湖南省岳阳县一中高三数学第一次阶段考试 理 新人教A版【会员独享】

岳阳县一中 2011 届高三第一次阶段考试 数 学 试 题(理科)
时间:120 分钟

分值:150 分 一、选择题(每小题 5 分,共 40 分)

A ? {x | x 2 ? 9 x ? 0, x ? N * }, B ? { y |
1、 若集合 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

4 ? N *},则A ? B y 中元素个数为





2 y2 ? x y ? ? x ? ? 1? ? y | ? ? 1? ?x | ? 4 ?, ?, 2、 已知集合 M= ? 9 N= ? 3 2 则M ? N ?





A. ? C. ?? 3,3?

B. {(3,0), (2,0)} D. ?3,2?

3、在?ABC 中,sin A=sin B 是△ABC 为等腰三角形的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4、已知函数 f ( x ) 是定义域为 R 的偶函数,且 那 ( ) A. 增函数 么 B. 减函数

f ( x ? 1) ?

1 f ( x) ,若 f ( x) 在 [?1, 0] 上是减函数,
[2,3]
上 是

f ( x)



C. 先增后减的函数

D. 先减后增的函数 记

5 、 如 下 图 , 已 知

f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d ? a ? 0? ,
的 y 大 y 致

? ? 4 ? b 2 ? 3ac ? ,
图 y 象

则 当 为

? ? 0且a
y

? 时, 0 f (x )

o A ( ).

x

o B

x

o C

x

o D

x

1 y ? ( ) |1? x| ? m 2 6、 若函数 的图象与 x 轴有公共点, 则 m 的取值范围是





A.m≤-1

B.-1≤m<0

C.m≥1

D.0<m≤1

7 、 若 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 函 数 , 对 任 意 的 实 数 x , 都 有 f ( x ? 4) ? f ( x) ? 4 和

f ( x ? 2) ? f ( x) ? 2
( ) A.2008

且 B.2009

f (1) ? 2

, C.2010



f (2009)
D.2011







5 [ ] ?1 * 8 、 设 [ x ] 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 ( 如 [2] ? 2 , 4 ), 对 于 给 定 的 n ? N , 定 义

C nx ?


n(n ? 1) ?(n ? [ x] ? 1) 3 x ? [ ,3) Cx x( x ? 1) ?( x ? [ x] ? 1) , x ? [1,??) , 则 当 2 时 , 函 数 8 的 值 域 是


16 A.[ ,28] 3

16 B.[ ,56 ) 3

C.(4,

28 ) ? [28,56 ) 3

D.(4,

16 28 ] ? ( ,28] 3 3

二、填空题(每小题 5 分,共 35 分) 9、满足

?0,1, 2?

A ? {0,1, 2,3, 4,5} 的集合 A 的个数是_______个。

2 10 、已知命题 p : ?x ? R , x ? 2ax ? a ? 0 .若命题 p 是假命题,则实数 a 的取值范围

是 . 11、按如图所示的程序框图运行后,输出的结果是 63,则判断 框中的整数 M 的值是 . A

开始

1, S

1 N

A≤M Y 12、某同学在借助计算器求“方程 lgx=2-x 的近似解(精确到 0.1) ”时,设 f(x)=lgx+x-2,算得 f(1)<0,f(2)>0;在以下过 程中,他用“二分法”又取了 4 个 x 的值,计算了其函数值的 正负,并得出判断:方程的近似解是 x≈1.8.那么他再取的 x 的 4 个值分别依次是 . S 2S+1

输出 S

A A+ S 1

1 (11 题)

结束

13、已知函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,对于 x∈R 都有 f(x+6)=f(x)+f(3)成立,当

x1 , x2 ?[0,3] ,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?0 x ? x x ? x 1 2 1 2 且 时,都有 给出下列命题:①f(3)=0;②直线 x=一 6 是函数 y=f(x)
的图象的一条对称轴;③函数 y=f(x)在[一 9,一 6]上为增函数; ④函数 y=f(x)在[一 9,9] 上有四个零点. 其中所有正确命题的序号为______________(把所有正确命题的序号都填上) 14、 设含有集合 A={1,2,4,8,16}中三个元素的集合 A 的所有子集记为 B1,B2,B3,…,Bn(其中 n∈N*),

又将 Bk(k=1,2,……,n)的元素之和记为 ak,则 k ?1

?a

n

k

=_____

15、设函数 立,则称

f ? x?

