2014年高三考点专题复习(数列一)


2014 年高三考点专题复习(数列一) 1. ( 2008 年 湖 北 卷 ) 已 知 函 数 f ? x ? ? 2x , 等 差 数 列 ?an ? 的 公 差 为 2 , 若

f ? a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? ? 4 ,则 log 2 ? ? f ? a1 ? ? f ? a2 ?
?6 】
2.

f ? a10 ? ? ??

. 【答案:

(2006 年天津卷/2014 年长宁区一模) 已知数列 ?an ? 和 ?bn ? 都是公差为 1 的等差数列,
* 其首项分别为 a1 、b1 , 且 a1 ? b1 ? 5 ,a1 , b1 ? N * , 设 cn ? abn n ? N , 则数列 ?cn ?

?

?

的前 10 项和等于 3.

. 【答案: 85 】

(2011 年长宁区二模) 已知等差数列 ?an ? 中,a1 ? 10 , 当且仅当 n ? 5 时, 前 n 项和 S n 取得最大值,则公差 d 的范围是 .【答案: ? ? , ?2 ? 】

? 5 ? 2

? ?

4.

(2012 年闸北区二模) 设 ?an ? 是公比为 q 的等比数列, 首项 a1 ?

1 , 令 bn ? log 1 a n , 64 2
. 【答

当且仅当 n ? 4 时,数列 ?bn ? 的前 n 项和取得最大值,则 q 的取值范围为 案: 2 2, 4 】 5. ( 2010 年天津卷)设 ?an ? 是等比数列,公比 q ?

?

?

2 , Sn 为 ?an ? 的前 n 项和,记
. 【答案:4 】

Tn ?
6.

17Sn ? S2 n 设 Tn 为数列 ?Tn ? 的最大项, 则 n0 ? (n ? N * ) , 0 an ?1

( 2013 年 江 苏 卷 ) 在 正 项 等 比 数 列 ?an ? 中 , a5 ?

1 , a6 ? a7 ? 3 , 则 满 足 2
. 【答案: 12 】

a1 ? a2 ?
7.

? an ? a1a2

an 的最大正整数 n 的值为

(2013 年静安区一模) 已知等差数列 {an } 满足 3a5 ? 7a10 , 且 a1 ? 0 , 则等差数列 {an } 的前 n 项和 Sn 中最小的是 【A】 S7 或 S8 【B】 S12 【C】 S13 【 【D】 S14 】

8.

( 2007 年湖北卷)已知两个等差数列 ?an ? 和 {bn } 的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn ,且

a Sn 7n ? 45 ,则使得 n 为整数的正整数 n 的个数是 ? bn Tn n?3
【A】 2 9. 【B】 3 【C】 4





【D】 5

(2010 年安徽卷)设 {an } 是任意等比数列,它的前 n 项和,前 2 n 项和与前 3n 项和分 别为 X , Y , Z ,则下列等式中恒成立的是 【 】

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【A】 X ? Z ? 2Y 【C】 Y
2

【B】 Y (Y ? X ) ? Z (Z ? X ) 【D】 Y (Y ? X ) ? X (Z ? X )

? XZ

10. ( 2009 年 江 苏 卷 ) 设 ?an ? 是 公 差 不 为 零 的 等 差 数 列 , Sn 为 其 前 n 项 和 , 满 足
2 2 2 2 , S7 ? 1 . a2 ? a3 ? a4 ? a5

(1)求数列 ?an ? 的通项公式及前 n 项和 Sn ; (2)试求所有的正整数 m ,使得

am am ?1 为数列 ?an ? 中的项. am ? 2

11. (2010 年浙江卷)设 a1 , d 为实数,首项为 a1 ,公差为 d 的等差数列 ?a n ? 的前 n 项和 为 S n ,满足 S5 S6 ? 15 ? 0 ,则 d 的取值范围是_________. 12. (2013 年长宁嘉定区二模)设 ?a n ? 为等差数列, S n 为数列 ?a n ? 的前 n 项和,若不等 式 an ?
2 2 Sn ? ma12 对任意正整数 n 都成立,则实数 m 的最大值为 n2

.

13. (2012 年闵行区二模)设等差数列 ?an ? 的首项及公差均是正整数,前 n 项和为 Sn ,且

a1 ? 1 , a4 ? 6 , S3 ? 12 ,则 a2012 ?

