【高考调研】2015高中数学(人教A版)选修2-2:模块综合检测题

模块综合检测题 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分,考试时间 120 分。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.已知复数 z1=2+i,z2=1+i,则 在复平面内对应的点位于( A.第一象限 C.第二象限 2.设 f(x)=10 +lgx,则 f′(1)等于( A.10 C. 10 +ln10 ln10
2

z1 z2

)

B.第三象限 D.第四象限
x

) B.10ln10+lge D.11ln10

3.函数 y=(1-sinx) 的导数是( A.y=2sin2x-cosx C.y=2sin2x-2cosx

) B.y=sin2x+2cosx D.y=sin2x-2cosx )

4.函数 f(x)的图像如图所示,下列数值排序正确的是(

A.0<f′(2)<f′(3)<f(3)-f(2) B.0<f′(3)<f(3)-f(2)<f′(2) C.0<f′(3)<f′(2)<f(3)-f(2) D.0<f(3)-f(2)<f′(2)<f′(3) 2-bi 5.如果复数 的实部和虚部互为相反数,那么实数 b 的值为( 1+2i A. 2 B.-2 2 C.- 3 2 D. 3 )

6.观察按下列顺序排列的等式:9×0+1=1,9×1+2=11,

9×2+3=21,9×3+4=31,…,猜想第 n(n∈N )个等式应为( A.9(n+1)+n=10n+9 B.9(n-1)+n=10n-9 C.9n+(n-1)=10n-9 D.9(n-1)+(n-1)=10n-10 7.如图阴影部分的面积是( )

*

)

1 A.e+ e 1 C.e+ -2 e 答案 C

1 B.e+ -1 e 1 D.e- e

8.若函数 f(x)=x +x +mx+1 是 R 上的单调增函数,则 m 取值范围是( A.m>3 1 C.m< 3 答案 B 1 3 4 9.曲线 y= x +x 在点(1, )处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为( 3 3 A. C. 1 9 1 3 B. D. 2 9 2 3 1 B.m≥ 3 D.m<0

3

2

)

)

答案 A 解析 ∵y′=x +1,∴切线斜率 k=1 +1=2. 4 ∴切线方程为 y- =2(x-1), 3
2 2

2 1 与坐标轴的交点坐标为(0,- ),( ,0). 3 3 1 2 1 1 ∴所求三角形面积为 × × = . 2 3 3 9 10.a、b 是非零实数,若 a<b,则下列不等式成立的是( A.a <b
2 2

)

B.ab <a b
3 2

2

2

C.

1

ab2 a2b

<

1

D. <

b a a b
)

11.若函数 f(x)=x -ax +1 在(0,2)内单调递减,则实数 a 的取值范围是( A.a≥3 C.a≤3 答案 A 12.若关于 x 的方程 x -3x+m=0 在[0,2]上有根,则实数 m 的取值范围是( A.[-2,2] C.[-2,0] 答案 A 解析 m=-x +3x, 令 f(x)=-x +3x,则 f′(x)=-3x +3. 令 f′(x)=-3x +3=0,得 x=±1, 且 f(0)=0,f(1)=2,f(2)=-2. ∴f(x)max=2,f(x)min=-2. ∴m∈[-2,2]. 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
2 3 2 3 3

B.a=2 D.0<a<3

)

B.[0,2] D.(-∞,-2)∪(2,+∞)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把正确答案填在题中横线上) 1+2i 2 2-i 2 13.( ) +( ) =________. 1-i 1+i 答案 -4-3i 14.变速直线运动的物体的速度为 v(t)=1-t (m/s)(其中 t 为时间,单位:s),则它 在前 2 s 内所走过的路程为________ m. 答案 2 15.数列{an}中,a1=2,an+1= (n∈N ),依次计算 a2,a3,a4,然后归纳猜想出 an 3an+1 的表达式为________. 答案 an= 2 6n-5
3 2 2

an

*

16.已知 f(x)=x +3x +a(a 为常数)在[-3,3]上有最小值 3,那么[-3,3]上 f(x)的 最大值是________.

答案 57 解析 f′(x)=3x +6x,令 f′(x)=0,得 x=0 或 x=-2. ①当 0≤x≤3,-3≤x≤-2 时,
2

f′(x)≥0,f(x)单调递增;
②当-2<x<0 时,f(x)单调递减. 则最小值为 f(-3)或 f(0). 又由 f(-3)=(-3) +3×(-3) +a=a,f(0)=a,则 a=3. 所以 f(x)=x +3x +3 在 x=-2 或 x=3 处取得最大值,而 f(-2)=7,f(3)=57.所以 最大值为 57. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) 17.(10 分)已知复数 z1=2-3i,z2= 求(1)z1·z2; (2) . 解析 ∵z2= = 15-5i 15-5i = 2= + 3+4i - 25 - 15-5i 2, +
3 2 3 2

z1 z2

9-4-15i =1-3i. 5

(1)z1·z2=(2-3i)(1-3i)=2-9-9i=-7-9i;

z1 2-3i (2) = = z2 1-3i

- -
2

+ +



2+9+3i 11 3 = + i. 10 10 10

18.(12 分)在曲线 y=x (x≥0)上的某点 A 处作一切线使之与曲线以及 x 轴所围成的面 1 积为 ,试求切点 A 的坐标以及切线方程. 12 解析 设点 A(x0,x0),函数 y=x 的导函数为 y′=2x,所以当 x=x0 导数为 2x0. 曲线在点 A 处的切线方程为 y-x0=2x0(x-x0), 即 y=2x0x-x0. 可得切线与 x 轴交于点( ,0),阴影部分的面积 S= 2
2 2 3 3 3 ?x0x dx-2· 2 ·x0=3x x00-4x0=12x0=12,解得 x0=1. ?0
|