的定义域为 R ,若存在常数 k ? 0 ,使

f ? x? ?

k 2010 x 对一切实数 x 均成

f ? x?

为“海宝”函数. 给出下列函数:



f ? x ? ? x2 f ? x?

;②

f ? x ? ? sin x ? cos x

;③

f ? x? ?

x x x ? x ? 1 ;④ f ? x ? ? 3 ?1
2

其中

是“海宝”函数的序号为



三、解答题(75 分) 16、 (本题满分 12)若集合

A ? {x | loga ( x 2 ? x ? 2) ? 2 , a ? 0 且 a ? 1}

(1)若 a ? 2 ,求集合 A ;

9 ?A (2)若 4 ,求 a 的取值范围.
17、 (本题满分 12)如右图所示,定义在 D 上的函数 f ( x) ,如果满足:对 ?x ? D ,? 常数 A, 都有 f ( x) ? A 成立,则称函数 f ( x) 在 D 上有下界,其中 A 称为函数的下界. (提示:图中的 常数 A 可以是正数,也可以是负数或零)

f ( x) ? x 3 ?
(1)试判断函数

48 x 在 (0,??) 上是否有下界?并说明理由;

(2) 已知某质点的运动方程为 S (t ) ? at ? 2 t ? 1 , 要使在 t ? [0,??) 上的每一

A?
时刻该质点的瞬时速度是以

1 2 为下界的函数,求实数 a 的取值范围
3 2

18、 (本题满分 12)已知 f ( x) ? ax ? 3x ? x ? 1 , a ? R . (Ⅰ)当 a ? ?3 时,求证: f ( x ) 在 R 上是减函数;

? (Ⅱ)如果对 ?x ? R 不等式 f ( x) ? 4 x 恒成立,求实数 a 的取值范围.

19. (本小题满分 13 分)

某企业投入 81 万元经销某产品,经销时间共 60 个月,市场调研表明,该企业在经销这个产

1? x ? 20, x ? N ? 1, ? f ( x) ? ? 1 x, 21 ? x ? 60, x ? N ? ?10 品期间第 x 个月的利润 (单位:万元) ,为了获得更多的 利润,企业将每月获得的利润投入到次月的经营中,记第 x 个月的当月利润率
g ( x) ? f (3) 第x个月的利润 g (3) ? 81 ? f (1) ? f (2) . 第x个月前的资金总和 ,例如:

(Ⅰ)求第 x 个月的当月利润率 g ( x) 的表达式; (Ⅱ)该企业经销此产品期间,哪一个月的当月利润率最大,并求该月的当月利润率. 20 、 (本小题满分 13 分)已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? 1 (a, b ? R, a ? 0) ,设方程
2

f ( x) ? x 的两个实数根为 x1 和 x2 .

x ? x0 ,求证: x0 ? ?1 ; (1)如果 x1 ? 2 ? x2 ? 4 ,设函数 f ( x) 的对称轴为
(2)如果

x1 ? 2



x2 ? x1 ? 2

,求 b 的取值范围.

21、 (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? ln(x ? 1) ? k ( x ? 1) ? 1 。 (I)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若 f ( x) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围;

(Ⅲ)证明: i ?2

? ( (i ? 1) ) ?

n

ln i

n(n ? 1) , (n ? N ? , n ? 1) 4

岳阳县一中 2011 届高三第一次阶段考试(答案) 数 学 试 题(理科) 分值:150 分 时间:120 分钟 命题人:唐 亮 审题人:晏桂保 一、选择题(每小题 5 分,共 40 分)

A ? {x | x 2 ? 9 x ? 0, x ? N * }, B ? { y |
1、若集合 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 答案 D

4 ? N *},则A ? B y 中元素个数为( )

2 y2 ? x y ? ? x ? ? 1? ? y | ? ? 1? ?x | ? 4 ? ,N= ? 3 2 ? ,则 M ? N ? 2、已知集合 M= ? 9





A. ? C. ?? 3,3?

B. {(3,0), (2,0)} D. ?3,2? ( )

答案 C 3、在?ABC 中,sin A=sin B 是△ABC 为等腰三角形的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 4、已知函数 f ( x ) 是定义域为 R 的偶函数,且 那么 f ( x ) 在 [2,3] 上是 ( ) A. 增函数 答案 A B. 减函数 C. 先增后减的函数 D. 先减后增的函数

f ( x ? 1) ?