.

14. (2008 年四川卷)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S4 ? 10 , S5 ? 15 ,则 a4 的 最大值为__________.

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15. ( 2008 年 江 西 卷 ) 在 数 列 ?an ? 中 , a1 ? 2 , an ?1 ? an ? ln ?1 ?

? ?

1? ? ? n ? N *? , 则 n?

an ?

.
?

16. (2013 年闸北区一模)若数列 ?bn ? 满足:对于 n ? N ,都有 bn?2 ? bn ? d (常数) , 则称数列 ?bn ? 是公差为 d 的准等差数列.如:若 cn ? ? 是公差为 8 的准等差数列. (1)求上述准等差数列 ?cn ? 的第 8 项 c8 、第 9 项 c9 以及前 9 项的和 T9 ; (2)设数列 ?an ? 满足: a1 ? a ,对于 n ? N ,都有 an ? an?1 ? 2n .求证: ?an ? 为
?

? 4n ? 1, 当n为奇数时 ? 4n ? 9, 当n为偶数时

,则 ?cn ?

准等差数列,并求其通项公式; (3)设(2)中的数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S 63 ? 2012,求 a 的取值范围.

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17. (2010 年闵行区二模)已知等差数列 ?an ? 中,公差 d ? 0 ,其前 n 项和为 Sn ,且满足

a2 ? a3 ? 45 , a1 ? a4 ? 14 .
(1)求数列 ?an ? 的通项公式; 【答案: an ? 4n ? 3 】 (2) 设由 bn ? 是等差数列; (3)对于(2)中的等差数列 ?bn ? ,设 cn ? 现有数列 ? f (n)? , f (n) ? Tn ? ? an ? 3 ?

Sn 1 (c ? 0) 构成的新数列为 ?bn ? , 求证: 当且仅当 c ? ? 时, 数列 ?bn ? 2 n?c

8 ,数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn , ? an ? 7 ? ? bn

? ?

8? n ? ? 0.9 ,是否存在整数 M ,使 f ?n? ? M 对一 bn ?

切 n ? N 都成立?若存在,求出 M 的最小值,若不存在,请说明理由.
*

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18. (2010 年闵行区二模) 已知函数 f ? x ? ? log3 像上的两点,横坐标为

3x ,M ? x1 , y1 ? ,N ? x2 , y2 ? 是 f ?x ? 图 1? x

1 的点 P 满足 2 OP ? OM ? ON ( O 为坐标原点). 2

(1)求证: y1 ? y2 为定值;

?1? ?2? (2)若 Sn ? f ? ? ? f ? ? ? ?n? ?n?

4 Sn ? 9 Sn ? n ?1 ? 的值; ?f? ? (n ? 2) ,求 lim n ?? 4 Sn?1 ? 9 Sn?1 ? n ?

1 ? ,n ?1 ? 6 ? (3)在(2)的条件下,若 an ? ? , Tn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, 1 ? ,n ? 2 ? ? 4 ? Sn ? 1?? Sn ?1 ? 1?
若 Tn ? m ? Sn?1 ? 1? 对一切 n ? N 都成立,试求实数 m 的取值范围.
*

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19. ( 2007 年 重 庆 卷 ) 设 {an } 为 公 比 q ? 1 的 等 比 数 列 , 若 a2004 和 a2005 是 方 程

4 x 2 ? 8x ? 3 ? 0 的两根,则 a2006 ? a2007 ? __________.
20. (2007 年宁夏卷)已知 x ? 0 , y ? 0 , x, a, b, y 成等差数列, x, c, d , y 成等比数列, 则

( a ? b) 2 的最小值是 cd

.

21. (2010 年湖北卷) 已知等比数列 {an } 中, 各项都是正数, 且 a1 , a3 , 2 a2 成等差数列, 则

1 2

a9 ? a10 ? a7 ? a8

.

