1)从书架上任取 1 本书,有多少种不同的取法?
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(2)从书架的第 1、 3 层各取 1 本书, 2、 有多少种不同的取法? (3)从书架上任取两本不同学科的书, 有多少种不同的取法?
解 (1)从书架上任取 1 本书,有 3 类方法: 第 1 类方法是从第 1 层取 1 本计算机书,有 4 种方法; 第 2 类方法是从第 2 层取 1 本文艺书,有 3 种方法; 第 3 类方法是从第 3 层取 1 本体育书,有 2 种方法.
根据分类加法计数原理,不同取法的种数是 N=m1+m2+ m3=4+3+2=9.

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§1(一)

(2)从书架的第 1,2,3 层各取 1 本书, 可以分成 3 个步骤完成:
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第 1 步,从第 1 层取 1 本计算机书,有 4 种方法; 第 2 步,从第 2 层取 1 本文艺书,有 3 种方法; 第 3 步,从第 3 层取 1 本体育书,有 2 种方法.
根据分步乘法计数原理,不同取法的种数是 N=m1×m2×m3 =4×3×2=24. (3)N=4×3+4×2+3×2=26.

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§1(一)

小结
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解两个计数原理的综合应用题时,最容易出现不知道

应用哪个原理解题的情况,其思维障碍在于没有区分该问题 是“分类”还是“分步”, 突破方法在于认真审题, 明确“完 成一件事”的含义.具体应用时灵活性很大,要在做题过程 中不断体会和思考,基本原则是“化繁为简”.

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§1(一)

跟踪训练 3 现有 5 幅不同的国画,2 幅不同的油画,7 幅不 同的水彩画.
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(1)从中任选一幅画布置房间,有几种不同的选法? (2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间,有几种 不同的选法? (3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间,有几种不同 的选法? (4)要从甲、乙、丙 3 幅不同的画中选出 2 幅,分别挂在左、 右两边墙上的指定位置,问共有多少种不同的挂法?

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§1(一)



(1)分为三类:从国画中选,有 5 种不同的选法;

从油画中选,有 2 种不同的选法; 从水彩画中选,有 7 种不同的选法,
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根据分类加法计数原理,共有 5+2+7=14(种)不同的选法. (2)分为三步:国画、油画、水彩画分别有 5 种、2 种、7 种 不同的选法, 根据分步乘法计数原理,共有 5×2×7=70(种)不同的选法.
(3)分为三类:第一类是一幅选自国画,一幅选自油画.由分 步乘法计数原理知,有 5×2=10(种)不同的选法; 第二类是一幅选自国画,一幅选自水彩画,有 5×7=35(种) 不同的选法;

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§1(一)

第三类是一幅选自油画,一幅选自水彩画,有 2×7=14(种) 不同的选法,
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所以共有 10+35+14=59(种)不同的选法.

(4)从 3 幅画出选出 2 幅分别挂在左、右两边墙上,可以分两 个步骤完成:
第 1 步,从 3 幅画中选 1 幅挂在左边墙上,有 3 种选法;
第 2 步,从剩下的 2 幅画中选 1 幅挂在右边墙上,有 2 种选 法.

根据分步乘法计数原理,不同挂法的种数是 N=3×2=6.

练一练· 当堂检测、目标达成落实处

§1(一)

1.现有 4 件不同款式的上衣和 3 条不同颜色的长裤,如果一
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条长裤与一件上衣配成一套,则不同的配法种数为 ( B ) A.7 B.12 C.64 D.81
解析 要完成配套,分两步: 第 1 步,选上衣,从 4 件上衣中任选一件,有 4 种不同选法;
第 2 步, 选长裤, 3 条长裤中任选一条, 3 种不同选法. 从 有
故共有 4×3=12(种)不同的配法.

练一练· 当堂检测、目标达成落实处

§1(一)

2.从 A 地到 B 地,可乘汽车、火车、轮船三种交通工具,如
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果一天内汽车发 3 次,火车发 4 次,轮船发 2 次,那么一 天内乘坐这三种交通工具的不同走法为 A.1+1+1=3 C.3×4×2=24 B.3+4+2=9 D.以上都不对 ( B )

练一练· 当堂检测、目标达成落实处

§1(一)

3.十字路口来往的车辆,如果不允许掉头,共有不同的行
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车路线 A.24 种 C.12 种 B.16 种 D.10 种

( C )

练一练· 当堂检测、目标达成落实处

§1(一)

4.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数 a,b 组成

36 复数 a+bi,其中虚数有________个.
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解析

第一步取 b 的数,有 6 种方法,

第二步取 a 的数,也有 6 种方法, 根据乘法计数原理,共有 6×6=36(种)方法.

练一练· 当堂检测、目标达成落实处

§1(一)

5.将 3 封信投入 6 个信箱内,不同的投法有________种. 216

解析 每封信都有 6 种投法,
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共有 6×6×6=216(种)不同的投法.

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§1(一)

1.本课主要学习了两个重要的计数原理,应用两个原理时,
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要仔细区分原理的不同,加法原理关键在于分类,不同 类之间互相排斥,互相独立;乘法原理关键在于分步, 各步之间互相依存,互相联系. 2.通过对这两个原理的学习,要进一步体会分类讨论思想 及等价转化思想在解题中的应用.


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