1 f ( x) ,若 f ( x) 在 [?1, 0] 上是减函数,

5 、 如 下 图 , 已 知

f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d ? a ? 0? ,
). y



? ? 4 ? b 2 ? 3ac ? ,

则 当

? ? 0且a
y

? 时, 0 f (x ) 的大致图象为(
y

y

o A 答案 C

x

o B

x

o C

x

o D

x

? 解析: f ( x) ? 3x ? 2bx ? c ,由 ? ? 0, a ? 0 可知选 C。
2

1 y ? ( ) |1? x| ? m 2 6、若函数 的图象与 x 轴有公共点,则 m 的取值范围是(
A.m≤-1 B.-1≤m<0 C.m≥1 D.0<m≤1



? 1 x ?1 1 |1? x| ?( 2 ) ?y ?( ) ?? 2 ?2 x ?1 ? 解:
画图象可知-1≤m<0。 答案为 B。

( x ? 1) ( x ? 1)


7 、 若 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 函 数 , 对 任 意 的 实 数 x , 都 有 f ( x ? 4) ? f ( x) ? 4 和

f ( x ? 2) ? f ( x) ? 2 且 f (1) ? 2 ,则 f (2009) 的值是(
A.2008 答案 C B.2009 C.2010

) D.2011

5 [ ] ?1 * 8 、 设 [ x ] 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 ( 如 [2] ? 2 , 4 ), 对 于 给 定 的 n ? N , 定 义

C nx ?

n(n ? 1) ?(n ? [ x] ? 1) 3 x ? [ ,3) x x( x ? 1) ?( x ? [ x] ? 1) , x ? [1,??) ,则当 2 时,函数 C8 的值域是 D
16 B.[ ,56 ) 3 C.(4, 28 ) ? [28,56 ) 3 D.(4, 16 28 ] ? ( ,28] 3 3

16 A.[ ,28] 3

二、填空题(每小题 5 分,共 35 分) 9、满足 答案 7
2 10 、已知命题 p : ?x ? R , x ? 2ax ? a ? 0 .若命题 p 是假命题,则实数 a 的取值范围

?0,1, 2?

A ? {0,1, 2,3, 4,5} 的集合 A 的个数是_______个。



. 答案

(0,1) .


11、 按如图所示的程序框图运行后, 输出的结果是 63, 则判断框中的整数 M 的值是

答案 5 12、某同学在借助计算器求“方程 lgx=2-x 的近似解(精确到 0.1) ”时,设 f(x)=lgx+x-2, 算得 f(1)<0,f(2)>0;在以下过程中,他用“二分法”又取了 4 个 x 的值,计算了其函数值 的正负,并得出判断:方程的近似解是 x ≈ 1.8 .那么他再取的 x 的 4 个值分别依次 是 . 答案 1.5,1.75,1.875,1.8125; 13、已知函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,对于 x∈R 都有 f(x+6)=f(x)+f(3)成立,当

x1 , x2 ?[0,3] ,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?0 x ? x x ? x 2 时,都有 1 2 且 1 给出下列命题:
①f (3)=0; ②直线 x=一 6 是函数 y=f(x)的图象的一条对称轴; ③函数 y=f(x)在[一 9,一 6]上为增函数; ④函数 y=f (x)在[一 9,9]上有四个零点. 其中所有正确命题的序号为______________(把所有正确命题的序号都填上) 答案 ①②④ 14、 设含有集合 A={1,2,4,8,16}中三个元素的集合 A 的所有子集记为 B1,B2,B3,…,Bn(其中 n∈N*),

又将 Bk(k=1,2,……,n)的元素之和记为 ak,则 k ?1

?a

n

k

=_____

解析 五个元素中,每个元素都出现

2 C4

=6 次, k ?1

?a

n

k

=6×(1+2+4+8+16)=186,填 186

15、设函数 立,则称

f ? x?

的定义域为 R ,若存在常数 k ? 0 ,使

f ? x? ?

k 2010 x 对一切实数 x 均成

f ? x?

为“海宝”函数. 给出下列函数:



f ? x ? ? x2 f ? x?