2

2

2

2

x0

1 x0

1

1

1

1

所以切点为(1,1),切线方程为 y=2x-1. π 1+tanx 19.(12 分)(1)求证:tan(x+ )= ; 4 1-tanx 1+f x (2)设 x∈R,a≠0,f(x)是非常数函数,且 f(x+a)= .试问 f(x)是周期函数 1-f x

吗?证明你的结论. π tan +tanx 4 π 1+tanx 解析 (1)tan(x+ )= = . 4 π 1-tanx 1-tan tanx 4 (2)类比猜想:f(x)是以 T=4a 为周期的周期函数. 1+f 1+ 1-f 1+f x+a 因为 f(x+2a)=f(x+a+a)= = 1-f x+a 1+f 1- 1-f 所以 f(x+4a)=- 1

x x 1 =- , x f x x

f x+2a

=f(x).

所以 f(x)是以 T=4a 为周期的周期函数. 20.(12 分)已知 a<2,函数 f(x)=(x +ax+a)e . (1)当 a=1 时,求 f(x)的单调递增区间; (2)若 f(x)的极大值是 6·e ,求 a 的值. 解析 (1)当 a=1 时,f(x)=(x +x+1)e , ∴f′(x)=(x +3x+2)e . 由 f′(x)≥0,得 x +3x+2≥0, 解得 x≤-2 或 x≥-1. ∴f(x)的单调递增区间是(-∞,-2],[-1,+∞). (2)f′(x)=[x +(a+2)x+2a]e . 由 f′(x)=0,得 x=-2 或 x=-a. ∵a<2,∴-a>-2. 当 x 变化时,f′(x),f(x)变化情况列表如下:
2 2 2 2 -2 2

x

x

x

x

x f′(x) f(x)

(-∞,-2) +

-2 0 极大值

(-2,-a) -

-a 0 极小值

(-a,+∞) +

∴x=-2 时,f(x)取得极大值. 而 f(-2)=(4-a)·e , ∴(4-a)e =6·e . ∴a=-2. 1 1 21.(12 分)设正数数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn= (an+ ),试求 an,并用数学归纳 2 an 法证明你的结论.
-2 -2 -2

1 1 解析 当 n=1 时,a1= (a1+ ),∴a1=1. 2 a1 1 1 当 n=2 时,a1+a2= (a2+ ),∴a2= 2-1(an>0). 2 a2 1 1 当 n=3 时,a1+a2+a3= (a3+ ),∴a3= 3- 2. 2 a3 猜想:an= n- n-1. 证明:(1)当 n=1 时,已证. (2)假设 n=k 时,ak= k- k-1成立,则当 n=k+1 时,

ak+1=Sk+1-Sk
1 1 1 1 = (ak+1+ )- (ak+ ), 2 ak+1 2 ak 即 ak+1- 1

ak+1

1 =-(ak+ )

ak

=-( k- k-1+ ∴ak+1= k+1- k.

1

k- k-1

)=-2 k.

由(1)、(2)可知,对 n∈N ,an= n- n-1. 22.(12 分)已知函数 f(x)=ax +cx+d(a≠0)是 R 上的奇函数,当 x=1 时,f(x)取得 极值-2. (1)求 f(x)的单调区间和极大值; (2)证明对任意 x1,x2∈(-1,1),不等式|f(x1)-f(x2)|<4 恒成立. 解析 (1)由奇函数的定义, 应有 f(-x)=-f(x),x∈R, 即-ax -cx+d=-ax -cx-d,∴d=0. 因此 f(x)=ax +cx,f′(x)=3ax +c. 由条件 f(1)=-2 为 f(x)的极值,必有 f′(1)=0.
? ?a+c=-2, 故? ?3a+c=0, ?
3 3 2 3 3 3

*

解得 a=1,c=-3.

因此 f(x)=x -3x,

f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1), f′(-1)=f′(1)=0.
当 x∈(-∞,-1)时,f′(x)>0, 故 f(x)在区间(-∞,-1)上是增函数; 当 x∈(-1,1)时,f′(x)<0,

故 f(x)在区间(-1,1)上是减函数; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0, 故 f(x)在区间(1,+∞)上是增函数. ∴f(x)在 x=-1 处取得极大值,极大值为 f(-1)=2. (2)由(1)知,f(x)=x -3x(x∈[-1,1])是减函数,且 f(x)在[-1,1]上的最大值 M=
3

f(-1)=2,f(x)在
[-1,1]上的最小值 m=f(1)=-2. ∴对任意的 x1,x2∈(-1,1), 恒有|f(x1)-f(x2)|<M-m=2-(-2)=4.


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