22. (2011 年黄浦区一模)在数列 ?an ? 满足

an ? 2 ? an ?1 ? p(n ? N * ) ,其中 p 为常数,则 an ?1 ? an

称数列 ?an ? 为“等差比”数列, p 叫数列 ?an ? 的“公差比”.现给出如下命题: (1)等差比数列 ?an ? 的公差比 p 一定不为零; (2)若数列 ?an ? 是等比数列,则数列 ?an ? 一定是等差比数列; (3)若等比数列 ?an ? 是等差比数列,则等比数列 ?an ? 的公比与公差比相等. 则正确命题的序号是

) . 【答案: ( 1 ) ( 3 】

23. ( 2009 年浙江卷)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,则 S4 , S8 ? S4 , S12 ? S8 ,

S16 ? S12 成 等 差 数 列 ; 类 比 以 上 结 论 有 : 设 等 比 数 列 ?bn ? 的 前 n 项 积 为 Tn , 则 T4 ,
, ,

T16 成等比数列. T12

24. ( 2000 年 上 海 卷 12 ) 在 等 差 数 列 ?an ? 中 , 若 a10 ? 0 , 则 有 等 式

a1 ? a2 ?

? an ? a1 ? a2 ?

? a19 ?n (n ? 19, n ? N) 成立,类比上述性质,相就夺:
成立.

在等此数列 ?bn ? 中,若 b10 ? 1 ,则有等式

25. ( 2011 年 崇 明 县 一 模 ) 在 共 有 2009 项 的 等 比 数 列 ?an ? 中 , 有 等 式

a1 ? a3 ? a5 ????? a2009 ? a1005 成立;类比上述性质,在共有 2013 项的等差数列 ?bn ? 中, a2 ? a4 ? a6 ????? a2008
相应的有等式 成立.

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26. (2009 年浙江卷)设 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, Sn ? kn2 ? n ,其中 k 是常数. (1) 求 a1 及 an ; (2)若对于任意的 m ? N , am , a2 m , a4 m 成等比数列,求 k 的值.
*

27. ( 2007 年 江 苏 卷 ) 已 知 ?an ? 是 等 差 数 列 , ?bn ? 是 公 比 为 q 的 等 比 数 列 ,

a1 ? b1 , a2 ? b2 ? a1 ,记 Sn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和。
(1)若 bk ? am ( m, k 是大于 2 的正整数) ,求证: Sk ?1 ? (m ?1)a1 ; (2) 若 b3 ? ai( i 是某个正整数) , 求证:q 是整数, 且数列 ?bn ? 中每一项都是数列 ?an ? 中的项; (3)是否存在这样的正数 q ,使等比数列 ?bn ? 中有三项成等差数列?若存在,写出一 个 q 的值,并加以说明;若不存在,请说明理由.

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28. (2011 年奉贤区一模)数列 ?an ?的前 n 项和记为 Sn ,前 kn 项和记为 S kn n, k ? N * , 对给定的常数 k ,若

?

?

S ( k ?1) n S kn

是与 n 无关的非零常数 t ? f ?k ? ,则称该数列 ?an ? 是“ k 类 .

和科比数列 ”. .....

? a ? 1? (1)已知 S n ? ? n ? , a n ? 0 ,求数列 ?an ?的通项公式; ? 2 ?
(2)证明(1)的数列 ?an ? 是一个 “ k 类和科比数列 ”; ...... (3) 设正数列 ?cn ? 是一个等比数列, 首项 c1 , 公比 q ? q ? 1? , 若数列 ?lg cn ? 是一个 “ k 类和科比数列 ”,探究 c1 与 q 的关系. ......

2

29. ( 2007 年重庆卷)已知各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 S1 ? 1 ,且

6Sn ? ? an ? 1?? an ? 2 ? ? n ? N * ? .
(1)求 ?an ? 的通项公式; ( 2 ) 设 数 列 ?bn ? 满 足 an 2bn ? 1 ? 1 , 并 记 Tn 为 ?bn ? 的 前 n 项 和 , 求 证 :

?

?

3Tn ?1 ? log2 ? an ? 3? .

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30. (2008 年山东卷)将数列 ?an ? 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成下表:

a1 a2 a4 a7 a8 a5 a9
………… 记表中的第一列数 a1 , a2 , a4 , a7 ,……构成的数列为 ?bn ? , b1 ? a1 ? 1 , Sn 为数 列 ?bn ? 的前 n 项和,且满足 (1)证明数列 ?

a3 a6 a10

2bn ? 1? n ? 2 ? . 2 bn Sn ? Sn

?1? ? 成等差数列,并求数列 ?bn ? 的通项公式; ? Sn ?