;②

f ? x ? ? sin x ? cos x

;③ ③

f ? x? ?

x x x ? x ? 1 ;④ f ? x ? ? 3 ?1
2

其中

是“海宝”函数的序号为



三、解答题(75 分) 16、 (本题满分 12)若集合

A ? {x | loga ( x 2 ? x ? 2) ? 2 , a ? 0 且 a ? 1}

(1)若 a ? 2 ,求集合 A ;

9 ?A (2)若 4 ,求 a 的取值范围.
2 答案:[解](1)若 a ? 2 , log2 ( x ? x ? 2) ? 2 ,则 x ? x ? 2 ? 4

2

………………2 分 ………………4 分

x 2 ? x ? 6 ? 0 , ( x ? 3)(x ? 2) ? 0 ,得 x ? ?2 或 x ? 3
所以

A ? {x x ? ?2, 或 x ? 3}

………………5 分

9 9 9 ?A log a [( ) 2 ? ? 2] ? 2 4 4 (2)因为 4 ,所以

………………7 分

log a

13 ?2 16 ,

因为

log a

13 ?2?0 16

所以 0 ? a ? 1

………………9 分

13 ? a2 16 且

………………11 分

13 ? a ?1 4

………………12 分

17、 (本题满分 12)如右图所示,定义在 D 上的函数 f ( x) ,如果满足:对 ?x ? D ,? 常数 A, 都有 f ( x) ? A 成立,则称函数 f ( x) 在 D 上有下界,其中 A 称为函数的下界. (提示:图中的 常数 A 可以是正数,也可以是负数或零)

f ( x) ? x 3 ?
(1)试判断函数

48 x 在 (0,??) 上是否有下界?并说明理由;

(2)已知某质点的运动方程为 S (t ) ? at ? 2 t ? 1 ,要使在 t ? [0,??) 上的每一时刻该质点的

A?
瞬时速度是以

1 2 为下界的函数,求实数 a 的取值范围.

解:1)求导或基本不等式的推广都可以证明有下界(A=32)存在. ( 2 ) 质 点 在 t ? [0,??) 上 的 每 一 时 刻 该 质 点 的 瞬 时 速 度

v ? S ' (t ) ? a ?

1 t ?1 。 a? 1 t ?1 ? 1 2
a? 3 2.

依题意得对 ? t ? [0,??) 有

a?
即:

1 t ?1

?

1 2 对 ? t ? [0,??) 恒成立 .所以
3 2

18、 (本题满分 12)已知 f ( x) ? ax ? 3x ? x ? 1 , a ? R . (Ⅰ)当 a ? ?3 时,求证: f ( x ) 在 R 上是减函数;

? (Ⅱ)如果对 ?x ? R 不等式 f ( x) ? 4 x 恒成立,求实数 a 的取值范围.
解: (Ⅰ)当 a ? ?3 时, f ( x) ? ?3x ? 3x ? x ? 1
3 2

∵ f ( x) ? ?9 x ? 6 x ?1
/ 2

? ?(3x ?1)2 ? 0
∴ f ( x ) 在 R 上是减函数

? (Ⅱ)∵ ?x ? R 不等式 f ( x) ? 4 x 恒成立
2 即 ?x ? R 不等式 3ax ? 6 x ? 1 ? 4 x 恒成立

2 ∴ ?x ? R 不等式 3ax ? 2 x ? 1 ? 0 恒成立

当 a ? 0 时, ?x ? R

2 x ? 1? 0 不恒成立

2 当 a ? 0 时, ?x ? R 不等式 3ax ? 2 x ? 1 ? 0 恒成立

即 ? ? 4 ? 12a ? 0

a??


1 3

2 当 a ? 0 时, ?x ? R 不等式 3ax ? 2 x ? 1 ? 0 不恒成立

1 (??, ? ] 3 综上所述, a 的取值范围是
19. (本小题满分 13 分) 某企业投入 81 万元经销某产品,经销时间共 60 个月,市场调研表明,该企业在经销这个产

1? x ? 20, x ? N ? 1, ? f ( x) ? ? 1 x, 21 ? x ? 60, x ? N ? ?10 品期间第 x 个月的利润 (单位:万元) ,为了获得更多的 利润,企业将每月获得的利润投入到次月的经营中,记第 x 个月的当月利润率
g ( x) ? f (3) 第x个月的利润 g (3) ? 81 ? f (1) ? f (2) . 第x个月前的资金总和 ,例如:

(Ⅰ)求第 x 个月的当月利润率 g ( x) 的表达式; (Ⅱ)该企业经销此产品期间,哪一个月的当月利润率最大,并求该月的当月利润率.