(2)上表中,若从第三行起,每一行中的数从左到右的顺序均构成等比数列,且公比 为同一个正数,当 a81 ? ?

4 时,求上表中第 k (k ? 3) 行所有项的和. 91

31. (2013 年上海卷理 23) 给定常数 c ? 0 , 定义函数 f ? x ? ? 2 x ? c ? 4 ? x ? c , 数列 a1 ,

a2 , a3 ,

, an ,

满足 an?1 ? f (an ) , n ? N .
*

(1)若 a1 ? ?c ? 2 ,求 a2 及 a3 ; 【答案: 2 ; c ? 10 】 (2)求证:对任意 n ? N , an?1 ? an ? c ; 【答案: 2 ; c ? 10 】
*

(3)是否存在 a1 ,使得 a1 , a2 , a3 ,…, an ,…成等差数列?若存在,求出所有这 样的 a1 ;若不存在,说明理由. 【答案: 2 ; ? ?c, ???

??c ? 8? 】

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32. ( 2012 年全国卷)已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a5 ? 5 , S5 ? 15 ,则数列

? 1 ? ? ? 的前 100 项和为 ? an an ?1 ?

.

33. (2010 年重庆卷)已知函数 y ? f ? x ? 满足: f ?1? ?

1 ,对任意 x, y ? R 都满足等式 4

4 f ? x ? f ? y ? ? f ? x ? y ? ? f ? x ? y ? ,则 f ? 2010? ? _______.
34. ( 2008 年 上 海 市 希 望 杯 复 试 题 ) 已 知 y ? f ? x ? 是 定 义 在 实 数 集 上 的 函 数 , 且

f ? x ? 2? ? ?1 ? f ? x ? ? ? ? 1 ? f ? x ? , f ?1? ? 2 ? 3 ,则 f ? 2013? 的值________.
35. ( 2012 年 上 海 卷 ) 已 知 f ? x ? ?

1 , 各 项 均 为 正 数 的 数 列 ?an ? 满 足 a1 ? 1 , 1? x
.

an?2 ? f ? an ? ,若 a2010 ? a2012 ,则 a11 ? a20 的值是

36. ( 2009 年 湖 北 卷 ) 已 知 数 列 ?an ? 满 足 : a1 ? m ( m 为 正 整 数 ), 且

? an ? , 当an为偶数 ,若 a6 ? 1 ,则 m 所有可能的取值为_________.. an?1 ? ? 2 ?3a ? 1, 当a 为奇数 n ? n
37. (2010 年闵行区二模文)数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 1 , a2 ? 2 ,若对任意正整数 n ,有

an an?1an?2 ? an ? an?1 ? an?2 ,且 an?1an?2 ? 1 ,则前 2010 项和 S2010 ? ______.
38. (2010 年闵行区二模理)数列 ?an ? 中,已知 a1 ? ?2 , a2 ? ?1 , a3 ? 1 ,若对任意正 整数 n ,有 anan ?1an ? 2an ?3 ? an ? an ?1 ? an ? 2 ? an ?3 ,且 an ?1an ? 2an ?3 ? 1 ,则该数列的 2010 项和 S2010 ? ______. 39. ( 2012 年福建卷)数列 {an } 的通项公式 a n ? n cos

n? ? 1 ,前 n 项和为 Sn ,则 2

S 2012 ?

.
n

40. ( 2012 年 海 南 卷 ) 数 列 ?an ? 满 足 an ?1 ? ? ?1? an ? 2n ? 1 , 则 ?an ? 的 前 60 项 和 为 .

41. (2012 年奉贤区一模)对于数列 ?an ? ,如果存在最小的一个常数 T ,使得对任意的正 整数恒有 an?T ? an 成立, 则称数列 ?an ? 是周期为 T 的周期数列. 设数列 ?an ? 是周期为

T 的 周 期 数 列 , 且 m ? nT ? r m, n, k ? N * , 数 列 前 m, n, k 项 的 和 分 别 记 为

?

?

Sm , Sn , Sr , 则 Sm , Sn , Sr 三 者 的 关 系 式 _____________________. 【 答 案 :
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Sm ? nST ? Sr 】
42. (2012 年虹口区一模)已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,对于任意的 m, n ? N * ,都满足

Sn ? Sm ? Sm?n ,且 a1 ? 2 ,则 a2014 ?

.【答案: 2 】

43. (2010 年闵行区二模)课本中介绍了诺贝尔奖,其发放方式为:每年一次,把奖金总 金额平均分成 6 份,奖励在 6 项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平) 为人类作出了最有益贡献的人 . 每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一 半,另一半利息用于增加基金总额,以便保证奖金数逐年递增.资料显示: 2008 年诺贝 尔奖发奖后基金总额已达 19516 万美元,假设基金平均年利率为 r ? 6.24% . (1)请计算: 2009 年诺贝尔奖发奖后基金总额为多少万美元?当年每项奖金发放多 少万美元(结果精确到 1 万美元)? (2)设 f ? n ? 表示为第 n 年诺贝尔奖发奖后的基金总额( 2008 年记为 f ?1? ) ,试求函 数 f ? n ? 的表达式. 并据此判断新民网一则新闻 “ 2018 年度诺贝尔奖各项奖金高达 168 万 美元”是否与计算结果相符,并说明理由.

44. (2005 年上海卷)假设某市 2014 年新建住房面积 400 万平方米,其中有 250 万平方米 是中低价房。预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8%。 另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加 50 万平方米。那么,到哪一 年底, (1)该市历年所建中低价层的累计面积(以 2014 年为累计的第一年)将首次不少于 4780 万平方米? (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%?

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45. (2012 年奉贤区一模)正数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 2Sn ? an an?1 ?1 , a1 ? a ? 0 . (1)求证: an?2 ? an 是一个定值; (2)若数列 ?an ? 是一个单调递增数列,求实数 a 的取值范围; 【答案:1 ? a ? 1 ? 2 】 (3)若 S2013 是一个整数,求符合条件的自然数 a . 【答案: a ? 1, 2,503,1006 】

46. (2012 年奉贤区一模)正数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 rSn ? an an?1 ?1 , a1 ? a ? 0 , 常数 r ? N .
*

(1)求证: an?2 ? an 是一个定值; (2)若数列 ?an ? 是一个周期数列,求该数列的周期; (3)若数列 ?an ? 是一个有理数等差数列,求 Sn .

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47. (2010 年松江区二模) 设 ?an ? 和 ?bn ? 是两个数列, Bn ? M ?1, 2? ,An ? 2, an ? , 为直角坐标平面上的点.对任意自然数 n ? N ,三点 M , An , Bn 共线,
*

? n ?1 2 ? , ? ? n n?

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 满足: log 2 cn ?

a1b1 ? a2b2 ? ? anbn ,其中 ?cn ? 是第三项为 8,公 a1 ? a2 ? ? an

比为 4 的等比数列. 求证:点列 P 1 ?1, b 1 ?, P 2 ? 2, b2 ? ,

,P n ? n, bn ? 在同一条直线上;

(3)记数列 ?an ? 、 ?bn ? 的前 m 项和分别为 Am 和 Bm ,对任意自然数 n ,是否总存在 与 n 相关的自然数 m ,使得 an Bm ? bn Am ?若存在,求出 m 与 n 的关系,若不存在,请说 明理由.

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48. (2012 年嘉定区一模)定义 a1 , a2 ,

, an 的“倒平均数”为
a

n a1 ? a2 ?

? an

.已知数列

n . ?an ? 前 n 项的“倒平均数”为 2n ? 4 ,记 bn ? n ? 1

1

(1)比较 bn 与 bn ?1 的大小; 【答案: bn ? bn?1 】 (2) 设函数 f ? x ? ? ?x2 ? 4x , 对 (1) 中的数列 ?bn ? , 是否存在实数 ? , 使得当 x ? ? 时,f ? x ? ? cn 对任意 n ? N 恒成立?若存在, 求出最大的实数 ? ; 若不存在, 说明理由. 【答
*

案: ? ? 1 】 (3)设数列 ?cn ? 满足 c1 ? 1 , c2 ? b ?b ? 0? , cn ? cn?1 ? cn?2 ? n ? 3? ,且 ?cn ? 是周 期为 3 的周期数列,设 Tn 为 ?cn ? 前 n 项的“倒平均数”,求 lim Tn . 【答案: lim Tn ?
n ??

n ??

3 】 2

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