? 1 , 1 ? x ? 20, x ? N ? ? x ? 80 g ( x) ? ? 2x ? , 21 ? x ? 60, x ? N 2 ? x ? x ? 1600 ? 19.解:(Ⅰ)
g ( x) max ? 2 79

--------------------------------6 分

(Ⅱ)

…………………12 分

2 答:该企业经销此产品期间,第 40 个月的当月利润率最大,最大值为 79 ……………13 分

20 、 (本小题满分 13 分)已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? 1 (a, b ? R, a ? 0) ,设方程
2

f ( x) ? x 的两个实数根为 x1 和 x2 .

x ? x0 ,求证: x0 ? ?1 ; (1)如果 x1 ? 2 ? x2 ? 4 ,设函数 f ( x) 的对称轴为
(2)如果

x1 ? 2



x2 ? x1 ? 2
2

,求 b 的取值范围.

解析:设 g ( x) ? f ( x) ? x ? ax ? (b ? 1) x ? 1 ,则 g ( x) ? 0 的二根为 x1 和 x2 。

(1)由 a ? 0 及 x1 ? 2 ? x2 ? 4 ,可得

?4a ? 2b ? 1 ? 0 ? g (2) ? 0 ? ? ? g (4) ? 0 ,即 ?16a ? 4b ? 3 ? 0 ,

b 3 ? 3 ? 3? ? ? 0, ? ? 2a 4a ? ?? 4 ? 2 ? b ? 3 ? 0, ? 2a 4a 即?
b ?1 x ? ?1 ; 两式相加得 2 a ,所以, 0 ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( b ?1 2 4 ) ? a a , 可得
2a ? 1 ? (b ? 1) 2 ? 1

(2)由





x1 x 2 ?

1 ?0 a ,所以 x1 , x 2 同号。

? ?0 ? x1 ? 2 ? x 2 ? 2a ? 1 ? (b ? 1) 2 ? 1 ? x1 ? 2 x2 ? x1 ? 2 ? ∴ , 等价于 ? ? x 2 ? ?2 ? x1 ? 0 ? ?2a ? 1 ? (b ? 1) 2 ? 1 或? ,
? g ( 2) ? 0 ? g ( ?2 ) ? 0 ? ? ? ? ? g ( 0) ? 0 ? g ( 0) ? 0 ? ? 2 2 ? ?2a ? 1 ? (b ? 1) ? 1 或 ? ?2a ? 1 ? (b ? 1) ? 1
b?
解之得



1 7 b? 4或 4。

点评:条件 x1 ? 2 ? x2 ? 4 实际上给出了 f ( x) ? x 的两个实数根所在的区间,因此可以考虑 利用上述图像特征去等价转化。

21、 (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? ln(x ? 1) ? k ( x ? 1) ? 1 。 (I)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若 f ( x) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (Ⅲ)证明:① ln(x ? 1) ? x ? 2在(2,??) 上恒成立

② i ?2

? ( (i ? 1) ) ?

n

ln i

n(n ? 1) , (n ? N ? , n ? 1) 4
1 ?k x ?1

f ( x)的定义域为 (1,?? ), f ' ( x) ?
解: (I)函数

当 k ? 0时

f ' ( x) ?

1 ?k ?0 x ?1 ,则 f ( x)在(1,??) 上是增函数

1 1 x ? (1,1 ? ) f ' ( x) ? ?k ?0 k 时有 x ?1 当 k ? 0 时,若 x ? (1 ?


1 1 1 ,?? ) f ' ( x) ? ?k ?0 f ( x)在(1,1 ? ) k x ?1 k 上是增函数,在 时有 则

(1 ?

1 ,?? ) k 上是减函数

……………………(4 分)

(Ⅱ) 由 (I) 知 k ? 0, 时 f ( x)在(1,??) 递增, 而 f (2) ? 1 ? k ? 0, f ( x) ? 0 不成立, 故k ? 0

1 y max ? f (1 ? ) ? ? ln k k 又由(I)知 ,要使 f ( x) ? 0 恒成立, 1 y max ? f (1 ? ) ? ? ln k ? 0 k 则 即可。
由 ? ln k ? 0得k ? 1 …………………(8 分)

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 k ? 1 时有 f ( x) ? 0在(1,??) 恒成立,且 f ( x)在[2,??) 上是减函数,

f (2) ? 0 ,? x ? (2,??), f ( x) ? 0 恒成立,
即 ln(x ? 1) ? x ? 2在(2,??) 上恒成立 。……………………(10 分)

ln n n ? 1 ? 2 ln n ? ( n ? 1 )( n ? 1 ) 2 , 令 x ? 1 ? n ,则 ln n ? n ? 1 ,即 ,从而 n ? 1
2 2 2

ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 2 3 n ? 1 n(n ? 1) ? ? ??? ? ? ? ??? ? 3 4 5 n ?1 2 2 2 2 4 成立……(13 分)

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